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专题 24.4 圆与二次函数的综合
【典例1】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2m−1,0)和点B(m+2,0)，与y轴交于点C，
对称轴轴为直线x=−1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，
当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；
（3）直线y=kx+3k+4(k≠0)与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．
【思路点拨】
（1）由题意及抛物线的对称性知：−1−(2m−1)=m+2−(−1)，即可求得m的值，从而用待定系数法
可求得函数解析式；
（2）首先求出直线AC的解析式为y=−x−3，由PQ∥y轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而
求得PQ的长度，分两种情况讨论：当⊙P与x轴相切时；当⊙P与y轴相切时；分别利用圆心到切线的
距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径；
（3）由y=kx+3k+4(k≠0)知，直线过点G(−3,4)，则得AG⊥x轴，且AG=4；联立直线与抛物线的
解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由 ，可
S =S +S =2|x −x )
△AMN △AGM △AGN M N
得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值．【解题过程】
（1）解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2m−1,0)和点B(m+2,0)，对称轴为直线x=−1
∴A、B关于对称轴对称，
∴−1−(2m−1)=m+2−(−1)，
解得：m=−1，
即A(−3,0)，B(1,0)，
{9−3b+c=0)
把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c中，得 ，
1+b+c=0
{ b=2 )
解得：
c=−3
则所求函数解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：对于y=x2+2x−3，令x=0，得y=−3，
∴C(0,−3)，
设直线AC的解析式为y=ax+d，
{−3a+d=0)
则有 ，
d=−3
{a=−1)
解得： ，
d=−3
所以直线AC的解析式为y=−x−3，
设点P(a,−a−3)，
∵PQ∥y轴，点Q在抛物线上，
Q的坐标为 ，
∴ (a,a2+2a−3)
；
∴PQ=|a2+2a−3−(−a−3))=|a2+3a)
当⊙P与x轴相切时；
，
∴|a2+3a)=|−a−3)
即 ，或 ，
a2+3a=−a−3 a2+3a=−(−a−3)
解得：a=−1，a=−3或a=1，a=−3
显然a=−3时点P、Q与点A重合，不合题意，则a=−1及a=1，
当a=−1时，−a−3=−2；当a=1时，−a−3=−4，此时⊙P的半径分别为2或4；
当⊙P与y轴相切时；
，
∴|a2+3a)=|a)
即a2+3a=−a，或a2+3a=a，
解得：a=0，a=−4，或a=0，a=−2，
显然a=0时点P、Q与点C重合，不合题意，则a=−4及a=−2，
此时⊙P的半径分别为4或2；
综上，⊙P与坐标轴相切时，⊙P的半径分别为2或4；
（3）解：如图，
当x=−3时，y=k×(−3)+3k+4=4，
∴直线y=kx+3k+4过点G(−3,4)，
∵A(−3,0)，
∴AG⊥x轴，且AG=4；
联立直线与抛物线的解析式得：{y=kx+3k+4)，
y=x2+2x−3
消去y得： ，
x2+(2−k)x−3k−7=0
，
∵Δ=(2−k) 2−4×1×(−3k−7)=(k+4) 2+16>0
−(2−k)+❑√(k+4) 2+16， −(2−k)−❑√(k+4) 2+16，
∴x = x =
N 2 M 2
，
∴x −x =❑√(k+4) 2+16
N M1 1
∵S =S +S = AG⋅(−3−x )+ AG⋅(x +3)=2|x −x )，
△AMN △AGM △AGN 2 M 2 N M N
，
∴S =2❑√(k+4) 2+16
△AMN
当 时， 有最小值16，从而 的面积有最小值 ．
k=−4 (k+4) 2+16 △AMN 2×4=8
25
1．（22·23上·南京·阶段练习）已知抛物线y=a(x−3) 2+ 过点C(0,4)，顶点为M，与x轴交于A、B两
4
点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D．
（1）试判断点C与⊙D的位置关系；
（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存
在，请说明理由．2．（23·24上·长沙·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，
( 1 )
且经过(0，0)和 ❑√a, 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．
16
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
（3）设 与x轴相交于 两点，当 是以 为底边的等腰三角
⊙P M(x ，0)，N(x ，0)(x <x ) △AMN AM
1 2 1 2
形时，求圆心P的纵坐标．1 3
3．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线y=− x2− x+c与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），
4 2
与y轴相交于点C，点B的坐标为(2,0)，⊙M经过A,B,C三点，且圆心M在x轴上．
（1）求c的值．
（2）求⊙M的半径．
（3）过点C作直线CD，交x轴于点D，当直线CD与抛物线只有一个交点时直线CD是否与⊙M相切？若
相切，请证明；若不相切，请求出直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标．4．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)与y轴交于
点C，顶点为D．以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，
点Q为PD的中点．
（1）试用含a的代数式表示c；
（2）若IQ⊥PD恒成立，求出此时该抛物线解析式；
（3）在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径
长．5．（21·22·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点 为圆心的圆与 轴相交于 、 两
P(2❑√3,−3) x A B
点，与y轴相切于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为y轴上一点，连接DM，MP，是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在，求出点M的
坐标及△DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由．1
6．（21·22下·长沙·期中）如图1，抛物线y= x2−2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连
4
接OB．
（1）求∠AOB的度数；
（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，
①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．7．（21·22上·长沙·阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积
的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线
AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．8．（20·21下·扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为(3,0)顶点P的坐标为(1,−4)
，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请通过计算判断抛物线是否经过点C；
（3）设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的
坐标．9．（21·22上·宜昌·期末）如图所示，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与
y轴交于点D(0,−2)，点P在抛物线对称轴上并且位于x轴的下方，以点P为圆心作过A、B两点的圆，恰
1
好使得弧AB的长为⊙P周长的 ．
3
（1）求该抛物线的解析式；
（2）求⊙P的半径和圆心P的坐标，并判断抛物线的顶点C与⊙P的位置关系；
（3）在抛物线上是否存在一点 ，使得 ？若存在，求出所有符合条件的点 的坐标；若不
M S =3❑√3 M
△ABM
存在，请说明理由．10．（21·22·全国·专题练习）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该
二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，❑√5为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标
圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交
点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
11．（22·23上·嘉兴·期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，已知
A、C两点的坐标为A(−1,0)，C(0,3)．点P是抛物线上第一象限内一个动点，（1）求抛物线的解析式，并求出B的坐标；
（2）如图1，y轴上有一点D(0,1)，连接DP交BC于点H，若H恰好平分DP， 求点P的坐标；
（3）如图2，连接AP交BC于点M，以AM为直径作圆交AB、BC于点E、F，若E，F 关于直线AP
轴对称，求点E的坐标．
12．（21·22上·鄂尔多斯·阶段练习）如图，抛物线y=ax2−2x+c经过直线y=x−3与坐标轴的两个交点
A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S =S 的点P的坐标；
△APB △ABC
（3）⊙M是过A、B、C三点的圆，连接MC、MB、BC，求劣弧CB的长．
13．（22·23下·汕头·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与 轴交于
y=ax2+bx−3(a≠0) x
A(3，0)､B(−1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，（1）求抛物线的解析式与顶点M坐标：
（2）如图，在对称轴上是否存在一点D，使∠DCA=∠DAC，若存在，请求出点D的坐标：若不存在，
请说明理由；
（3）如图，若点P是抛物线上的一个动点，且∠APB=45°，请直接写出点P的横坐标
（4）如图，以AB为直径画交⊙E，Q为圆上一动点，抛物线顶点为M，连接MQ，点N为MQ的中点，
请直接写出BN的最小值．
14．（22·23上·济宁·期末）如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(1，0)，B(−5,0)两点，且与y
轴交于点C．（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面
积最大值． 若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于
BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．
15．（22·23上·淄博·期末）如图，顶点M在y轴上的抛物线与直线y=x+1相交于A，B两点，且点A在x
轴上，点B的横坐标为2．（1）求抛物线的函数表达式；
（2）连接BM．判断点A是否在以BM为直径的圆上，并说明理由；
（3）以点M为圆心，MA为半径画⊙M，BC与⊙M相切于点C．求直线BC的函数表达式．
16．（21·22上·长沙·阶段练习）如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴分别相交
于A、B两点，与y轴相交于点C，下表给出了这条抛物线上部分点（x，y）的坐标值：
x … -1 0 1 2 3 …y … 0 3 4 3 0 …
（1）求出这条抛物线的解析式；
（2）如图1，直线y=kx+1 (k<0)与抛物线交于P，Q两点，交抛物线对称轴于点T，若△QMT的面积是
△PMT面积的两倍，求k的值；
（3）如图2，点D是第四象限内抛物线上一动点，过点D作DF⊥x轴，垂足为F，△ABD的外接圆与DF
相交于点E．试问：线段EF的长是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．
17．（21·22上·长沙·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=−5x+5与x轴，y轴分别交于A、C两
点，抛物线y=x2+bx+c经过A、C两点，与x轴的另一交点为B．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，MN⊥x轴交BC于点N，当点M运动到某一位置时，线段MN的长度最大，求此时点M的坐标及线段MN的长度；
（3）如图2，以B为圆心，2为半径的⊙B与x轴交于E、F两点（F在E右侧），若P点是⊙B上一动
点，连接PA，以PA为腰作等腰Rt△PAD，使∠PAD=90°（P、A、D三点为逆时针顺序），连接FD．
①将线段AB绕A点顺时针旋转90°，请直接写出B点的对应点的坐标；
②求FD长度的取值范围．
9
18．（21·22·遵义·中考真题）如图，抛物线y＝ax2+ x+c经过点A（﹣1，0）和点C （0，3）与x轴的另
4
一交点为点B，点M是直线BC上一动点，过点M作MP∥y轴，交抛物线于点P．（1）求该抛物线的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点Q，使得△QCO是等边三角形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请
说明理由；
（3）以M为圆心，MP为半径作⊙M，当⊙M与坐标轴相切时，求出⊙M的半径．
