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专题11.3 与三角形有关的线段（三角形的边）（分层练习）（提升
练）
一、单选题
1．已知 的三边 ， ， 满足 ，那么 是（ ）
A．不等边三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．不能判断
2．如图， 是 的高，点 在 上，且 ，图中， 与 的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，与 没有公共边的三角形是( )
A． B． C． D．
4．图中，以DE为边的三角形有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
5．从长度为 1 、3 、5 、7 的四条线段中，任意取出三条线段，能围成三角形的是（ ）
A．1 ，3 ，5 B．1 ，3 ，7 C．1 ，5 ，7 D．3 ，5 ，7
6．已知三角形的两边长分别是5和10，则此三角形第三边长可能是（ ）
A．3 B．5 C．10 D．167．已知n为正整数，若一个三角形的三边边长分别是n、 、 ，则满足条件的三角形中周长
最短的为（ ）
A．13 B．16 C．19 D．22
8．如图，数轴上-6，-3与6表示的点分别为M、A、N，点B为线段AN上一点，分别以A、B为中心
旋转MA、NB，若旋转后M、N两点可以重合成一点C（即构成△ABC），则点B代表的数可能为（ ）
A．-1 B．0 C．2.5 D．3
9．如图，四边形 是由四边形 平移得到的，若 ， ，则 的长可能是
（ ）
A．3 B．5 C．8 D．11
10．已知关于 的不等式组 至少有两个整数解，且存在以2， ，7为边的三角形，则 的
整数解有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题
11．如图，在△ABC中，点E在AC，点D在BE上，已知 ， ，若 ，则
△ABD的面积为_________．
12．△ABC中，三边之比为3：4：5，且最长边为10m，则△ABC周长为_____cm．13．一个等腰三角形的周长是21，其中两边之差为6，则腰长为_____．
14．若a，b，c是 的三边的长，则化简 ________．
15．若二元一次方程组 的解 、 的值恰好是一个等腰三角形两边的长，且这个等腰三
角形的周长为7，则m的值为______．
16．一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是___．
17．如图，加油站 和商店 在马路 的同一侧， 到 的距离大于 到 的距离，
米．一个行人 在马路 上行走，当 到 的距离与 到 的距离之差最大时，这个差等于______米．
18．有一等腰三角形纸片，若能从一个底角的顶点出发，将其剪成两个等腰三角形纸片，则原等腰三
角形纸片的顶角的度数为 ．
三、解答题
19．图①、图②、图③均是 的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为
格点，线段 的端点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以 为边画 ．
要求：
（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三角形；
（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；
（3）点 在格点上．20．已知a，b，c为三角形的三边，满足 ，且 ，求三角形周长．
21．平面上有三个点A，B，O．点A在点O的北偏东 方向上， ，点B在点O的南偏东
30°方向上， ，连接AB，点C为线段AB的中点，连接OC．
（1）依题意补全图形（借助量角器、刻度尺画图）；
（2）写出 的依据：
（3）比较线段OC与AC的长短并说明理由：
（4）直接写出∠AOB的度数．
22．某木材市场上木棒规格与价格如下表：
规格 1m 2m 3m 4m 5m 6m
价格（元/根） 10 15 20 25 30 35
小明的爷爷要做一个三角形的木架养鱼用，现有两根长度分别为3m和5m的木棒，还需要到某木材市
场上购买一根．
（1）有几种规格木棒可供小明的爷爷选择？
（2）选择哪一种规格木棒最省钱？
23．已知a，b，c分别为 的三边，且满足 ， ．(1)求c的取值范围；
(2)若 的周长为12，求c的值．
24．若三边均不相等的三角形三边a、b、c满足 （a为最长边，c为最短边），则称它为
“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为 ，所以这个三角形为“不均
衡三角形”．
（1）以下4组长度的小木棍能组成“不均衡三角形”的为________（填序号）
① ， ， ② ， ， ③ ， ， ④ ， ，
（2）已知“不均衡三角形”三边分别为 ，16， （x为整数）求x的值．参考答案
1．B
【分析】先求出 、 、 的值，再根据等边三角形的判定定理得到求出结论．
解：∵ ，
， ， ，
∴ ，
∴ 的形状是等边三角形，
故选：B．
【点拨】本题考查了非负数的性质，等边三角形的判定，正确的求出 ， ， 的值是解题的关键．
2．C
【分析】先根据平行线的性质得到∠BAD=∠ADE，再由三角形高的定义得到∠BAD+∠EDC=90°，则
．
解：∵ ，
∴∠BAD=∠ADE，
∵AD是△ABC的高，
∴∠ADC=90°，
∴∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠BAD+∠EDC=90°，
∴ ，
故选C．
【点拨】本题主要考查了平行线的性质，三角形高的定义，熟知相关知识是解题的关键．
3．A
【分析】直接找两个三角形的公共边即可．
解：三角形的公共边即两个三角形共同的边．
，两个三角形没有公共边；，两个三角形的公共边为 ；
，两个三角形的公共边为 ；
，两个三角形的公共边为 ．
故选 ．
【点拨】此题考查了学生对三角形的认识．注意要审清题意，按题目要求解题．
4．C
【分析】根据三角形的边得出三角形即可．
解：以DE为边的三角形有△DEC，△AED，△DEF，△BED，
故选：C．
【点拨】此题考查三角形，关键是根据三角形的边解答．
5．D
【分析】根据构成三角形的条件逐一判断即可．
解：A、∵ ，∴不能构成三角形，不符合题意；
B、∵ ，∴不能构成三角形，不符合题意；
C、∵ ，∴不能构成三角形，不符合题意；
D、∵ ，∴能构成三角形，符合题意；
故选D．
【点拨】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和
大于第三边是解题的关键．
6．C
【分析】设此三角形第三边的长为x，根据三角形的三边关系求出x的取值范围，找出符合条件的x的
值即可解答．
解：设此三角形第三边的长为x，则 ，即 ，
四个选项中只有10符合条件．
故选：C．
【点拨】本题考查的是三角形的三边关系，即任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．
7．C
【分析】根据三角形三边关系列出不等式组，求得 的最小整数解为 ，即可求解．
解：∵
即
∴ 的最小整数解为 ，∴三角形三边分别为 ，周长为 ，
故选：C．
【点拨】本题考查了求不等式组的整数解，三角形的三边关系，熟练掌握三角形的三边关系是解题的
关键．
8．C
【分析】设B代表的数为x，则AC=3，AB和BC可以用x表示出来，然后根据三角形的三边关系求出x
的取值范围即可得到解答．
解：设B代表的数为x，则由题意可得：
AC=AM=3，AB=x-（-3）=x+3，
BC=BN=NA-AB=9-(x+3)=6-x，
∴由三角形的三边关系可得：
解之可得：0<x<3，
故选C．
【点拨】本题考查数轴的动点问题，熟练掌握数轴上两点距离的表示、构成三角形的条件、一元一次
不等式组的求法是解题关键．
9．C
【分析】根据平移前后两个图形对应点连线平行且相等，对应线段和对应角分别相等，三角形的两边
之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可解答．
解：连接 ，如图所示，
∵四边形 是由四边形 平移得到的，
∴ ，
∵ ，
∴ ，即 ，
选项中只有8在这个范围内，
故选：C．
【点拨】本题考查了平移的性质以及三角形三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键．
10．C
【分析】先根据不等式组的整数解求参数a取值范围和三角形三边关系求出a取值范围，再根据a为
整数求出a值即可求解．
解： ，
解不等式①，得 ；
解不等式②，得 ，
∵不等式组 至少有两个整数解，
∴ 至少有两个整数解为5，6，
∴ ，
∵以2， ，7为边的三角形，
∴ ，即 ，
∴
∵a为整数，
∴ 共2个，
故选：C．
【点拨】本题考查不等式组的整数解，三角形三边关系．熟练掌握根据不等式组的整数解求参数取值
范围和三角形三边关系是解题的关键．
11．4
【分析】由三角形面积公式，当高一样时，面积比=底边比，由 ， 解得 ，
，由 解得 ，据此解答．
解： ，故答案为：4．
【点拨】本题考查三角形面积公式，是基础考点，掌握相关知识是解题关键．
12．2400．
【分析】由“三条边的长度比为3：4：5",设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm 、利用最长边为
10m，列出方程,即得三角形的周长.
解：设△ABC三边分别是3xm、4xm、5xm，
∵最长边为10m，
∴5x＝10，
解得：x＝2，
∴3x＝6，4x＝8，
∴6+8+10＝24（m）＝2400cm，
故答案为：2400．
【点拨】本题考查了三角形的周长问题，解题的关键是根据比例设未知数，列出方程，解方程.
13．9
【分析】分底小于腰和底大于腰两种情况分别计算三角形的三边，再根据三边关系进行取舍即可．
解：（1）设底为x，则腰为（x+6），由题意得：
x+2（x+6）＝21，
解得：x＝3，
当x＝3时，x+6＝9，此时等腰三角形的三边为：3，9，9；
（2）设底为x，则腰为（x﹣6），由题意得：
x+2（x﹣6）＝21，
解得：x＝11，
当x＝11时，x﹣6＝5，
11，5，5不能构成三角形，不符合题意；因此，腰为9，
故答案为：9．
【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的三边关系，根据题意分类讨论，并对答案根据三边
关系进行分析取舍是解题关键．
14．
【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，判断绝对
值内的代数式的符号，再根据绝对值的性质进行化简即可．
解：∵a，b，c是 的三边，
∴ ， ， ，
∴ ， ， ，
∴
．
故答案为： ．
【点拨】题目主要考查的是三角形的三边关系及去绝地值，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键．
15．2
【分析】解二元一次方程组，分三种情况考虑，根据周长为7得关于m的方程，求得m，根据构成三
角形的条件判断即可．
解：
①-②得：y=3-m
把y=3-m代入②，得x=3m-3
故方程组的解为
若x为腰，y为底，则2x+y=7
即2(3m-3)+3-m=7
解得：m=2
此时x=3，y=1，满足构成三角形的条件
若y为腰，x为底，则2y+x=7
即2(3-m)+3m-3=7解得：m=4
此时x=9，y=-1，不合题意
若x=y，即3m-3=3-m
解得：
此时腰为 ，底为
但 + <4，不符合构成三角形的条件
故不合题意
所以满足条件的m为2
故答案为：2
【点拨】本题考查了二元一次方程组的解法，一元一次方程的解法，三条线段构成三角形的条件，涉
及分类讨论思想，方程思想，要注意的是，求出m的值后，要验证是否符合构成三角形的条件．
16．9
【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；
再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值．
解：设第三边为a，
根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7，
即4＜a＜10，
∵a为整数，
∴a的最大值为9．
故答案为：9．
【点拨】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件．
17．700
【分析】当 、 、 构成三角形时， 与 的差小于第三边 ，所以 、 、 在同一直线
上时， 与 的差最大，算出这个最大值即可．
解：当 、 、 三点不在同一直线上时，此时三点构成三角形．
∵两边 与 的差小于第三边 ，
、 、 在同一直线上， 到 的距离与 到 的距离之差最大，
∵此时，
∴当 到 的距离与 到 的距离之差最大时，这个差等于700米故答案为：700．
【点拨】本题考查了利用三角形的三边关系求线段差的最大值问题．解题关键是弄清楚当三点共线时
距离之差最大．
18． 或
【分析】根据题意和等腰三角形的性质分类讨论即可；
解：如图，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
如图， ， ，设 ，则 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，∴ ，
即 ；
如图， ，
则 ，不可能；
故符合条件的顶角的度数为 或 ．
故答案是： 或 ．
【点拨】本题主要考查了三角形三边关系和等腰三角形的性质，准确计算是解题的关键．
19．见详解（答案不唯一）
【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线经过 正方
形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直尺边长所在直线与正方形格点
相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕
后可根据三角形面积公式判断其面积是否相等．
解：经计算可得下图中：图①面积为 ；图②面积为1；图③面积为 ，面积不等符合题目要求
（2），且符合题目要求（1）以及要求（3）．
故本题答案如下：【点拨】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可．
20．30
【分析】设 ，可得 ， ， ，再由 ，可得 ，从而得到
， ， ，即可求解．
解：设 ，
∴ ， ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ，
∴ ，
即三角形的周长为30．
【点拨】本题主要考查了求三角形的周长，根据题意得到a，b，c的长值是解题的关键．
21．（1）见分析；（2）三角形的两边之和大于第三边；（3） ，理由见分析；（4）70°
【分析】（1）根据题意画出图形，即可求解；
（2）根据三角形的两边之和大于第三边，即可求解；
（3）利用刻度尺测量得： ，即可求解；
（4）用180°减去80°，再减去30°，即可求解．
解：（1）根据题意画出图形，如图所示：
（2）在△AOB中，因为三角形的两边之和大于第三边，
所以 ；
（3） ，理由如下：利用刻度尺测量得： ，AC=2cm，
∴ ；
（4）根据题意得： ．
【点拨】本题主要考查了方位角，三角形的三边关系及其应用，中点的定义，明确题意，准确画出图
形是解题的关键．
22．（1）4种；（2）3m
【分析】（1）根据三角形的三边关系可得5-3＜x＜5+3，再解出不等式组可得x的取值范围，进而得
到选择的木棒长度；
（2）根据木棒价格可直接选出答案．
解：（1）设第三根木棒的长度为xm，
根据三角形的三边关系可得：5﹣3＜x＜5＋3，
解得2＜x＜8，
结合题干信息可得：x＝3，4，5，6．共4种选择．
（2）根据木棒的价格可得选3m最省钱．
【点拨】本题考查了三角形的三边关系，一元一次不等式组的应用，解题的关键是掌握三角形三边关
系定理：三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边．
23．(1)2 c 6；(2)3.5
【分析】<（<1）根据三角形任意两边之和大于第三边得出3c-2＞c，任意两边之差小于第三边得出|
2c-6|＜c，列不等式组求解即可；
（2）由△ABC的周长为12，a+b=3c-2，4c-2=12，解方程得出答案即可．
解：（1）∵a，b，c分别为△ABC的三边，a+b=3c-2，a-b=2c-6，
∴ ，
解得：2 c 6．
故c的取<值<范围为2 c 6；
（2）∵△ABC的周<长为< 12，a+b=3c-2，
∴a+b+c=4c-2=12，
解得c=3.5．
故c的值是3.5．
【点拨】此题考查三角形的三边关系，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题．
24．（1）②；（2）10、12、13或14．
【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系逐一判断即可得答案；
（2）分别讨论 >16> ，16> > ， > >16三种情况；利用“不均衡三角
形”的定义列不等式可求出x的取值范围，结合x为整数即可得答案．
解：（1）①∵1+2<4，
∴不能组成三角形，不符合题意，
②∵18-13>13-9，
∴能组成“不均衡三角形”，符合题意，
③∵有两条相等的边，
∴不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，
④∵9-8<8-6，
∴不能组成“不均衡三角形”，不符合题意，
故答案为：②
（2）当 >16> ，即7<x<11时，
∵“不均衡三角形”三边分别为 ，16， ，
∴ ，
解得：x>9，
∴9<x<11，
∵x为整数，
∴x=10，
当16> > ，即x<7时，
∵“不均衡三角形”三边分别为 ，16， ，
∴ ，即 ，
∴此不等式组无解，
∴此种情况不存在，
当 > >16，即x>11时，，
解得：x<15，
∴11<x<15，
∵x为整数，
∴x的值为12或13或14，
综上所述：x的值为10、12、13或14．
【点拨】本题考查三角形的三边关系及解一元一次不等式组，三角形任意两边之和大于第三边，任意
两边之差小于第三边；根据“不均衡三角形”的定义及三角形三边关系列出不等式组并灵活运用分类讨论
的思想是解题关键．
