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专题 24.4 圆与二次函数的综合
【典例1】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2m−1,0)和点B(m+2,0)，与y轴交于点C，
对称轴轴为直线x=−1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，
当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；
（3）直线y=kx+3k+4(k≠0)与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．
【思路点拨】
（1）由题意及抛物线的对称性知：−1−(2m−1)=m+2−(−1)，即可求得m的值，从而用待定系数法
可求得函数解析式；
（2）首先求出直线AC的解析式为y=−x−3，由PQ∥y轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而
求得PQ的长度，分两种情况讨论：当⊙P与x轴相切时；当⊙P与y轴相切时；分别利用圆心到切线的
距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径；
（3）由y=kx+3k+4(k≠0)知，直线过点G(−3,4)，则得AG⊥x轴，且AG=4；联立直线与抛物线的
解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由 ，可
S =S +S =2|x −x )
△AMN △AGM △AGN M N
得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值．【解题过程】
（1）解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2m−1,0)和点B(m+2,0)，对称轴为直线x=−1
∴A、B关于对称轴对称，
∴−1−(2m−1)=m+2−(−1)，
解得：m=−1，
即A(−3,0)，B(1,0)，
{9−3b+c=0)
把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c中，得 ，
1+b+c=0
{ b=2 )
解得：
c=−3
则所求函数解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：对于y=x2+2x−3，令x=0，得y=−3，
∴C(0,−3)，
设直线AC的解析式为y=ax+d，
{−3a+d=0)
则有 ，
d=−3
{a=−1)
解得： ，
d=−3
所以直线AC的解析式为y=−x−3，
设点P(a,−a−3)，
∵PQ∥y轴，点Q在抛物线上，
Q的坐标为 ，
∴ (a,a2+2a−3)
；
∴PQ=|a2+2a−3−(−a−3))=|a2+3a)
当⊙P与x轴相切时；
，
∴|a2+3a)=|−a−3)
即 ，或 ，
a2+3a=−a−3 a2+3a=−(−a−3)
解得：a=−1，a=−3或a=1，a=−3
显然a=−3时点P、Q与点A重合，不合题意，则a=−1及a=1，
当a=−1时，−a−3=−2；当a=1时，−a−3=−4，此时⊙P的半径分别为2或4；
当⊙P与y轴相切时；
，
∴|a2+3a)=|a)
即a2+3a=−a，或a2+3a=a，
解得：a=0，a=−4，或a=0，a=−2，
显然a=0时点P、Q与点C重合，不合题意，则a=−4及a=−2，
此时⊙P的半径分别为4或2；
综上，⊙P与坐标轴相切时，⊙P的半径分别为2或4；
（3）解：如图，
当x=−3时，y=k×(−3)+3k+4=4，
∴直线y=kx+3k+4过点G(−3,4)，
∵A(−3,0)，
∴AG⊥x轴，且AG=4；
联立直线与抛物线的解析式得：{y=kx+3k+4)，
y=x2+2x−3
消去y得： ，
x2+(2−k)x−3k−7=0
，
∵Δ=(2−k) 2−4×1×(−3k−7)=(k+4) 2+16>0
−(2−k)+❑√(k+4) 2+16， −(2−k)−❑√(k+4) 2+16，
∴x = x =
N 2 M 2
，
∴x −x =❑√(k+4) 2+16
N M1 1
∵S =S +S = AG⋅(−3−x )+ AG⋅(x +3)=2|x −x )，
△AMN △AGM △AGN 2 M 2 N M N
，
∴S =2❑√(k+4) 2+16
△AMN
当 时， 有最小值16，从而 的面积有最小值 ．
k=−4 (k+4) 2+16 △AMN 2×4=8
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1．（22·23上·南京·阶段练习）已知抛物线y=a(x−3) 2+ 过点C(0,4)，顶点为M，与x轴交于A、B两
4
点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D．
（1）试判断点C与⊙D的位置关系；
（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存
在，请说明理由．2．（23·24上·长沙·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，
( 1 )
且经过(0，0)和 ❑√a, 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．
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（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
（3）设 与x轴相交于 两点，当 是以 为底边的等腰三角
⊙P M(x ，0)，N(x ，0)(x
