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专题 11.3 三角形（满分 120）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足|a−3)+(b−2) 2=0，
那么这个三角形的第三边可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【思路点拨】
本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质．根据非负数的性质可得a=3,b=2，再由三角形的三
边关系，可得1<c<5，即可求解．
【解题过程】
解：∵|a−3)+(b−2) 2=0，
∴a−3=0,b−2=0，
解得：a=3,b=2，
∵a、b、c是三角形的三边，
∴3−2<c<3+2，
即1<c<5，
∴这个三角形的第三边可以是3．
故选：B
2．（23-24七年级下·河南周口·阶段练习）在下列条件中：①∠C=∠A+∠B，②
∠A:∠B:∠C=3:2:1，③∠A=90°−∠B，④∠A=∠B−∠C中，能确定△ABC是直角三角形的条
件有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【思路点拨】
本题考查了三角形内角和定理，以及三角形的形状判定，根据直角三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到答案．
【解题过程】
解：①因为∠C=∠A+∠B，则2∠C=180°，∠C=90°，所以△ABC是直角三角形；
②因为∠A:∠B:∠C=3:2:1，设∠A=x，则x+2x+3x=180°，x=30°，∠C=30°×3=90°，所以
△ABC是直角三角形；
③因为∠A=90°−∠B，所以∠A+∠B=90°，则∠C=180°−90°=90°，所以△ABC是直角三角
形；
④因为∠A=∠B−∠C，所以∠C+∠A=∠B，又∠A+∠B+∠C=180°，2∠B=180°，解得
∠B=90°，△ABC是直角三角形；
能确定△ABC是直角三角形的有①②③④共4个，
故选：D．
3．（23-24七年级下·河南新乡·期末）现有几种形状的多边形地砖，分别是：①正三角形；②正方形；③
正五边形；④正六边形；⑤一般三角形；⑥一般四边形．每一种地砖的大小形状都相同，且都有很多块，
如果只用其中的一种多边形地砖镶嵌，那么能够镶嵌成一个平面图案的有（ ）
A．2 种 B．3种 C．4种 D．5种
【思路点拨】
本题考查了平面镶嵌（密铺），掌握判断一种或几种图形是否能够镶嵌，只要看一看拼在同一顶点处的几
个角能否构成周角，若能构成360°，则说明能够进行平面镶嵌，反之则不能是解题的关键．
【解题过程】
解： ①∵正三角形的每个内角是60°，60°×6=360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
②∵正方形的每个内角是90°，90°×4=360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
③∵正五边形的每个内角是108°，
∴不能镶嵌成一个平面图案；
④∵正六边形的每个内角是120°，120°×3=360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑤∵一般三角形的三个内角组合在一起是180°，6个就可以组成360°，
∴能够镶嵌成一个平面图案；
⑥∵一般四边形四个内角组合在一起可以组成360°，
∴4个即能够镶嵌成一个平面图案．综上所述，符合题意的有①②④⑤⑥共5种，
故选：D．
4．（2024七年级下·江苏·专题练习）△ABC的两条高的长度分别为4和12，若第三条高也为整数，则第
三条高的长度是（ ）
A．3或4 B．4或5 C．5或6 D．6或7
【思路点拨】
本题主要考查了三角形的面积的应用，解题时需要熟练掌握并理解．
依据题意，设△ABC的三边分别为a，b，c，再结合面积法，令a边上高为4，b边上高为12，c边上高为x
，则4a=12b=xc，最后依据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即可得解．
【解题过程】
解：设△ABC的三边分别为a，b，c，
由题意，令a边上高为4，b边上高为12，c边上高为x，
1 1 1
∴S = ×4a= ×12b= xc．
△ABC 2 2 2
∴4a=12b=xc．
xc xc
∴a= ，b= ．
4 12
∵a−b<c<a+b，
xc xc
{ − <c)
4 12
∴ ．
xc xc
+ >c
4 12
∵c>0，
∴3<x<6．
∵x为整数，
∴x=4或5．
故选：B．
5．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图，已知D、E分别为△ABC的边BC，AC的中点，连接
AD，DE，AF为△ADE的中线．若四边形ABDE的面积为24，则△ABC的面积为（ ）A．36 B．34 C．32 D．30
【思路点拨】
本题考查了根据三角形中线求面积，根据中点和中线，得出图中各三角形面积的倍数关系，推出四边形
ABDE的面积=6S =24，S =8S ，进一步计算得出答案即可，得出图中各三角形面积的倍数
△AEF △ABC △AEF
关系是解题的关键．
【解题过程】
解：∵D、E分别为△ABC的边BC，AC的中点，连接AD，DE，AF为△ADE的中线，
∴EF=DF，AE=CE，BD=CD，
∴△AEF和△ADF等底同高，△AED和△CED等底同高，△ABD和△ACD等底同高，
∴S =S ，S =S ，S =S ，
△AEF △ADF △AED △CED △ABD △ACD
又∵S +S =S ，S +S =S ，
△AEF △ADF △AED △AED △CED △ACD
∴S =S =2S ，S =S =2S =4S ，
△AED △CED △AEF △ABD △ACD △AED △AEF
∴四边形ABDE的面积=S +S =6S =24，S =S +S =8S ，
△ABD △AED △AEF △ABC △ABD △ACD △AEF
∴S =24÷6=4，
△AEF
∴S =8S =8×4=32，
△ABC △AEF
故选：C．
6．（23-24八年级上·天津东丽·期中）如图，已知∠ABC=110°，AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，
CE的延长线交AB于点F，设∠AEF=α，∠ADC=β，则下列关系正确的是（ ）
A．β=110°+2a B．β=220°−2a
C．β=110°+a D．β=250°−2a
【思路点拨】
延长AD交BC于点G，设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，通过角平分线的定义和三角形外角
β−110°
的性质得到x+ y= 之间的关系，在根据三角形内角和得到∠B+∠BFC+∠BCF=180°，将
2β−110°
x+ y= 代入，即可解答．
2
【解题过程】
解：如图，延长AD交BC于点G，
设∠BAD的度数为2x，∠DCB的度数为2y，
∵AE平分∠BAD，CE平分∠DCB，
1 1
∴∠EAF= ∠BAD=x,∠FCB= ∠DCB= y，
2 2
∵∠ADC=β，
∴∠DGC=∠ADC−∠DCG=β−2y，
∴∠BGD=180°−∠DGC=180°−β+2y，
在△BAG中，∠B+∠BAG+∠BGA=110°+2x+180°−β+2y=180°，
β−110°
∴x+ y= ，
2
∵∠AEF=α，
∴∠CFB=∠FAE+∠AEF=x+α，
在△BFC中，∠BFC+∠FBC+∠B=x+α+ y+110°=180°，
β−110° β−110°
将x+ y= 代入可得α+ +110°=180°，
2 2
整理得β=250°−2a，
故选：D．
7．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）如图，点A是直线l外一点，点B、C是直线l上的两动点，且
BC=4，连接AB、AC，点D、E分别为AC、BC的中点，AF为△ABD的中线，连接EF，若四边形
AFEC的面积为10，则AB的最小值为（ ）A．6 B．7 C．8 D．9
【思路点拨】
本题考查了三角形中线的性质和三角形的面积．连接CF，如图，利用三角形中线的性质依次求出△ADF
，△CDF，△CEF与△ABC的面积间的关系，然后根据四边形AFEC的面积为5求出△ABC的面积，进
而可求出BC边上的高，即为AB的最小值．
【解题过程】
解：连接CF，如图，
∵ D AC
点 为 的中点，
1
∴S =S = S ，
△ABD △BCD 2 △ABC
∵AF为△ABD的中线，
1 1 1 1
∴S =S = S = S ，S =S = S = S ，
△ABF △ADF 2 △ABD 4 △ABC △BCF △DCF 2 △BCD 4 △ABC
∵点E为BC中点，
1 1
∴S =S = S = S ，
△BEF △CEF 2 △BCF 8 △ABC
∵四边形AFEC的面积为10，
∴S +S +S =10，
△ADF △CDF △CEF
1 1 1
即 S + S + S =10，
4 △ABC 4 △ABC 8 △ABC
解得S =16，
△ABC
作AG⊥BC于点G，如图，∵BC=4，
1
∴ ×4⋅AG=16，
2
∴AG=8，
∵AB≥AG，
∴AB的最小值是8；
故选：C．
8．（23-24七年级下·江苏南京·期中）在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角
平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E，下列结论：①
1 1 2
∠BOC=90°+ ∠A；②∠D= ∠A；③∠A= ∠E；④∠E+∠DCF=90°+∠ABD．其中所有
2 2 3
正确结论的序号是（ ）
A．①② B．③④ C．①②④ D．①②③④
【思路点拨】
本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练掌握角平分线的定义和三
角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．由角平分线的定义可得
1 1
∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)，再由三角形的内角和定理可求解∠BOC=90°+ ∠A，即可
2 21
判定①；由角平分线的定义可得∠DCF= ∠ACF，结合三角形外角的性质可判定②；由三角形外角的
2
性质可得∠MBC+∠BCN=180°+∠A，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定③；利用
三角形外角的性质可得∠E+∠DCF=90°+∠DBC，结合∠ABD=∠DBC可判定④．
【解题过程】
解：如图，
∵ ∠ACB，∠ABC的平分线交于点O，
1 1
∴ ∠ABO=∠OBC= ∠ABC，∠ACO=∠OCB= ∠ACB，
2 2
1
∴ ∠OBC+∠OCB= (∠ABC+∠ACB)，
2
∵ ∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴ ∠ABC+∠ACB=180°−∠A，
∵ ∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
1 1
∴ ∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=180°− (180°−∠A)=90°+ ∠A，故①正确，
2 2
∵ CD平分∠ACF，
1
∴ ∠DCF= ∠ACF，
2
∵ ∠ACF=∠ABC+∠A，∠DCF=∠OBC+∠D，
1
∴ ∠D= ∠A，故②正确；
2
∵ ∠MBC=∠A+∠ACB，∠BCN=∠A+∠ABC，∠ACB+∠A+∠ABC=180°，
∴ ∠MBC+∠BCN=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=180°+∠A，
∵ BE平分∠MBC，CE平分∠BCN，∴ ∠MBC=2∠EBC，∠BCN=2∠BCE，
1
∴ ∠EBC+∠BCE=90°+ ∠A，
2
∵ ∠E+∠EBC+∠BCE=180°，
( 1 ) 1
∴ ∠E=180°−(∠EBC+∠BCE)=180°− 90°+ ∠A =90°− ∠A，故③错误；
2 2
∵ ∠DCF=∠DBC+∠D，
1 1
∴ ∠E+∠DCF=90°− ∠A+∠DBC+ ∠A=90°+∠DBC，
2 2
∵ ∠ABD=∠DBC，
∴ ∠E+∠DCF=90°+∠ABD．故④正确，
综上正确的有：①②④，
故选：C．
9．（2024七年级下·江苏·专题练习）如图，△ABC，点P为△ABC外一点（点P不在直线AB、BC、
AC上），连接PB、PC．若∠PBA=α，∠PCA=β，∠BAC=γ，对于①α+γ−β；②α−β−γ；③
β−α−γ；④360°−α−β−γ，则∠BPC的度数可能是（ ）
A．①④ B．②③④ C．①②③ D．①②③④
【思路点拨】
根据点P有6种可能的位置，分情况进行讨论，依据三角形内角和定理以及外角的性质进行计算即可求
解．
【解题过程】
解：如图一，∠P+∠PDB+α=∠ADC+β+γ，
∵∠PDB=∠ADC，
∴∠P+α=β+γ，
∴∠P=β+γ−α；如图二，在四边形ABPC中，α+β+γ+∠P=360°，
∴∠P=360°−α−β−γ；
如图三，α+γ+∠ADB=∠P+β+∠PDC，
∵∠ADB=∠PDC，
∴α+γ=∠P+β，
∴∠P=α+γ−β；
如图四，延长CA交PB于点D，
∵∠BDA是△PCD的外角，
∴∠BDA=∠P+β，
∵∠BAC是△ABD的外角，
∴γ=α+∠BDA=α+β+∠P，
∴∠P=γ−α−β；如图五，延长CB，
∵∠1是△BCP的外角，
∴∠1=∠4+∠BPC，
同理，∠2=∠3+∠BAC，
∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠BPC+∠BAC，
又∵∠1+∠2=α，∠3+∠4=β，∠BAC=γ，
∴α=β+γ+∠BPC，
∴∠BPC=α−β−γ；
如图六，延长BC，
∵∠3是△ABC的外角，
∴∠3=∠1+∠BAC，
同理，∠4=∠2+∠BPC，
∴∠3+∠4=∠1+∠2+∠BAC+∠BPC，
∵∠1+∠2=α，∠3+∠4=β，∠BAC=γ，
∴β=α+γ+∠BPC，
∴∠BPC=β−α−γ．综上判断①、②、③、④都正确，
故选：D．
10．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）在三角形纸片ABC中，∠A=90°，∠C=20°，点D为AC边上
靠近点C处一定点，点E为BC边上一动点，沿DE折叠三角形纸片，点C落在点C′处，①如图1，当点C′
落在BC边上时，∠ADC′=40°；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，∠ADC′+∠BEC′=40°；③如
图3，当点C′落在△ABC上方时，∠BEC′−∠ADC′=40°；④当C′E∥AB时，∠CDE=35°或
∠CDE=125°，以上结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【思路点拨】
该题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，解题的关键是掌握以上知识，正确画出
图象．
根据题意可得∠C=20°，①如图1，当点C′落在BC边上时，根据折叠性质和三角形外角的性质求解即
可；②如图2，当点C′落在△ABC内部时，根据折叠性质以及平角的定义即可求解；③如图3，当点C′落
在△ABC上方时，根据折叠性质可得∠C=∠DC′E,∠CDE=∠C′DE,∠DEC=∠DEC′，根据
∠BEC′−∠ADC′
=180°−2∠CED−(2∠CDE−180°)即可求解；④当C′E∥AB时，分别画出图形根据折叠性质和平行
线性质求解即可；
【解题过程】
解：根据题意可得∠C=20°，，
①如图1，当点C′落在BC边上时，根据折叠性质可得∠C=∠DC′C,∠CDE=∠C′DE,∠DEC=∠DEC′，
∴∠ADC′=2∠C=40°，故①正确；
②如图2，当点C′落在△ABC内部时，
根据折叠性质可得∠C=∠DC′E,∠CDE=∠C′DE,∠DEC=∠DEC′
∴∠ADC′+∠BEC′
=180°×2−(∠CDC′+∠CEC′)
=360°−2(∠CDE+∠CED)
=360°−2(180°−∠C)
=2∠C
=40°，故②正确；
③如图3，当点C′落在△ABC上方时，；
根据折叠性质可得∠C=∠DC′E,∠CDE=∠C′DE,∠DEC=∠DEC′
∴∠BEC′−∠ADC′
=180°−∠CEC′−(∠CDE+∠C′DE−180°)
=180°−2∠CED−(2∠CDE−180°)
=360°−2(∠CDE+∠CED)
=360°−2(180°−∠C)
=2∠C
=40°，故③正确；
④当C′E∥AB时，
∵∠A=90°，∠C=20°，
∴∠B=70°，
∵C′E∥AB，
∴∠CEC′=∠B=70°，
根据折叠性质可得∠CED=∠C′ED，1
∴∠CED= ∠CEC′=35°，
2
∴∠CDE=180°−35°−20°=125°；
当C′E∥AB时，
∵∠A=90°，∠C=20°，
∴∠B=70°，
∵C′E∥AB，
∴∠BEC′=∠B=70°，
根据折叠性质可得∠CED=∠C′ED，∠C=∠C′=20°，
∴∠DFC=∠BEC′+∠C′=70°+20°=90°，
∴∠CDF=70°，
1
∴∠CDE= ∠CDC′=35°；
2
综上∠CDE=35°或∠CDE=125°；故④正确；
故选：D．
评卷人 得 分
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2024八年级下·全国·专题练习）如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数是
．
【思路点拨】本题考查了多边形内角与外角，根据三角形的内角和定理把求角的和的问题转化为求多边形的内角和的问
题．连接BE，则∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，则图中所求的几个角的和是五边形ABEFG的内角和．
【解题过程】
解：连接BE，
在△CDM与△BEM中，∠CMD=∠BME，
∴∠C+∠D=∠CBE+∠DEB，
∴在五边形ABEFG中∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠≝+∠F+∠G
=∠A+∠ABC+∠CBE+∠DEB+∠≝+∠F+∠G
=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G
=(5−2)⋅180°
=540°．
故答案为：540°．
12．（23-24七年级下·山西临汾·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠ABC和外角∠ACD的平
分线交于点A ，∠A BC和∠A CD的平分线交于点A ，…，∠A BC和∠A CD的平分线交于点
1 1 1 2 2023 2023
A ，则∠A 的度数为 ．
2024 2024
【思路点拨】
本题主要考查了角平分线的定义，三角形外角的性质，图形类的规律探索，利用类推法找出规律是解题的
关键．
根据角平分线的性质和三角形外角性质得出∠A 和∠A的关系，进而求出∠A 与∠A的关系，找出规
1 2
律，得到∠A 与∠A的关系即可求解．
n
【解题过程】
解：∵ ∠ACD是△ABC一个外角，
∴∠ACD=∠A+∠ABC，∴∠A=∠ACD−∠ABC，
∵ ∠ABC和外角∠ACD的平分线交于点A ，
1
1 1
∴∠A BC= ∠ABC，∠A CD= ∠ACD，
1 2 1 2
1 1 1 1
∴∠A =∠A CD−∠A BC= ∠ACD− ∠ABC= (∠ACD−∠ABC)= ∠A，
1 1 1 2 2 2 2
1 1 1 1
同理∠A = ∠A = × ∠A= ∠A，
2 2 1 2 2 22
1 1 1 1
∠A = ∠A = × ∠A= ∠A，
3 2 2 2 22 23
以此类推：
1
∠A = ∠A，
n 2n
1
∴ ∠A = ∠A，
2024 22024
∵ ∠A=60°
1 ( 60 )
∴ ∠A = ∠A= °；
2024 22024 22024
( 60 )
故答案为： °．
22024
13．（23-24七年级下·江苏南京·期末）如图，△ABC中，CE，BD分别是AB，AC边上的高线．若
∠ABC=62°，∠ACB=72°，则∠BOC的度数是 °．
【思路点拨】
本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是在△BEC中根据三角形内角和定理求出∠BCE的度数，在
△BCD中根据三角形内角和定理求出∠CBD的度数，在△BOC中根据三角形内角和定理求出∠BOC的度
数即可．
【解题过程】
解：∵CE，BD分别是AB，AC边上的高线，∴∠BEC=90°，∠BDC=90°，
在△BEC中，∠EBC+∠BEC+∠BCE=180°，
∵∠ABC=62°，∠BEC=90°，
∴∠BCE=180°−90°−62°=28°，
在△BCD中，∠DCB+∠BDC+∠CBD=180°，
∵∠ACB=72°，∠BDC=90°，
∴∠CBD=180°−90°−72°=18°，
在△BOC中，∠CBO+∠BOC+∠BCO=180°，
∴∠BOC=180°−28°−18°=134°，
故答案为：134．
14．（23-24七年级下·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中
选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ．
【思路点拨】
此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解．
【解题过程】
解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，
∴选4，5，7，9，
如图，①当AB=4,BC=5,AD=7,CD=9时，
∴5−4<AC<4+5，即1<AC<9，
且9−7<AC<7+9，即2<AC<16，
∴2<AC<9，
此时对角线最长可以取到的整数是8，
②当AB=4,BC=5,AD=7,CD=9时，
∴7−4<BD<4+7，即3<BD<11，
且9−5<BD<5+9，即4<BD<14，
∴4<BD<11此时对角线最长可以取到的整数是10，
如图，当AB=4,BC=9,AD=7,CD=5时，
③当AB=4,BC=5,AD=7,CD=9时，
∴9−4<AC<4+9，即5<AC<13，
且7−5<AC<7+5，即2<AC<12，
∴5<AC<12，
此时对角线最长可以取到的整数是11，
④当AB=4,BC=5,AD=7,CD=9时，
∴7−4<BD<4+7，即3<BD<11，
且9−5<BD<5+9，即4<BD<14，
∴4<BD<11
此时对角线最长可以取到的整数是10，
综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11．
故答案为：11．
15．（23-24七年级下·江苏无锡·期中）如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，AD:DB=3:1，连接
CD，点E是线段AC上一点，AE:EC=1:2，连接BE，CD与BE交于点F，若AC=8，BC=9，则
△BDF与△CEF面积之和的最大值是 ．
【思路点拨】
本题考查了三角形的面积，连接AF，设S =a，S =b，S =c，由AD:DB=3:1，
△BDF △AEF △BCF
AE:EC=1:2，可得S =3a，S =2b，进而可得S =4a+b，S =2b+c，由
△ADF △CEF △ABE △BCE
2S =S ，可得c=8a，由S =3S ，可得b=8a，即得S =36a，根据当S 取最大
△ABE △BCE △ADC △BDC △ABC △ABC
时，a取最大，由当AC⊥BC时，S 取最大值，可得a =1，进而即可求解，正确识图是解题的关
△ABC 最大值键．
【解题过程】
解：连接AF，
设S =a，S =b，S =c，
△BDF △AEF △BCF
∵AD:DB=3:1，AE:EC=1:2，
∴S =3a，S =2b，
△ADF △CEF
∴S =4a+b，S =2b+c，
△ABE △BCE
∵2S =S ，
△ABE △BCE
∴2(4a+b)=2b+c，
∴c=8a，
∵S =3a+3b，S =a+c=9a，S =3S ，
△ADC △BDC △ADC △BDC
∴3a+3b=3×9a，
∴b=8a，
∴S =a+3a+8a+2×8a+8a=36a，
△ABC
当S 取最大时，a取最大，
△ABC
当AC⊥BC时，S 取最大值，
△ABC
1 1
∴S = AC·BC= ×8×9=36，
△ABC最大值 2 2
由S =36a=36得，a =1，
△ABC 最大值
∴△BDF与△CEF面积之和的最大值=1+2×8×1=17，
故答案为：17．
评卷人 得 分
三、解答题（本大题共8小题，满分75分）
16．（6分）（23-24七年级下·广东深圳·期中）已知△ABC的三边长为a，b，c，且a，b，c都是整数．
（1）若a=2，b=5，且c为偶数．求△ABC的周长．
（2）化简：|a−b+c)−|b−c−a)+|a+b+c)．【思路点拨】
本题主要考查了三角形的三边关系、化简绝对值、整式的加减运算等知识点，理解三角形的三边关系成为
解题的关键．
（1）根据三角形的三边关系确定c的取值范围，进而c的值，最后求周长即可；
（2）先根据三角形的三边关系确定a−b+c、b−c−a、a+b+c的正负，再化简绝对值，然后再合并同
类项即可解答．
【解题过程】
（1）解：∵a=2, b=5，
∴5−2<c<5+2，即3<c<7，
由于c是偶数，则c=4或6，
当c=4时，△ABC的周长为a+b+c=2+5+4=11，
当c=6时，△ABC的周长为a+b+c=2+5+6=13．
综上所述，△ABC的周长为11或13．
（2）解：∵△ABC的三边长为a，b，c，
∴a+c>b，
∴|a−b+c|−|b−c−a|+|a+b+c|
=a+c−b−(a+c−b)+a+b+c
=a+b+c．
17．（6分）（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，P为△ABC中任意一点．证明：
AB+BC+CA>PA+PB+PC．
【思路点拨】
此题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．延长BP交AC于点
D．利用三角形三边关系得到AB+AC>BP+PC，同理可得AC+BC>AP+BP，AB+BC>AP+PC，
进一步即可得到结论．
【解题过程】
证明：如图所示，延长BP交AC于D，∵在△ABD中，AB+AD>BD=BP+PD，
在△DPC中，DP+DC>PC，
∴AB+AD+DP+DC>BP+PD+PC，
∴AB+AC>BP+PC.①
同理可得AC+BC>AP+BP，②
AB+BC>AP+PC.③
由①＋②＋③得2AB+2AC+2BC>2AP+2BP+2PC，
即AB+BC+CA>PA+PB+PC．
18．（8分）（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在
BC、AC上，DE∥AB，EF平分∠DEC．
（1）判断EF与BD的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=2AD，CE=2BE，CF=2DF，且△ABC的面积为27，求△≝¿的面积．
【思路点拨】
1 1
（1）根据角平分线的定义可得∠DBC= ∠ABC,∠FEC= ∠DEC，根据平行线的性质可得
2 2
∠ABC=∠DEC，因此∠DBC=∠FEC，由此可得EF∥BD．
（2）由CD=2AD，△ABD中AD上的高与△DBC中CD上高相同，可得S =2S ，因此
△DBC △ABD
2 2 S
S = S ，由此可求出S ．同理可求出S = S ， 1 ，即可求出△≝¿的面积．
△DBC 3 △ABC △DBC ❑ △DEC 3 △DBC ❑ △≝¿ = 3 S △DEC ¿
【解题过程】
（1）EF∥BD理由如下：
∵BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，1 1
∴∠DBC= ∠ABC,∠FEC= ∠DEC．
2 2
∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠DEC，
∴∠DBC=∠FEC，
∴EF∥BD．
（2）∵CD=2AD，△ABD中AD上的高与△DBC中CD上高相同，
∴S =2S ，
△DBC △ABD
2 2
∴S = S = ×27=18．
△DBC 3 △ABC 3
∵CE=2BE，△DEC中CE上的高与△DBE中BE上的高相同，
∴S =2S ，
△DEC △DBE
2 2
∴S = S = ×18=12．
❑ △DEC 3 △DBC 3
∵CF=2DF，△FEC中CF上的高与△≝¿中DF上的高相同，
∴S =2S ，
△FEC △≝¿¿
∴S
1 1 ．
❑ = S = ×12=4¿
△≝¿ 3 △DEC 3
19．（8分）（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的
5×5网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题：
（1）将△ABC向上平移2个单位，向左平移1个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′；
（2）画出AB边上的高CD；
（3）△A′B′C′的面积为______；
（4）若S =S ，点P为异于点C的格点，则点P的个数有______个．
△ABP △ABC
【思路点拨】
本题考查了平移作图，面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据平移作图方法即可；
（2）根据三角形高的定义即可作图；
（3）把三角形的面积看成正方形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（4）设△ABC中AB边上的高为ℎ，△ABP中AB边上的高为ℎ，由S =S ，得ℎ = ℎ，则
1 2 △ABP △ABC 1 2
CP∥AB，找过点C且平行于AB的直线上得格点，即可求得．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得：△ABC向上平移2个单位，向左平移1个单位，如图，
∴△A′B′C′即为所求；
（2）解：如图，CD即为所求；
1 1 1
（3）△A′B′C′的面积为3×3− ×2×1− ×3×1− ×2×3=3.5，
2 2 2
故答案为：3.5．
（4）设△ABC中AB边上的高为ℎ，△ABP中AB边上的高为ℎ，
1 2
1 1
则S = AB⋅ℎ，S = AB⋅ℎ，
△ABC 2 1 △ABP 2 2
∵S =S ，
△ABP △ABC
∴ℎ = ℎ，则CP∥AB，
1 2
如图，格点P ，P 在过点C且平行于AB的直线上，符合题意，
1 2
即：当S =S 时，异于点C的格点P的有2个，
△ABP △ABC
故答案为：2．
20．（10分）（22-23七年级下·江苏徐州·期末）已知在△ABC中，∠BAC=α，过点D作DE⊥BC，垂
足为E，BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．（1）如图1，若α=90°，点G在边BC上且不与点B重合．
①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由，
②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若0°<α<90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含有α的代数式表示∠BMD，则
∠BMD= ；
（3）如图3，若0°<α<90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含有α的代数式表示∠H
，并说明理由．
【思路点拨】
（1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得
∠BFC=∠GDC，即可证明BF与GD的位置关系；
（2）根据四边形内角和等于360°可求出∠BMD=360°−90°−(∠MBE+∠MDE)，
α+90°+∠ABE+∠ADE=360°，根据角平分线的定义可得出∠ABE=2∠MBE，∠ADE=2∠MDE
1 1
，进而得到∠MBE+∠MBE= (360°−90°−α)=135°− α，再进行等量代换即可；
2 2
（3）根据三角形外角的性质先得到∠H=∠FBG+∠EDG−90°，∠BGD=∠EDG+90°，
∠BFD=∠ABF+α，再利用角平分线的定义和四边形内角和等于360°进行等量代换即可求出．
【解题过程】
（1）①∠1+∠2=90°，理由如下
∵∠ABC+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠ABC=∠CDE=2∠1．
又∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴2∠1+2∠2=180°，即2(∠1+∠2)=180°，
∴∠1+∠2=90°．
②BF∥GD，理由如下
∵∠BFC=∠BAC+∠ABF=90°+∠1，
∠GDC=∠GDE+∠CDE=∠2+2∠1=∠1+∠2+∠1=90°+∠1，∴∠BFC=∠GDC=90°+∠1，
∴BF∥GD．
（2）三角形内角和为180°，则四边形可以看作是两个三角形拼接而成，即有四边形内角和为：
180°×2=360°，
∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE=360°，
∴∠BMD=360°−90°−(∠MBE+∠MDE)=270°−(∠MBE+∠MDE)．
又∵α+90°+∠ABE+∠ADE=360°，∠ABE=2∠MBE，∠ADE=2∠MDE，
∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE=α+90°+2(∠MBE+∠MDE)=360°，
1 1
∴∠MBE+∠MBE= (360°−90°−α)=135°− α．
2 2
将其代入∠BMD=270°−(∠MBE+∠MDE)，
1 1
得∠BMD=270°−(135°− α)=135°+ α．
2 2
1
故答案为：135°+ α．
2
1
（3）∠H=45°− α，理由如下
2
∵∠H+∠BGH=∠FBG，∠BGH=∠DGE=90°−∠EDG，
∴∠H+90°−∠EDG=∠FBG，
∴∠H=∠FBG+∠EDG−90°．
∵∠BGD=∠EDG+90°，∠BFD=∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG=360°，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG=360°．
又∵∠ABF=∠FBG，∠FDG=∠EDG，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG=∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG=360°
，
整理得2(∠EDG+∠FBG)=360°−90°−α=270°−α，
1 1
∴∠FBG+∠EDG= (270°−α)=135°− α．
2 2
将其代入∠H=∠FBG+∠EDG−90°，
1 1
得∠H=135°− α−90°=45°− α．
2 2
21．（12分）（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】
三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和180°，四边形的内角和是360°．【问题思考】
如图1，在△ABC中，延长AB到点D，AM，BM分别平分∠CAB和∠CBD．
（1）若∠CAB=58°，∠CBA=40°，求∠AMB的度数；
（2）设∠CAB=x°，∠CBA= y°，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即x+ y=m，m是常量．在
x与y变化的过程中，∠AMB的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示∠AMB；若变
化，请说明理由．
【问题拓展】
在四边形ABCD中，设∠ADC=α，∠BCD=β，延长AB到点E，AP，BQ分别平分∠DAB和∠CBE
．
（3）如图2，当α+β=180°，此时AP，BQ的位置关系为 ；
（4）如图3，当α+β>180°，AP，BQ所在直线交于点N，请说明∠ANB与α，β的数量关系；
（5）将（4）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，其余条件不变，请画出简图，并直接写出∠ANB与
α，β的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义可求得∠MAB和∠MBD的度数，再根据∠MBD=∠M+∠MAB，即可求出
∠AMB的度数．
（2）由（1）得∠AMB=∠MBD−∠MAB，将∠CAB=x°，∠CBA= y°代入化，再将
x+ y=m代入化简以后的式子中即可得∠AMB与m的关系式．
（3）根据四边形的内角和等于360°，且α+β=180°，可得∠DAB+∠CBA=180°，进一步可得
∠DAB=∠CBE．根据角平分线的定义及平行线的性质可得AP∥BQ．
（4）根据四边形的内角和等于360°，可得∠DAB+∠ABC=360°−(α+β)，由平角的定义可得
1 1
∠CBE=180°−∠ABC．根据角平分线的定义可得∠NAB= ∠DAB，∠NBE= ∠CBE．再根据
2 2
∠ANB=∠NBE−∠NAB进行化简即可得到∠ANB与α，β的数量关系．
（5）根据四边形的内角和等于360°，可得∠DAB+∠ABC=360°−(α+β)，由平角的定义可得1 1
∠CBE=180°−∠ABC．根据角平分线的定义可得∠NAB= ∠DAB，∠NBE= ∠CBE，再根据
2 2
∠ANB=∠PAB−∠ABN进行化简即可得到∠ANB与α，β的数量关系．
【解题过程】
（1）∵∠CBA=40°，
∴∠CBD=180°−∠CBA=180°−40°=140°．
∵AM，BM分别平分∠CAB和∠CBD，
1 1 1 1
∴∠MAB= ∠CAB= ×58°=29°，∠MBD= ∠CBD= ×140°=70°，
2 2 2 2
∵∠MBD=∠AMB+∠MAB，
∴∠AMB=∠MBD−∠MAB=70°−29°=41°．
（2）∠AMB的大小不变，理由如下：
由（1）得∠AMB=∠MBD−∠MAB，
1 1
= ∠CBD− ∠CAB
2 2
1 1
= (180°−∠CBA)− ∠CAB
2 2
1 1
= (180°−y°)− x°
2 2
1 1
=90°− y°− x°
2 2
1
=90°− (x°+ y°)
2
1
=90°− m°
2
( 1 )
= 90− m °．
2
（3）∵四边形内角和等于360°，
而α+β=180°，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠CBA+∠CBE=180°，
∴∠DAB=∠CBE，
∵AP，BQ分别平分∠DAB和∠CBE，1 1
∴∠PAB= ∠DAB，∠QBE= ∠CBE，
2 2
∴∠PAB=∠QBE，
∴AP∥BQ．
故答案为：平行
（4）∵四边形ABCD中α+β+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°−(α+β)，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=180°−∠ABC，
∵AN、BN分别平分∠DAB和∠CBE，
1 1
∴∠NAB= ∠DAB，∠NBE= ∠CBE，
2 2
∴∠ANB=∠NBE−∠NAB
1 1
= ∠CBE− ∠DAB
2 2
1 1
= (180°−∠ABC)− ∠DAB
2 2
1
=90°− (∠ABC+∠DAB)
2
1
=90°− [360°−(α+β)]
2
1
=90°−180°+ (α+β)
2
1
= (α+β)−90°．
2
（5）如图，α+β<180°时，∵四边形ABCD中α+β+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°−(α+β)，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=180°−∠ABC．
∵AN、BN分别平分∠DAB和∠CBE，
1 1
∴∠PAB= ∠DAB，∠QBE= ∠CBE，
2 2
∴∠ANB=∠PAB−∠ABN，
=∠PAB−∠QBE
1 1
= ∠DAB− ∠CBE
2 2
1 1
= ∠DAB− (180°−∠ABC)
2 2
1 1
= ∠DAB−90°+ ∠ABC
2 2
1
= (∠DAB+∠ABC)−90°
2
1
= [360°−(α+β)]−90°
2
1
=180°− (α+β)−90°
2
1
=90°− (α+β)．
2
22．（12分）（23-24七年级下·江苏常州·期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三
角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°、90°、60°，这个三角形
就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为90°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形
的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为
______．
（2）如图1，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端
点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度
数．（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且
∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C．若△ADC是“优雅三角形”，直接写出∠C的度数．
【思路点拨】
本题考查三角形的内角和定理，邻补角的性质．新定义的应用，解题的关键是能对新定义的理解和运用．
（1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
（2）先证明∠MON=60°，△AOC是“优雅三角形”，结合①当“优雅角”为60°；②当另两个角中有
优雅角这两个情况，分别得出∠ACB的度数为80°，∠ACB的度数为90°，以及∠ACB的度数为150°，
即可作答．
（3）进行角的运算得∠ADC=∠EFD，结合DE平分∠ADB以及△ADC是“优雅三角形”， 三角形的
内角和定理等性质，进行分类讨论，再逐一列式计算，即可作答．
【解题过程】
（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为120°，另两个角之和为：180°−120°=60°，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：
3
60°× =45°，
4
故答案为：45°；
（2）解：∵AB⊥OM交ON于点B，
∴∠OAB=∠MAB=90°
，∵点C在线段OB上
∴0°≤∠OAC≤90°
∵∠MON=60°，△AOC是“优雅三角形”，
∴①当“优雅角”为60°时，另一个角为∠OAC=20°，则∠ACO=100°，∠ACB的度数为80°，
②当另两个角中有“优雅角”时，180°−60°=120°
即另两个角之和为120°，
根据“优雅三角形”的定义，
设另两个角的小的角为x°，则另两个角的大的角为3x°
则x°+3x°=120°
∴x°=30°
另两个角分别为：30°，90°，
若∠ACO=90°，则∠ACB的度数为90°，
若∠ACO=30°，此时点C与点B重合
则∠ACB的度数为150°
综上所述，∠ACB的度数为80°或90°或150°；
（3）解：∵∠AFE+∠ADC=180°，∠AFE+∠EFD=180°，
∴∠ADC=∠EFD，
∴EF∥BC，
∴∠FED=∠BDE
∵DE平分∠ADB交AB于点E，
∴∠FDE=∠BDE=∠FED
∵∠FED=∠C
∴∠C=∠EDB
∴ED∥AC
∴∠FDE=∠A
∵∠FDE=∠BDE=∠FED
∴∠FDE=∠BDE=∠FED=∠A
∴∠ADB=2∠A
∵△ADC是“优雅三角形”，
α
①当∠C=α，∠ADC= ，
3α
∠ADB=180°−
3
α 4
∵∠A=180°−∠C−∠ADC=180°−α− =180°− α，∠ADB=2∠A
3 3
α 4
∴∠ADB=180°− =(180°− α)×2，
3 3
540 540
解得α= °，∠C= °；
7 7
α
②当∠C=α，∠A= ，
2
∵∠ADB=2∠A
∴∠ADB=α
∵∠ADB是△ADC的外角，且∠C=α
∴∠ADB=α=∠C与∠ADB>∠C相矛盾
∴无解，故不符合题意；
α
③当∠ADC=α，∠A= ，
3
∵∠ADB=2∠A
α 2α
∴∠ADB=2× =
3 3
2α
∠ADB=180°−α= ，
3
解得α=108°，
∴∠A=36°
∵∠C=∠EDB，∠FDE=∠BDE=∠FED=∠A
∴∠C=36°
此时∠A+∠C+∠ADC=36°+36°+108°=180°，符合条件
∴α=108°，∠C=36°
α
④当∠ADC=α，∠C= ，
3
α
∵∠A=180°−α− ，∠ADB=2∠A
3
( α) ( 4 )
∴∠ADB=2∠A=2× 180°−α− =2× 180°− α
3 34α
∴∠ADB=180°−α=(180°− )×2，
3
540 180
解得α= °，∠C= °；
7 7
α
⑤当∠A=α，∠ADC= ，
3
∴∠ADB=2∠A=2α
α
∴∠ADB=180°− =2α，
3
解得α=108°，∠C=36°；
α
⑥当∠A=α，∠C= ，
3
∵∠C=∠EDB，∠FDE=∠BDE=∠FED=∠A
α
∴α≠ (α≠0)与∠A=∠C矛盾
3
∴无解，故不符合题意；
180 540
综上，∠C的度数为：36°， °， °
7 7
23．（13分）（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例：
（1）如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2，AD是△ABC的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图
形？（两种方法画图）
迁移应用：
（3）如图3，△ABC的两条中线AD，BE相交于点G，求证：S =S ；
ΔAGE ΔBGD（4）如图4，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，
①请你写出所有与△AGE面积相等的三角形；
②写出AG与GD的数量关系式，并说明理由；
拓展应用；
（5）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE 、AD 相交于点O，△AOB的面积记
1 1
为S ；如图②将边BC、AC分别3等份，BE 、AD 相交于点O，△AOB的面积记为S ；……，以此类
1 1 1 2
推，若S =3，则a的值为__________．
4
【思路点拨】
本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个
三角形是解题的关键．
1
（1）根据过点A作AH⊥BC于点H，根据中心得出BD= BC，根据三角形的面积公式得出
2
1 1
S = BD⋅AH，S = BC⋅AH，即可求出结果；
△ABD 2 △ABC 2
（2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可．
1 1
（3）根据三角形的中线的性质得到S = S ，同理可得S = S ，证明结论；
ΔACD 2 ΔABC ΔBEC 2 ΔABC
（4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断；
②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明；
（5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得a．
【解题过程】
1
解：（1）S = S ；理由见如下：
△ABD 2 △ABC过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵AD是△ABC的中线，
1
∴BD= BC，
2
1 1
∵S = BD⋅AH，S = BC⋅AH，
△ABD 2 △ABC 2
1
∴S = S ；
△ABD 2 △ABC
（2）方法一：取BC的四等分点E、D、F，连接AD、AE、AF，此时分的四个三角形面积相等，如图所
示：
1
∵BE=DE=DF=CF= BC，
4
1
∴S =S =S =S = S ；
△ABE △ADE △ADF △AFC 4 △ABC
方法二：取AB、BC、AC的中点E、D、F，连接AD、DE、DF，则此时的四个三角形面积相等，如图
所示：
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
1
∴S =S = S ，
△ABD △ACD 2 △ABC1 1
同理得：S =S = S ，S =S = S ，
△ADE △BDE 2 △ABD △CDF △ADF 2 △ADC
1
∴S =S =S =S = S ；
△ADE △BDE △CDF △ADF 4 △ABC
（3）∵AD是△ABC的中线，则
1
∴S = S ，
ΔACD 2 ΔABC
1
同理S = S ，
ΔBEC 2 ΔABC
∴S =S ，
ΔACD ΔBEC
∴S =S ；
ΔAGE ΔBGD
（4）①S =S =S =S =S =S ；
ΔCGE ΔCDG ΔBGD ΔBFG ΔAFG ΔAGE
∴与△AGE面积相等的三角形有△CGE，△CDG，△BGD，△BFG，△AFG；
②AG=2GD，
理由如下：∵S =S =S ，
ΔBGD ΔBFG ΔAFG
∴S =2S ，
ΔABG ΔDBG
∴AG=2GD；
（5）在图①中，连接OC，
∵AE =CE BD =CD
1 1 1 1
， ，
1 1
∴ S =S ，S =S ，S =S = S = a，
△OAE 1 △OCE 1 △OBD 1 △OCD 1 △ABE 1 △ABD 1 2 ΔABC 2
∵ S =S −S ，S =S −S ，
△OAE △ABE ΔOAB △OBD △ABD ΔOAB
1 1 1 1
∴ S =S ，
△OAE △OBD
1 1
∴ S =S =S =S ，
△OAE △OCE △OBD △OCD
1 1 1 1
设S =S =S =S =x，则
△OAE △OCE △OBD △OCD
1 1 1 1{ S +x= 1 a)
1 2 ，
S +4x=a
1
1
解得S = a；
1 3
在图②中，连接OE 、OC、OD ，
2 2
1
则S =S = a，S =S =S =S =S =S ，
△ABE 1 △ABD 1 3 △OAE 1 △OE 1 E 2 △OCE 2 △OBD 1 △OD 1 D 2 △OCD 2
设S =S =S =S =S =S =x，则
△OAE △OE E △OCE △OBD △OD D △OCD
1 1 2 2 1 1 2 2
{ S +x= 1 a)
2 3 ，
S +6x=a
2
1
解得S = a；
2 5
在图③中，连OE 、OE 、OC、OD 、OD ，
2 3 2 3
1
则S =S = a，S =S =S =S =S =S =S =S ，
△ABE 1 △ABD 1 4 △OAE 1 △OE 1 E 2 △OE 2 E 3 △OCE 3 △OBD 1 △OD 1 D 2 △OD 2 D 3 △OCD 3
设S =S =S =S =S =S =S =S =x，则
△OAE △OE E △OE E △OCE △OBD △OD D △OD D △OCD
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3{ S +x= 1 a)
3 4 ，
S +8x=a
3
1
解得S = a，
3 7
.....．
1
由可知，S = a，
n 2n+1
∵S =3，
4
1
∴ a=3，
2×4+1
解得a=27．
故答案为：27．
