文档内容
专题 24.6 切线的判定与性质【十大题型】
【人教版】
【题型1 添加条件使直线为切线】..........................................................................................................................1
【题型2 连半径证垂直证明是切线】......................................................................................................................2
【题型3 作垂直证半径证明是切线】......................................................................................................................4
【题型4 由切线的性质求线段长度】......................................................................................................................5
【题型5 由切线的性质求角度】..............................................................................................................................6
【题型6 利用切线的性质进行证明】......................................................................................................................7
【题型7 作圆的切线】..............................................................................................................................................9
【题型8 利用切线的判定与性质判断结论正误】...............................................................................................10
【题型9 利用切线的判定与性质进行求值或证明】...........................................................................................11
【题型10 切线的应用】............................................................................................................................................13
知识点：切线的判定与性质
（1）切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
②和圆只有一个公共点的直线是圆的切线（定义法）
③如果圆心到一条直线的距离等于圆的半径，那么这条直线是圆的切线
（2）切线判定常用的证明方法：
①知道直线和圆有公共点时，连半径，证垂直；
②不知道直线与圆有没有公共点时，作垂直，证垂线段等于半径．
（3）切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
【题型1 添加条件使直线为切线】
【例1】（23-24九年级·河北衡水·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是⊙O外一
点，过点A作AE⊥CD，垂足为E，连接OC．若使CD切⊙O于点C，添加的下列条件中，不正确的是
（ ）A．OC∥AE B．∠OAC=∠CAE C．∠OCA=∠CAE D．OA=AC
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，已知∠AOB=30°，M为OB边上任意一点，以M为
圆心，2cm为半径作⊙M，当OM= cm时，⊙M与OA相切.
【变式1-2】（23-24九年级·全国·期末）如图，A、B是⊙O上的两点，AC是过A点的一条直线，如果
∠AOB=120°，那么当∠CAB的度数等于 度时，AC才能成为⊙O的切线．
【变式1-3】（23-24九年级·北京·期末）在下图中，AB是⊙O的直径，要使得直线AT是⊙O的切线，需
要添加的一个条件是 ．（写一个条件即可）
【题型2 连半径证垂直证明是切线】
【例2】（2024九年级·江苏·专题练习）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB=AD，
AE是⊙O的弦，∠AEC=30°．(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
【变式2-1】（2024·江苏镇江·中考真题）如图，将△ABC沿过点A的直线翻折并展开，点C的对应点C′落
在边AB上，折痕为AD，点O在边AB上，⊙O经过点A、D．若∠ACB=90°，判断BC与⊙O的位置
关系，并说明理由．
【变式2-2】（2024·山东青岛·一模）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AC是⊙O的直径，D为B´C的
中点，∠ABE=∠C，E在CA的延长线上．
(1)EB是⊙O的切线吗？为什么？
1
(2)若DB= AC，则∠DBC的度数为______°．
2
【变式2-3】（2024·上海青浦·模拟预测）如图1，AB为半圆的直径，点O为圆心，AF为半圆的切线，过
半圆上的点C作CD∥AB交AF于点D，连接BC．(1)连接DO，若BC∥OD，求证：CD是半圆的切线；
(2)如图2，当线段CD与半圆交于点E时，连接AE，AC，判断∠AED和∠ACD的数量关系，并证明你
的结论．
【题型3 作垂直证半径证明是切线】
【例3】（2024·江苏扬州·中考真题）如图，四边形ABCD中，AD//BC，∠BAD=90°，CB=CD，连
接BD，以点B为圆心，BA长为半径作⊙B，交BD于点E．
（1）试判断CD与⊙B的位置关系，并说明理由；
（2）若AB=2❑√3，∠BCD=60°，求图中阴影部分的面积．
【变式3-1】（23-24九年级·广西防城港·期末）如图，O为正方形ABCD对角线上一点，以O为圆心，OA
的长为半径的⊙O与CD相切于点M，
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）若正方形的边长为1，求⊙O的半径．
【变式3-2】（23-24九年级·山西·期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC的平分线交BC于点
D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB＝5，EB＝3．
（1）求证：AC是⊙D的切线；
（2）求线段AC的长．【变式3-3】（23-24九年级·辽宁大连·期末）如图1，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB
与□O相切于点D，底BC交⊙O于点E，F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）如图2，连接AF，DF，AF交⊙O于点G，点D是弧EG的中点，若AD=2，AF=4，求⊙O的半
径．
【题型4 由切线的性质求线段长度】
【例4】（23-24九年级·重庆忠县·期中）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠ACB=67.5°．点D是
AO延长线上一点，且BD与⊙O相切于点B，若⊙O的半径为1，则AD长为（ ）
2
A．1+❑√2 B．1+❑√3 C．1+ ❑√3 D．3
3
【变式4-1】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，PA与⊙O相切于点A，PO交⊙O于点B，点C在PA
上，且CB=CA．若OA=5，PA=12，则CA的长为 ．【变式4-2】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，AB是⊙O的直径，AB=4，AC与⊙O相切于点A，
OC交⊙O于点D，连接BD，若∠C=30°，则BD的长为（ ）
A．4 B．❑√3 C．2 D．2❑√3
【变式4-3】（2024·海南海口·模拟预测）如图，PA与⊙O相切于点A，PO与弦AB相交于点C，
OB⊥OP，若OB=3，OC=1，则PA的长为 ．
【题型5 由切线的性质求角度】
【例5】（2024·海南海口·模拟预测）如图，在△ABC中，∠B=90°，圆O与AB交于点D，与BC相切于
点C，∠BAC=32°，则∠ADO= ．
【变式5-1】（23-24九年级·重庆九龙坡·开学考试）如图，AB是⊙O的直径，AE⊥EP，垂足为E，直
线EP与⊙O相切于点C，AE交⊙O于点D，直线EC交AB的延长线于点P，连接AC，若∠APC=36°，则∠CAE的度数是（ ）
A．27° B．18° C．30° D．36°
【变式5-2】（2024九年级·江苏·专题练习）如图，正六边形ABCDEF的边CD，EF与⊙O相切于点C，
F，连接OF，CO，则∠COF的度数是（ ）
A．120° B．144° C．150° D．160°
【变式5-3】（2024九年级·全国·专题练习）如图PA、PB、CD分别切⊙O于A、B、E，∠APB=54°
，则∠COD=（ ）
A．36° B．63° C．126° D．46°
【题型6 利用切线的性质进行证明】
【例6】（2024·山西大同·三模）如图，以△ABC的一边AB为直径作⊙O，点C恰好落在⊙O上，射线
CP与⊙O相切于点C．(1)尺规作图：过点B作BD⊥CP于点D，延长DB交⊙O于点E，连接CE；（保留作图痕迹，标明相应
字母，不写作法）
(2)在（1）的条件下证明：∠ABE=2∠BEC．
【变式6-1】（23-24九年级·福建莆田·期中）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以BC为直径的⊙O交
AB于点D，切线DE交AC于点E．
(1)求证：AE=DE；
(2)若AD=8，DE=5，求BC的长．
【变式6-2】（23-24九年级·安徽蚌埠·期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，AB⊥CD
于点M，连接OD．
(1)若∠ODB=54°，求∠BAC的度数；
(2)AC，DB的延长线相交于点F，CE是⊙O的切线，交BF于点E，若CE⊥DF，求证：AC=CD．
【变式6-3】（2024·广东梅州·模拟预测）如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，切点分别为
A、B，直线PO交⊙O于点D、E，交AB于点C．(1)求证∶∠ADE=∠PAE．
(2)若∠ADE=30°，连接BD，求证：四边形ADBP是菱形．
【题型7 作圆的切线】
【例7】（2024·江苏镇江·一模）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A、B、C均
落在格点上．
(1)△ABC的周长为______．
(2)请在如图所示的网格中，用无刻度的直尺在AC上确定一点M，使以点M为圆心，以MC为半径的⊙M
与AB相切．（保留作图痕迹）
【变式7-1】（23-24九年级·广东广州·期末）如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=12，
CD=AD+BC．
(1)尺规作出以AB为直径的圆⊙O（保留作图痕迹，不写作法）；
(2)判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由．
【变式7-2】（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，
B，以AB为直径的半圆的圆心为O，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图：(1)请在图1中作出△ABC的AC边上的高BD；
(2)请在图2中线段BC上确定一点F，使得OF∥AC；
(3)请在图3中作出⊙O的切线AE．
【变式7-3】（2024·山东德州·中考真题）如图，∠BPD=120°，点A、C分别在射线PB、PD上，
∠PAC=30°，AC=2❑√3．
（1）用尺规在图中作一段劣弧，使得它在A、C两点分别与射线PB和PD相切．要求：写出作法，并保留
作图痕迹；
（2）根据（1）的作法，结合已有条件，请写出已知和求证，并证明；
（3）求所得的劣弧与线段PA、PC围成的封闭图形的面积．
【题型8 利用切线的判定与性质判断结论正误】
【例8】（2024九年级·安徽·专题练习）如图，已知△ABC，以AB为直径的☉O交AC于点E，交BC于
点D，且BD=CD，DF⊥AC于点F．给出以下结论：①DF是☉O的切线;②CF=EF；③A´E=D´E.其中正确
结论的序号是( )
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【变式8-1】（23-24九年级·安徽合肥·期末）P为⊙O的直径AB的延长线上一点，C为⊙O上一点，分别
连接CP、AC，PM平分∠APC，交AC于M，则下列命题为假命题的是（ ）A．若 ，则 ˙ B．若 ，则
AC=PC
∠PMC=3∠MPC
PC=PO ∠ACP=3∠PAC
C．若OA=PB，则∠PAC=30° D．若PC切⊙O于C点，则∠PMC=45°
【变式8-2】（2014·江苏无锡·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与
AB的延长线交于点C，∠A=30°，给出下面3个结论：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC，其中正确结论
的个数是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【变式8-3】（23-24九年级·河北保定·期中）在黑板上有如下内容：“如图，AB是半圆O所在圆的直径，
AB=2，点C在半圆上，过点C的直线交AB的延长线于点D．”王老师要求添加条件后，编制一道题目，
下列判断正确的是（ ）
嘉嘉：若给出∠DCB=∠BAC，则可证明直线CD是半圆O的切线；
淇淇：若给出直线CD是⊙O的切线，且BC=BD，则可求出△ADC的面积．
A．只有嘉嘉的正确 B．只有淇淇的正确
C．嘉嘉和淇淇的都不正确 D．嘉嘉和淇淇的都正确
【题型9 利用切线的判定与性质进行求值或证明】
【例9】（23-24九年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，△ABC中，AB=AC，点O在边AB上，⊙O过
点B且分别与边AB、BC相交于D、E两点，EF⊥AC，点F为垂足．(1)求证：直线EF是⊙O的切线；
(2)当△ABC是等边三角形，且直线DF与⊙O相切时，直接写出长度为线段BE长度2倍的所有线段．
【变式9-1】（2024·辽宁沈阳·二模）如图，AB与⊙O相切于点B，AO交⊙O于点F，延长AO交⊙O于
点C，连接BC，点D为⊙O上一点，且D´F=B´F，连接AD．
(1)求证：AD是⊙O的切线；
(2)若AB=6，AC=8，求⊙O的半径的长．
【变式9-2】（2024·陕西西安·模拟预测）如图，在△ABC中，以边AC上一点O为圆心，OA为半径作
⊙O，与AB相切于点A．作CD⊥BO交BO的延长线于点D，且∠CBD=∠DCO．
(1)求证：BC是⊙O的切线；
(2)若AB=5，BC=13，求⊙O的半径．
【变式9-3】（23-24九年级·广东·单元测试）如图1，AB为⊙O直径，CB与⊙O相切于点B，D为⊙O
上一点，连接AD、OC，若AD∥OC．(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)如图2，过点A作AE⊥AB交CD延长线于点E，连接BD交OC于点F，若AB=3AE=12，求BF的
长．
【题型10 切线的应用】
【例10】（2024·福建宁德·二模）综合与实践：
任务一：确定弦的长度．如图2，求A´B所对弦AB的长度．
任务二：设计甲组扇面．如图3，已知甲组的圆形卡纸直径为30❑√3cm．请运用所给工具在⊙O 中设计与
1
图2相同的扇面，并标出相应数据．
任务三：确定卡纸大小．如图4，乙组利用矩形卡纸EFGH，恰好设计出与图2相同的扇面，求矩形卡纸
的最小规格（即矩形的边长）．
活
动
扇面制作
主
题
如图1，扇面字画是一种传统的中国艺术形式，它将字和绘画结合在扇面上，形成一种独特的艺术
风格．为了迎接我市传统民俗文化活动的到来，某班组织同学们开展扇面制作展示活动．如图2，
扇面形状为扇环，且∠AOB=120°，OA=30cm，OD=15cm．
活
动
情
景
活
动
甲组 乙组
小
组
制
作
直尺、三角板、量角器、圆规、剪刀
工
具制
作
材
料
【变式10-1】（23-24九年级·浙江杭州·）图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，已知AB⊥PQ
，AP=AQ=3dm, AB=12dm，点A在中轴线l上运动，点B在以O为圆心，OB长为半径的圆上运动，
且OB=4dm，如图3，当点B按逆时针方向运动到B′时，A′B′与⊙O相切，则A A′= dm．
【变式10-2】（2024·河北邯郸·模拟预测）粒子加速器是当今高能物理学中研究有关宇宙的基本问题的重
要工具．图1，图2是某环形粒子加速器的实景图和构造原理图，图3是粒子加速器的俯视示意图，⊙O
是粒子真空室，C、D是两个加速电极，高速飞行的粒子J在A点注入，在粒子真空室内做环形运动，每次
经过C´D 时被加速，达到一定的速度在B点引出，粒子注入和引出路径都与⊙O相切．已知：AB=16km
，粒子注入路径与AB夹角α=53°，C´D所对的圆心角是60°．
(1)求∠ABE的度数；
(2)通过计算，比较C´D与A´B的长度哪个更长；
3
(3)直接写出粒子J在环形运动过程中，粒子J到AB的最远距离．（相关数据： tan37°≈ ）
4
【变式10-3】（2013·浙江温州·中考真题）一块矩形木板，它的右上角有一个圆洞，现设想将它改造成火
锅餐桌桌面，要求木板大小不变，且使圆洞的圆心在矩形桌面的对角线交点上．木工师傅想到了一个巧妙的办法，他测量了PQ与圆洞的切点K到点B的距离及相关数据（单位：cm）后，从点N沿折线
NF−FM（NF∥BC，FM∥AB）切割，如图1所示．图2中的矩形EFGH是切割后的两块木板拼
接成符合要求的矩形桌面示意图（不重叠、无缝隙、不计损耗），则CN，AM的长分别是 ．
