第16节三角恒等变换（解析版）_2.2025数学总复习_赠品通用版（老高考）复习资料_一轮复习_备战2023年高考数学一轮复习考点帮（全国通用）

第 16 节 三角恒等变换 基础知识要夯实 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__ α cos __ β ±cos __ α sin __β. cos(α∓β)＝cos__ α cos __ β ±sin __ α sin __β. tan(α±β)＝ . 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__ α cos __α. cos 2α＝ cos 2 α － sin 2 α ＝ 2cos 2 α － 1 ＝ 1 － 2sin 2 α . tan 2α＝ . 3.函数f(α)＝asin α＋bcos α(a，b为常数)，可以化为f(α)＝ sin(α＋φ) 或 f(α)＝ ·cos(α－φ) . 4.常用结论 （1）tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β). （2）cos2α＝ ，sin2α＝ . （3）1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝ sin . 基本技能要落实 【探究材料一】 我们知道变换是数学的重要工具，也是数学学习的主要对象之一，三角函数主要有以下三个基本的恒等变换：代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变换．前面已经利用诱导 公式进行了简单的恒等变换． 我们已经学习了二倍角的余弦公式：cos212sin22cos21，对于这个公式，我们还 可以进行更多的恒等变形．据此，请回答下列问题． 【探究问题】 1．角 和 是什么关系？ 2．由 ，可用 来表示 吗？ 3．可用 来表示 吗？ 4．由问题2和3， 等于什么？ 5．把上述问题中的角 换成 ，上述公式还成立吗？ 【探究提示】 1． 是 的二倍角， 是 的半角； 2． ； 3． ； 4． ； 5．成立． 【探究材料二】 前面，我们学习了两角和与差的正弦公式： ；① ；② ；③ ．④ 观察上面两个公式的特点，回答下列问题． 【探究问题】1．公式①②可以看成关于 和 的方程组吗？ 2．问题1中方程组的解是什么？ 3．类似的，你可以表示 和 吗？ 4．以上方程组的解叫什么公式？ 5．既然我们能表示 ，那么我们能否可以表示 ？ 【探究提示】 1．可以； 1 sincos [sin()sin()] 2． 2 ； 1 cossin [sin()sin()] 2 ； 1 coscos [cos()cos()] 3． 2 ； 1 sinsin [cos()cos()] 2 ． 4．积化和差公式； 5．可以，即和差化积公式． 核心素养要做实 考点一 三角函数式的化简 【例1】 (1) 等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】原式 ． （2） 的结果是（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】原式． 规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角 进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见 的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、 “遇到根式一般要升幂”等. 2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等. 【训练1】（1） 的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】原式 ． （2） 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 考点二 三角函数式的求值 多维探究2cos10sin20 【例2】 (1) sin70 的值是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ． （2）计算 的值等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 ． 规律方法 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同 或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法. 2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围， 最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值， 选正弦或余弦函数；若角的范围是，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好. 【训练2】 (1)(2020·合肥模拟) 已知 ， ，求 的值． 【解析】 ， ① ． ② ①式平方得 ， ②式平方得 ． 以上两式相加，有 ， 即 ， 得 ． （2）已知 ， ，且 ， ，求 的值． 【解析】由题意易得 ， ， ∴ ． 考点三 三角恒等变换的简单应用 【例3】 (2020·郑州模拟) ．如图，点 在以 为直径的半圆上移动，且 ，过点 作圆的切线 ，使 ．连接 ，当点 在什么位置时，四边形 的面积等于 ？ 【解析】设 ，连接 ． ∵ 是直径， ∴ ． 又 ，∴ ， ． ∵ 是切线， ∴ ． 又 , ∴ ． 由已知， ， ． 又 ， ， ， ． 故当点 位于 的中垂线与半圆的交点时，四边形 的面积等于 ． 规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的 关系；注意公式的逆用和变形使用. 2.把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性. 【训练3】 (2020·北京卷) 求函数 的单调区间． 【解析】 ． 当 ，即 ，函数单调递增． 当 ，即 ，函数单调递减． 因此原函数的单调递增区间是 ， 单调递减区间为 ． 达标检测要扎实 一、单选题 1．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知 ，则 （ ） A． B． C． D．【答案】B 【解析】由 可得 ， 即 ，即 ， 所以 ， ，故选：B. 2．（2020·绥德中学高一期末（文））若 ， ，则 （ ） A．-2 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】 ，可得 ， ， ， ，故选B项. 3．（2020·绥德中学高一期末（文）） 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C【解析】 .故选C. 4．（2020·全国高二）已知 ， 都是锐角， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 ， 都是锐角， ， ，故 ， . .故选： . 5．（2020·全国高二）若 ， ， ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意 ，故 故 又 ，故 ， 则 ，故选：C 6．（2020·安徽省舒城中学高二月考（文））若 均为锐角， ， ， 则 A． B． C． 或 D． 【答案】B 【解析】∵α为锐角， s，∴α＞45°且 ， ∵ ，且 ， ∴ ， 则cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα 故选B.7．（2020·安徽省舒城中学高二月考（文））函数 的最大值为（ ） A． B． C． D．2 【答案】A 【解析】 由题意，得 ；故选A. 8．（2020·全国高三（理））化简 （） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解析】化简分母得 . 故原式等于 .故选D． 9．（2020·全国高二）已知α终边与单位圆的交点 且 √5 ，则 − 5 的值等于（ ）A． B． C． D．3 【答案】A 【解析】 因为 终边与单位圆的交点 ，且 √5 ， − 5 所以 ， ，则 .故选：A. 10．（2020·全国高二）若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 . ，故选:A 11．（2020·全国高二）已知 ，则 （ ）A． B． C． D．3 【答案】C 【解析】由 ， 得 ，即 ． ．故选：C． 12．（2020·肥城市教学研究中心高三其他）已知 ，则 的值（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 ，即 ，故选：C. 二、填空题 13．（2020·全国高二）已知 ，则 _________．【答案】 【解析】 ， ． ． 故答案为： ． 14．（2020·山西省高一月考） ________. 【答案】1 【解析】 . 故答案为：1. 15．（2020·山东省高三二模）已知 ，则 =________. 【答案】【解析】 ， 所以 ． 故答案为： ． 16．（2020·北京高三二模）已知 ，则 的值为_____. 【答案】 【解析】由 ，得 ，即 . 所以 故答案为： . 三、解答题 17．（2020·黑山县黑山中学高三月考（文））设 的三内角 、 、 的对边分别是 、 、 ，且 . （1）求角 的大小； （2）若 ，点 为 的中点，求 . 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）∵ ，由正弦定理可得： ，整理得： ， 而由余弦定理得： ， 在 中， ，∴ （2）若 ，由（1）可得： ， 取 ，则 ，如图所示： 解法一：在 中，由余弦定理可得： ， ∴ ， ， ∴ ； 解法二： .18．（2020·上海高三二模）设函数 . （1）当 时，若函数 的最大值为 ，求函数 的最小正周期; （2）若函数 在区间 内不存在零点，求正实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1） ， 因为函数 的最大值为 ，所以 ， 即 ， ，即 ， 又 ，则 ， 则函数 的最小正周期为 . （2）因为函数 在区间 内不存在零点， 所以 ， .即 ， 则 ， ， 因为 ， ，所以 ， ，即 ，1， 则所求的 的取值范围为 . 19．（2020·上海高三二模）设常数 ，函数 ． （1）若 为奇函数，求 的值； （2）若 ，求方程 在区间 上的解． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1）当 为奇函数时，必有 , 当 时， 是奇函数，符合题意，故 . （2）由题 ， 得 ， 由 或 ，或 ，所以在区间 上的解为 ． 20．（2020·浙江省高三其他）已知函数 在区间 的值域为 . （1）求实数 的取值范围； （2）若 ， ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】（1） 由题意得：当 时， 令 ， 所以， ，所以， . （2）由题意得 ， ，则 ，所以， ， 所以， . 21．（2020·浙江省高三三模）已知函数 的最大值为2. （1）求 的值； （2）当 时，求 的最值以及取得最值时 的值. 【答案】（1） ；（2）当 时， ；当 时， . 【解析】（1） ， 因为 得最大值为 . 所以 ， （2） 时，. 当 时， ； 当 时， . 22．（2020·四川外国语大学附属外国语学校高一月考）已知函数 . （1）求 的最小正周期； （2）求函数 的单调增区间； （3）求函数 在区间 上的取值范围. 【答案】（1） ；（2） ；（3） ． 【解析】（1） 所以 ． （2）由 ，得 ， 所以函数 的单调递增区间是 .（3）由 得 ，所以 ， 所以 ．