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专题 11.3 三角形（满分 120）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（23-24七年级下·山西临汾·期末）a、b、c是三角形的三边，其中a、b两边满足|a−3)+(b−2) 2=0，
那么这个三角形的第三边可以是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【思路点拨】
本题主要考查了三角形的三边关系，非负数的性质．根据非负数的性质可得a=3,b=2，再由三角形的三
边关系，可得1c
4 12
∵c>0，
∴3b，
∴|a−b+c|−|b−c−a|+|a+b+c|
=a+c−b−(a+c−b)+a+b+c
=a+b+c．
17．（6分）（22-23八年级·全国·课堂例题）如图所示，P为△ABC中任意一点．证明：
AB+BC+CA>PA+PB+PC．
【思路点拨】
此题考查了三角形三边关系，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．延长BP交AC于点
D．利用三角形三边关系得到AB+AC>BP+PC，同理可得AC+BC>AP+BP，AB+BC>AP+PC，
进一步即可得到结论．
【解题过程】
证明：如图所示，延长BP交AC于D，∵在△ABD中，AB+AD>BD=BP+PD，
在△DPC中，DP+DC>PC，
∴AB+AD+DP+DC>BP+PD+PC，
∴AB+AC>BP+PC.①
同理可得AC+BC>AP+BP，②
AB+BC>AP+PC.③
由①＋②＋③得2AB+2AC+2BC>2AP+2BP+2PC，
即AB+BC+CA>PA+PB+PC．
18．（8分）（22-23七年级下·江苏扬州·期末）已知：如图，BD是△ABC的角平分线，点E、F分别在
BC、AC上，DE∥AB，EF平分∠DEC．
（1）判断EF与BD的位置关系，并说明理由；
（2）若CD=2AD，CE=2BE，CF=2DF，且△ABC的面积为27，求△≝¿的面积．
【思路点拨】
1 1
（1）根据角平分线的定义可得∠DBC= ∠ABC,∠FEC= ∠DEC，根据平行线的性质可得
2 2
∠ABC=∠DEC，因此∠DBC=∠FEC，由此可得EF∥BD．
（2）由CD=2AD，△ABD中AD上的高与△DBC中CD上高相同，可得S =2S ，因此
△DBC △ABD
2 2 S
S = S ，由此可求出S ．同理可求出S = S ， 1 ，即可求出△≝¿的面积．
△DBC 3 △ABC △DBC ❑ △DEC 3 △DBC ❑ △≝¿ = 3 S △DEC ¿
【解题过程】
（1）EF∥BD理由如下：
∵BD平分∠ABC，EF平分∠DEC，1 1
∴∠DBC= ∠ABC,∠FEC= ∠DEC．
2 2
∵DE∥AB，
∴∠ABC=∠DEC，
∴∠DBC=∠FEC，
∴EF∥BD．
（2）∵CD=2AD，△ABD中AD上的高与△DBC中CD上高相同，
∴S =2S ，
△DBC △ABD
2 2
∴S = S = ×27=18．
△DBC 3 △ABC 3
∵CE=2BE，△DEC中CE上的高与△DBE中BE上的高相同，
∴S =2S ，
△DEC △DBE
2 2
∴S = S = ×18=12．
❑ △DEC 3 △DBC 3
∵CF=2DF，△FEC中CF上的高与△≝¿中DF上的高相同，
∴S =2S ，
△FEC △≝¿¿
∴S
1 1 ．
❑ = S = ×12=4¿
△≝¿ 3 △DEC 3
19．（8分）（23-24九年级下·江苏无锡·阶段练习）如图是由25个边长为1个单位长度的小正方形组成的
5×5网格，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，请按要求画图并解决问题：
（1）将△ABC向上平移2个单位，向左平移1个单位得到△A′B′C′，画出△A′B′C′；
（2）画出AB边上的高CD；
（3）△A′B′C′的面积为______；
（4）若S =S ，点P为异于点C的格点，则点P的个数有______个．
△ABP △ABC
【思路点拨】
本题考查了平移作图，面积的求法，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．（1）根据平移作图方法即可；
（2）根据三角形高的定义即可作图；
（3）把三角形的面积看成正方形的面积减去周围的三个三角形面积即可；
（4）设△ABC中AB边上的高为ℎ，△ABP中AB边上的高为ℎ，由S =S ，得ℎ = ℎ，则
1 2 △ABP △ABC 1 2
CP∥AB，找过点C且平行于AB的直线上得格点，即可求得．
【解题过程】
（1）解：根据题意可得：△ABC向上平移2个单位，向左平移1个单位，如图，
∴△A′B′C′即为所求；
（2）解：如图，CD即为所求；
1 1 1
（3）△A′B′C′的面积为3×3− ×2×1− ×3×1− ×2×3=3.5，
2 2 2
故答案为：3.5．
（4）设△ABC中AB边上的高为ℎ，△ABP中AB边上的高为ℎ，
1 2
1 1
则S = AB⋅ℎ，S = AB⋅ℎ，
△ABC 2 1 △ABP 2 2
∵S =S ，
△ABP △ABC
∴ℎ = ℎ，则CP∥AB，
1 2
如图，格点P ，P 在过点C且平行于AB的直线上，符合题意，
1 2
即：当S =S 时，异于点C的格点P的有2个，
△ABP △ABC
故答案为：2．
20．（10分）（22-23七年级下·江苏徐州·期末）已知在△ABC中，∠BAC=α，过点D作DE⊥BC，垂
足为E，BF为△ABC的一条角平分线，DG为∠ADE的平分线．（1）如图1，若α=90°，点G在边BC上且不与点B重合．
①判断∠1与∠2的数量关系，并说明理由，
②判断BF与GD的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，若0°<α<90°，点G在边AB上，DG与BF交于点M，用含有α的代数式表示∠BMD，则
∠BMD= ；
（3）如图3，若0°<α<90°，点G在边BC上，DG与FB的延长线交于点H，用含有α的代数式表示∠H
，并说明理由．
【思路点拨】
（1）①利用角平分线的定义及直角三角形的性质即可解答；②利用三角形外角的性质可求得
∠BFC=∠GDC，即可证明BF与GD的位置关系；
（2）根据四边形内角和等于360°可求出∠BMD=360°−90°−(∠MBE+∠MDE)，
α+90°+∠ABE+∠ADE=360°，根据角平分线的定义可得出∠ABE=2∠MBE，∠ADE=2∠MDE
1 1
，进而得到∠MBE+∠MBE= (360°−90°−α)=135°− α，再进行等量代换即可；
2 2
（3）根据三角形外角的性质先得到∠H=∠FBG+∠EDG−90°，∠BGD=∠EDG+90°，
∠BFD=∠ABF+α，再利用角平分线的定义和四边形内角和等于360°进行等量代换即可求出．
【解题过程】
（1）①∠1+∠2=90°，理由如下
∵∠ABC+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠ABC=∠CDE=2∠1．
又∵∠CDE+∠ADE=180°，
∴2∠1+2∠2=180°，即2(∠1+∠2)=180°，
∴∠1+∠2=90°．
②BF∥GD，理由如下
∵∠BFC=∠BAC+∠ABF=90°+∠1，
∠GDC=∠GDE+∠CDE=∠2+2∠1=∠1+∠2+∠1=90°+∠1，∴∠BFC=∠GDC=90°+∠1，
∴BF∥GD．
（2）三角形内角和为180°，则四边形可以看作是两个三角形拼接而成，即有四边形内角和为：
180°×2=360°，
∵∠BMD+90°+∠MBE+∠MDE=360°，
∴∠BMD=360°−90°−(∠MBE+∠MDE)=270°−(∠MBE+∠MDE)．
又∵α+90°+∠ABE+∠ADE=360°，∠ABE=2∠MBE，∠ADE=2∠MDE，
∴α+90°+2∠MBE+2∠MDE=α+90°+2(∠MBE+∠MDE)=360°，
1 1
∴∠MBE+∠MBE= (360°−90°−α)=135°− α．
2 2
将其代入∠BMD=270°−(∠MBE+∠MDE)，
1 1
得∠BMD=270°−(135°− α)=135°+ α．
2 2
1
故答案为：135°+ α．
2
1
（3）∠H=45°− α，理由如下
2
∵∠H+∠BGH=∠FBG，∠BGH=∠DGE=90°−∠EDG，
∴∠H+90°−∠EDG=∠FBG，
∴∠H=∠FBG+∠EDG−90°．
∵∠BGD=∠EDG+90°，∠BFD=∠ABF+α，∠BGD+∠BFD+∠FBG+∠FDG=360°，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG=360°．
又∵∠ABF=∠FBG，∠FDG=∠EDG，
∴∠EDG+90°+∠ABF+α+∠FBG+∠FDG=∠EDG+90°+∠FBG+α+∠FBG+∠EDG=360°
，
整理得2(∠EDG+∠FBG)=360°−90°−α=270°−α，
1 1
∴∠FBG+∠EDG= (270°−α)=135°− α．
2 2
将其代入∠H=∠FBG+∠EDG−90°，
1 1
得∠H=135°− α−90°=45°− α．
2 2
21．（12分）（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【问题背景】
三角形和四边形是我们熟悉的几何图形，我们知道三角形内角和180°，四边形的内角和是360°．【问题思考】
如图1，在△ABC中，延长AB到点D，AM，BM分别平分∠CAB和∠CBD．
（1）若∠CAB=58°，∠CBA=40°，求∠AMB的度数；
（2）设∠CAB=x°，∠CBA= y°，x与y都是变量，但x与y的和是个常量，即x+ y=m，m是常量．在
x与y变化的过程中，∠AMB的大小是否变化，若不变，请直接写出用含m的代数式表示∠AMB；若变
化，请说明理由．
【问题拓展】
在四边形ABCD中，设∠ADC=α，∠BCD=β，延长AB到点E，AP，BQ分别平分∠DAB和∠CBE
．
（3）如图2，当α+β=180°，此时AP，BQ的位置关系为 ；
（4）如图3，当α+β>180°，AP，BQ所在直线交于点N，请说明∠ANB与α，β的数量关系；
（5）将（4）中的条件α+β>180°改为α+β<180°，其余条件不变，请画出简图，并直接写出∠ANB与
α，β的数量关系．
【思路点拨】
（1）根据角平分线的定义可求得∠MAB和∠MBD的度数，再根据∠MBD=∠M+∠MAB，即可求出
∠AMB的度数．
（2）由（1）得∠AMB=∠MBD−∠MAB，将∠CAB=x°，∠CBA= y°代入化，再将
x+ y=m代入化简以后的式子中即可得∠AMB与m的关系式．
（3）根据四边形的内角和等于360°，且α+β=180°，可得∠DAB+∠CBA=180°，进一步可得
∠DAB=∠CBE．根据角平分线的定义及平行线的性质可得AP∥BQ．
（4）根据四边形的内角和等于360°，可得∠DAB+∠ABC=360°−(α+β)，由平角的定义可得
1 1
∠CBE=180°−∠ABC．根据角平分线的定义可得∠NAB= ∠DAB，∠NBE= ∠CBE．再根据
2 2
∠ANB=∠NBE−∠NAB进行化简即可得到∠ANB与α，β的数量关系．
（5）根据四边形的内角和等于360°，可得∠DAB+∠ABC=360°−(α+β)，由平角的定义可得1 1
∠CBE=180°−∠ABC．根据角平分线的定义可得∠NAB= ∠DAB，∠NBE= ∠CBE，再根据
2 2
∠ANB=∠PAB−∠ABN进行化简即可得到∠ANB与α，β的数量关系．
【解题过程】
（1）∵∠CBA=40°，
∴∠CBD=180°−∠CBA=180°−40°=140°．
∵AM，BM分别平分∠CAB和∠CBD，
1 1 1 1
∴∠MAB= ∠CAB= ×58°=29°，∠MBD= ∠CBD= ×140°=70°，
2 2 2 2
∵∠MBD=∠AMB+∠MAB，
∴∠AMB=∠MBD−∠MAB=70°−29°=41°．
（2）∠AMB的大小不变，理由如下：
由（1）得∠AMB=∠MBD−∠MAB，
1 1
= ∠CBD− ∠CAB
2 2
1 1
= (180°−∠CBA)− ∠CAB
2 2
1 1
= (180°−y°)− x°
2 2
1 1
=90°− y°− x°
2 2
1
=90°− (x°+ y°)
2
1
=90°− m°
2
( 1 )
= 90− m °．
2
（3）∵四边形内角和等于360°，
而α+β=180°，
∴∠DAB+∠CBA=180°，
∵∠CBA+∠CBE=180°，
∴∠DAB=∠CBE，
∵AP，BQ分别平分∠DAB和∠CBE，1 1
∴∠PAB= ∠DAB，∠QBE= ∠CBE，
2 2
∴∠PAB=∠QBE，
∴AP∥BQ．
故答案为：平行
（4）∵四边形ABCD中α+β+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°−(α+β)，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=180°−∠ABC，
∵AN、BN分别平分∠DAB和∠CBE，
1 1
∴∠NAB= ∠DAB，∠NBE= ∠CBE，
2 2
∴∠ANB=∠NBE−∠NAB
1 1
= ∠CBE− ∠DAB
2 2
1 1
= (180°−∠ABC)− ∠DAB
2 2
1
=90°− (∠ABC+∠DAB)
2
1
=90°− [360°−(α+β)]
2
1
=90°−180°+ (α+β)
2
1
= (α+β)−90°．
2
（5）如图，α+β<180°时，∵四边形ABCD中α+β+∠DAB+∠ABC=360°，
∴∠DAB+∠ABC=360°−(α+β)，
∵∠ABC+∠CBE=180°，
∴∠CBE=180°−∠ABC．
∵AN、BN分别平分∠DAB和∠CBE，
1 1
∴∠PAB= ∠DAB，∠QBE= ∠CBE，
2 2
∴∠ANB=∠PAB−∠ABN，
=∠PAB−∠QBE
1 1
= ∠DAB− ∠CBE
2 2
1 1
= ∠DAB− (180°−∠ABC)
2 2
1 1
= ∠DAB−90°+ ∠ABC
2 2
1
= (∠DAB+∠ABC)−90°
2
1
= [360°−(α+β)]−90°
2
1
=180°− (α+β)−90°
2
1
=90°− (α+β)．
2
22．（12分）（23-24七年级下·江苏常州·期中）阅读下列材料并解答问题：
在一个三角形中，如果一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍，那么这样的三角形我们称为“优雅三
角形”，其中α称为“优雅角”．例如：一个三角形三个内角的度数分别是30°、90°、60°，这个三角形
就是“优雅三角形”，其中“优雅角”为90°．反之，若一个三角形是“优雅三角形”，那么这个三角形
的三个内角中一定有一个内角α的度数是另一个内角度数的3倍．
（1）一个“优雅三角形”的一个内角为120°，若“优雅角”为锐角，则这个“优雅角”的度数为
______．
（2）如图1，已知∠MON=60°，在射线OM上取一点A，过点A作AB⊥OM交ON于点B，以A为端
点画射线交线段OB于点C（点C不与点O、点B重合）．若△AOC是“优雅三角形”，求∠ACB的度
数．（3）如图2，△ABC中，点D在边BC上，DE平分∠ADB交AB于点E，F为线段AD上一点，且
∠AFE+∠ADC=180°，∠FED=∠C．若△ADC是“优雅三角形”，直接写出∠C的度数．
【思路点拨】
本题考查三角形的内角和定理，邻补角的性质．新定义的应用，解题的关键是能对新定义的理解和运用．
（1）结合“优雅三角形”的定义以及三角形的内角和性质列式计算，即可作答．
（2）先证明∠MON=60°，△AOC是“优雅三角形”，结合①当“优雅角”为60°；②当另两个角中有
优雅角这两个情况，分别得出∠ACB的度数为80°，∠ACB的度数为90°，以及∠ACB的度数为150°，
即可作答．
（3）进行角的运算得∠ADC=∠EFD，结合DE平分∠ADB以及△ADC是“优雅三角形”， 三角形的
内角和定理等性质，进行分类讨论，再逐一列式计算，即可作答．
【解题过程】
（1）解：一个“优雅三角形”的一个内角为120°，另两个角之和为：180°−120°=60°，
“优雅角”为锐角，根据“优雅三角形”的定义得：
3
60°× =45°，
4
故答案为：45°；
（2）解：∵AB⊥OM交ON于点B，
∴∠OAB=∠MAB=90°
，∵点C在线段OB上
∴0°≤∠OAC≤90°
∵∠MON=60°，△AOC是“优雅三角形”，
∴①当“优雅角”为60°时，另一个角为∠OAC=20°，则∠ACO=100°，∠ACB的度数为80°，
②当另两个角中有“优雅角”时，180°−60°=120°
即另两个角之和为120°，
根据“优雅三角形”的定义，
设另两个角的小的角为x°，则另两个角的大的角为3x°
则x°+3x°=120°
∴x°=30°
另两个角分别为：30°，90°，
若∠ACO=90°，则∠ACB的度数为90°，
若∠ACO=30°，此时点C与点B重合
则∠ACB的度数为150°
综上所述，∠ACB的度数为80°或90°或150°；
（3）解：∵∠AFE+∠ADC=180°，∠AFE+∠EFD=180°，
∴∠ADC=∠EFD，
∴EF∥BC，
∴∠FED=∠BDE
∵DE平分∠ADB交AB于点E，
∴∠FDE=∠BDE=∠FED
∵∠FED=∠C
∴∠C=∠EDB
∴ED∥AC
∴∠FDE=∠A
∵∠FDE=∠BDE=∠FED
∴∠FDE=∠BDE=∠FED=∠A
∴∠ADB=2∠A
∵△ADC是“优雅三角形”，
α
①当∠C=α，∠ADC= ，
3α
∠ADB=180°−
3
α 4
∵∠A=180°−∠C−∠ADC=180°−α− =180°− α，∠ADB=2∠A
3 3
α 4
∴∠ADB=180°− =(180°− α)×2，
3 3
540 540
解得α= °，∠C= °；
7 7
α
②当∠C=α，∠A= ，
2
∵∠ADB=2∠A
∴∠ADB=α
∵∠ADB是△ADC的外角，且∠C=α
∴∠ADB=α=∠C与∠ADB>∠C相矛盾
∴无解，故不符合题意；
α
③当∠ADC=α，∠A= ，
3
∵∠ADB=2∠A
α 2α
∴∠ADB=2× =
3 3
2α
∠ADB=180°−α= ，
3
解得α=108°，
∴∠A=36°
∵∠C=∠EDB，∠FDE=∠BDE=∠FED=∠A
∴∠C=36°
此时∠A+∠C+∠ADC=36°+36°+108°=180°，符合条件
∴α=108°，∠C=36°
α
④当∠ADC=α，∠C= ，
3
α
∵∠A=180°−α− ，∠ADB=2∠A
3
( α) ( 4 )
∴∠ADB=2∠A=2× 180°−α− =2× 180°− α
3 34α
∴∠ADB=180°−α=(180°− )×2，
3
540 180
解得α= °，∠C= °；
7 7
α
⑤当∠A=α，∠ADC= ，
3
∴∠ADB=2∠A=2α
α
∴∠ADB=180°− =2α，
3
解得α=108°，∠C=36°；
α
⑥当∠A=α，∠C= ，
3
∵∠C=∠EDB，∠FDE=∠BDE=∠FED=∠A
α
∴α≠ (α≠0)与∠A=∠C矛盾
3
∴无解，故不符合题意；
180 540
综上，∠C的度数为：36°， °， °
7 7
23．（13分）（22-23七年级下·江苏盐城·期中）典型题例：
（1）如图1，AD是△ABC的中线，△ABC与△ABD的面积有怎样的数量关系？为什么？
（2）如图2，AD是△ABC的中线，你能把一个三角形分成面积相等的4个三角形吗？试画出相应的图
形？（两种方法画图）
迁移应用：
（3）如图3，△ABC的两条中线AD，BE相交于点G，求证：S =S ；
ΔAGE ΔBGD（4）如图4，△ABC的三条中线AD，BE，CF相交于点G，
①请你写出所有与△AGE面积相等的三角形；
②写出AG与GD的数量关系式，并说明理由；
拓展应用；
（5）设△ABC的面积为a，如图①将边BC、AC分别2等份，BE 、AD 相交于点O，△AOB的面积记
1 1
为S ；如图②将边BC、AC分别3等份，BE 、AD 相交于点O，△AOB的面积记为S ；……，以此类
1 1 1 2
推，若S =3，则a的值为__________．
4
【思路点拨】
本题考查的是三角形的中线的性质、三角形的面积公式，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两个
三角形是解题的关键．
1
（1）根据过点A作AH⊥BC于点H，根据中心得出BD= BC，根据三角形的面积公式得出
2
1 1
S = BD⋅AH，S = BC⋅AH，即可求出结果；
△ABD 2 △ABC 2
（2）根据三角形面积的有关计算公式进行求解即可．
1 1
（3）根据三角形的中线的性质得到S = S ，同理可得S = S ，证明结论；
ΔACD 2 ΔABC ΔBEC 2 ΔABC
（4）①根据三角形的中线的性质、结合图形判断；
②根据高相等的两个三角形的面积比等于底的比证明；
（5）利用三角形的面积公式，求出前三个图形的面积，再得出规律，根据规律列出方程便可求得a．
【解题过程】
1
解：（1）S = S ；理由见如下：
△ABD 2 △ABC过点A作AH⊥BC于点H，如图所示：
∵AD是△ABC的中线，
1
∴BD= BC，
2
1 1
∵S = BD⋅AH，S = BC⋅AH，
△ABD 2 △ABC 2
1
∴S = S ；
△ABD 2 △ABC
（2）方法一：取BC的四等分点E、D、F，连接AD、AE、AF，此时分的四个三角形面积相等，如图所
示：
1
∵BE=DE=DF=CF= BC，
4
1
∴S =S =S =S = S ；
△ABE △ADE △ADF △AFC 4 △ABC
方法二：取AB、BC、AC的中点E、D、F，连接AD、DE、DF，则此时的四个三角形面积相等，如图
所示：
∵D为BC的中点，
∴BD=CD，
1
∴S =S = S ，
△ABD △ACD 2 △ABC1 1
同理得：S =S = S ，S =S = S ，
△ADE △BDE 2 △ABD △CDF △ADF 2 △ADC
1
∴S =S =S =S = S ；
△ADE △BDE △CDF △ADF 4 △ABC
（3）∵AD是△ABC的中线，则
1
∴S = S ，
ΔACD 2 ΔABC
1
同理S = S ，
ΔBEC 2 ΔABC
∴S =S ，
ΔACD ΔBEC
∴S =S ；
ΔAGE ΔBGD
（4）①S =S =S =S =S =S ；
ΔCGE ΔCDG ΔBGD ΔBFG ΔAFG ΔAGE
∴与△AGE面积相等的三角形有△CGE，△CDG，△BGD，△BFG，△AFG；
②AG=2GD，
理由如下：∵S =S =S ，
ΔBGD ΔBFG ΔAFG
∴S =2S ，
ΔABG ΔDBG
∴AG=2GD；
（5）在图①中，连接OC，
∵AE =CE BD =CD
1 1 1 1
， ，
1 1
∴ S =S ，S =S ，S =S = S = a，
△OAE 1 △OCE 1 △OBD 1 △OCD 1 △ABE 1 △ABD 1 2 ΔABC 2
∵ S =S −S ，S =S −S ，
△OAE △ABE ΔOAB △OBD △ABD ΔOAB
1 1 1 1
∴ S =S ，
△OAE △OBD
1 1
∴ S =S =S =S ，
△OAE △OCE △OBD △OCD
1 1 1 1
设S =S =S =S =x，则
△OAE △OCE △OBD △OCD
1 1 1 1{ S +x= 1 a)
1 2 ，
S +4x=a
1
1
解得S = a；
1 3
在图②中，连接OE 、OC、OD ，
2 2
1
则S =S = a，S =S =S =S =S =S ，
△ABE 1 △ABD 1 3 △OAE 1 △OE 1 E 2 △OCE 2 △OBD 1 △OD 1 D 2 △OCD 2
设S =S =S =S =S =S =x，则
△OAE △OE E △OCE △OBD △OD D △OCD
1 1 2 2 1 1 2 2
{ S +x= 1 a)
2 3 ，
S +6x=a
2
1
解得S = a；
2 5
在图③中，连OE 、OE 、OC、OD 、OD ，
2 3 2 3
1
则S =S = a，S =S =S =S =S =S =S =S ，
△ABE 1 △ABD 1 4 △OAE 1 △OE 1 E 2 △OE 2 E 3 △OCE 3 △OBD 1 △OD 1 D 2 △OD 2 D 3 △OCD 3
设S =S =S =S =S =S =S =S =x，则
△OAE △OE E △OE E △OCE △OBD △OD D △OD D △OCD
1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3{ S +x= 1 a)
3 4 ，
S +8x=a
3
1
解得S = a，
3 7
.....．
1
由可知，S = a，
n 2n+1
∵S =3，
4
1
∴ a=3，
2×4+1
解得a=27．
故答案为：27．
