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【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
第 11 练 对数与对数函数（精练）
【A组 在基础中考查功底】
一、单选题
1．（2023·天津·统考二模）已知 ，则 （ ）
A．3 B．5 C． D．
【答案】A
【分析】根据指对运算化简 ，再根据对数运算法则计算 的值.
【详解】 ，
.
故选：A.
2．（2023·山西阳泉·统考三模）函数 在区间 存在零点．则实数m的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用函数的单调性的性质及函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由 在 上单调递增， 在 上单调递增，得函数
在区间 上单调递增，
因为函数 在区间 存在零点，
所以 ，即 ，解得 ，所以实数m的取值范围是 .
故选：B.
3．（2023·浙江绍兴·统考模拟预测）基本再生数 与世代间隔 是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再
生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型： （其中 是自然对数的底数）描述累计感染病例数 随时间
（单位：天）的变化规律，指数增长率 与 ， 近似满足 .有学者基于已有数据估计出
， ，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加 倍需要的时间约为（ ）（参
考数据： ， ）
A． 天 B． 天 C． 天 D． 天
【答案】B
【分析】根据所给模型求得 ，令 ，求得 ，根据条件可得方程 ，然后解出 即可．
【详解】把 ， 代入 ，可得 ， ，
当 时， ，则 ，两边取对数得 ，解得 ．
故选：B.
4．（2023春·贵州·高三校联考期中）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】 用对数函数的单调性和 比较， 用指数函数的单调性和 比较， 用对数函数的单调性和 比
较，即可判断大小关系.
【详解】因为 ,所以 为减函数，
所以 ，即 .因为 ,所以 为增函数，
所以 ，即 .
因为 ,所以 为增函数，
所以 ，即 ，
所以 ．
故选：D
5．（2023·云南·校联考二模）函数 的图象大致形如（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据函数的奇偶性和函数值等知识确定正确答案.
【详解】依题意 ，
为偶函数，则 为偶函数，
又 ，则 .
故选A．
6．（2023春·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试）已知函数 ．若 ，
且 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】根据函数图象得 ，则 ，令 ，利用对勾函数的图象与性质即
可求出其范围.
【详解】由 得 ．根据函数 的图象及 ，
得 ， ，所以 ．
令 ，根据对勾函数的图像与性质易得 在 上单调递增，
所以 ．故 ，
故选：C.
7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ， 恒过定点 ，过定点 的直线
与坐标轴的正半轴相交，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出 ，代入直线方程，再根据基本不等式可求出结果.
【详解】令 ，即 ，得 ，则 ，
则 且 ， ，
由 ．
当且仅当 ， 时，等号成立，
故选：C
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把
构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不
是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
8．（2023秋·江苏无锡·高三统考期末）函数 的部分图象大致为（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先求出定义域，由 得到 为偶函数，结合函数在 上函数值的正负，
排除BC，结合函数图象的走势，排除D，得到正确答案.
【详解】 变形为 ，定义域为 ，
，故 为偶函数，关于y轴对称．
当 时， ， 时， ，排除BC，
又 时， ，故排除D，A正确.
故选：A．
9．（2023·河南周口·统考模拟预测）若 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】运用对数的运算法则和指数函数的性质求解.
【详解】 ，
对于指数函数 ，当 时， ， ，
；
故选：A.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若命题“ ， ”为假命题，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意，转化为命题“ ， ”为真命题．利用不等式恒成立得出关于 的不等式
求解.
【详解】由题意知 且 ，命题“ ， ”为真命题，
当 时， ，易知 在 上单调递减，其最小值为 ，
则由 恒成立得 ，即 ；
当 时， 恒成立，则 ，此时函数 为增函数，
故 ，得 ．
综上， ，
即实数 的取值范围是 ．
故选：A11．（2023·河北·高三学业考试）若函数 （ 且 ）在区间 上的最大值比最小
值多2，则 （ ）
A．2或 B．3或 C．4或 D．2或
【答案】A
【分析】分别讨论 和 ，然后利用对数函数的单调性列方程即可得解.
【详解】由题意 解得 或 （舍去），
①当 时，函数 在定义域内为增函数，
则由题意得 ，
所以 即 ，解得 或 （舍去）；
②当 时，函数 在定义域内为减函数，
则由题意得 ，
所以 即 ，解得 ；
综上可得： 或 .
故选：A.
【点睛】本题考查了分类讨论思想的应用，考查了对数函数单调性的应用，属于基础题.
12．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，化为 ， ， ，即可比较 的大小关系，然后 作商
即可比较 的大小，从而得到结果.
【详解】由题设知 ， ， .因为 ， ，所以 ， ，
所以 ，故 .
因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，于是 .
故选：C.
二、多选题
13．（2023·湖南·铅山县第一中学校联考二模）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BD
【分析】根据指数以及对数的运算性质即可结合选项逐一求解.
【详解】对于A, ，由于 ，所以 ，故A错误，
对于B,由于 ，所以 ，所以 ，故B正确，
对于C, ，所以C错误，
对于D，由于 ，所以 ，故D
正确，
故选：BD
14．（2023·全国·高三专题练习）设函数 在 上的最小值为 ，函数 在
上的最大值为 ，若 ，则满足条件的实数 可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BD【分析】根据对数函数和正弦函数的图象，对a分类讨论，结合对数函数、正弦函数的单调性求解即可.
【详解】函数 和 的图象，如图，
当 时，函数 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 ，
函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，解得 ；
当 时，函数 在 上单调递增，所以 ，
由图可知，函数 在 上，有 ，得
所以 ，解得 ，
结合选项，实数a可以是 和 .
故选：BD.
三、填空题
15．（2023·上海·高三专题练习）若实数 、 满足 、 ，则 ______________．
【答案】
【分析】根据指数式与对数式的关系，将 转化为指数式，再根据指数运算公式求值.
【详解】由 ，得 ，
所以 ，
故答案为： .
16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 且 的图像恒过定点 ，且点 在圆外，则符合条件的整数 的取值可以为__________.（写出一个值即可）
【答案】 （不唯一，取 的整数即可）
【分析】先求定点 的坐标，结合点在圆外以及圆的限制条件可得 的取值.
【详解】因为函数 的图像恒过定点 ，所以 ；
因为点 在圆 外，
所以 且 ，解得 或 ；
又 为整数，所以 的取值可以为 .
故答案为： （不唯一，取 的整数即可）.
17．（2023·全国·高三专题练习）一种药在病人血液中的量保持1000mg以上才有疗效，而低于500mg病
人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2000mg，如果药在血液中以每小时10%的比例衰减，为了充
分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过______小时内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．（附：
， ，精确到0.1h）
【答案】6.6
【分析】写出血液中药物含量关于时间的关系式，解不等式求出答案.
【详解】设 h后血液中的药物量为 mg，
则有 ，
令 得：
故从现在起经过6.6h内向病人的血液补充这种药，才能保持疗效.
故答案为：6.6
18．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）已知函数 在区间 上单调
递增，则 的取值范围为______．
【答案】
【分析】令 ，即可判断 在 上的单调性，依题意可得 在 上为减函数，即可得到不等式组，解得即可.
【详解】令 ，则 在 为减函数，
所以由复合函数的单调性可知 在 上为减函数，则 ，解得 ，
即 的取值范围为 ．
故答案为：
【B组 在综合中考查能力】
一、单选题
1．（2023·天津河西·统考一模）已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】两边取对数，根据对数的运算性质、法则化简即可得解.
【详解】 ，
，
，
，即 或 （舍去）
故选：C
2．（2023·江西南昌·校联考模拟预测）已知 ，则 （ ）
A．11或 B．11或 C．12或 D．10或
【答案】A【分析】对 两边同时取对数，可解得 或 ，讨论 或 时 的值，
即可得出答案.
【详解】由 ，两边取对数得 ，所以
或 .
当 时， 8，所以 ；
当 时， ，
所以 ，
综上， 或 ，
故选：A.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图为一台冷轧机的示意图.冷轧机由若干对轧辊组成，厚度为 （单位：
）的带钢从一端输入，经过各对车辊逐步减薄后输出，厚度变为 （单位： ）.若 ，每
对轧辊的减薄率 不超过4%，则冷轧机至少需要安装轧辊的对数为（ ）（一对轧辊减薄率
）
A．14 B．15 C．16 D．17
【答案】D
【分析】根据题意可得 ，两边取对数能求出冷轧机至少需要安装轧辊的对数.
【详解】厚度为 的带钢从一端输入经过减薄率为4%的 对轧辊后厚度为 ，过各对车
辊逐步减薄后输出，厚度变为 ，则 ，
故选：D.
4．（2023秋·安徽宣城·高三统考期末）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先构造函数 ，对函数求导，利用导函数的单调性可得到 ，且 ，再结合
，即可得到 ，进而即可得到答案．
【详解】设 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增；
当 时， ，此时 单调递减，
所以 ，
所以 ，且 ，即 ，且 ，
又 ，则 ，即 ，即 ，即 ，
故 ，
故选：D．
5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，若对任意的 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】求出函数 的最大值，结合已知条件可得出 ，进而可求得实数 的取值范
围.
【详解】 ，当 时， ；
当 时， .
所以， .
若对任意的 ，不等式 恒成立，则 ，
所以， ，解得 .
因此，实数 的取值范围是 .
故选：B.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1） ， ；
（2） ， ；
（3） ， ；
（4） ， .
6．（2023·安徽铜陵·统考三模）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【分析】利用换底公式得到 ，再利用基本不等式比较即可；同理
得到 的大小.
【详解】解：因为 ，
又因为 ，
所以 ，即 ；
因为 ，
又因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
故选：A
7．（2023·全国·高三专题练习）若 且 在 上恒正，则实数 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，结合对数型复合函数的性质，列出不等式，即可容易列出不等式，即可容易求得参数
范围.【详解】因为函数 , 且 ，在 上恒正,
令 ，
所以当 时， 的对称轴方程为 ，知 ，
即 .
当 时， ，满足
或 或
解不等式得： ，
所以实数 的取值范围是 .
故选： .
【点睛】本题考查对数型复合函数的性质，注意函数定义域即可，属中档题.
二、多选题
8．（2023春·广东·高三校联考阶段练习）若 ，则
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】构造函数 ，通过函数单调性及 ，比较出各式的大小关系.【详解】设函数 ，易得 在 上单调递增.
因为 ， ，
，
所以 ，
即 .
故选：ABD
9．（2023·全国·高三专题练习）已知函数 ，则（ ）
A． 在 单调递增
B． 在 单调递增，在 单调递减
C． 的图象关于直线 对称
D． 的图象关于点 对称
【答案】BC
【分析】由题可得函数的定义域，化简函数 ，分析函数的单调性和对称性，
从而判断选项.
【详解】函数的定义域满足 ，即 ，
即函数的定义域是 ，
∵ ，
设 ，则函数在 单调递增，在 单调递减，
又函数 单调递增，由复合函数单调性可知函数 在 单调递增，在 单调递减，故A错误，B正确；
因为 , ,
所以 ，即函数 图象关于直线 对称，故C正确；
又 ， ，
所以 ，所以D错误．
故选：BC．
三、填空题
10．（2023·全国·高三专题练习）若 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范
围为___________.
【答案】
【分析】分离参数，将恒成立问题转化为函数最值问题，根据单调性可得.
【详解】因为 ，不等式 恒成立，
所以 对 恒成立.
记 ， ，只需 .
因为 在 上单调递减， 在 上单调递减，
所以 在 上单调递减，
所以 ，所以 .故答案为：11．（2023·全国·高三专题练习）若函数 ( 且 )的图像经过定点 ，则函数
的最大值为___________.
【答案】
【分析】由题知 ，进而得 ，进而结合复合函数求值域即可.
【详解】由于函数 是由函数 ( 且 )向左平移 个单位,再向下平移 个单位
得到,
所以函数 ( 且 )的图像经过定点 ，
所以 ，
当且仅当 时等号成立.
故答案为: .
【点睛】本题考查指数型函数过定点问题，对数型复合函数值域求解问题，考查运算求解能力，是中档题.
本题解题的关键在于根据已知条件得 ，进而利用配方法得 ，再结合二次函
数值域求解即可.
12．（2023·海南海口·校考模拟预测）已知函数 的图象与函数 和 的图象分别交于点
，则 ________．
【答案】
【分析】确定 ， ，设 ，根据函数单调递增得到 ，得
到答案.
【详解】 ，则 ； ，即 ，
设 ，函数在 上单调递增，，则 ，即 .
故答案为： .
四、解答题
13．（2023春·全国·高三校联考开学考试）已知函数 的最小值为0．
(1)求实数a的值；
(2)设 ， ， ，判断 ， ， 的大小．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，分 、 两种情况讨论，分别求出函数的单调区间，即可得到函
数的最小值为 ，从而得到 ，再令 ，利用导数说明函
数的单调性，即可得到 值，从而得解；
（2）由（1）可得 ，当 时两边取对数得到 ，当 时，设
，根据函数值的情况判断 ，当 时，设 ，即
可判断 ，从而得解.
【详解】（1）解：由题意得 ．
当 时， ， 单调递增，无最小值，不满足题意．
当 时，令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ．
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．所以 的最小值为 ，即 ．
设 ，则 ．令 ，得 ．
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递減，在 上单调递增，
即 ．故 的解只有 ，
综上所述， ．
（2）解：由（1）可得 ，所以 ，当且仅当 时等号成立．
当 时，不等式两边取对数，得 ，所以 ，当且仅当 时等号成立．
当 时，设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立．
因为 ，所以 ，所以 ．
当 时，设 ，因为 ，
所以 ，
所以 ，即 ．
故 ，所以 ．
综上所述， ．
【C组 在创新中考查思维】
一、解答题
1．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）已知 ，证明：(1) ；
(2) ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用导数研究函数 的单调性可得 ，即证 ，进
而 ，即证 ，原不等式即可证明；
（2）易知 时不等式成立；当 时，利用二阶导数研究函数 的单调性可得
，即 ( )，变形即可证明.
【详解】（1）令 ，则 ， ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，
所以 ，等号仅当 时成立，即 ，
从而 ，所以 ．
综上， ．
（2）显然 时， ，即 成立．
令 ， ，则 ， ，
令 ，则 ，
当 时， ， 单调递增；当 时， ， 单调递减，所以 ，等号仅当 时成立，
从而可得 ， ，所以 在 和 上单调递减．
由（1）知， 时， ； 时， ，
所以 ，即 ．
又当 且 时， ，所以 ．
故 时， ．
【点睛】在解决类似的问题时，要熟练应用导数研究函数的单调性与最值，善于培养转化的数学思想，学
会构造新函数，利用导数或二阶求导研究新函数的性质即可解决问题.
二、单选题
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据对数的运算，计算可得 ，则 .构造函数 ，根据导函
数得到函数的单调性，即可得出 ，根据对数函数的单调性即可得出 ；先证明当 时，
.然后根据二倍角公式以及不等式的性质，推得 .
【详解】因为 ，
所以， .
令 ， ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，所以 ，
所以 .
因为 在 上单调递增，所以 ；
令 ，则 恒成立，
所以， 在R上单调递减，
所以，当 时，有 ，即 ，
所以 .
因为 ，
所以 ，
所以 .
所以 .
故选：B．
【点睛】方法点睛：对 变形后，作差构造函数，根据导函数得到函数的单调性，即可得出值的大小
关系.
3．（2023·全国·高三专题练习）设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用正切函数单调性借助1比较b，c大小；根据对数结构构造函数 比较a，b大小，
即可解答.
【详解】因为 在 上单调递增，于是 ，即 ，
令 ，则 ，所以 在 上单调递减，
所以 ，即 ，取 ，则 ，所以 ，即 ，
所以 .
故选：A
4．（2023·陕西宝鸡·校考模拟预测）已知函数 ，若函数 有6个
不同的零点，且最小的零点为 ，则 （ ）．
A．6 B． C．2 D．
【答案】B
【分析】根据函数图象变换，画出图像，找到对称轴，进而数形结合求解即可.
【详解】由函数 的图象，经过翻折变换，可得函数 的图象，
再经过向右平移1个单位，可得 的图象，
最终经过翻折变换，可得 的图象，如下图：
则函数 的图象关于直线 对称，
令
因为函数 最小的零点为 ，且 ，
故当 时，方程 有4个零点，
所以，要使函数 有6个不同的零点，且最小的零点为 ,则 ，或
，
所以，关于 方程 的两个实数根为
所以，由韦达定理得 ，故选：B
【点睛】本题解题的关键点在于数形结合，将问题转化为关于 方程 的两个实数根为 ，进
而得 .
三、多选题
5．（2023春·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）已知函数 （ 且
），下列说法正确的是（ ）
A． 为偶函数
B． 为非奇非偶函数
C． 为偶函数（ 为 的导函数）
D．若 ，则 对任意 成立
【答案】ACD
【分析】先证明函数 为奇函数，再根据函数奇偶性的定义即可判断AB；求出函数 的导函数，
再根据函数奇偶性的定义即可判断C；易得 ，再根据
，可得 ，即可判断D.
【详解】因为 ，所以 的定义域为 ，
因为 ，
所以 ，所以 为奇函数，对于A，因为 ，
所以 为偶函数，故A正确；
对于B，因为 ，
所以 为奇函数，故B错误；
对于C，
，
因为 ，
所以 为偶函数，故C正确；
对于D，因为 ，所以 ，
因为 ，
所以 ，
又 ， ，
所以 ，即 ，所以 ，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛，解决本题AB的关键在于证明 为奇函数，解决D选项的关键是由
，结合换底公式转化.
四、填空题
6．（2023·山东日照·统考二模）已知曲线 与 的两条公切线的夹角余弦值为 ，则
_________．
【答案】
【分析】根据已知条件作出图象，利用反函数的性质及二倍角的正切公式，利用导数的几何意义及直线的
点斜式方程，结合指数对数的运算性质即可求解.
【详解】曲线 与 互为反函数，图象关于 对称，如图所示，
由题意可知， ，所以 ，
解得 或 ，
因为 为锐角，所以
由对称性，不妨取直线 进行研究，则直线 的倾斜角为 ，
，设切点 的横坐标为 ，切点 的横坐标为 ，则 ， ，
，所以 ，
所以直线 的方程为 即
，
所以 ，
所以直线 的方程为 即
所以 即
所以 即 ，
所以 ，即 ，于是有 ，
所以 .故答案为： .
【点睛】解决此题的关键是根据已知条件作出图象及两曲线互为反函数，利用反函数的性质解决曲线的公
切线问题，充分利用导数的几何意义及直线的点斜式方程即可求解.
