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专题 24.4 圆与二次函数的综合
【典例1】如图，已知抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2m−1,0)和点B(m+2,0)，与y轴交于点C，
对称轴轴为直线x=−1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是直线AC上一动点，过点P作PQ∥y轴，交抛物线于点Q，以P为圆心，PQ为半径作⊙P，
当⊙P与坐标轴相切时，求⊙P的半径；
（3）直线y=kx+3k+4(k≠0)与抛物线交于M，N两点，求△AMN面积的最小值．
【思路点拨】
（1）由题意及抛物线的对称性知：−1−(2m−1)=m+2−(−1)，即可求得m的值，从而用待定系数法
可求得函数解析式；
（2）首先求出直线AC的解析式为y=−x−3，由PQ∥y轴及点Q在抛物线上，可得点Q的坐标，从而
求得PQ的长度，分两种情况讨论：当⊙P与x轴相切时；当⊙P与y轴相切时；分别利用圆心到切线的
距离等于半径得到方程，解方程即可求得半径；
（3）由y=kx+3k+4(k≠0)知，直线过点G(−3,4)，则得AG⊥x轴，且AG=4；联立直线与抛物线的
解析式，消去y得一元二次方程，可求得M与N的横坐标，再由S =S +S =2|x −x )，可
△AMN △AGM △AGN M N
得关于k的函数关系式，即可求得面积的最小值．【解题过程】
（1）解：抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A(2m−1,0)和点B(m+2,0)，对称轴为直线x=−1
∴A、B关于对称轴对称，
∴−1−(2m−1)=m+2−(−1)，
解得：m=−1，
即A(−3,0)，B(1,0)，
{9−3b+c=0)
把A、B两点坐标代入y=x2+bx+c中，得 ，
1+b+c=0
{ b=2 )
解得：
c=−3
则所求函数解析式为y=x2+2x−3；
（2）解：对于y=x2+2x−3，令x=0，得y=−3，
∴C(0,−3)，
设直线AC的解析式为y=ax+d，
{−3a+d=0)
则有 ，
d=−3
{a=−1)
解得： ，
d=−3
所以直线AC的解析式为y=−x−3，
设点P(a,−a−3)，
∵PQ∥y轴，点Q在抛物线上，
∴Q的坐标为(a,a2+2a−3)，
∴PQ=|a2+2a−3−(−a−3))=|a2+3a)；
当⊙P与x轴相切时；
∴|a2+3a)=|−a−3)，
即a2+3a=−a−3，或a2+3a=−(−a−3)，
解得：a=−1，a=−3或a=1，a=−3
显然a=−3时点P、Q与点A重合，不合题意，则a=−1及a=1，
当a=−1时，−a−3=−2；当a=1时，−a−3=−4，此时⊙P的半径分别为2或4；
当⊙P与y轴相切时；
∴|a2+3a)=|a)，
即a2+3a=−a，或a2+3a=a，
解得：a=0，a=−4，或a=0，a=−2，
显然a=0时点P、Q与点C重合，不合题意，则a=−4及a=−2，
此时⊙P的半径分别为4或2；
综上，⊙P与坐标轴相切时，⊙P的半径分别为2或4；
（3）解：如图，
当x=−3时，y=k×(−3)+3k+4=4，
∴直线y=kx+3k+4过点G(−3,4)，
∵A(−3,0)，
∴AG⊥x轴，且AG=4；
{y=kx+3k+4)
联立直线与抛物线的解析式得： ，
y=x2+2x−3
消去y得：x2+(2−k)x−3k−7=0，
∵Δ=(2−k) 2−4×1×(−3k−7)=(k+4) 2+16>0，
−(2−k)+❑√(k+4) 2+16 −(2−k)−❑√(k+4) 2+16
∴x = ，x = ，
N 2 M 2
∴x −x =❑√(k+4) 2+16，
N M1 1
∵S =S +S = AG⋅(−3−x )+ AG⋅(x +3)=2|x −x )，
△AMN △AGM △AGN 2 M 2 N M N
∴S =2❑√(k+4) 2+16，
△AMN
当k=−4时，(k+4) 2+16有最小值16，从而△AMN的面积有最小值2×4=8．
25
1．（22·23上·南京·阶段练习）已知抛物线y=a(x−3) 2+ 过点C(0,4)，顶点为M，与x轴交于A、B两
4
点．如图所示，以AB为直径作圆，记作⊙D．
（1）试判断点C与⊙D的位置关系；
（2）直线CM与⊙D相切吗？请说明理由；
（3）在抛物线上是否存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形．若存在，求出点E的坐标；若不存
在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）求出CD的长，并且CD，OD比较，如果相等，说明点C在圆上；
（2）先用两点间距离公式求出线段的长，在用勾股定理的逆定理判断是直角三角形，最后由垂直可判断
相切；
（3）先尝试作出四边形ADEC，再证明一组对边平行但不相等，最后说明不存在．
【解题过程】25
（1）∵抛物线y=a(x−3) 2+ 过点C(0,4)
4
25
∴4=9a+
4
1
∴a=−
4
1 25
∴抛物线的解析式为y=− (x−3) 2+
4 4
1 25
∵当y=0 时，方程0=− (x−3) 2+ 的解为x=8 或x=−2
4 4
∴A(−2,0),B(8,0)
∴AB=10,AD=5,OD=3
∴CD=❑√OC2+OD2=❑√32+42=5
∴CD=OD=5
故点C在圆上
（2）如图，连接CM,CD,MD
( 25)
代入顶点坐标公式，可得：M 3,
4
225 625
利用两点间距离公式可得：MC2= ,M D2= ,CD2=25
16 26
∵MC2+CD2=M D2
∴△MCD 为直角三角形
∴CD⊥MC
∴直线CM与⊙D相切
（3）不存在，理由如下：如图，过点C作CE∥AB ，交抛物线于点E
1 25
∵当y=4 时，方程4=− (x−3) 2+ 的解为x=0 或x=6
4 4
∴C(0,4),E(0,6)
∴CE=6
∴CE≠AD
∴在抛物线上不存在一点E，能使四边形ADEC为平行四边形
2．（23·24上·长沙·阶段练习）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，
( 1 )
且经过(0，0)和 ❑√a, 两点，点P在该抛物线上运动，以点P为圆心的⊙P总经过定点A(0，2)．
16
（1）求a，b，c的值；
（2）求证：在点P运动的过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
（3）设⊙P与x轴相交于M(x ，0)，N(x ，0)(x
1
m2即可证明；
4 16 4
（3）设P ( n， 1 n2) ，PA=❑ √ 1 n4+4，作PH⊥MN于H， MH=NH=❑ √ 1 n4+4− (1 n2) 2 =2，故
4 16 16 4
MN=4，由M(n−2，0)，N(n+2，0)，则AM=❑√(n−2) 2+4,AN=❑√(n+2) 2+4当AN=MN时，
❑√(n+2) 2+4=4，即可求解；
【解题过程】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的对称轴为y轴，且经过(0，0)和
( 1 )
❑√a, 两点，
16
∴抛物线的一般式为：y=ax2，
1
∴ =a(❑√a) 2 ，
16
1
解得：a=± ，
4
∵图象开口向上，
1
∴a= ，
4
1
∴抛物线解析式为：y= x2 ，
4
1
故a= ，b=c=0；
4
（2）设P ( m， 1 m2) ，⊙P的半径r=❑ √ m2+ (1 m2−2 ) 2 ，
4 4
√ 1 1
化简得：r=❑ m4+4> m2，
16 4
∴点P在运动过程中，圆心P到x轴的距离始终小于半径；
（3）设P
(
n，
1 n2)
，
4√ 1
∵PA=❑ n4+4，
16
作PH⊥MN于H，
√ 1
则PM=PN=❑ n4+4，
16
1
又∵PH= n2 ，
4
则MH=NH=❑ √ 1 n4+4− (1 n2) 2 =2，
16 4
故MN=4，
∴M(n−2，0)，N(n+2，0)，
又∵A(0，2)，
∴ AM=❑√(n−2) 2+4,AN=❑√(n+2) 2+4
当AN=MN时， ❑√(n+2) 2+4=4，
1
解得：n=−2±2❑√3，则 n2=4±2❑√3；
4
综上所述，P的纵坐标为：4+2❑√3或4−2❑√3．
1 3
3．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线y=− x2− x+c与x轴相交于点A，B（点A在点B的左侧），
4 2
与y轴相交于点C，点B的坐标为(2,0)，⊙M经过A,B,C三点，且圆心M在x轴上．（1）求c的值．
（2）求⊙M的半径．
（3）过点C作直线CD，交x轴于点D，当直线CD与抛物线只有一个交点时直线CD是否与⊙M相切？若
相切，请证明；若不相切，请求出直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标．
【思路点拨】
（1）将点B(2,0)代入抛物线解析式，利用待定系数法求抛物线解析式即可；
1 3
（2）令y=0，可得− x2− x+4=0，求解即可确定A点坐标，然后确定⊙M的半径即可；
4 2
1 3
（3）直线CD与抛物线只有一个交点，则方程y=− x2− x+4=kx+4有两个相等的实数根，由
4 2
Δ=(4k+6) 2−4×1×0=0可求出k的值，进而求解即可．
【解题过程】
1 3
（1）解：∵抛物线y=− x2− x+c经过点B(2,0)，
4 2
1 3
∴− ×22− ×2+c=0，
4 2
解得c=4，
∴c的值为4；
1 3
（2）在y=− x2− x+4中，
4 2
1 3
令y=0，可得− x2− x+4=0，
4 2
解得：x =−8,x =2，
1 2
∴A(−8,0)，∴AB=2−(−8)=10，
10
∴⊙M的半径为 =5；
2
（3）直线CD与⊙M相交．
1 3
在y=− x2− x+4中，令x=0，得y=4，
4 2
∴C(0,4)，
设直线CD解析式为y=kx+b，将点C(0,4)代入，可得b=4，
∴直线CD解析式为y=kx+4，
∵直线CD与抛物线只有一个交点，
1 3
∴方程y=− x2− x+4=kx+4有两个相等的实数根，
4 2
整理，得x2+(4k+6)x=0，
∴Δ=(4k+6) 2−4×1×0=0，
3
解得k=− ，
2
3
∴直线CD解析式为y=− x+4，
2
3
设直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为(x,− x+4)，
2
∵M(−3,0)，⊙M的半径为5，
则(x+3) 2+ ( − 3 x+4 ) 2 =52 ，
2
24
解得 x=0（舍去）或x= ，
13
24 3 3 24 16
将x= 代入到y=− x+4，可得y=− × +4= ，
13 2 2 13 13
(24 16)
∴直线CD与⊙M的另外一个交点的坐标为 , ．
13 13
4．（22·23上·广州·期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)与y轴交于
点C，顶点为D．以AB为直径在x轴上方画半圆交y轴于点E，圆心为I，P是半圆上一动点，连接DP，
点Q为PD的中点．（1）试用含a的代数式表示c；
（2）若IQ⊥PD恒成立，求出此时该抛物线解析式；
（3）在（2）的条件下，当点Р沿半圆从点B运动至点A时，点Q的运动轨迹是什么，试求出它的路径
长．
【思路点拨】
（1）根据点点A(−1,0)、B(3,0)可得该函数的解析式为y=a(x+1)(x−3)，展开括号即可进行解答；
（2）根据点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，可得点D在⊙I上，进而得出点D的坐标，即可求解；
（3）根据题意得∠IQD=90°，则点Q在以DI为直径的圆上运动，求出点P与点A和点B重合时点Q的
坐标，进而得出Q Q ∥x轴，Q Q =2，则点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，再根据圆的周长公式
1 2 1 2
求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵抛物线y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(−1,0)、B(3,0)，
∴该函数的解析式为y=a(x+1)(x−3)=ax2−2ax−3a，
∴c=−3a．
（2）解：连接DI，
∵P是半圆上一点，点Q为PD的中点，且IQ⊥PD，
∴点D在⊙I上，
1 1
∴DI= AB= ×[3−(−1))=2，
2 2
−1+3
∵该抛物线的对称轴为直线x= =1，
2∴D(1,−2)，
把D(1,−2)代入y=ax2−2ax−3a得：−2=a−2a−3a，
1
解得：a= ，
2
1 3
∴该抛物线解析式为：y= x2−x− ；
2 2
（3）解：∵IQ⊥PD，
∴∠IQD=90°，
∴点Q在以DI为直径的圆上运动，
∵A(−1,0)、B(3,0)，D(1,−2)，
(1+3 −2)
∴当点P与点B重合时，Q , ，即Q (2,−1)，
1 2 2 1
(1−1 −2)
当点P与点A重合时，Q , ，即Q (0,−1)，
2 2 2 2
∴Q Q ∥x轴，Q Q =2，
1 2 1 2
∴点Q在以DI中点为圆心的半圆上运动，
1
点Q的路径长为： ×2π=π．
2
5．（21·22·全国·专题练习）在平面直角坐标系中，以点P(2❑√3,−3)为圆心的圆与x轴相交于A、B两
点，与y轴相切于点C，抛物线y=ax2+bx+c经过点A、B、C，顶点为D．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点M为y轴上一点，连接DM，MP，是否存在点M使得△DMP的周长最小？若存在，求出点M的
坐标及△DMP的周长最小值；若不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）如图①，连接PA，PB，PC，设抛物线对称轴交x轴于点G，先求出A(❑√3,0)，B(3❑√3,0)，C(0,−3)，把这三点代入y=ax2+bx+c求解即可；
（2）如图②，作点P关于y轴的对称点P′，连接P′D与y轴交于点M，连接PM，此时△DMP的周长为
PM+MD+DP=P′M+MD+DP=P′D+DP，即当点D，M，P′三点共线时，ΔDMP的周长取得最小
值，最小值为P′D+DP的长，先求出△DMP的周长最小值，然后求出直线DP′的解析式，即可求出点
M．
【解题过程】
（1）如图①，连接PA，PB，PC，设抛物线对称轴交x轴于点G，
由题意得PA=PB=PC=2❑√3，PG=3．
∴AG=BG=❑√ (2❑√3) 2 −32=❑√3．
∴A(❑√3,0)，B(3❑√3,0)，C(0,−3)．
1
a=− ,
3a+❑√3b+c=0, 3
把点A(❑√3,0)，B(3❑√3,0)，C(0,−3)代入y=ax2+bx+c中，得{27a+3❑√3b+c=0,解得{ 4❑√3
b= ,
c=−3 3
c=−3.
1 4❑√3
∴抛物线的解析式为y=− x2+ x−3；
3 3
（2）存在．如图②，作点P关于y轴的对称点P′，连接P′D与y轴交于点M，连接PM，此时△DMP的周
长为PM+MD+DP=P′M+MD+DP=P′D+DP，即当点D，M，P′三点共线时，ΔDMP的周长取得
最小值，最小值为P′D+DP的长，∵点P(2❑√3,−3)与点P′关于y轴对称，
∴点P′的坐标为(−2❑√3,−3)，PP′=4❑√3，
易得D(2❑√3,1)，
∴DP=4．
∴P′D=❑√PP′2+DP2=8，
∴P′D+DP=12．
∴△DMP的周长最小值为12；
设直线DP′的解析式为y=kx+b ，
1
将P′ (−2❑√3,−3)、D(2❑√3,1)代入，
−2❑√3k+b =−3,
得{ 1
2❑√3k+b =1.
1
❑√3
k=
解得{ 3 ，
b =−1
1
❑√3
∴直线DP′的解析式为y= x−1，
3
令x=0，则y=−1，
∴M(0,−1)．
1
6．（21·22下·长沙·期中）如图1，抛物线y= x2−2x与x轴交于O、A两点，点B为抛物线的顶点，连
4
接OB．（1）求∠AOB的度数；
（2）如图2，以点A为圆心，4为半径作⊙A，点M在⊙A上．连接OM、BM，
①当△OBM是以OB为底的等腰三角形时，求点M的坐标；
②如图3，取OM的中点N，连接BN，当点M在⊙A上运动时，求线段BN长度的取值范围．
【思路点拨】
（1）将函数解析式化为顶点式，得到点B的坐标，作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，即可得到∠AOB的
度数；
（2）①先求出A点坐标．作OB的垂直平分线交⊙A于M 、M 两点，由AH＝4=OH＝BH，得到M 坐标
1 2 1
为（4，0）．连接AM ，由∠M HA=∠OHC=45°，AH=AM =4，得到M 坐标为（8，4）；
2 2 2 2
②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），连接MD，根据三角形中位线的性质得到
1
BN= MD，当MD过点A时，MD长度达到最大值，当点M在点E处时，MD有最小值，由此解决问
2
题．
【解题过程】
1 1
（1）∵y= x2−2x= (x−4) 2−4，点B为抛物线顶点，
4 4
∴点B的坐标为（4，－4）．
作BH⊥OA于H，则OH＝BH＝4，∴∠AOB＝45°．
1
（2）① x2−2x=0，解得x =0，x =8，
4 1 2
∴ A点坐标为（8，0）．
作OB的垂直平分线交⊙A于M 、M 两点，
1 2
∵⊙A半径为4，AH＝4，
∴点H在⊙A上，此时OH＝BH，
∴点H与点M 重合，
1
∴M 坐标为（4，0）．
1
连接AM ，
2
∵∠M HA=∠OHC=45°，AH=AM =4，
2 2
∴∠HAM =90°，则M 坐标为（8，4），
2 2
综上，点M的坐标为（4，0）或（8，4）．
②延长OB至点D，使BD＝OB，则点D坐标为（8，－8），
连接MD，∵点N为OM中点，
1
∴ BN= MD．
2
如图，当MD过点A时，MD长度达到最大值，
当点M在点E处时，MD有最小值，
∵点A、D横坐标相同，
∴此时MD⊥x轴，
∴MD＝8＋4＝12，DE＝8－4＝4，
∴4≤MD≤12，
∴2≤BN≤6．
7．（21·22上·长沙·阶段练习）已知抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）经过A（3，0）、B（4，1）两点，且与y
轴交于点C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，设抛物线与x轴的另一个交点为D，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积是△BDA面积
的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图（2），连接AC，E为线段AC上任意一点（不与A、C重合），经过A、E、O三点的圆交直线
AB于点F，当△OEF的面积取得最小值时，求面积的最小值及E点坐标．【思路点拨】
（1）根据待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式求出点D的坐标，取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，得到直线EP为
y＝x﹣1，联立方程组求解即可；
（3）作BD⊥OA于D，得到OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，证明EF是△AEO的外接圆的直径，得到△EOF
是等腰直角三角形，当OE最小时，△EOF的面积最小，计算即可；
【解题过程】
（1）将点A（3，0），B（4，1）代入可得：
1
{ a= )
{9a+3b+3＝0 ) 2
，解得： ，
14a+4b+3＝1 5
b=−
2
1 5
故函数解析式为y= x2− x+3；
2 2
（2）∵抛物线与x轴的交点的纵坐标为0，
1 5
∴ x2− x+3=0，解得：x＝3，x＝2，
2 2 1 2
∴点D的坐标为（2，0），取点E（1，0），作EP∥AB交抛物线于点P，
∵ED＝AD＝1，∴此时△PAB的面积是△DAB的面积的两倍，∵直线AB解析式为y＝x﹣3，
∴直线EP为y＝x﹣1，
{
y=x−1
)
{ x=
7−❑√17
) { x=
7+❑√17
)
2 2
由 1 5 解得 或 ，
y= x2− x+3 5−❑√17 5+❑√17
2 2 y= y=
2 2
7−❑√17 5−❑√17 7+❑√17 5+❑√17
∴点P坐标（ ， ）或（ ， ）．
2 2 2 2
（3）如图2中，作BD⊥OA于D．
∵A（3，0），C（0，3），B（4，1），
∴OA＝OC＝3，AD＝BD＝1，
∴∠OAC＝∠BAD＝45°，
∵∠OAF＝∠BAD＝45°，
∴∠EAF＝90°，
∴EF是△AEO的外接圆的直径，
∴∠EOF＝90°，
∴∠EFO＝∠EAO＝45°，
∴△EOF是等腰直角三角形，
∴当OE最小时，△EOF的面积最小，
∵OE⊥AC时，OE最小，OC＝OA，
1 3❑√2
∴CE＝AE，OE＝ AC＝ ，
2 23 3 1 3❑√2 3❑√2 9
∴E（ ， ），S EOF＝ × × = ．
2 2 △ 2 2 2 4
9 3 3
∴当△OEF的面积取得最小值时，面积的最小值为 ，E点坐标（ ， ）．
4 2 2
8．（20·21下·扬州·一模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，点B坐标为(3,0)顶点P的坐标为(1,−4)
，以AB为直径作圆，圆心为D，过P向右侧作⊙D的切线，切点为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）请通过计算判断抛物线是否经过点C；
（3）设M，N分别为x轴，y轴上的两个动点，当四边形PNMC的周长最小时，请直接写出M，N两点的
坐标．
【思路点拨】
（1）可设顶点式，将顶点为A(1,−4)，点B(3,0)代入求出抛物线的解析式；
1 CD 2 1
（2）首先求出D点坐标，再利用CD等于圆O半径为 AB=2，由cos∠PDC= = = ，得出C点
2 PD 4 2
坐标即可，进而判断抛物线是否经过点C即可；
（3）作C关于x轴对称点C′，P关于y轴对称点P′，连接P′C′，与x轴，y轴交于M、N点，此时四边形
PNMC周长最小，求出直线P′C′的解析式，求出图象与坐标轴交点坐标即可．
【解题过程】
（1）解:设抛物线的解析式为y=a(x−ℎ) 2+k把ℎ =1，k=−4，代入得；y=a(x−1) 2−4，
把x=3，y=0代入y=a(x−1) 2−4，解得a=1，
∴抛物线的解析式为：y=(x−1) 2−4，即：y=x2−2x−3；
（2）解:如图,作抛物线的对称轴，
把y=0代入y=x2−2x−3解得x =−1，x =3，
1 2
∴A点坐标为(−1,0)，
∴AB=|3−(−1))=4，
∴OD=2−1=1，
∴D点坐标为(1,0)，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴点D在直线x=1上，
过点C作CE⊥PD，CF⊥x轴，垂足分别为E，F，连接DC，
∵PC是⊙D的切线，
∴PC⊥DC，在Rt△PCD中
CP 2 1
∵cos∠PDC= = = ，
PD 4 2
∴∠PDC=60°，
解直角三角形CDE，可得DE=1，CE=❑√3，
∴C点坐标为(❑√3+1,−1)，
把x=❑√3+1代入y=x2−2x−3得：y=−1，
∴点C在抛物线上；
（3）解：如图2，作点C关于x轴的对称点C′，点P关于y轴的对称点P′，连接P′C′，分别交x轴，y轴
于M，N两点，此时四边形PNMC的周长最小，
∵C点坐标为(❑√3+1,−1)，
∴C′点坐标为(❑√3+1,1)，
∵P的坐标为(1,−4)，
∴P′的坐标为(−1,−4)，
代入y=kx+b中，¿，
解得：¿，
则直线P′C′的解析式为：y=(−5❑√3+10)x−5❑√3+6，
当x=0，y=−5❑√3+6，
故N点坐标为：(0,−5❑√3+6)，
当y=0，则0=(−5❑√3+10)x−5❑√3+6，
3+4❑√3
解得：x= ，
5
(3+4❑√3 )
故M点坐标为： ,0 ．
5
9．（21·22上·宜昌·期末）如图所示，对称轴为直线x=1的抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与
y轴交于点D(0,−2)，点P在抛物线对称轴上并且位于x轴的下方，以点P为圆心作过A、B两点的圆，恰
1
好使得弧AB的长为⊙P周长的 ．
3（1）求该抛物线的解析式；
（2）求⊙P的半径和圆心P的坐标，并判断抛物线的顶点C与⊙P的位置关系；
（3）在抛物线上是否存在一点M，使得S =3❑√3？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不
△ABM
存在，请说明理由．
【思路点拨】
b b
（1）根据二次函数的图像及性质，根据对称轴为x=1，得− =− =1，求出b=−2， 把
2a 2×1
D(0,−2)代入y=x2+bx+c，求得c=−2，即可求出抛物线的解析式．
（2）根据二次函数的解析式推出A(1−❑√3,0)，B(1+❑√3,0)．从而得到OB=❑√3+1．根据对称轴为
x=1，得到OE=1． BE=❑√3．连接PA、PB．由勾股定理可得PE=1，PB=2，求出⊙P的半径为2，
P的坐标为(1,−1)．根据抛物线y=x2−2x−2=(x−1) 2−3，求出抛物线y=x2−2x−2的顶点坐标为
(1,−3)．得到PC=2．所以推出点C在⊙P上
1
（3）设点M的坐标为(a,a2−2a−2)，根据三角形的面积公式推出 ×2❑√3×|a2−2a−2)=3❑√3，得到
2
|a2−2a−2)=3，①当a2−2a−2=3时，②当a2−2a−2=−3时， 求出a的值，即可求得M点的坐标．
【解题过程】
（1）解： ∵对称轴为x=1，
b b
∴ − =− =1
2a 2×1
∴ b=−2．
把D(0,−2)代入y=x2+bx+c，得c=−2．
∴抛物线的解析式为y=x2−2x−2．（2）把y=0代入y=x2−2x−2，得x2−2x−2=0，解得x =1−❑√3，x =1+❑√3．
1 2
∴ A(1−❑√3,0)，B(1+❑√3,0)．
∴ OB=❑√3+1．
∵对称轴为x=1，
∴ OE=1．
∴ BE=❑√3．
连接PA、PB．
1
∵ A´B的长为⊙P周长的 ，
3
∴ ∠APB=120°．
∵ PA=PB，
∴ ∠PBE=30°．
由勾股定理可得PE=1，PB=2，
∴ ⊙P的半径为2，P的坐标为(1,−1)．
∵ y=x2−2x−2=(x−1) 2−3，
∴抛物线y=x2−2x−2的顶点坐标为(1,−3)．
∴ PC=2．
∴点C在⊙P上
（3）存在
设点M的坐标为(a,a2−2a−2)．
∵ S =3❑√3
△ABM1
∴
×2❑√3×|a2−2a−2)=3❑√3
2
∴ |a2−2a−2)=3．
①当a2−2a−2=3时，
解得a =1−❑√6，a =1+❑√6，
1 2
∴ M (1−❑√6,3)，M (1+❑√6,3)．
1 2
②当a2−2a−2=−3时，解得a =a =1，
3 4
∴ M (1,−3)
3
综上，符合条件的点M的坐标有(1−❑√6,3)，(1+❑√6,3)，(1,−3)．
10．（21·22·全国·专题练习）定义：平面直角坐标系xOy中，过二次函数图像与坐标轴交点的圆，称为该
二次函数的坐标圆．
（1）已知点P（2，2），以P为圆心，❑√5为半径作圆．请判断⊙P是不是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标
圆，并说明理由；
（2）已知二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，如图1，求△POA周长的最小值；
（3）已知二次函数y＝ax2﹣4x+4（0＜a＜1）图像交x轴于点A，B，交y轴于点C，与坐标圆的第四个交
点为D，连接PC，PD，如图2．若∠CPD＝120°，求a的值．
【思路点拨】
（1）先求出二次函数y=x2-4x+3图像与x轴、y轴的交点，再计算这三个交点是否在以P（2，2）为圆心，
❑√5为半径的圆上，即可作出判断．
（2）由题意可得，二次函数y=x2-4x+4图像的顶点A（2，0），与y轴的交点H（0，4），所以△POA周长=PO+PA+OA=PO+PH+2≥OH+2，即可得出最小值．
（3）连接CD，PA，设二次函数y=ax2-4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性
知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，设PE=m，由∠CPD=120°，可得PA=PC=2m，CE=❑√3m，PF=4-m，表
示出AB、AF=BF，在Rt△PAF中，利用勾股定理建立方程，求得m的值，进而得出a的值．
【解题过程】
（1）对于二次函数y＝x2﹣4x+3，
当x＝0时，y＝3；当y＝0时，解得x＝1或x＝3，
∴二次函数图像与x轴交点为A（1，0），B（3，0），与y轴交点为C（0，3），
∵点P（2，2），
∴PA＝PB＝PC＝❑√5，
∴⊙P是二次函数y＝x2﹣4x+3的坐标圆．
（2）如图1，连接PH，
∵二次函数y＝x2﹣4x+4图像的顶点为A，坐标圆的圆心为P，
∴A（2，0），与y轴的交点H（0，4），
∴△POA周长＝PO+PA+OA＝PO+PH+2≥OH+2＝6，
∴△POA周长的最小值为6．
（3）如图2，连接CD，PA，设二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l与CD交于点E，与x轴交于点F，由对称性知，对称轴l经过点P，且l⊥CD，
❑√16−16a 4❑√1−a
∵AB＝ = ，
a a
2❑√1−a
∴AF＝BF＝ ，
a
∵∠CPD＝120°，PC＝PD，C（0，4），
∴∠PCD＝∠PDC＝30°，
设PE＝m，则PA＝PC＝2m，CE＝❑√3m，PF＝4﹣m，
2
∵二次函数y＝ax2﹣4x+4图像的对称轴l为x= ，
a
2 2
∴❑√3m= ，即a= ，
a ❑√3m
在Rt△PAF中，PA2＝PF2+AF2，
2❑√1−a 2
∴4m2=(4−m) 2+( ) ，
a
2
4(1− )
❑√3m
即4m2=(4−m) 2+
，
4
3m2
8
化简，得(8+2❑√3)m=16，解得m= ，
4+❑√3
2 4❑√3+3
∴a= = ．
❑√3m 12
11．（22·23上·嘉兴·期中）如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴相交于点A，B，与y轴相交于点C，已知
A、C两点的坐标为A(−1,0)，C(0,3)．点P是抛物线上第一象限内一个动点，（1）求抛物线的解析式，并求出B的坐标；
（2）如图1，y轴上有一点D(0,1)，连接DP交BC于点H，若H恰好平分DP， 求点P的坐标；
（3）如图2，连接AP交BC于点M，以AM为直径作圆交AB、BC于点E、F，若E，F 关于直线AP
轴对称，求点E的坐标．
【思路点拨】
（1）利用待定系数法解决问题即可．
（2）过点P作PG∥y轴交BC于G．设P(m,−m2+2m+3)，则G(m,3−m)，利用全等三角形的性质证
明PG=CD=2，构建方程求出即可．
❑√2
（3）连接AF，ME．想办法证明AF=AE=FB= AB=2❑√2，再证明FM=ME=BE，求出OE即可
2
解决问题．
【解题过程】
（1）∵抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，C(0,3)，
{ c=3 )
∴ ，
−1−b+c=0
{b=2)
解得 ，
c=3
∴y=−x2+2x+3，
令y=0，得到−x2+2x+3=0，
解得x=−1或3，
∴B(3,0)；
（2）如下图，过点P作PG∥y轴交BC于G．设P(m,−m2+2m+3)，则G(m,3−m)，∵D(0,1)，
∴OD=1，
∵OC=3，
∴CD=2，
∵PG∥CD，
∴∠HCD=∠HGP，
在△CHD和△GHP中，
{∠CHD=∠GHP
)
∠HCD=∠HGP ，
DH=PH
∴△CHD≌△GHP(AAS)，
∴PG=CD=2，
∴PG=−m2+2m+3−(3−m)=2，
解得m=1或2，
∴P(1,4)或(2,3)．
（3）如下图，连接AF，ME．
∵AM是直径，
∴∠AFM=∠AEM=90°，
∴AF⊥CM，ME⊥AE，
∵E，F关于直线AP轴对称，∴ME=MF，AF=AE，
∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠OBC=45°，
∵∠BEM=90°，∠AFB=90°，
❑√2
∴∠EMB=∠EBM=45°，AF=FB=AE= AB=2❑√2，
2
∴BE=ME=FM=AB−AE=4−2❑√2，
∴OE=3−(4−2❑√2)=2❑√2−1，
∴E(2❑√2−1,0)．
12．（21·22上·鄂尔多斯·阶段练习）如图，抛物线y=ax2−2x+c经过直线y=x−3与坐标轴的两个交点
A、B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S =S 的点P的坐标；
△APB △ABC
（3）⊙M是过A、B、C三点的圆，连接MC、MB、BC，求劣弧CB的长．
【思路点拨】
（1）先根据y=x−3求出点A、点B的坐标，然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）先求出点C的坐标，然后求出S =6，设点P(a,a2−2a−3)，再分两种情况讨论，根据
△ABC
S =S 列方程求解即可；
△APB △ABC
（3）先求出BC=❑√10，∠BMC=90°，然后求出BM=❑√5，最后根据弧长公式进行计算即可．
【解题过程】
（1）解：把x=0代入y=x−3得：y=−3，
∴B(0,−3)，
把y=0代入y=x−3得：x−3=0，解得：x=3，
∴A(3,0)，
将点A与点B的坐标代入抛物线y=ax2−2x+c，
{ c=−3 )
得 ，
9a−6+c=0
{ a=1 )
解得 ，
c=−3
∴抛物线的解析式是y=x2−2x−3；
（2）解：把y=0代入y=x2−2x−3得：x2−2x−3=0，
解得：x =3，x =−1，
1 2
∴点C(−1,0)，
1 1
S = AC×OB= ×[3−(−1))×3=6，
△ABC 2 2
∵P为抛物线上的一个动点，
∴设点P(a,a2−2a−3)，
当点P在AB下方时，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，如图所示：
点H(a,a−3)，
则PH=a−3−(a2−2a−3)=−a2+3a，
1 3 9
S = ×3×(−a2+3a)=− a2+ a，
△PAB 2 2 2
3 9
∴− a2+ a=6，
2 2
3 9
即− a2+ a−6=0，
2 2(9) 2 ( 3) 63
∵△= −4× − ×(−6)=− <0，
2 2 4
∴此方程无解；
当点P在AB上方时，过点P作PH∥y轴，交AB于点H，如图所示：
点H(a,a−3)，
则PH=a2−2a−3−(a−3)=a2−3a，
1 3 9
S = ×3×(a2−3a)= a2− a，
△PAB 2 2 2
3 9
∴ a2− a=6，
2 2
3 9
即 a2− a−6=0，
2 2
解得：a =−1，a =4，
1 2
当a =−1时，点P坐标为(−1,0)，此时点P与点C重合，
1
当a =4时，点P坐标为(4,5)；
2
∴P点的坐标为：(−1,0)或(4,5)．
（3）解：∵A(3,0)，B(0,−3)，C(−1,0)，
∴BC=❑√(−1−0) 2+(−3−0) 2=❑√10，OA=OB=3，
∵∠AOB=90°，
1
∴∠OAB=∠OBA= ×90°=45°，
2
∴∠BMC=2∠BAC=2×45°=90°，
∵CM=BM，
∴CM2+BM2=2BM2=BC2=10，
∴BM2=5，∴BM=❑√5或BM=−❑√5（舍去），
90π×❑√5 ❑√5
∴l = = π．
B´C 180 2
13．（22·23下·汕头·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于
A(3，0)､B(−1，0)两点，与y轴交于点C，连接AC，
（1）求抛物线的解析式与顶点M坐标：
（2）如图，在对称轴上是否存在一点D，使∠DCA=∠DAC，若存在，请求出点D的坐标：若不存在，
请说明理由；
（3）如图，若点P是抛物线上的一个动点，且∠APB=45°，请直接写出点P的横坐标
（4）如图，以AB为直径画交⊙E，Q为圆上一动点，抛物线顶点为M，连接MQ，点N为MQ的中点，
请直接写出BN的最小值．
【思路点拨】
（1）运用待定系数方法即可求解抛物线的解析式，把抛物线解析变形为顶点式即可求解顶点坐标；
（2）根据抛物线可知对称轴为直线x=1，C(0,−3)，设M(1,t)，根据两点间的距离公式即可求解；
（3）在对称轴上取点S，使△|¿|是等腰直角三角形，对称轴于x轴交于点N，如图所示，可得S(1,2)或
(1,−2)，分类讨论：当S(1,2)时，以S为圆心，BS为半径作圆，与抛物线的交点为P点，设
P(x,x2−2x−3)，根据两点间的距离公式即可求解；当S点在x轴下方时，S(1,−2)，P点在x轴下方时
不存在；当S(1,−2)时，以S为圆心，BS为半径作圆，与抛物线的交点只有A､B；由此即可求解；
（4）连接ME、MB，并延长MB至H，使BH=MB，过点H作HG⊥x轴于点G，连接HQ，如图所
示，分类讨论：①当点Q不与B重合时；②当点Q与B重合，此时点N为BM的中点，此时，点N为BM的
中点；根据勾股定理即可求解．
【解题过程】
（1）解：（1）将A(3，0)､B(−1，0)代入y=ax2+bx−3{9a+3b−3=0) { a=1 )
∴ ，解得： ，
a−b−3=0 b=−2
∴抛物线的解析式y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴顶点M坐标为(1,−4)．
（2）解：存在点D，使∠DCA=∠DAC，理由如下：
∵y=x2−2x−3=(x−1) 2−4，
∴对称轴为直线x=1，令x=0，则y=−3，
∴C(0,−3)，设D(1,t)，
∵∠DCA=∠DAC,
∴DC=DA，
∴❑√1+(t+3) 2=❑√4+t2，解得t=−1，
∴D(1,−1)．
（3）解：在对称轴上取点S，使△|¿|是等腰直角三角形，对称轴与x轴交于点N，如图所示：
∴SN=BN=AN，
∴S(1,2)或(1,−2)，
∴BS=2❑√2,
当S(1,2)时，以S为圆心，BS为半径作圆，与抛物线的交点为P点，
∵∠BSA=90°，
∴∠BPA=45°,
∴SP=2❑√2，设P(x,x2−2x−3)，
∴ ❑√ (x−1) 2+(2−x2+2x+3) 2 =2❑√2，∴(x−1) 2=4或(x−1) 2=7，解得x=3（舍）或x=−1（舍）或x=❑√7+1或x=−❑√7+1，
∴P(❑√7+1,3)或(−❑√7+1,3);
当S点在x轴下方时，S(1,−2)，此时❑√ (x−1) 2+(−2−x2+2x+3) 2 =2❑√2,
∴(x−1) 2=4或(x−1) 2=−1，解得x=3（舍）或x=−1（舍），
∴P点在x轴下方时不存在；
当S(1,−2)时，以S为圆心，BS为半径作圆，与抛物线的交点只有A､B，
∴此时不存在点P使∠APB=45°；
综上所述：P(❑√7+1,3)或(−❑√7+1,3)．
（4）解：连接ME、MB，并延长MB至H，使BH=MB，过点H作HG⊥x轴于点G，连接HQ，如下
图，
①当点Q不与B重合时，
∵BH=MB，N为MQ的中点，
1
∴BN∥HQ，BN= HQ，
2
∴当HQ最小时，即H、Q、E三点共线是时，BN有最小值，
∵A(3，0)、B(−1，0)，
∴AB=4，BE=2，
∵AB为⊙E直径，点M抛物线顶点，
∴BE=2，ME⊥BE，ME=4，
∵HG⊥x轴，
∴∠MEB=∠HGB=90°，∵∠MBE=∠GBH，BH=MB，
∴△MBE≌△GBH，
∴BG=BE=2，HG=ME=4，
∴¿=4，
∴HE=4❑√2，
∵EQ=BE=2，
∴HQ=4❑√2−2，
∴BN=2❑√2−1，
∴此时BN有最小值为2❑√2−1．
②当点Q与B重合，此时点N为BM的中点，此时，点N为BM的中点，如下图
∵BE=2，ME=4，∠MEB=90°，
∴BM=❑√BE2+M E2=❑√22+42=2❑√5
∴BN=❑√5，
综上所述：∵❑√5>2❑√2−1，
∴BN的最小值为2❑√2−1．
14．（22·23上·济宁·期末）如图1，已知抛物线y=−x2+bx+c经过点A(1，0)，B(−5,0)两点，且与y
轴交于点C．（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？求出点P的坐标及△PBC的面
积最大值． 若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点E为线段BC上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于
BC的直线交于点F，当△OEF面积取得最小值时，求点E坐标．
【思路点拨】
（1）将A、B两点坐标代入y=−x2+bx+c即可求出b=−4,c=5；
（2）由（1）得到抛物线的解析式为y=−x2−4x+5，求出点C(0,5)，设点P(m,−m2−4m+5)，
−5
