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第二章 函数与基本初等函数（基础卷）
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.）
1．（2022·江西·南昌十中模拟预测（文））设全集 ，集合 ，
则 （ ）
A．（1，2） B．（1，2]
C．（2，+ ∞） D．[2，+ ∞）
2．（2022·山西·高二阶段练习）若函数 ，且 ，则实数 的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
3．（2022·山西运城·高二阶段练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”
的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 ，用 表示不超过x的最大整数，则 称为高斯
函数，例如： ．已知函数 ，则函数 的值域为
（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷
制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和 的关系，
其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是 ．下列结论中正确的是（ ）
A．当 ， 时，二氧化碳处于液态
B．当 ， 时，二氧化碳处于气态
C．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
D．当 ， 时，二氧化碳处于超临界状态
5．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））已知函数 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
6．（2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测（理））已知函数 对任意实数x都有 ，并
且对任意 ，都有 ，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2022·陕西省丹凤中学高一阶段练习）若 是定义在 上的增函数，实数 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·青海玉树·高三阶段练习（理））已知函数 ，若函数 有三
个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二､多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）
9．（2022·广东茂名·高一期末）甲、乙两位股民以相同的资金进行股票投资，在接下来的交易时间内，甲
购买的股票先经历了一次涨停（上涨10%），又经历了一次跌停（下跌10%），乙购买的股票先经历了一
次跌停（下跌10%），又经历了一次涨停（上涨10%），则甲，乙的盈亏情况（不考虑其他费用）为（
）
A．甲、乙都亏损 B．甲盈利，乙亏损 C．甲亏损，乙盈利 D．甲、乙亏损的一样多
10．（2022·江西·赣州市第三中学高一期中）若 ，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．（2022·全国·高三专题练习）设函数 是定义在区间 上的奇函数 ，则
下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．12．（2022·浙江·平湖市当湖高级中学高二阶段练习）已知函数 ，则下列结
论中正确的是（ ）
A．函数 的定义域是
B．函数 是偶函数
C．函数 在区间 上是减函数
D．函数 的图象关于直线 对称
三､填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分，其中第16题第一空2分，第二空3分.
）
13．（2022·河北石家庄·高三阶段练习）若 是奇函数，当 时， ，则
___________．
14．（2022·河北沧州·模拟预测）生物入侵是指生物由原生存地侵入到另一个新的环境，从而对入侵地的
生态系统造成危害的现象.若某入侵物种的个体平均繁殖数量为 ，一年四季均可繁殖，繁殖间隔 为相邻
两代间繁殖所需的平均时间.在物种入侵初期，可用对数模型 （ 为常数）来描述该物种累计
繁殖数量 与入侵时间 （单位：天）之间的对应关系，且 ，在物种入侵初期，基于现有数据得
出 ， .据此估计该物种累计繁殖数量比初始累计繁殖数量增加 倍所需要的时间为（ ，
）____________天.
15．（2022··模拟预测（理））已知函数 ，则不等式 的解集为
___________.
16．（2022·黑龙江·齐齐哈尔市第八中学校高一开学考试）已知函数 ，若函数
有4个零点 ， ， ， ，则 ____________；若关于 的方程
有 个不相等的实数根，则 的取值范围是____________．
四、解答题（本题共6小题，共70分，其中第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字
说明､证明过程或演算步骤.）
17．（2022·贵州六盘水·高一期中）已知定义域为 的函数 是奇函数.
(1)求 的值；
(2)判断函数 的单调性并证明.18．（2022·重庆市巫山大昌中学校高一期末）已知函数 ，且点 在函数 的图
象上.
(1)求函数 的解析式，并在图中的直角坐标系中画出函数 的图象；
(2)若方程 有两个不相等的实数根，求实数 的取值范围.
19．（2022·湖南·高一课时练习）某企业生产 ， 两种产品，根据市场调查和预测， 产品的利润 （万
元）与投资额 （万元）成正比，其关系如图（1）所示； 产品的利润 （万元）与投资额 （万元）的
算术平方根成正比，其关系如图（2）所示．
(1)分别将 ， 两种产品的利润表示为投资额的函数；
(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入 ， 两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能
使企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元（精确到1万元）？
【答案】(1) ， ；(2)当 产品投入3.75万元， 产品投入6.25万元，企业获得最大利润为 万元，即4.0625万元．
20．（2022·上海静安·模拟预测）因函数 的图像形状象对勾，我们称形如“
”的函数为“对勾函数”．
(1)证明对勾函数具有性质：在 上是减函数，在 上是增函数．
(2)已知 ， ，利用上述性质，求函数 的单调区间和值域；
(3)对于（2）中的函数 和函数 ，若对任意 ，总存在 ，使得
成立，求实数 的取值范围．
21．（2022·上海市七宝中学模拟预测）已知定义在区间 上的两个函数 和 ，其中
， .
(1)求函数 的最小值 ；
(2)若对任意 ， 恒成立，求 的取值范围.
22．（2022·河南焦作·高一期中）定义：如果函数 在定义域内的给定区间 上存在 （
），满足 ，则称函数 为 上的“平均值函数”， 为它的平均
值点．
(1)函数 是否为 上的“平均值函数”？如果是，请求出它的平均值点；如果不是，请说明理由．
(2)若函数 是 上的平均值函数，求实数 的取值范围．
