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2022 届新高考数学提分计划之函数与导数
新高考 I 专用（7）
1.已知函数 是偶函数，其定义域为 ，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2. 若 函 数 且 满 足 对 任 意 的 实 数 ， ， 都 有
成立，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知函数 ，其导函数 的图像如图所示，则 ( )
A.至少有两个零点 B.在 处取极小值
C.在（2，4）上为减函数 D.在 处切线斜率为0
4.对于幂函数 ，若 ，则 ， 的大小关系是( )
A.B.
C.
D.无法确定
5.已知函数 若函数 恰有4个零点，则k的取值
范围是( )
A. B.
C. D.
6. （多选）如图所示的是某受污染的湖泊在自然净化的过程中某种有害物质的剩余量y与净
化时间（t 月）之间满足的函数关系： （ ， ， ）的图象.若有害物质的初始量
为1，则以下说法中正确的是( )
A.第4个月时，剩余量就会低于
B.每月减少的有害物质的量都相等
C.有害物质每月的衰减率为
D.当剩余量为 ， ， 时，所经过的时间分别是 ， ， ，则
7. （多选）已知 为定义在 上的函数，对任意的 ，都有 ，
并且当 时，有 ，则( )
A.B.若 ，则
C. 在 上为增函数
D.若 ，且 ，则实数a的取值范围为
8.若 在区间 上的极大值为最大值，则实数 m的取值范围是
___________，最大值是__________.
9.已知 表示不超过x的最大整数，定义函数 .有下列结论：
①函数的图象是一条直线；②函数 的值域为 ；③方程 有无数个解；④函数
是R上的增函数.
其中错误的是______________.（填序号）
10.已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）当 时， 恒成立，求整数k的最大值.答案以及解析
1.答案：B
解析：由 是偶函数，得 .又函数的定义域为 ，所以
，则 .
2.答案：D
解析： 对任意的实数 ， ，都有 成立，
函数 在R上单调递增， 解得 ，故
选D.
3.答案：C
解析：根据导函数的图像只能得到原函数的单调性和单调区间，得不到函数值，故A是错的；
在 处， 左右两端都是负的，所以不是极值点，故B是错的；在（2，4）上是单调递减
的，故C正确；在 处的导数值大于0，故得到切线的斜率大于0，故D是错的，故选C.
4.答案：A
解析：幂函数 在 上是增函数，大致图象如图所示.
设 ， ，其中 ，
则AC的中点E的坐标为 ，
且 ， ， . ，，故选A.
5.答案：D
解析：令 ，函数 恰有4个零点，即 与
的图象恰有4个不同交点.
当 时， ，在同一直角坐标系中作出 ， 的
图象，如图.
由图可知 与 的图象恰有4个不同交点，即函数 恰有4
个零点，排除A，B；
当 时， ，作出 与 的图象，如图所示.
此时，函数 与 的图象仅有2个交点，不合题意，排除C，故选D.
6.答案：ACD
解析：根据图象过点 ，可知， ，
解得 或 （舍去），函数关系是 .
令 ，得 ，故A正确；
当 时， ，减少了 ，当 时， ，减少了 ，每月减少的有害物质的量不相等，
故B不正确；
因为 ，所以有害物质每月的衰减率为 ，故C正确；
分别令 ， ， ，解得 ， ， ，则 ，故D正确.
故选ACD.
7.答案：ACD
解析：令 ，则 ，即 ，故A正确；
令 ，则 ，
又 ，于是 ，
所以 为奇函数，
因为 ，所以 ，故B错误；
任取 ，且 ，
则 ，
由 知， ，
所以 ，
所以 ，
所以函数 为 上的增函数，故C正确；
因为 ，所以 ，所以 等价于 ，
即 ，
所以 ，
所以 ，即 ，解得 或 ，故D正确.
8.答案： ；
解析：由题意，得 .令 ，得 或 .当
时， 在区间 上单调递减，不存在极大值，所以 ，所以 ，且当
时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以
.
9.答案：①④
解析：根据定义函数
对于①，作出函数 的部分图象如图所示，因此①中结论错误；
对于②，根据函数的图象可知函数的值域为 ，因此②中结论正确；
对于③，直线 与函数 的图象有无穷多个交点，因此③中结论正确；对于④，根据函数的图象知，函数在每个小区间内单调递增，但是在整个定义域内不具备单
调性，因此④中结论错误.故答案为①④.
10.答案：（1）易得 .
当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时，令 ，解得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
当 时， ，故 在 上单调递减.
（2）当 时， ，
则 对于 恒成立.
方法一
令 ，则 .
当 时， ，则 在 上单调递增，且 ，符合题意；
当 时，令 ，
则 ，所以当 时， 单调递增，
又 ，所以存在 ，使得 ，且 在 上单调递减，
在 上单调递增，
故 ，
即 ，所以 ，
由 ，当且仅当 时取等号，得 .
又 ，所以整数k的最大值为1.又 时， ， ，
所以 ， ，
所以 时符合题意.
所以整数k的最大值为1.
方法二
原不等式等价于 对于 恒成立.
令 ，则 .
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增.
又 ， ，
所以存在 ，使得 ，
且 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 ，
经验证 时， 恒成立，所以整数k的最大值为1.
