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第 10 讲 高考难点突破二：圆锥曲线的综
合问题（定值问题）(精讲）
目录
题型一：椭圆中的定值问题
角度1：椭圆中的定值问题
角度2：椭圆中的定直线问题
题型二：双曲线中的定值问题
角度1：双曲线中的定值问题
角度2：双曲线中的定直线问题
题型三：抛物线中的定值问题
角度1：抛物线中的定值问题
角度2：抛物线中的定直线问题
题型一：椭圆中的定值问题
角度1：椭圆中的定值问题
典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ，离
心率 ， 为椭圆上一动点， 面积的最大值为2.
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ， 分别是椭圆 长轴的左、右端点，动点 满足 ，连接 交椭圆于点 ， 为坐标
原点.证明： 为定值.
例题2．（2022·云南玉溪·高二期末）已知点 ，圆 ： ，点 是圆 上的动点，
的垂直平分线与 交于点 ，记 的轨迹为 ．
(1)求 的方程；
(2)设经过点 的直线 与 交于 ， 两点，求证： 为定值，并求出该定值．
例题3．（2022·湖南衡阳·高二期末）已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右顶点， 是
直线 上的一动点( 的纵坐标不为零且 不在椭圆 上)，直线 与椭圆 的另一交点为 ，直线
与椭圆 的另一交点为 ，直线 与 轴的交点为 ，且 面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，证明 为定值.
例题4．（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆 的右焦点为 ，上顶点为 ，
为坐标原点， ，点 在椭圆 上．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设经过点 且斜率不为 的直线 与椭圆 相交于 ， 两点，点 ， ．若 ， 分别为直线 ， 与 轴的交点，记 ， 的面积分别为 ， ，求 的值．
同类题型归类练
1．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知 ， 为椭圆 ： 的左、右焦点，过点
且垂直于 轴的直线被 截得的弦长为3，过点 的直线交 于 ， 两点.
(1)求 的方程；
(2)若直线 的斜率不为0，过 ， 作直线 的垂线，垂足分别是 ， ，设 与 交于点 ，
直线 与 轴交于点 ，求证： 为定值.
2．（2022·湖南·新邵县教研室高二期末）设椭圆 ： 的离心率为 ，焦距为2，过
右焦点 的直线 与椭圆交于A， 两点，点 ，设直线 与直线 的斜率分别为 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)随着直线 的变化， 是否为定值？请说明理由.3．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆 过点 ，且点 到其两个焦点距
离之和为4.
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为原点，点 为椭圆 的左顶点，过点 的直线 与椭圆 交于 两点，且直线 与 轴不
重合，直线 分别与 轴交于 两点.求证： 为定值.
4．（2022·北京平谷·高二期末）已知椭圆 的短轴的两个端点分别为 ，
离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设点 ，点 为椭圆 上异于 的任意一点，过原点且与直线 平行的直线与直线 交于
点 ，直线 与直线 交于点 ，求证： 为定值.
角度2：椭圆中的定直线问题
典型例题
例题1．（2022·全国·模拟预测）已知椭圆 ： 的右焦点为 ， ，过点 的直线
与椭圆 交于 ， 两点．
(1)若直线 的斜率为3，求 的值．
(2)过点 且与 轴垂直的直线 交直线 于点 ，探究：点 是否在某一条定直线上？若是，求出该直线的方程；若不是，请说明理由．
例题2．（2022·全国·高三专题练习）椭圆 ： 的焦点 ， 是等轴双曲线 ：
的顶点，若椭圆 与双曲线 的一个交点是P， 的周长为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)过点 任作一动直线 交椭圆 与 两点，记 ，若在直线 上取一点 ，
使得 ，试判断当直线 运动时，点 是否在某一定直线上运动？若是，求出该直线的方程；
若不是，请说明理由.
例题3．（2022·广西·高二期末（文））在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的
焦距为4，且过点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设椭圆 的上顶点为 ，右焦点为 ，直线 与椭圆交于 ， 两点，问是否存在直线 ，使得 为
的垂心（高的交点），若存在，求出直线 的方程：若不存在，请说明理由.
同类题型归类练
1．（2022·广东广州·高二期末）已知椭圆 的焦距为2，且过点 ．不过原
点 的直线 与椭圆 交于不同的 ， 两点，且直线 ， ， 的斜率依次成等比数列．
(1)求椭圆 的方程；
(2)椭圆 上是否存在一点 ，使得四边形 为平行四边形？若存在，求出直线 的方程；若不存在，
请说明理由．2．（2022·上海青浦·二模）已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线 交 于 两点．
(1)若直线 垂直于 轴，求线段 的长；
(2)若直线 与 轴不重合， 为坐标原点，求 面积的最大值；
(3)若椭圆 上存在点 使得 ，且 △ 的重心 在y轴上，求此时直线l的方程．
△
3．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知椭圆C： 的离心率为
，且经过 ，经过定点 斜率不为0的直线l交C于E，F两点，A，B分别为椭圆C的左，
右两顶点.(1)求椭圆C的方程；
(2)设直线AE与BF的斜率分别为 ， ，求 的值；
(3)设直线AE与BF的交点为P，求P点的轨迹方程.
题型二：双曲线中的定值问题
角度1：双曲线中的定值问题
典型例题
例题1．（2022·江苏南通·高二期末）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ，点 满足
，记点 的轨迹为 .
(1)求 的方程；
(2)已知 ， 是经过圆 上一点 且与 相切的两条直线，斜率分别为 ， ，直线 的斜
率为 ，求证： 为定值.
例题2．（2022·黑龙江·哈师大附中高二开学考试）已知双曲线 的中心在原点， 是它的一个顶点，
焦点到渐近线的距离为 .
(1)求双曲线 的方程；
(2)若过点 任意作一条直线与双曲线 交于 ， 两点（ ， 都不同于点 ），求证: 为
定值.例题3．（2022·广东北江实验学校模拟预测）已知双曲线 的离心率是 ，实轴长是
8.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过点 的直线 与双曲线 的右支交于不同的两点 和 ，若直线 上存在不同于点 的点 满足
成立，证明：点 的纵坐标为定值，并求出该定值.
同类题型归类练
1．（2022·河南新乡·高二期末（理））已知双曲线 ： 的右焦点为 ，左顶点为
A，且 ， 到C的渐近线的距离为1，过点 的直线 与双曲线C的右支交于P，Q两点，
直线AP，AQ与y轴分别交于M，N两点.
(1)求双曲线C的标准方程.
(2)若直线MB，NB的斜率分别为 ， ，判断 是否为定值.若是，求出该定值；若不是，请说明理由.2．（2022·湖北咸宁·高二期末）已知 的右焦点为 ，点 到 的一条渐近线的
距离为 ，过点 的直线与 相交于 两点.当 轴时， .
(1)求 的方程.
(2)若 ， 是直线 上一点，当 三点共线时，判断直线 的斜率是否为定值.若是定值，
求出该定值；若不是定值，说明理由.
3．（2022·上海理工大学附属中学高二期中）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 ．
(1)设斜率为1的直线l交 于P、Q两点，若l与圆 相切，求证： ；
(2)设椭圆 ，若M、N分别为 、 上的动点，且 ，求证：点O到直线MN的距离
为定值．
4．（2022·全国·高三专题练习（理））已知圆 和圆 ，若动圆C与圆
A和圆B都外切
(1)求动圆C的圆心的轨迹E的方程；
(2)设圆O： ，点M，P分别是圆O和（1）中轨迹E上的动点，当 时， 是否
为定值？若是，求出这个定值：若不是，请说明理由.角度2：双曲线中的定直线问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 ： （ ， ）实轴端点分别为
， ，右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知
的面积为 ．
(1)求双曲线的方程；
(2)若过 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；如不在，请说明理由．
同类题型归类练
1．（2022·江苏南通·高二开学考试）已知双曲线 实轴端点分别为 ， ，
右焦点为 ，离心率为2，过 点且斜率1的直线 与双曲线 交于另一点 ，已知 的面积为 ．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过 的直线与双曲线 交于 ， 两点，试探究直线 与直线 的交点 是否在某条定直线
上？若在，请求出该定直线方程；若不在，请说明理由．2．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线 过点 ，离心率为 ，直线
交 轴于点 ，过点 作直线交双曲线 于 两点.
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)设 是直线 上关于 轴对称的两点，直线 与 的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.
题型三：抛物线中的定值问题
角度1：抛物线中的定值问题
典型例题
例题1．（2022·北京二中高二期末）如图，抛物线关于 轴对称，它的顶点在坐标原点，点 、
、 均在抛物线上.
(1)求抛物线的方程；(2)若 的平分线垂直于 轴，证明直线 的斜率为定值.
例题2．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 ，直线 经过抛物线 的焦点，且垂直
于抛物线 的对称轴，直线 与抛物线 交于 ， 两点，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2)已知点 ，直线 与抛物线 相交于不同的两点 ， ，设直线 与直线 的斜
率分别为 和 ，求证： 为定值．
例题3．（2022·湖南衡阳·三模）已知抛物线 ： 的焦点是 ，若过焦点 的直线与 相交
于 ， 两点，所得弦长 的最小值为2．
(1)求实数 的值；
(2)设 ， 是抛物线 上不同于坐标原点 的两个不同的动点，且以线段 为直径的圆经过点 ，作
， 为垂足，试探究是否存在定点 ，使得 为定值，若存在，则求出该定点 的坐标及定
值 ，若不存在，请说明理由．同类题型归类练
1．（2022·河北·高三阶段练习）已知抛物线 ，直线 ， 与抛物线C分别交于
A，B两点，过A，B两点分别作抛物线C的切线，两条切线交于点M．当 时，直线AB的斜率为1．
(1)求抛物线C的方程，并写出其准线方程；
(2)请探究 的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请求出其最大值．
2．（2022·全国·高三专题练习（文））如图，已知抛物线 上的点R的横坐标为1，焦点
为F，且 ，过点 作抛物线C的两条切线，切点分别为A、B，D为线段PA上的动点，过D
作抛物线的切线，切点为E（异于点A，B），且直线DE交线段PB于点H.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求证： 为定值；3．（2022·黑龙江·哈九中三模（文））已知直线l： ，M为平面内一动点，过点M作直线l的垂线，
垂足为N，且 （O为坐标原点）．
(1)求动点M的轨迹E的方程；
(2)已知点P(0，2)，直线 与曲线E交于A，B两点，直线PA，PB与曲线E的另一交点分别
是点C，D，证明：直线CD的斜率为定值．
角度2：抛物线中的定直线问题
典型例题
例题1．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系 中， 是抛物线 的焦点，
是抛物线 上位于第一象限内的任意一点，过 三点的圆的圆心为 ，点 到抛物线 的准线的
距离为 .
（1）求抛物线 的方程；
（2）当过点 的动直线 与抛物线 相交于不同点 时，在线段 上取点 ，满足
，证明：点 总在某定直线上.
例题2．（2022·上海虹口·二模）已知抛物线 ： 的焦点为 ，准线为 ，记准线 与 轴的
交点为 ，过 作直线交抛物线 于 ， （ ）两点.(1)若 ，求 的值；
(2)若 是线段 的中点，求直线 的方程；
(3)若 ， 是准线 上关于 轴对称的两点，问直线 与 的交点是否在一条定直线上？请说明理由.
同类题型归类练
1．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线 的焦点为 ，过点 作直线 交抛物线 于 、
两点；椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，点 是它的一个顶点，且其离心率 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)经过 、 两点分别作抛物线 的切线 、 ，切线 与 相交于点 ．证明：点 定在直线 上；
(3)椭圆 上是否存在一点 ，经过点 作抛物线 的两条切线 、 、 为切点），使得直线
过点 ？若存在，求出切线 、 的方程；若不存在，试说明理由．
2．（2022·全国·高三专题练习）已知动圆过定点 ，且在y轴上截得的弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点 ，长为 的线段PQ的两端点在轨迹C上滑动．当 轴是 的角平分线时，求
直线PQ的方程．
