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2025年高考数学一轮复习讲义及高频考点归纳与方法总结（新高考通用）
第 16 练 导数与函数的极值、最值（精练）
1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.会用导数求函数的极大值、极小值.
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
一、单选题
1．（2024·上海·高考真题）已知函数 的定义域为R，定义集合
，在使得 的所有 中，下列成立的是（ ）
A．存在 是偶函数 B．存在 在 处取最大值
C．存在 是严格增函数 D．存在 在 处取到极小值
【答案】B
【分析】对于ACD利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断，对于B，构造函数
即可判断.
【详解】对于A，若存在 是偶函数, 取 ,
则对于任意 , 而 , 矛盾, 故 A 错误；对于B，可构造函数 满足集合 ，
当 时，则 ，当 时， ，当 时， ，
则该函数 的最大值是 ，则B正确；
对C，假设存在 ，使得 严格递增，则 ，与已知 矛盾，则C错误；
对D，假设存在 ，使得 在 处取极小值，则在 的左侧附近存在 ，使得 ，
这与已知集合 的定义矛盾，故D错误；
故选：B.
2．（2022·全国·高考真题）函数 在区间 的最小值、最大值分别为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用导数求得 的单调区间，从而判断出 在区间 上的最小值和最大值.
【详解】 ，
所以 在区间 和 上 ，即 单调递增；
在区间 上 ，即 单调递减，
又 ， ， ，
所以 在区间 上的最小值为 ，最大值为 .
故选：D
3．（2022·全国·高考真题）当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A． B． C． D．1【答案】B
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，所以
，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在 上递减，
时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
二、多选题
4．（2023·全国·高考真题）若函数 既有极大值也有极小值，则（ ）．
A． B． C． D．
【答案】BCD
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得 在 上有两个变号零点，转化为一元二次方程
有两个不等的正根判断作答.
【详解】函数 的定义域为 ，求导得 ，
因为函数 既有极大值也有极小值，则函数 在 上有两个变号零点，而 ，
因此方程 有两个不等的正根 ，
于是 ，即有 ， ， ，显然 ，即 ，A错误，BCD正确.
故选：BCD
5．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，则（ ）A． 有两个极值点 B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心 D．直线 是曲线 的切线
【答案】AC
【分析】利用极值点的定义可判断A，结合 的单调性、极值可判断B，利用平移可判断C；利用导数
的几何意义判断D.
【详解】由题， ，令 得 或 ，
令 得 ，
所以 在 ， 上单调递增， 上单调递减，所以 是极值点，故A正
确；
因 ， ， ，
所以，函数 在 上有一个零点，
当 时， ，即函数 在 上无零点，
综上所述，函数 有一个零点，故B错误；
令 ，该函数的定义域为 ， ，
则 是奇函数， 是 的对称中心，
将 的图象向上移动一个单位得到 的图象，
所以点 是曲线 的对称中心，故C正确；
令 ，可得 ，又 ，
当切点为 时，切线方程为 ，当切点为 时，切线方程为 ，故D错误.
故选：AC.
6．（2024·全国·高考真题）设函数 ，则（ ）A．当 时， 有三个零点
B．当 时， 是 的极大值点
C．存在a，b，使得 为曲线 的对称轴
D．存在a，使得点 为曲线 的对称中心
【答案】AD
【分析】A选项，先分析出函数的极值点为 ，根据零点存在定理和极值的符号判断出 在
上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在
这样的 ，使得 为 的对称轴，则 为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这
样的 ，使得 为 的对称中心，则 ，据此进行计算判断，亦可利用拐点
结论直接求解.
【详解】A选项， ，由于 ，
故 时 ，故 在 上单调递增，
时， ， 单调递减，
则 在 处取到极大值，在 处取到极小值，
由 ， ，则 ，
根据零点存在定理 在 上有一个零点，
又 ， ，则 ，
则 在 上各有一个零点，于是 时， 有三个零点，A选项正确；
B选项， ， 时， ， 单调递减，
时 ， 单调递增，
此时 在 处取到极小值，B选项错误；C选项，假设存在这样的 ，使得 为 的对称轴，
即存在这样的 使得 ，
即 ，
根据二项式定理，等式右边 展开式含有 的项为 ，
于是等式左右两边 的系数都不相等，原等式不可能恒成立，
于是不存在这样的 ，使得 为 的对称轴，C选项错误；
D选项，
方法一：利用对称中心的表达式化简
，若存在这样的 ，使得 为 的对称中心，
则 ，事实上，
，
于是
即 ，解得 ，即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
方法二：直接利用拐点结论
任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，
， ， ，
由 ，于是该三次函数的对称中心为 ，
由题意 也是对称中心，故 ，
即存在 使得 是 的对称中心，D选项正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：（1） 的对称轴为 ；（2） 关于 对称；（3）任何三次函数 都有对称中心，对称中心是三次函数
的拐点，对称中心的横坐标是 的解，即 是三次函数的对称中心
三、填空题
7．（2022·全国·高考真题）已知 和 分别是函数 （ 且 ）的极小值点和
极大值点．若 ，则a的取值范围是 ．
【答案】
【分析】法一：依题可知，方程 的两个根为 ，即函数 与函数 的图
象有两个不同的交点，构造函数 ，利用指数函数的图象和图象变换得到 的图象，利用
导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.
【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点
因为 ，所以方程 的两个根为 ，
即方程 的两个根为 ，
即函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
所以当时 ， ，即 图象在 上方
当 时， ，即 图象在 下方
，图象显然不符合题意，所以 ．令 ，则 ，
设过原点且与函数 的图象相切的直线的切点为 ，
则切线的斜率为 ，故切线方程为 ，
则有 ，解得 ，则切线的斜率为 ，
因为函数 与函数 的图象有两个不同的交点，
所以 ，解得 ，又 ，所以 ，
综上所述， 的取值范围为 ．
[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导
=0的两个根为
因为 分别是函数 的极小值点和极大值点，
所以函数 在 和 上递减，在 上递增，
设函数 ，则 ，
若 ，则 在 上单调递增，此时若 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，此时若有 和 分别是函数且 的极小值点和极大值点，则 ，不符合题意；
若 ，则 在 上单调递减，此时若 ，则 在 上单调递增，在 上单调
递减，令 ，则 ，此时若有 和 分别是函数 且 的极
小值点和极大值点，且 ，则需满足 ， ，即
故 ，所以 .
【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是
该题的最优解；
法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不等式，解出即可，该法属于
通性通法．
四、解答题
8．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的极值；
(2)当 时， ，求 的取值范围．
【答案】(1)极小值为 ，无极大值.
(2)
【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值.
（2）求出函数的二阶导数，就 、 、 分类讨论后可得参数的取值范围.
【详解】（1）当 时， ，故 ，
因为 在 上为增函数，
故 在 上为增函数，而 ，
故当 时， ，当 时， ，
故 在 处取极小值且极小值为 ，无极大值.
（2） ，
设 ，
则 ，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 ，即 ，
所以 在 上为增函数，故 .
当 时，当 时， ，
故 在 上为减函数，故在 上 ，
即在 上 即 为减函数，
故在 上 ，不合题意，舍.
当 ，此时 在 上恒成立，
同理可得在 上 恒成立，不合题意，舍；综上， .
【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导
数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类.
9．（2024·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求曲线 在点 处的切线方程；
(2)若 有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程；
（2）解法一：求导，分析 和 两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得 ，
构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知 有零点，可得 ，进而利用导数求 的
单调性和极值，分析可得 ，构建函数解不等式即可.
【详解】（1）当 时，则 ， ，
可得 ， ，
即切点坐标为 ，切线斜率 ，
所以切线方程为 ，即 .
（2）解法一：因为 的定义域为 ，且 ，
若 ，则 对任意 恒成立，
可知 在 上单调递增，无极值，不合题意；
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，则 ，
可知 在 内单调递增，且 ，
不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 ；
解法二：因为 的定义域为 ，且 ，
若 有极小值，则 有零点，
令 ，可得 ，
可知 与 有交点，则 ，
若 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，
则 有极小值 ，无极大值，符合题意，
由题意可得： ，即 ，
构建 ，
因为则 在 内单调递增，
可知 在 内单调递增，且 ，不等式 等价于 ，解得 ，
所以a的取值范围为 .
10．（2022·全国·高考真题）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
【答案】(1)
【分析】（1）由导数确定函数的单调性，即可得解；
【详解】（1）当 时， ，则 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
所以 ；
11．（2022·全国·高考真题）已知函数 ，曲线 在点 处的切线也
是曲线 的切线．
(1)若 ，求a；
(2)求a的取值范围．
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）先由 上的切点求出切线方程，设出 上的切点坐标，由斜率求出切点坐标，再由函
数值求出 即可；
（2）设出 上的切点坐标，分别由 和 及切点表示出切线方程，由切线重合表示出 ，构造函
数，求导求出函数值域，即可求得 的取值范围.
【详解】（1）由题意知， ， ， ，则 在点 处
的切线方程为 ，即 ，设该切线与 切于点 ， ，则 ，解得 ，则
，解得 ；
（2） ，则 在点 处的切线方程为 ，整理得
，
设该切线与 切于点 ， ，则 ，则切线方程为 ，整
理得 ，
则 ，整理得 ，
令 ，则 ，令 ，解得 或
，
令 ，解得 或 ，则 变化时， 的变化情况如下表：
0 1
0 0 0
则 的值域为 ，故 的取值范围为 .
12．（2022·全国·高考真题）已知函数 和 有相同的最小值．
(1)求a；
【答案】(1)
【分析】（1）根据导数可得函数的单调性，从而可得相应的最小值，根据最小值相等可求a.注意分类讨
论.【详解】（1） 的定义域为 ，而 ，
若 ，则 ，此时 无最小值，故 .
的定义域为 ，而 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
当 时， ，故 在 上为减函数，
当 时， ，故 在 上为增函数，
故 .
因为 和 有相同的最小值，
故 ，整理得到 ，其中 ，
设 ，则 ，
故 为 上的减函数，而 ，
故 的唯一解为 ，故 的解为 .
综上， .
【A级 基础巩固练】
一、单选题1．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）函数 的极小值点为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，从而求出极值点.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
所以当 时 ，当 或 时 ，
所以 在 上单调递增，在 ， 上单调递减，
所以 在 处取得极小值，在 处取得极大值，
即极小值点为 ，极大值点为 .
故选：D
2．（21-22高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函
数 ，下列说法正确的是（ ）
A．在 上单调递增 B．在 上单调递减
C．在 处取得最大值 D．在 处取得极大值
【答案】D
【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时 的取值范围，再利用单调性逐项判断即可.
【详解】由导函数图像可知，当 或 时， ，
当 ， ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故选项A，B错误；
在 处取得极大值，且 ，故C错误，D正确；
故选：D.
3．（2024·河北沧州·一模）已知函数 是定义在 上的奇函数，且 为函数 的极值
点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据奇函数的定义 ，可得 的值，再由极值点的必要条件 ，可得 的值，
可选出答案.
【详解】因为函数 是定义在 上的奇函数，
所以 ，即 ，
可得 ，
又 ，且 为函数 的极值点，
所以 ，则 ，经检验符合题意，
所以 ， ， ，故只有C正确.
故选：C
4．（2024·青海·模拟预测）已知函数 的极值点为a，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】B
【分析】利用导数求出函数 的极值点，再代入求出函数值.
【详解】函数 ，求导得 ，当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，在 上单调递增，因此 是 的极小值点，且是唯一极值点，
所以 ， .
故选：B5．（2024·广西·二模）已知 是函数 的极小值点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据极小值的定义，在 的左侧函数递减，右侧函数递增可得.
【详解】由已知 ， ，
令 得 或 ，
由题意 是极小值点，则 ，
若 ，则 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
则 是函数的极小值点，
若 ，则 时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，
则 是函数的极大值点，不合题意，
综上， ，即 .
故选：A.
6．（2024高三·全国·专题练习）设 ，若函数 有小于零的极值点，则 的取值范
围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】函数有小于零的极值点即导数等于零有负数解.
【详解】因为 有小于零的极值点，且 ，
由 ，得 ，故 .由 ，解得 .综上， ，
故选：B ．7．（22-23高三上·广西桂林·阶段练习）已知函数 在 处取最大值，则实数 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】C
【分析】先对函数求导，然后结合导数与单调性即可求解．
【详解】由题意得 ， ，
当 时， 在 上恒成立，此时 单调递增，不符合题意，
当 时，当 时， ，函数单调递减，当 时， ，函数单调递增，故当
时，函数 取极大值也是最大值，
故 ，
故选：C．
8．（23-24高三上·黑龙江齐齐哈尔·期末）若 为函数 的极值点，则函数 的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先由 为函数 的极值点求得a，再利用导数法求解.
【详解】 ，
因为 是函数 的极值点，
所以 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，所以函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ．
故选：C
9．（2024·全国·模拟预测）若函数 是 上的增函数，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据函数给定区间上为增函数可得导函数在该区间上恒为非负数，利用参变分离法即可通过求相
应函数的最值求得参数范围.
【详解】因为函数 是 上的增函数，所以 在
上恒成立，
即 在 上恒成立．令 ， ,则 ，
则当 时， ，当 时， ，故 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，所以 ．
故选：C．
10．（2024·陕西·模拟预测） ，有 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】构造函数 ，求导可得函数的单调性，即可求解最值
，进而 即可.【详解】由 在 上恒成立，令 ，
则 ．令 ，则 ，
当 时， ，故 在 上单调递增；
当 时， ，故 在 上单调递减；
则 ，所以 ，
故选:C．
11．（23-24高三下·江西·阶段练习）设函数 在 上有且仅有1个极值点和1
个零点， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 求出 的表达式，再由极值点及零点个数求出 的范围即可得解.
【详解】当 时， ，依题意， ，解得 ，
由 ，得 ，解得 ，所以 .
故选：A
12．（2024·四川宜宾·模拟预测）已知函数 在 处有极值 ，则 等于
（ ）
A． B．16 C． 或16 D．16或18
【答案】A
【分析】求导，即可由 且 求解 ，进而代入验证是否满足极值点即可.
【详解】 ，若函数 在 处有极值8，
则 且 ，即 ，
解得： 或 ，
当 时， ，此时 不是极值点，故舍去，
当 时， ，
当 或 时， ，当 ，故 是极值点，
故 符合题意，
故 ，
故 ，
故选：A
13．（2024·重庆·模拟预测）若函数 有极值，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的定义域与导函数，依题意可得 在 上有变号零点，结合二次函数的性质得
到 ，解得即可.
【详解】函数 的定义域为 ，且 ，
因为函数 有极值，所以 在 上有变号零点，
即 在 上有解（若有两个解，则两个解不能相等），
因为二次函数 的对称轴为 ，开口向上，所以只需 ，解得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C
14．（2024·江苏南通·二模）若函数 有大于零的极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出函数的导数，求出极值点，利用极值点大于0，求出 的范围．
【详解】函数 ，
可得 ，
若 ，此时 单调递增，无极值点，
故 ，令 ，解得 ，
当 时， ，当 时， ，
故 是 的极值点
由于函数 有大于零的极值点，
，解得 ．
故选：C．
二、多选题
15．（22-23高二上·山西大同·期末）已知函数 的最大值为3，最小值为
，则 的值可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC【分析】求导，利用导数判断原函数的单调性及最值，根据题意分析运算.
【详解】由题意可得： ， ，
当 时，则 ，显然不合题意，舍去；
当 时，令 ，而 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，即 ，
故 ，解得 ，则 ；
当 时，令 ，而 ，则 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ，即 ，
故 ，解得 ，则 ；
综上所述： 或 .
故选：AC.
16．（23-24高二下·陕西安康·期末）对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 有最小值但没有最大值
B．对于任意的 ，恒有
C． 仅有一个零点
D． 有两个极值点
【答案】BC
【分析】AD选项，求导，得到函数单调性，从而得到AD错误；BC选项，结合函数特征得到当
时， ，且函数只有一个零点0，BC正确.【详解】AD选项， ，
当 时， ，当 时， ，
故 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 有最大值但没有最小值且 只有一个极值点，AD错误；
BC选项，由于 恒成立，故当 时， ，
令 ，得 ，所以函数 仅有一个零点，B，C正确.
故选：BC
17．（23-24高三上·河南南阳·期中）设 ，若 为函数 的极小值点，则下列
关系可能成立的是（ ）
A． 且 B． 且
C． 且 D． 且
【答案】AC
【分析】根据题意，求得 ，结合函数极值点的定义，分类讨论，列出不等式，
即可求解.
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，可得 或 ，
要使得 为函数 的极小值点，
当 时，则满足 ，解得 ，所以A正确；
当 时，则满足 ，解得 ，所以C正确.
故选：AC.18．（23-24高三上·山西大同·期末）已知函数 ，记 的极小值点为 ，极大值点为
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】根据单调性求出极值可判断选项A、B；把 分别代入 求值可判断选项
C、D.
【详解】 的定义域为 ， ，
由 ，得 或 ； ，得 ；
所以 在 上单调递增， 上单调递减，在 单调递增，
所以极大值点为1，极小值点为2，即 ，
所以 ，故A对， ，B错误
，故C正确；
由 在 上单调递减可得 ，即 ，故D正确
故选：ACD
三、填空题
19．（23-24高二下·湖北武汉·期中）已知函数 在 处取得极小值 ，
则 的值为 ．【答案】
【分析】将函数求导，依题可得 ，求得 或 ，代入函数式，进行检验，舍去
，即得结论.
【详解】由 求导， ，
依题意， ，即 ，解得 或 .
当 ， 时， ， ，
，
当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 单调递增，
即 时，函数 取得极小值 ，符合题意，此时 ；
当 ， 时， ， ，
因 ，
即函数 在 上为增函数，无极值，与题意不符，舍去.
故答案为： .
20．（23-24高三下·云南·阶段练习）若函数 在区间 的最小值为a，最大值
为b，则 .
【答案】
【分析】利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，即可得解.
【详解】因为 ，当 时， ， 为增函数，
当 时， ， 为减函数，
所以 在 上的最大值 .，
又因为 ，
所以 在 上的最小值 ，
所以 .
故答案为： .
21．（23-24高三上·辽宁大连·阶段练习）已知函数 ，则 的极大值点为
，极大值为 .
【答案】 2e 2ln 2
【分析】首先求函数的导数，并求 ，并判断函数的单调区间，再求函数的极值点和极值.
【详解】易求 ， ，
所以 ，则 ，
因此 ， ，
由 得 ，由 得 .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减．
因此 的极大值点为 ，极大值为 .
故答案为： ；
22．（23-24高三上·广东·阶段练习）若函数 在 处取得极小值，则函数 的
极大值为 ．
【答案】【分析】根据 为极值点，得到 ，计算出 ，从而求出函数的单调性，函数的极大值.
【详解】 ，由题意得 ，解得 ，
故 ， ，
当 时， ， 单调递减，
当 或 时， ， 单调递增，
故 在 处取得极大值，
故极大值为 .
故答案为：
23．（23-24高三上·上海嘉定·阶段练习）若函数 既有极大值也有极小值，
则下列说法中所有正确的有 .
① ；② ；③ ；④
【答案】
【分析】求出函数 的导数 ，由已知可得函数 在 上有两个变号零点，转化为一元二次
方程有两个不等的正根判断作答即可.
【详解】函数 的定义域为 ，
，
又函数 既有极大值也有极小值，
所以函数 在 上有两个变号零点，而 ，
故方程 有两个不等的正根 ，于是 ，则 ，
所以 即 .
故②③④正确.
故答案为：②③④.
四、解答题
24．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）已知函数 .
(1)当 时，求 在 处的切线方程；
(2)讨论 在区间 上的最小值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出函数的导函数，即可得到切线的斜率，再利用斜截式得到切线方程；
（2）求出函数的导函数，即可得到函数的单调性，再分 、 、 三种情况讨论，分别求出
函数的最小值.
【详解】（1）当 时， ，则 ，所以 ，
则 在 处的切线方程为 ，即 ，
所以当 时，函数 在 处的切线方程为 ．
（2）函数 ，则 ，
当 时， ，此时 单调递增；当 时， ，此时 单调递减；
当 时，函数在 上单调递减，故函数的最小值 ；
当 时，函数在 上单调递增，故函数的最小值 ；
当 时，函数的最小值 ．
综上可得 .
25．（2024·陕西铜川·模拟预测）已知函数 ．
(1)当 时，求 的最大值；
(2)若 对定义域内任意实数 都有 ，求 的取值范围．
【答案】(1)0
(2)
【分析】（1）利用导数研究函数的单调性得到函数的最值.
（2）先利用端点效应猜想 的取值范围再利用导数研究函数的单调性，求证出猜想的正确性.
【详解】（1）当 时， ，定义域为 ，
所以 ，令 ，得 ，令 ，得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 的最大值为 ．
（2）因为 恒成立，所以 ，得 ，
下面证明：当 时， ．证明如下：因为 在 上单调递减，
又因为 ，所以当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，又因为 ，所以 时， ．
综上， 的取值范围为 ．
26．（2024·江苏南京·二模）已知函数 ，其中 ．
(1)当 时，求曲线 在 处的切线方程；
(2)当 时，若 在区间 上的最小值为 ，求a的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由 ，分别求出 及 ，即可写出切线方程；
（2）计算出 ，令 ，解得 或 ，分类讨论 的范围，得出 的单调性，由 在区
间 上的最小值为 ，列出方程求解即可．
【详解】（1）当 时， ，则 ， ，所以 ，
所以曲线 在 处的切线方程为： ，即 ．
（2） ，令 ，解得 或 ，
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，考虑 ， ，当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
所以 的极大值为 ，所以由 得 ；
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
时， ，则 在 上单调递增，
所以 ，则 ，不合题意；
当 时， 时， ，则 在 上单调递减，
所以 ，不合题意；
综上， ．
27．（2024·湖北·模拟预测）已知函数 ， 其中 为常数.
(1)过原点作 图象的切线 ，求直线 的方程；
(2)若 ，使 成立，求 的最小值.
【答案】(1)
(2) .
【分析】（1）设切点，求导得出切线方程，代入原点，求出参数即得切线方程；
（2）由题意，将其等价转化为 在 有解，即只需求 在 上的最小
值，利用导数分析推理即得 的最小值.
【详解】（1）
设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
因为切线经过原点 ，所以 ，解得 ，所以切线的斜率为 ，所以 的方程为 .
（2） ， ，即 成立，
则得 在 有解，
故有 时， .
令 ， ， ，
令 得 ；令 得 ，
故 在 单调递减， 单调递增，
所以 ，
则 ，故 的最小值为 .
28．（24-25高三上·上海·单元测试）已知 ，其中 ．
(1)若函数 在 处的切线与 轴平行，求 的值；
(2)求 的极值点；
(3)若 在 上的最大值是0，求 的取值范围．
【答案】(1) ；
(2)答案见解析；
(3) ．
【分析】（1）利用函数导数的几何意义与直线斜率的关系求得 的值；
（2）先对函数进行求导，结合对参数分类讨论，计算函数极值点；
（3）对参数进行分类讨论，结合函数单调性找到最大值是0，求得 的取值范围；【详解】（1）函数 的定义域为 ，
，
因为函数 在 处的切线与x轴平行，
所以 ，解得 ．
（2）函数 的定义域为 ，
．
令 得 或 ，
所以当 ，即 时，
的解集为 ， 的解集为 ，
所以函数 在区间 和 上严格减，在区间 上严格增，
是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点；
当 ，即 时， 在区间 上恒成立，此时函数 在区间 上严格减，无
极值点；
当 ，即 时，
的解集为 ， 的解集为 ，
所以函数 在区间 和 上严格减，在区间 上严格增，
是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点；
综上，当 时， 是函数 的极大值点， 是函数 的极小值点；
当 时，函数 在区间 上严格减，无极值点；当 时， 是函数 的极小值点， 是函数 的极大值点．
（3）由（2）知，当 时，函数 在区间 上严格减，
在区间 上严格增，故函数 在 上的最大值是 ，
与已知矛盾；
当 时，函数 在区间 上严格减，最大值 ，满足条件；
当 时，函数 在区间 上严格减，最大值是 ，满足条件；
综上，a的取值范围是 ．
【B级 能力提升练】
一、单选题
1．（2024高三·全国·专题练习）已知 是函数 的极小值点，则 的极大值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求导，根据题意结合极值点的性质求得 ，并代入原函数检验，利用导数判断 的单调性
和极值.
【详解】因为 ，
由题意可知： ，解得 ，
若 ，则 ， ，
且 的定义域为 ，令 ，解得 或 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
可知 是函数 的极小值点，即 符合题意，
所以 的极大值为 .
故选：A．
2．（23-24高二下·江苏连云港·期中）若函数 有大于零的极值点，则实数 的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求导 和 讨论，当 时求出极值点，根据极值点大于零求解可得.
【详解】
（1） 时， ， 在定义域上单调递增，不满足题意；
（2） 时，令 得 ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增.
所以，当 时， 取得极小值，
由题知 ，解得 .
综上，实数 的取值范围为 .
故选：C
3．（2024高三·全国·专题练习）若 ，使得不等式 成立，则实数a的取值范围是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】运用分离变量将问题转化为 ，使得 恒成立，令 ，利用导数求
出其最大值可得结果.
【详解】 ，使得不等式 成立，可得 ．
令 ，则 ，令 ，解得 ，
令 ，解得 ，
所以函数g(x)在 上单调递增，在 上单调递减，
所以 ，则依题意有 ，
∴ 实数a的取值范围是 ．
故选：C．
4．（2024高三·全国·专题练习）若 ， 恒成立，则实数 的最大值是（ ）
A． B．1
C． D．
【答案】C
【分析】
设 ，就 、 分类讨论后可求实数 的最大值.
【详解】设 ，则 ，
当 时， ，故 为 上的增函数，
此时当 时， ，故 不恒成立，舍；
当 时， 恒成立，符合要求；
当 时，当 时， ，故 在 上为减函数；
当 时， ，故 在 上为增函数；
故 ，
故 ，故实数 的最大值 ，
故选：C.
5．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）在区间 上，函数 存在单调递增区间，则实数 的取值
范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用导数结合函数单调性建立不等式，再构造函数求出函数最大值即得.
【详解】函数 ，求导得 ，
依题意，不等式 在 上有解，即 在 上有解，
令 ， ，求导得 ，
当 时， ，函数 单调递增，当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，因此 ，
所以实数 的取值范围是 .
故选：C
6．（2022高三·全国·专题练习）已知 ， ，若 ， ，使得
成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【分析】由题意可知： ，利用导数求 ，根据二次函数性质求 ，即可
得结果.
【详解】由题意可知： ，
因为 ，则 ，
注意到 ，令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递减，在 内单调递增，则 ，
又因为 ，由二次函数性质可知 ，
可得 ，即实数 的取值范围是 .
故选：C.
7．（23-24高二下·广东广州·期中）函数 在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范
围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求导，根据极值分析可得 与 有2个变号交点，对 求导，利用导数判断其单
调性和最值，结合 的图象分析求解.
【详解】因为 的定义域为 ，且 ，
令 ，可得 ，由题意可知 与 有2个变号交点，
则 ，
令 ，解得 ；令 ，解得 ；
可知 在 内单调递增，在 内单调递减，
可得 ，且当x趋近于0， 趋近于 ，当x趋近于 ， 趋近于0，
可得 的图象，如图所示：
由图象可得 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 .
故选：D.
8．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知函数 的极值点为 ，则 （ ）
A． B．2 C． D．1
【答案】D
【分析】对函数求导，然后结合导数与单调性的关系、零点存在定理，求出函数的极大值点，然后利用指
对互化求解即可.
【详解】由 得 ， ，
设 ，则 ，所以 在 单调递减，又 ， ，由零点存在定理知，存在 ，使得 ，
所以当 时， ， ，函数 单调递增；
当 时， ， ，函数单调递减， ，
所以 是函数 的极大值点，则 ，即 .
所以 .
故选：D
9．（2024·江西·模拟预测）已知函数 在区间 上恰有两个极值点 ，
则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】先利用辅助角公式化一，再根据 是 在区间 上的两个极值点，求出 ，即可
得解.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
因为 是 在区间 上的两个极值点，不妨设 ，
则 ，所以 ，
所以 .故选：C.
10．（2024·全国·模拟预测）若直线 与曲线 相切，则 的最小值为（ ）
A． B．－2 C．－1 D．0
【答案】C
【详解】根据直线与函数相切，可得 以及 ，即可换元
构造函数 ，利用导数求解函数的最值求解.
【分析】设切点坐标为 ．由已知，得 ，则 ，
解得 ．
又切点在切线 与曲线 上，
所以 ，所以 ．
令 ，则 ．
令 ，解得 ．当 时， ，则 在 上单调递增；
当 时， ，则 在 上单调递减．
所以 ，即 ，所以 ，则 的最小值为－1．
故选：C．
二、多选题
11．（2024·浙江杭州·三模）已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 在区间 上单调递增 B． 的最小值为
C．方程 的解有2个 D．导函数 的极值点为
【答案】ABD【分析】利用导数判断单调性，求解最值判断A，B，将方程解的问题转化为函数零点问题判断C，对
构造函数再次求导，判断极值点即可.
【详解】易知 ，可得 ，
令 ， ，令 ， ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的最小值为 ，故A，B正确，
若讨论方程 的解，即讨论 的零点，
易知 ， ，故 ，
故由零点存在性定理得到存在 作为 的一个零点，
而当 时， ，显然 在 内无零点，
故 只有一个零点，即 只有一个解，故C错误，
令 ，故 ，
令 ，解得 ，而 ， ，
故 是 的变号零点，即 是 的极值点，
故得导函数 的极值点为 ，故D正确.
故选：ABD
12．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数 的极大值点为0，极小值点为
，且极小值为0，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD【分析】求得 ，令 ，得到 ，根据题意，
转化为0和 为此方程 的两个根，列出不等式组，可得判定A正确，B错误，C正确；再由
，得到 ，进而可判定D正确.
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，即 ，
设 ，
因为 的极大值点为0，极小值点为 ，
可得0和 为此方程 的两个根，且函数 的图象开口向上，
所以 ，且 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，所以A正确，B错误，C正确；
由 ，
因为 ，即 ，化简为 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，所D正确.
故选：ACD.
13．（23-24高三上·海南海口·阶段练习）已知函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 在 上单调递减
B．对任意的 ，函数 在R上一定存在零点
C．存在 ，函数 有唯一极小值D．当 时， 在 上恒成立
【答案】ABC
【分析】对于A，利用导数研究已知函数的单调性，可得答案；
对于B，根据导数研究函数的单调性，结合零点存在性定理，可得答案；
对于C，根据极小值的定义，结合导数以及指数函数性质，可得答案；
对于D，利用导数研究函数的单调性，可得答案.
【详解】对于A，当 时， ，当 时， ，故 在区间
上单调递减，故选项A正确；
对于B，当 时， ， ，故 在 上为增函数，
又 一定存在零点，故选项B正确；
对于C，取 ，则 ， ，
当 时， ，当 时， ，
故 有唯一的极小值 ，故选项C正确.
对于D，当 时， ，此时 ，又 ，故选项D错误.
故选：
三、填空题
14．（2024·四川南充·模拟预测）已知0是函数 的极大值点，则 的取值范围为 ．
【答案】
【分析】求出函数导数 ，研究导数 的正负求得函数 单调性即可得解.
【详解】由题 ，当 时， 恒成立，故 是增函数， 无极值点，不符合；
当 时，令 或 ，
若 ， ，所以：
当 时， ，故 在 和 上单调递增，
当 时， ，故 在 上单调递减，
则 在 处取得极小值， 是 的极小值点，不符合；
若 时， ，所以：
当 时， ，故 在 和 上单调递增，
当 时， ，故 在 上单调递减，
则 在 处取得极大值， 是 的极大值点，
所以0是函数 的极大值点，则 的取值范围为 .
故答案为： .
15．（2024高三·全国·专题练习）已知函数f（x）＝x ln x＋ax＋2，若对任意的x∈[1，e2]，f（x）≤0恒
成立，则实数a的取值范围是 ．
【答案】（－∞，－ －2]
【详解】
解析：f（x）＝x ln x＋ax＋2≤0对任意的x∈[1，e2]恒成立，则－a≥ ＝ ＋ln x对任意的x∈[1，e2]
恒成立．令g（x）＝ ＋ln x，令g′（x）＝－ ＋ ＝ ＝0，得x＝2，则g（x）在[1，2）上单调递
减，在（2，e2]上单调递增，所以g（1）＝2，g（e2）＝ ＋2，所以g（x）max＝g（e2）＝ ＋2，则－a≥ ＋2，则a≤－ －2.故实数a的取值范围是（－∞，－ －2].
【考查意图】
不等式恒成立问题．
16．（2024·上海·三模）已知函数 在 上无极值，则 的取值范围是 .
【答案】
【分析】求导数确定单调性，讨论x的取值范围可得结果.
【详解】由题意得， ，故 ，
因为函数 在 上无极值，
所以 在R上恒成立，
当 时， ，
设 ，则 ，
当 时，得 ，当 时，得 ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
从而 ，故 ，
当 时， ，则 .
综上， .
故答案为：
17．（23-24高二下·福建福州·期中）已知 在区间 上有最小值，则实数 的取值范
围是 .
【答案】【分析】利用函数的导数判断函数单调性，确定函数的极小值点，结合题意列出不等式组，即可求得答案.
【详解】由函数 ，可得 ，
当 或 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
即 为函数 的极小值点；
要使得函数 在区间 上有最小值，
则满足 ，即 ，
因为 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以 ，即实数 的取值为 .
故答案为：
18．（2024·全国·模拟预测）函数 在定义域内为增函数，则实数k的取值范围为
．
【答案】
【分析】利用换元法整理函数解析式，根据复合函数的单调性，可得导数的不等关系，利用导数的导数研
究其最值，可得答案.
【详解】令 ，由于 在 上为增函数，
则 在 上为增函数，
所以 在 上恒成立．
令 ，由 ，得 ，则当 时， ，当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增．
所以 ，解得 ．
所以实数k的取值范围为 ．
故答案为： .
19．（2024高三·全国·专题练习）设函数 .若对于任意 ，都有 ，
则实数 的值为 .
【答案】4
【分析】分 ， 和 三类讨论，并利用分离参数即可求出 值.
【详解】若 ，则不论 取何值， 都成立；
当 ，即 时， 可化为 ，
设 ，则 ，
当 时， ；当 ， ，
所以 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，
则 ，所以 ；
当 ，即 时， 可化为 ，
又因为 在 上恒大于0，则 在区间 上单调递增，
所以 ，所以 .
综上，实数 的值为4.
故答案为：4.四、解答题
20．（2024高三·全国·专题练习）已知函数 ，证明：当 时， .
【答案】证明见解析
【分析】利用 故 将原问题转化成证 ，再利用导数工具研究
的单调性从而得其最小值，进而得证.
【详解】证明： ， ， ，
故只需证明 即可得证.
令 ，则 ，
令 ，则 ，
所以 在 上单调递增，又 ，
所以当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 ，故 ，
所以 即证得当 时， .
21．（23-24高二下·山东滨州·期末）已知函数 ，其中 ．
(1)若 时， 有极小值，求 的值；
(2)若 在区间 存在单调递减区间，求 的取值范围．
【答案】(1)2
(2)
【分析】（1）由极值点得导数等于0，解出 或 ，进而利用导数检验 时， 有极小值；（2）分类讨论 三种情况，结合导数得出其单调性，再由 在区间 存在单调递减
区间，进一步确定 的取值范围．
【详解】（1）由 ，可得 ，
因为函数 在 处取极小值，所以 ，解得 或 .
当 时， ，
所以当 时，
函数 在 和 上单调递增；
当 时， ，
函数 在 上单调递减；
所以 时， 有极小值，所以 满足题意.
当 时， ，
所以当 时， ，
函数 在区间 和 上单调递增；
当 时， ，函数 在区间 上单调递减，
所以 时， 有极大值,所以 不满足题意.
综上所述，所求 的值为2.
（2）因为 ，
当 时，由 ，解得 ，所以函数 的减区间为 .
在区间 存在单调递减区间，所以 ，
当 时， ，所以函数 在 单调递增，不存在减区间，
所以 不符合题意.当 时，由 ，解得 ，所以函数 单调递减区间为 .
所以 在区间 不存在单调递减区间，所以 不符合题意.
综上所述， 的取值范围为 .
22．（23-24高二下·四川达州·期末）已知函数 ， ．
(1)求函数 的极值；
(2)曲线 在 处的切线方程为 ，证明： ．
【答案】(1)极大值为 ，函数的极小值为 ；
(2)见解析
【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值；
（2）首先利用导数的几何意义求切线方程，再根据不等式构造函数，转化为求函数的最大值.
【详解】（1） ，
令 ，得 或 ，
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以函数的极大值为 ，函数的极小值为 ；
（2）由（1）可知， ，且 ，
所以曲线 在 处的切线方程为 ，即 ，要证明 ，即证明
设 ， ， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
所以当 时， 取得最大值， ，
所以 ，即 ，
所以 ，命题得证.
23．（2024·广东东莞·模拟预测）已知函数 ．
(1)求函数 的单调区间；
(2)当 时，求函数 在区间 上的最大值．
【答案】(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）利用导数，分类讨论求区间；
（2）结合（1）得到的函数 单调性，分类讨论函数 最大值.
【详解】（1） 的定义域为 ，
求导数，得 ，
若 ，则 ，此时 在 上单调递增，
若 ，则由 得 ，当 时， ， 在 上单调递减，
当 时， ， 在 上单调递增，综上，当 ， 的增区间为 ，无减区间，
若 ， 减区间为 ，增区间为 .
（2）由（1）知，当 时， 在区间 上为增函数，
函数 的最大值为 ，
当 时， 在区间 上为减函数，
函数 的最大值为 ，
当 时， 在区间 上为减函数，在 上为增函数，
函数 的最大值为 ，
由 ，得 ，
若 时，函数 的最大值为 ，
若 时，函数 的最大值为 ，
综上，当 时，函数 的最大值为 ，
当 时，函数 的最大值为 .
【C级 拓广探索练】
一、单选题
1．（23-24高二下·湖北荆州·阶段练习）若关于x的不等式 恒成立，则实数 的最大值
为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D【分析】变形不等式得到 ，设 ，求导得到函数单调性，得到 ，
令 ，则 求导得到函数单调性和极值最值情况，求出
，设 ，求导得到单调性，并求出
， ，所以 ，得到答案.
【详解】不等式 ，即 ，
所以 ．设 ，则 ，
所以当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以 ．
令 ，则 ．
当 时， ， 单调递增，则 ，
故 满足条件；
当 时， 在 单调递减；在 单调递增，则 ；
设 ，则 ，则 在 上单调递减，
又 ，所以 ，
所以 ，所以 的最大值为 ．
故选：D
2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数 在 上恰有两个极值点，则实数 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】根据函数有两个极值点的个数，转化为导数在 上有两个变号零点，再进行参数 的讨论即可.
【详解】由题意得 ．
因为函数 在 上恰有两个极值点，则 在 上有两个变号零点．
当 时， 在 上恒成立，不符合题意．
当 时，令 ，则 ，
当 时， ，所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
又 ， ，
所以 ，则 ，即实数 的取值范围是 .
故选：D．
【点睛】方法点睛：本题考查已知函数极值点个数求参数范围.对于函数零点个数的相关问题，常常利用导
数和数形结合思想来求解．求解这类问题的步骤：
（1）构造函数，并求其定义域，这是解决此类题的关键点和难点；
（2）求导，得函数的单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与 轴的交点情况，进而求解．
3．（2024·全国·模拟预测）已知过点 的直线与函数 的图象有三个交点，则该直线的
斜率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】方法一：问题转化为方程 有三个不等的实数根.分离参数后构造函数
，求导分析单调性后求出参数的范围；方法二：分离函数，令 ，则方程变
为 ，分别构造函数 ，求导分析 的单调性和极值，再讨论当 时
图象的情况和当 时设切点，利用导数的意义求出切线的斜率，再由点在直线上和点斜式方程写出
切线方程，求出斜率，最后综合以上求出斜率范围.
【详解】问题转化为方程 有三个不等的实数根．
方法一：分离参数
因为 ，所以方程
有三个不等的实根等价于方程 有两个不等的实根．
令 ，
则 ．
令 ，则 ，即 单调递增．
又 ，所以当 时， 单调递减，且 ；
当 时， 单调递增，
且 ．
又因为当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以实数k的取值范围是 ．
故选：C．
方法二：分离函数
令 ，则 ，所以 ．令 ，则 ，解得 ，
令 ，得 ；令 ，得 ；
所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 有极小值；
而 且 ，
所以方程 有一解 ．
①当 时， 过一、三象限，两图象有两个交点，不合题意；
②当 时，过原点O作 的切线，
设切点 ，则 ，
所以 ．
又 ，得 ，
所以 ，
所以 ．
故选：C．
【点睛】关键点点睛：方法一关键是能够把问题转化为方程 有三个不等的实数根，再分
离参数后由导数确定单调性和特殊值分析函数的最值情况.
二、填空题
4．（2024·四川成都·模拟预测）若函数 在 上无极值点，则 的取值范围为
.
【答案】
【分析】由题意可得 在 内单调，而当 时， ，所以 在 上恒成立，然后构造函数 ，利用导数求出其最小值即可.
【详解】由 ，得 ，
因为 在 上无极值点，
所以 在 内单调，
因为当 时， ，
所以 在 恒成立，
即 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以 在 上递减，在 上递增，
所以 ，
所以 ，
即 的取值范围为 ，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的应用，考查利用导数求函数的最值，考查利用导数解决极值点问题，
解题的关键是根据题意将问题转化为 在 恒成立，然后分离参数，构造函数，利
用导数求函数的最值，考查数学转化思想，属于较难题.
5．（2024高三下·全国·专题练习）已知函数 ， 时， ，则实数 的范围是
.【答案】
【分析】先应用参数分离，构造新函数 ，把恒成立转化为求 最小值，二次求导根
据单调性求最值即可.
【详解】由题可得 对任意 恒成立，
等价于 对任意 恒成立，
令 ，则 ，
令 ，则 ，
在 单调递增，
， ，
存在唯一零点 ，且 ，使得 ，
在 单调递减，在 单调递增，
，
，即 ，
令 ，显然 在 单调递增，则 ，即 ，
则 ， .
故答案为：
三、解答题
6．（23-24高二下·河北邢台·期中）已知函数 和 ．(1)若 在 上的最小值为 ，求 的值；
(2)若不等式 恒成立，求 的取值集合．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求出得 ，再对 进行分类讨论即可；
（2）转化得 ，利用同构思想设 ，则 再利用导数研究其最小值，
得到 ，再次设新函数，利用导数得到其唯一零点.
【详解】（1） ， ，
若 ，则 ，所以 在 上单调递增，则 无最小值，不符合题意，
所以 ，当 时， 单调递减，
当 时， 单调递增，所以 ，
由 ，得 ，
即 或
因为 ，所以 .
（2） 的定义域为 ，
由 ，得 ，
令函数 ， ，则 ，
所以 单调递增，得 ，
令函数 ， ，则 ，若 ，则 在 上单调递增，因为 ，
所以当 时， ，不符合题意，所以 ，
当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，
所以 ，即 恒成立，
令函数 ，则 ，
当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
所以 ，即 ，
故 ，即 ，
所以 的取值集合为 .
【点睛】关键点点睛：本题第二问采用同构思想，设函数 ，得到其单调性，转化为研究函数
，再利用导数研究其最小值即可.
