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2022 届新高考数学提分计划之函数与导数
新高考 I 专用（6）
1.若函数 是 上的单调递增函数，则实数a的取值范围是( )
A. B. C. D.
2.已知 ， ， ，则( )
A. B.
C. D.
3.某种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减.现医生为某病人注射了2000 mg
该药物，那么x小时后病人血液中这种药物的含量为( )
A. B.
C. D.
4.已知函数 是定义在R上的偶函数，当 时， .则 的解集是(
)
A. B.
C. D.
5.已知 .设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，
则 的取值范围为( )
A. B. C. D.
6. （多选）我们把定义域为 且同时满足以下两个条件的函数 称为“ 函数”：
（1）对任意的 ，总有 ；（2）若 ， ，则有 成立.
下列判断正确的是( )
A.若 为“ 函数”，则
B.若 为“ 函数”，则 在 上为增函数C.函数 在 上是“ 函数”
D.函数 在 上是“ 函数”
7. （多选）对于函数 ，下列说法正确的是( )
A. 在 处取得极大值
B. 有两个不同的零点
C.
D.若 在 上恒成立，则
8.已知函数 且 ，则 ___________.
9.已知函数 ， ，当 时，不等式 恒成立，则
实数a的取值范围为____________.
10.已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)设a，b为两个不相等的正数，且 ，证明： .答案以及解析
1.答案：C
解析： 是 上的单调递增函数，
，即 ，故选C.
2.答案：A
解析： ， ， ，因此 ，
.
又 ， ， ，即 ，从而 ，故选A.
3.答案：B
解析：由题意知，该种药物的含量在病人血液中以每小时20%的比例递减，给某病人注射了
2000 mg 该 药 物 ， x 个 小 时 后 病 人 血 液 中 这 种 药 物 的 含 量 为
，故选B.
4.答案：B
解析：当 时， ，则 在 上为增函数，
且 ，
又函数 是定义在R上的偶函数，
所以 ，
利用特殊值、奇偶性，将不等式等价转化为在同一单调区间内两函数值的大小关系，利用单
调性解决问题.
解得 ，即x的取值范围为 ，故选B.
5.答案：C
解 析 ： 解 法 一 当 时 ， 不 等 式 恒 成 立 ， 排 除 D; 当 时 ，
当 时， 的最小值为 ，满足;当 时，由 可得 ，易得 在 处取得极
小值(也是最小值) ，满足 恒成立，排除A，B.故选C.
解法二 若 ，当 时，可得 的最小值为
，令 ，解得 ，故 ;当 时，可得 的最小值为
，满足条件.所以 .
若 ，由 可得 ，当 时， ，则 单调递增，
故只需 ，显然成立;当 时，由 可得 ，易得 的最小值为
，令 ，解得 ，故 ，所以 .综上， 的取值范围是
.
6.答案：AD
解析：对于选项A，由条件（1）知， ，则 ，由条件（2）知， ，
即 ，所以 ，A正确；
对于选项B，当 时，符合条件（1），（2）， 是“ 函数”，但 在
上不是增函数，B错误；
对 于 选 项 C ， 取 ， ， 则 ， ，
，不满足 ，所以 不是“ 函数”，
C错误；
对于选项D， 在 上单调递增，所以 ，满足条件（1），
，当 ， 时，
，此时 ，满足条件（2），D正确.故选AD.
7.答案：ACD
解析：易知函数 的定义域为 ， ，当 时， ，单调递增，当 时， ， 单调递减，所以 在 处取得极大值
，A正确；令 ，则 ，即 ，故 只有一个零点，B错误；显然
， 因 此 ， 易 知 ，
，设 ，则 ，当 时， ，
单调递减，而 ，所以 ，即 ，所以 ，所以
，C 正确；令 ，则 ，当
时， ，当 时， ，所以 在 处取得极大值
也是最大值 ，因为 在 上恒成立，所以 ，D正确.故选
ACD.
8.答案：
解析：当 时， ，故 ，则 ，
，得 ， ，故答案为 .
9.答案：
解 析 ： 由 题 可 知 ， 当 时 ， 不 等 式 恒 成 立 ， 设
，则 在 上是增函数，则 在上恒成立，即 在 上恒成立.令 ，则 ，当
时， ， 单调递减，当 时， ， 单调递增.所以
，所以 .
10.答案：（1）由题可得 ，
所以当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 在 单调递增， 在 单调递减.
（2）由 ，得 ，
即 .
令 ， ，则 ， 为 的两根，其中 .
不妨令 ， ，则 ，
先证 ，即证 ，
即证 .
令 ，
则 .
因为 ，所以 .
所以在 内， 恒成立，所以 单调递增，
所以 ，所以 ，所以 得证.
同理，不妨令 ， ，则 .要证 ，
即证 .
令 ， ，
则 ，令 ，当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
又 ， ，且 ，
故 ， ，
，
所以 恒成立，所以 得证，
所以 .
