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专题 22.6 二次函数的图象与系数的关系专项训练（30 题）
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生对二次函数图象与各项系数符号
之间的关系的理解！
【题型1 二次函数图象与系数的关系的单结论问题】
1．（23-24·四川成都·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(−4,0)两点，
下列说法正确的是（ ）
A．c<0
B．抛物线的对称轴是直线x=−2
C．当x>−1时，y的值随x值的增大而减小
D．4a−2b+c<0
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据图象与y轴交点即可判定c>0，再利用二次函数的
1+(−4) 3
对称性和与x轴交点求出对称轴x= =− ，根据图象即可判断当x>−1时，图象位于对称轴右侧，
2 2
y随x的增大而减小，再由∵当x=−2时，可得4a−2b+c>0．
【详解】解：由图象可知：抛物线与y轴交于正半轴，
∴c>0，A选项的结论不正确，不符合题意；
∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A(1,0)，B(−4,0)两点，
1+(−4) 3
∴对称轴为x= =− ，故B选项的结论不正确，不符合题意；
2 2∵由图象知：当x>−1时，图象位于对称轴右侧，y随x的增大而减小，故C选项的结论正确，符合题意；
∵当x=−2时，4a−2b+c>0，故D选项的结论不正确，不符合题意．
故选：C．
2．（23-24九年级·河南商丘·阶段练习）如图为抛物线y=ax2+bx+c的图象，A、B、C 为抛物线与坐标
轴的交点，且OA=OC=1，则下列关系中正确的是（ ）
A． ac<0 B． a−b=1 C． a+b=−1 D． b>2a
【答案】D
【分析】根据以下知识点分析即可：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向
上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同
号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③
常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，
要熟练掌握，解答此题的关键是要明确二次函数各项的系数和图形的关系．
【详解】解：∵OC=1，
∴c=1，
又∵x=1时，y>0，
∴a+b+1>0，
∴a+b>−1，
∴选项C不正确；
∵抛物线开口向上，
∴a>0；
又∵c=1，
∴ac=a>0，
∴选项A不正确；
∵OA=1，
b
∴x=− <−1，
2a
又∵a>0，∴b>2a，
∴选项D正确；
∵OA=1，
∴x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
又∵c=1，
∴a−b=−1，
∴选项B不正确．
故选：D．
3．（23-24·湖北鄂州·模拟预测）如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=1对称，则下
列结论正确的是（ ）
A．abc>0
B．若抛物线与x轴交于A(x ,0)，B(x ,0)两点，则x +x =2
1 2 1 2
C．b2−4ac<3a+c
D．对任意实数t，总有at2+bt0，
∵图象关于直线x=1对称，
b
∴− =1，
2a
∴b>0，
∴abc<0，A选项错误；
若抛物线与x轴交于A(x ,0)，B(x ,0)两点，
1 2
x +x
∴ 1 2=1，则x +x =2，故B选项正确；
2 1 2
b
∵− =1，
2a
∴b=−2a，
由图知，当x=−1时，y=a−b+c=3a+c<0，
∵b2−4ac>0
∴b2−4ac<3a+c不成立，故C选项错误；
当t=1时，有a+b=a+b，故D选项错误．
故选：B．
4．（23-24·广西钦州·三模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像如图所示，
以下结论中正确的是（ ）
A．abc>0
B．2a+c<0
C．9a−3b+c<0D．若m为任意实数，则a−b≥m(am+b)
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的图象判断a,b,c的符号，根据抛物线与x轴的交点
即可判断B,C选项，根据抛物线开口向上，对称轴为直线x=1，得出最小值为a−b+c，进而即可求解．
【详解】解：抛物线开口向上，则a>0，
b
抛物线的对称轴为直线x=−1，则x=− =−1
2a
∴b=2a>0，
抛物线与y轴交于负半轴，则c<0
∴abc<0，故A选项错误；
∵当x=1时，a+b+c=0，
∴c=−a−b =−a−2a=−3a
∴2a+c=2a−3a=−a<0，故B正确
∵抛物线的对称轴为直线x=−1，x=1和x=−3时，y=0
∴9a−3b+c=0，故C错误；
∵a>0，对称轴为直线x=−1
∴若m为任意实数，则a−b+c≤am2+bm+c，即a−b≤m(am+b)，故D错误，
故选：B．
5．（23-24·浙江温州·二模）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则下列选项中错误的是
（ ）．
A．b=−2a B．ax2+bx+c=0的解为x =−1，x =3
1 2
2 1
C．− 0，可得点A(a,b+c)在第二象限，故
3 3 3 3
D选项错误，符合题意．
故选D．
6．（23-24九年级·湖北黄冈·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴为直线x=1，且
经过点(3,0)，下列结论中正确的是（ ）
A．4a+2b+c<0 B．a+c>0
C．2a+b+c<0 D．当−10，故选项A错误，不符合题意；
b
B、∵图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，其对称轴为直线x=− =1，图象经过点(−1,0)，
2a
∴a<0，b=−2a>0，c>0，a−b+c=0，
∴a+c=b>0，故选项B正确，符合题意；
C、2a+b+c=2a−2a+c=c>0，故选项C错误，不符合题意；D、∵当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小，
∴当−10，又顶点为(1,m)，故对称轴是直线x=− =1，从而
2a
b=−2a<0，再结合抛物线交y轴于负半轴，则c<0故可判断A；又抛物线与x轴有两个交点，判别式
=b2−4ac>0，故可判断B；又对称轴是直线x=1，B(−1,0)，从而A(3,0)，故可判断C；又b=−2a，
再结合当x=1时，y=a+b+c=m，从而可以判断D．本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要
熟练掌握并能灵活运用是关键．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴a>0．
∵顶点为(1,m)，
b
∴对称轴是直线x=− =1．
2a
∴b=−2a<0．
又抛物线交y轴于负半轴，
∴c<0．
∴abc>0，故A错误．
又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴判别式=b2−4ac>0，故B错误．
∵对称轴是直线x=1，B(−1,0)，∴A(3,0)，故C错误．
∵b=−2a，
又当x=1时，y=a+b+c=m，
∴a−2a+c=m．
∴c−a=m，故D正确．
故选：D．
8．（23-24九年级·湖北黄冈·期中）在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，抛物线
y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为 x=1，与x轴的一个交点位于(2,0)，(3,0)两点之间．下列结论：其中
正确的是（ ）
A．2a+b>0 B．bc<0
1
C．a>− c D．若x 、x 为方程 ax²+bx+c=0 的两个根，则
3 1 2
−30，2a+b=0，bc>0；抛物线与x轴的一个交点位于(2,0)，
2a
1
(3,0)两点之间，对称性知另一个交点在(−1,0)，(0,0)之间，得 y=a−b+c<0，c>0，于是a<− c，
3
c
进一步推知−3< <0，由根与系数关系知−30，所以2a+b=0，故选项A错误；
2a
抛物线与x轴的一个交点位于(2,0)，(3,0)两点之间，对称轴为x=1，故知另一个交点在(−1,0)，(0,0)之
间，因为a<0，所以抛物线开口向下，
故x=−1时，y=a−b+c<0， x=0时，y=c>0，
故bc>0 故选项B错误；
1
∴a−(−2a)+c<0，得a<− c，故C错误；
3
1 c
由a<− c，a<0，c>0知−3< <0，
3 a
∵x ，x 为方程ax2+bx+c=0的两个根，
1 2
c
∴x ·x =
1 2 a
∴−3y
2 1 2 1 2
C．a−b+c>0
D．b+c=m
【答案】D
【分析】本题主要考查了抛物线图象与系数的关系以及一元二次方程的根与系数的关系，根据抛物线的开
口方向和对称轴的位置可判断a、b、c的符号，然后再根据两根关系和抛物线与x的交点情况逐项判定即
可，熟练掌握抛物线图象与系数的关系是解题的关键．
【详解】解：A、由图象可知，抛物线对称轴为直线x=2，若经过点(t,n)，则经过点(4−t,n)，故选项不
符合题意；B、由图象可知，图象开口向下，
∴a<0，
由离对称轴越近的y值越大，
| 1 )
∵ − −2 >|4−2)，
2
∴y 0，
∵b=−1
∴函数开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴抛物线与x轴负半轴必有一个交点，故B正确，不符合题意；∵a<0，c=3−a>0，b=−1，
∴abc>0，故C不正确，符合题意；
∵函数开口向下，对称轴在y轴左侧，
∴当0≤x≤3时，y随x增大而减小，
∴当x=3时，y有最小值y=9a+3b+c=9a−3+3−a=8a，故D正确，不符合题意；
故选：C．
11．（23-24九年级·全国·竞赛）已知开口向上的抛物线y=ax2+bx+c经过点
( a)
A(x ，0)、B(x ，0)、C 1，− ，且a>2c>b，则|x −x )的取值范围是（ ）．
1 2 2 1 2
1 3
A．0<|x −x )<1 B． <|x −x )<
1 2 2 1 2 2
C．❑√2<|x −x )<❑√3 D．1<|x −x )<2
1 2 1 2
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，利用完全平方公式的变形进
( a)
行计算，由抛物线过点C 1，− 得出2c=−3a−2b，结合a>2c>b以及抛物线开口向上得出
2
b
−2< <−1，由题意得出x 、x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，由一元二次方程根与系数的关系
a 1 2
b c 3 b
得出x +x =− ，x x = =− − ，再由|x −x )=❑√(x +x ) 2−4x x ，计算即可得出答案．
1 2 a 1 2 a 2 a 1 2 1 2 1 2
( a)
【详解】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过点C 1，− ，
2
a
∴− =a+b+c，
2
∴2c=−3a−2b，
由a>2c>b得a>−3a−2b>b，
∵抛物线开口向上，
∴a>0，
2b b
∴1>−3− > ，
a ab
解得−2< <−1，
a
∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A(x ，0)、B(x ，0)，
1 2
∴x 、x 是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，
1 2
b c 3 b
∴x +x =− ，x x = =− − ，
1 2 a 1 2 a 2 a
∴|x −x )=❑√(x +x ) 2−4x x =❑ √ (b +2 ) 2 +2，
1 2 1 2 1 2 a
∴❑√2<|x −x )<❑√3，
1 2
故选：C．
12．（23-24九年级·河南郑州·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴分别交于A、B两
点，与y轴交于点C，点B的坐标为(−1,0)，下列结论中正确的是（ ）
A．ac>0 B．a−b+c<0 C．a+b+c>0 D．4a+2b+c=0
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据图象获取信息，根据二次函数的性质，进行判断即可．掌
握二次函数的图象和性质，是解题的关键．
b
【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为x=− =1，交y轴于正半轴，
2a
∴a<0,b=−2a>0,c>0，
∴ac<0，故选项A错误；
∵图象经过点(−1,0)，
∴a−b+c=0，故选项B错误；
由图象可知当x=1时，a+b+c>0，故选项C正确；
∵对称轴为x=1，∴x=2与x=0时的函数值相同，即：4a+2b+c=c>0，故选项D错误；
故选：C．
【题型2 二次函数图象与系数的关系的多结论问题】
13.（23-24·四川成都·模拟预测）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)，B(1,0)，
与y轴交于点C．有下列说法：①abc>0；②抛物线的对称轴为直线x=−1；③当−30；④当x>1时，y的值随x值的增大而减小；⑤am2+bm≥a−b（m为任意实数）．其中正
确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系、抛物线的性质等知识点，熟练掌握抛物线的相关知
识是解题的关键．
b
根据抛物线开口向上可得a>0，对称轴为− =−1可得b=2a>0通时判定②；与y轴交于负半轴可得
2a
c<0，即可判定①；根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；由图象可知，当−30，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−3,0)，B(1,0)，
−3+1
∴对称轴为直线x= =−1，故②正确；
2
b
∵− =−1，
2a
∴b=2a>0，
∵抛物线与y轴的交点在负半轴上，
∴c<0，
∴abc<0，故①错误；由图象可知，当−31时，y的值随x值的增大而增大，故④错误；
∵a>0且抛物线的对称轴为直线x=−1，
∴当x=−1时，函数有最小值a−b+c，
∴当m为任意实数时，am2+bm+c≥a−b+c，
∴am2+bm≥a−b，故⑤正确．
综上所述，说法正确的是②⑤，共2个．
故选B．
14．（23-24九年级·黑龙江大庆·期末）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(3,0)，
与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，下列四个结论：①bc<0；②3a+2c<0；③若实数m≠1，则
8 4
am2+bm>a+b；④若−20；
∵对称轴在y轴右侧，
∴a、b异号，
∴b<0，
∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，
∴c<0，∴bc>0，故①错误；
②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(3,0)，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∵b=−2a，
∴x=−1时，y=0，
∴a−b+c=0，
∴3a+c=0，
∴3a+2c<0，故②正确；
③∵对称轴为直线x=1，a>0，
∴y=a+b+c最小值，
∵m≠1，
∴am2+bm+c>a+b+c，
∴am2+bm>a+b，
故③正确；
④∵−20 ②am2+bm≤a−b（m为任意实数） ③3a+c<1
c④若M(x ,y)、N(x ,y)是抛物线上不同的两个点，则x +x ≤−3．其中正确的结论有（ ）
1 2 1 2
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据抛物线的开口方向，对称轴可得a<0，b=2a<0即可判
断①，x=−1时，函数值最大，即可判断②，根据x=1时，y<0，即可判断③，根据对称性可得
x +x =−2即可判段④，即可求解．
1 2
【详解】解：∵二次函数图象开口向下
∴a<0
∵对称轴为直线x=−1，
b
∴x=− =−1
2a
∴b=2a<0
∵抛物线与y轴交于正半轴，则c>0
b
∴ <0，故①错误，
c
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=−1,
∴当x=−1时，y取得最大值，最大值为a−b+c
∴am2+bm+c≤a−b+c（m为任意实数）
即am2+bm≤a−b，故②正确；
∵x=1时，y<0
即a+b+c<0
∵b=2a
∴a+2a+c<0
即3a+c<0
∴3a+c<1，故③正确；∵M(x ,y)、N(x ,y)是抛物线上不同的两个点，
1 2
∴M,N关于x=−1对称，
x +x
∴ 1 2=−1即x +x =−2故④不正确
2 1 2
正确的有②③
故选：B
16．（23-24九年级·云南昆明·期末）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点
A(−1,0)，与y轴的交点在(0,−2)和(0,−1)之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，下列结论：①
1 2
4a+2b+c>0；②4ac−b2<8a；③ c；其中正确结论的个数有（ ）
3 3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)系数符号由抛物线开口
方向、对称轴、抛物线与y轴的交点位置确定．利用数形结合的思想是解题的关键．根据对称轴及抛物线
与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【详解】解：①∵图象与x轴交于点A(−1,0)，对称轴为直线x=1，
∴图象与x轴的另一个交点为(3,0)，
∴当x=2时，y<0，
∴4a+2b+c<0，故①错误；
②∵函数开口方向向上，
∴a>0，
∵抛物线与y轴交点在(0,−2)和(0,−1)之间，对称轴为直线x=1，
∴顶点纵坐标要小于−1，
4ac−b2
∴ <−1，且a>0，
4a
∴4ac−b2<−4a<8a，故②正确；③∵图象与y轴的交点在(0,−2)和(0,−1)之间，
∴−20，c=−3a，
∴b>c，故④正确．
综上所述，正确的有②③④，
故选：C．
17．（23-24九年级·湖北宜昌·阶段练习）如图，己知开口向下的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(6,0)，
对称轴为直线x=2．则下列结论：①abc<0；②a−b+c>0；③4a+b=0；④抛物线上有两点P(x ,y )
1 1
和Q¿，若x <24，则y 0，
b
∵− >0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①正确；
∵抛物线对称轴为直线x=2，x=5时，y>0，
∴x=−1时，y>0，
∴a−b+c>0，故②正确；
∵对称轴为直线x=2，
b
∴− =2
2a
∴b=−4a，
∴4a+b=0，
故③正确；
∵抛物线开口向下，对称轴为直线x=2，
若x <24，则点P(x ,y )到对称轴的距离小于Q(x ,y )到直线的距离，
1 2 1 2 1 1 2 2
∴y >y ，故④不正确．
1 2
故选：C．
18．（23-24九年级·云南·期末）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的部分图象如图，图象过点(−1,0)下列结
论：①b2>4ac；②4a+b=0；③4a+c>2b；④−3b+c=0；⑤若顶点坐标为(2,4)，则方程
ax2+bx+c=5没有实数根．其中正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查二次函数与系数a，b，c相关代数式的判断问题，会利用对称轴求b与a的关系，以及二次函数与方程之间的转换，掌握根的判别式的熟练运用，是解题的关键．
由抛物线的开口方向判断a<0，将点(−1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，得a−b+c=0，由图象可得对称
轴为x=2，可得b=−4a，代入上式可得c=−5a，再将五个结论分别分析即可由得到答案．
【详解】解：将点(−1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，
即a−b+c=0，
∵图象可得二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=2，开口向下，
b
∴− =2，a<0，
2a
即b=−4a>0，
将b=−4a代入a−b+c=0，
可得c=−5a>0．
①∵b=−4a、c=−5a，
∴b2=(−4a) 2=16a2，4ac=4a×(−5a)=−20a2，
∴16a2>−20a2，
∴b2>4ac，
故①正确．
②∵b=−4a，
∴4a+b=4a−4a=0，
故②正确．
③∵b=−4a、c=−5a，
∴4a+c=4a−5a=−a，2b=−8a，
∵a<0，
∴−a<−8a，
∴4a+c<2b，
故③错误．
④∵b=−4a、c=−5a，
故−3b+c=−3×(−4a)−5a=12a−5a=7a，
∵a<0，
∴7a≠0，∴−3b+c≠0，
故④错误．
⑤将(2,4)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，即4a+2b+c=4，
再将b=−4a、c=−5a代入上式，
化简可得a=−2，
∴b=−4a=8，c=−5a=10，
将a=−2，b=8，c=10，代入则方程ax2+bx+c=5中，
即−2x2+8x+5=0，
根据根的判别式Δ=82−4×(−2)×5=104>0，
可得方程ax2+bx+c=5没有两个不相同的实数根，
故⑤错误．
综上作述，正确的结论有两个，
故选A．
( 1 )
19．（23-24·新疆乌鲁木齐·一模）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴负半轴交于 − ,0 ，
2
顶点坐标为(1,n)，有以下结论：①abc<0；②3a+c>0；③若点(−2,y )，(0,y )，(3,y )，均在函数
1 2 3
图象上，则y >y >y ；④对于任意m都有a+b≤am2+bm；⑤点M，N是抛物线与x轴的两个交点，若
1 3 2
2
在x轴下方的抛物线上存在一点P，使得PM⊥PN，则a的范围为a≥ ．其中结论正确的有（ ）
3
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数之间的关系，二次函数图象的性质等等，根据抛物线开口方
向可判断a的取值范围，由对称轴的位置及a的符号可判断b的符合，由抛物线与y轴交点位置可判断c的
符号，从而可判断①错误；由图象过(−1，0) 及对称轴可判断②正确；由抛物线开口向上，离对称轴水
平距离越大，y越大，可判断③正确；根据函数开口向上，在对称轴处有最小值，即可判断④正确；由3 3
M，N到对称轴的距离为 ，当抛物线的顶点到x轴的距离不小于 时，在x轴下方的抛物线上存在点P，
2 2
4ac−b2 3 4a⋅ ( − 5 a ) −(−2a) 2
使得PM⊥PN，即 ≤− ，得 4 3可判断⑤正确．
4a 2 ≤−
4a 2
【详解】解：∵函数开口向上，与y轴交于负半轴，
∴a>0，c<0，
∵顶点坐标为(1,n)，即对称轴为直线x=1，
b
∴− =1，
2a
∴b=−2a<0，
∴abc>0，故①错误；
由图可知，当x=−1时，y=a−b+c>0，
∴a+2a+c>0，即3a+c>0，故②正确；
∵抛物线开口向上，
∴离对称轴距离越大，y越大，
又∵|−2−1)=3，|3−1)=2，|0−1)=1，3>2>1
∴y >y >y ；故③正确；
1 3 2
∵函数开口向上，
∴在对称轴处函数有最小值，
∴a−b+c≤am2+bm+c，即a+b≤am2+bm故④正确；
3
由题意可知：M，N到对称轴的距离为 ，
2
3
当抛物线的顶点到x轴的距离刚好等于 时，此时顶点与M、N两个点恰好构成等腰直角三角形，
2
3
∴当抛物线的顶点到x轴的距离大于等于 时在x轴下方的抛物线上存在点P，使得PM⊥PN，
2
4ac−b2 3
∴ ≤− ，
4a 2
( 1 ) 1 1
把 − ,0 代入解析式得 a− b+c=0，
2 4 2
1
∴ a+a+c=0，
45
∴c=− a，
4
4a⋅ ( − 5 a ) −(−2a) 2
4 3，
∴ ≤−
4a 2
2
解得：a≥ ，故⑤正确；
3
故选：B．
20．（23-24九年级·山东烟台·期中）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，图象的一部分如图所示，该函
( 1 )
数图象经过点(−2,0)，顶点坐标为 − ,m ．对于下列结论：①abc<0；②a+b+c=0；③若关于x的一
2
1 1
元二次方程ax2+bx+c−3=0无实数根，则m<3；④am2+bm< (a−2b)）（其中m≠− ）﹔⑤若
4 2
A(x ,y )和B(x ,y )均在该函数图象上，且x >x >1，则y >y ．其中正确结论有（ ）
1 1 2 2 1 2 1 2
A．②③④ B．②③⑤ C．②③ D．④⑤
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象与直线交点问题，掌握二次函数图象与系数关
系，二次函数的性质，利用数形结合思想解题是关键．
根据抛物线与x轴的一个交点(−2,0)以及其对称轴，求出抛物线与x轴的另一个交点(1,0)，利用待定系数
法求函数解析式，再根据抛物线开口朝下，可得a<0，进而可得b<0，c>0，再结合二次函数的图象和性
质逐条判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口方向向下，
∴a<0，
1
∵抛物线的对称轴为直线x=− ，
2b 1
∴− =−
2a 2
∴b=a<0
∵抛物线与抛物线与轴交点在正半轴上，
∴c>0，
∴abc>0，故①错误；
1
∵抛物线的对称轴为直线x=− ，且抛物线与x轴的一个交点坐标为(−2,0)，
2
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)，
把(1,0)代入y=ax2+bx+c(a≠0)，可得：a+b+c=0，故②正确；
∵关于x的一元二次方程ax2+bx+c−3=0无实数根，
∴二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与直线y=3无交点，
( 1 )
∵抛物线的顶点坐标为 − ,m ，抛物线开口方向向下，
2
∴m<3，故③正确；
∵am2+bm=am2+am=a ( m+ 1) 2 − 1 a，
2 4
1 1 1
(a−2b)= (a−2a)=− a，
4 4 4
1 1 2
∴am2+bm− (a−2b)=a(m+ ) ，
4 2
1
又∵a<0，m≠− ，
2
( 1) 2
∴a m+ <0，
2
1 1
即am2+bm< (a−2b)（其中m≠− )，故④正确；
4 2
1
∵抛物线的对称轴为直线x=− ，且抛物线开口朝下，
2
1
∴可知二次函数，在x>− 时，y随x的增大而减小，
2
1
∵x >x >1>− ，
1 2 2
∴y 0；② a<− ；③若关于x的方程ax2+2ax=p−c(p>0)有整数解，则符合
3
条件的p的值有2个；④当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为c，则a=−4.
其中一定正确的有 .（填序号即可）
【答案】①②③/①③②/②③①/②①③/③②①/③①②
【分析】本题考查了二次函数的性质，当x=1时，m=3a+c，则mc=3ac+c2，根据mc<0得
c
0≤c2<−3ac，根据a<0，−3ac>0得c>0，根据c2<−3ac得c<−3a，则a<− ，即可判断①②正确，
3
2a
根据mc<0，c>0得m<0，即可得点(1,m)在x轴的下方，根据抛物线的对称轴为直线x=− =−1，
2a
a<0，c>0得抛物线与直线y=p交点的横坐标为整数的有−2,−1,0，则关于x的方程
ax2+2ax=p−c(p>0)有整数解，则符合条件的p的值有2个，故③正确；根据抛物线对称轴为直线
x=−1，与y轴的交点为(0,c)，得抛物线过(−2,c)，根据当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为c得
a+3=−2或a=0，即可得；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
【详解】解：二次函数y=ax2+2ax+c，当x=1时，m=a+2a+c=3a+c，
∴mc=3ac+c2，
∵mc<0，
∴0≤c2<−3ac，
∵a<0，−3ac>0，
∴c>0，
∵c2<−3ac，
∴c<−3a，
c
a<− ，
3
∴①②正确，
∵mc<0，c>0，
∴m<0，
∴点(1,m)在x轴的下方，2a
∵抛物线的对称轴为直线x=− =−1，a<0，c>0，
2a
∴抛物线与直线y=p交点的横坐标为整数的有−2,−1,0，
∴关于x的方程ax2+2ax=p−c(p>0)有整数解，则符合条件的p的值有2个，
故③正确；
∵抛物线对称轴为直线x=−1，与y轴的交点为(0,c)，
∴抛物线过(−2,c)，
∵当a≤x≤a+3时，二次函数的最大值为c，且a<0，
∴a+3=−2，
∴a=−5，
故④错误，
综上，①②③正确，
故答案为：①②③．
23．（23-24九年级·湖北·阶段练习）已知抛物线 y=ax2+bx+c (a，b，c均为常数)的顶点坐标为
( 1 )
− ,m ，其中m＞0，与x轴的一个交点位于(0,0)和(1,0)之间，则下列结论：
2
① b＜0；
②2b+c＞0；
③若该抛物线经过点(−2,y )，(2,y )，则 y >y
1 2 1 2
④若关于x的一元二次方程 ax2+bx+c−2=0无实数根，则m＞2．
其中正确的结论是 ．(只填序号)
【答案】 /
【分析】①本题③考③查①了抛物线的性质，抛物线与一元二次方程的关系，熟练掌握性质是解题的关键，根据顶
点坐标，根的判别式，点到对称轴的距离大小比较计算判断即可．
( 1 )
【详解】∵抛物线 y=ax2+bx+c (a，b，c均为常数)的顶点坐标为 − ,m ，其中m>0，与x轴的一
2
个交点位于(0,0)和(1,0)之间，
b 1 4ac−b2
∴− =− ，b2−4ac>0，m= >0，a+b+c＜0，
2a 2 4a
∴a=b，a＜0，2b+c＜0，
∴b＜0，故①正确；②错误；
| ( 1)) | ( 1))
∵ −2− − ＜2− − ，a＜0，距离对称轴越远，函数值越小，
2 2
∴y >y ，
1 2
故③正确；
∵关于x的一元二次方程 ax2+bx+c−2=0无实数根，
∴b2−4a(c−2)＜0，
∴b2−4ac+8a＜0，
即4ac−b2>8a
4ac−b2
∵m= ，
4a
则m＜2．
故④错误；
故答案为：①③．
24．（23-24九年级·福建福州·阶段练习）如图所示，二次函数y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图像的对称轴是
直线x=1，且经过点（0,2）．有下列结论：①abc>0；②b2−4ac>0；③a+b≥m(am+b)（m为常
(1 )
数）；④x=−3和x=5时函数值相等；⑤若(2,y )， ,y ，(−2,y )在该函数图像上，则y 0，
∵经过点（0,2），
∴c=2，
∴abc＜0，故①错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴Δ=b2−4ac>0，故②正确；
∵当x=1时，函数取得最大值，最大值为a+b+2，
∴当x=m时，a+b+2≥am2+bm+2，
∴a+b≥m(am+b)，故③正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，
∴直线x=−3和直线x=5与对称轴距离相等，则x=−3和x=5时的函数值相等，故④正确；
∵抛物线的对称轴是直线x=1，且开口向下，
∴离对称轴x=1越近，函数值越大，
∴y 0；② 4a+b>0；③ M(x ，y )与
1 1
N(x ，y )是抛物线上两点，若0y ；④若抛物线的对称轴是直线x=3，m为任意实数，
2 2 1 2 1 2
则a(m−3)(m+3)≤b(3−m)；⑤若AB≥3则4b+3c>0其中正确结论的个数共有 个．【答案】4
【分析】根据图象得出a<0，c<0，b>0，可判断①；再由图象可得对称轴在直线x=2右侧，可得
b
− >2，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x=3，得
2a
出b=−6a，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0且小于等于1，得出当x=1
4b+c
时，a+b+c≥0，当x=4时，16a+4b+c=0，变形为a= ，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号
−16
可判断⑤．
【详解】解：由抛物线图象可知，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，
b
∴a<0，c<0，− >0，
2a
∴b>0，
∴abc>0，故①正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，点B（4，0），
∴对称轴在直线x=2右侧，
b
即− >2，
2a
b 4a+b
∴2+ = <0，
2a 2a
∵a<0，
∴4a+b>0，故②正确；
b
∵ M(x ，y )与N(x ，y )是抛物线上两点，由图象可得抛物线y=ax2+bx+c在0− 上， y随x的增大而减小，
2a
∴ y >y 不一定成立，故③错误；
1 2若抛物线的对称轴是直线x=3，
b
∴− =3，即b=−6a，
2a
∴a(m−3)(m+3)−b(3−m)=a(m−3) 2≤0，
∴ a(m−3)(m+3)≤b(3−m)，故④正确；
由AB≥3得，00，
∴4b+3c>0，故⑤正确；
综上所述，正确的有4个，
故答案为：4．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是能根据图象得出二次函数表达式各项系数的符
号．
26．（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，
B(3，0)，交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①b+2c>0；
②a+b≥am2+bm（m为任意实数）；③若点P为对称轴上的动点，则|PB−PC)有最大值，最大值为
❑√c2+9；④若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b) 2成立．其中正确的序号有
．【答案】①②④
【分析】利用待定系数法，二次函数的相纸，两点之间线段最短逐一判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1，0)，B(3，0)，
b −1+3
∴对称轴为直线x=− = =1，
2a 2
∴b=−2a>0，
∵抛物线交y轴的正半轴，
∴c>0，
∴ b+2c>0，故①正确；
∵对称轴为直线x=1，开口向下，
∴x=1时，y有最大值，最大值为a+b+c，
∴ a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数）
即a+b≥am2+bm，故②正确；
∵对称轴交y轴的正半轴于点C，
∴C(0，c)，
由对称性可知PA=PB，
∴ |PB−PC)=|PA−PC)≤AC=❑√OA2+OC2=❑√1+c2，故③不正确；
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)，
∴a−b+c=0，
∵b=−2a，
∴c=−3a，
∴ y=ax2+bx+c=ax2−2ax−3a，∴ b2−4ac=4a2+12a2=16a2，
∵m是方程ax2+bx+c=0的一个根，
∴m=−1，m=3，
当m=−1时，(2am+b) 2=(−2a−2a) 2=16a2，
当m=3时，(2am+b) 2=(6a−2a) 2=16a2，
∴若m是方程ax2+bx+c=0的一个根，则一定有b2−4ac=(2am+b) 2成立，故④正确；
故答案为：①②④．
【点睛】本题考查二次函数图象和性质，解决本题关键是运用二次函数图像上点的坐标特征、抛物线与x
轴交点进行计算．
27．（23-24九年级·江西上饶·期末）如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于
点C，顶点为D，其中点B坐标为（3，0），顶点D的横坐标为1，DE⊥x轴，垂足为E，下列结论：①
OC 3 2
当x<1时，y随x增大而减小；②a+b<0；③3a+b+c>0；④ = ；⑤当a<− 时，OC>2．其中结
DE 4 3
论正确的有 ．（填序号）（多填错填倒扣一分）
【答案】③④⑤
【分析】①根据抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，判定当x<1时，y随x增大而增大；②根据a<0，
b
− =1， 得到b=-2a，代入a+b=a-2a=-a>0；③x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，得到
2a
b
9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,根据− >0，a<0，得到b>0，推出3a+b+c>0；④根据3a+c=0，得到c=-3a，推
2aOC c
= c −3a 3
出DE 4ac−b2 = = = ；⑤根据抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点
c−a −3a−a 4
4a
B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，得到A(-1,0)设抛物线解析式为
2
y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，推出当a<− 时，-3a>2．
3
【详解】①当x<1时，y随x增大而减小，
∵抛物线顶点D的横坐标为1，
∴对称轴为直线x=1，
∵抛物线开口向下，
∴当x<1时，y随x增大而增大，
∴不正确；
②a+b<0，
b
∵− =1，a<0，
2a
∴b=-2a>0，
∴a+b=a-2a=-a>0，
∴不正确；
③3a+b+c>0，
∵x=3时，y=9a+3b+c=0，b=-2a，
∴9a+3b+c=9a-6a+c=3a+c=0,
∵b>0，
∴3a+b+c>0，
∴正确；
OC 3
④ = ，
DE 4
∵b=-2a，3a+c=0，
∴c=-3a，
OC c
=
DE 4ac−b2
4a
4ac
=
4ac−b24ac
=
4ac−(−2a) 2
c
=
c−a
−3a
=
−3a−a
3
= ，
4
∴正确；
2
⑤当a<− 时，OC>2，
3
∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，其中点B坐标为（3，0），对称轴为直线x=1，
∴A(-1,0)
∴设抛物线解析式为y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，
2
当a<− 时，-3a>2，
3
∴正确．
故答案为，③④⑤．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，解决此类问题的关键是熟练掌握图象开口与a的关系，
图象与y轴交点与c的关系，对称轴与a、b的关系，图象与x轴的交点特征．
28．（23-24九年级·重庆·期末）如图，函数y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，下列判断：
①abc<0；
②a+4c<2b；
❑√b2−4ac
③|m+1|=| |；
a
④x=2和x=m−3处的函数值相等．
其中正确的是 （只填序号）．【答案】①③④
【分析】根据抛物线开口方向，对称轴以及与y轴的交点即可判断①；根据c、a的符号得出2c>a，即可
得到a+4c>2a+2c，根据x=−1时，y=0得到b=a+c，即可得到a+4c>2b，即可判断②；根据抛物
线与一元二次方程的关系即可判断③；根据抛物线的对称性即可判断④．
【详解】解：∵抛物线开口向下，
∴a<0，
∵抛物线交y轴于正半轴，
∴c>0，
b
∵− >0，
2a
∴b>0，
∴abc<0，故①正确，
∵c>0，a<0，
∴2c>a，
∴a+4c>2a+2c，
x=−1时，y=a−b+c=0，则b=a+c，
∴2a+2c=2b，
∴a+4c>2b，故②错误，
∵y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，
∴方程ax2+bx+c=0的根为x =−1，x =m，
1 2
−b±❑√b2−4ac
∵方程ax2+bx+c=0的根为x= ，
2a
❑√b2−4ac
∴|x −x |=| |，
1 2 a
❑√b2−4ac
∴|m+1|=| |，故③正确；
a∵y=ax2+bx+c的图象过点(−1,0)和(m,0)，
m−1
∴抛物线的对称轴为直线x= ，
2
m−3+2 m−1
∵ = ，
2 2
∴x=2和x=m−3处的函数值相等，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决
定抛物线的开口方向：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项
系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，
对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于(0,c)；△决定抛物线与x轴交点个数：
△=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△
=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．
29．（23-24九年级·广东广州·期末）抛物线y＝ax2+bx+c中，b＝4a，它的图象如图，有以下结论：①c＞
0；②a+b+c＞0；③a﹣b+c＞0 ④b2﹣4ac＜0；⑤abc＜0；⑥4a＞c；其中正确的为 （填序号）．
【答案】①②⑥．
【分析】由抛物线的开口向上可知a>0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上可得c>0，由此判定①正确；由
b
4a-b和对称轴为x=-− =-2，则a、b同号，即b>0，然后即可判定⑤错误；由抛物线与x轴有两个交点
2a
得到b2-4ac>0，由此判定④错误；当x=1时，y=a+b+c>0，由此判定②正确；当x=-1时，y=a-b+c<0，由此判
定③错误；由a-b+c<0，而2a=b，可以推出cc，由此判定⑥正确
【详解】解：∵抛物线的开口向上，
∴a＞0，
∵与y轴的交点为在y轴的正半轴上，∴c＞0，
∴①正确；
b
∵对称轴为x＝− ＝﹣1，得2a＝b，
2a
∴a、b同号，即b＞0，
∴abc＞0，
∴⑤错误；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，
∴④错误；
当x＝1时，y＝a+b+C＞0，
∴②正确；
当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0，
∴③错误；
∵a﹣b+c＜0，4a＝b，
∴c＜3a，
∴4a＞c，
∴⑥正确．
故填空答案：①②⑥．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定以及灵活运用数
形结合思想是解答本题的关键.
30．（23-24九年级·湖北武汉·阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点A(−2023,n)，
B(2024,n)，M(−1,0)，且交y轴的正半轴于点N，下列结论：① abc<0；② 4a+2b+c=0；③若直
线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x ,y )，则x =1；④抛物线上的两点P(x ,y )，Q(x ,y )，P
T T T 1 1 2 2
在Q的左边，若x +x >2，则y 0，b>0，则abc<0，故①正确；
1
由抛物线对称轴为直线x= ，
2
b 1
∴− = ，则b=−a，
2a 2
∴代入a−b+c=0得：c=−2a，
∴抛物线y=ax2−ax−2a，直线y=ax+d与抛物线只有一个公共点T(x ,y )，
T T
∴ax2−ax−2a=ax+d，整理得：ax2−2ax−2a−d=0
∴(−2a) 2−4a(−2a−d)=0，解得：d=−3a，
∴直线y=ax−3a，代入得：x=1，
∴x =1，故③正确；
T
∵抛物线上的两点P(x ,y )，Q(x ,y )，
1 1 2 2
∴y =ax 2−ax −2a，y =ax 2−ax −2a，
1 1 1 2 2 2
∴y −y =a(x +x )(x −x )−a(x −x )=a(x −x )(x +x −1)，
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
∵x 2，
1 2 1 2
即y −y >0，
1 2
∴y >y ，故④错误；
1 2
∵b2−4ac=(−a) 2−4a×(−2a)=a2+8a2=9a2>0，
∴b2−4ac<−4a错误，
∴①②③正确；
故答案为：．
