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2022 届新高考数学提分计划之函数与导数
新高考 I 专用（5）
1.已知 ，且 ，则 ( )
A.4 B.0 C.2m D.
2.函数 在 的图象大致为( )
A. B.
C. D.
3.设 ，函数 ，使 的x的取值范围是( )
A. B.
C. D.
4.已知函数 有且只有一个极值点，则实数a的取值范围为( )
A. B. C. D.5.已知函数 若 的零点个数为4，则实数a的
取值范围为( )
A. B.
C. D.
6. （多选）设函数 ，对于任意的 ， ，下列式子成立的是( )
A.
B.
C.
D.
7. （多选）已知函数 ，下列关于函数 的单调性说法正确的有
( )
A.当 时， 在 上单调递减
B.若 的单调递减区间是 ，则a的值为-1
C.若 在区间 上是减函数，则a的取值范围是
D. 在区间 上不可能是减函数
8.把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ℃，空气的温度是 ℃，t min后物体
的温度 可由公式 求得.把温度是100℃的物体，放在10℃的空气中
冷却t min后，物体的温度是40℃，那么t的值约等于_______________（. 保留两位小数，参考
数据： ）9.若函数 的值域为R，则实数a的取值范围是______________.
10.已知函数 .
（1）当 时，试判断函数 的单调性；
（2）若 ，且当 时， 恒成立， 有且只有一个实数解，证明：
.答案以及解析
1.答案：A
解 析 ： 令 ， 易 知 为 奇 函 数 ， 则 ，
， ，
， ， .
2.答案：B
解析：设 ，则 ， 为奇函数，排除选
项C；当 时， ，排除选项D；当 时， ，排除选项
A.故选B.
3.答案：C
解 析 ： . ， ， 即
.又 ， ，因此 ，
由 得 .故选C.
4.答案：A
解析：易知函数 的导数 ，令 ，得 ，即
.设 ，则 ，当 时，
；当 时， 或 ，所以函数 在区间 和 上单调递减，
在区间 上单调递增.因为函数 有且只有一个极值点，所以直线
与函数 的图象有一个交点，作出 的图象如图
所示.由图得 或 .当 时， 恒成立，所以 无极值，所以.
5.答案：A
解析：作出函数 的图象，如图.
设 ，根据函数图象有：
当 时，方程 有2个实数根；
当 时，方程 有3个实数根；
当 时，方程 有2个实数根；
当 时，方程 有1个实数根；
当 时，方程 没有实数根.
由函数 的图象与直线 的交点个数，得到方程 的实数解的个数.
因为 的零点个数为4，所以方程 有两个不相等
的实数根 ， ，不妨设 ，则 或 或 ， .
设函数 .则 或 或
解得 或 .故选A.
6.答案：ACD
解 析 ： ， ， 所 以 A 成 立 ；
， ，所以 B 不成立；易知函数
在 R 上 是 单 调 递 增 函 数 ， 则 ， 所 以 C 成 立 ；
说明函数图象是下凹的，而函数 图象是下凹的，所以D
成立.故选ACD.
7.答案：AC
解析：当 时， ，其单调递减区间是 ，因此 在 上单调
递减，A正确；由 的单调递减区间是 ,得 此时a的值不存在，B错
误；当 时, ,在 上是减函数；当 时，由 得
,综上,a的取值范围是 ,C正确；当 时，由 在区间 上是减函数得 解得 ，因此当 时， 在区间 上是减函数，D错误.故选
AC.
8.答案：4.58
解析：由题意可得 ，化简可得 ， ，
， .
9.答案：
解析：当 时， ，从而 .
设 时， 的值域为B，则 .
因此 解得 .
故a的取值范围是 .
10.答案：（1）【解】当 时， ，
则 ，
所以当 时， ，此时函数 单调递增；
当 时， ，此时函数 单调递减.
综上，函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减.
（2）【证明】由题意可得 ，令 ，解得
.
因为 ，所以 ，
所以 在 上有唯一零点 .
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减.所以 .
因为 在 上恒成立，且 有且只有一个实数解，所以 即
消去a并整理得 .
令 ，则 ，
在 上恒成立，所以 在 上单调递增，
又 ，所以 .
又 ，且函数 在 上单调递增，
所以 .
