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第 17 讲 导数的概念及其运算
【基础知识网络图】
导数的概念
导数的概念
导数的概念和运算
初等函数的求导公式
导数的运算 导数的运算法则
复合函数求导
【基础知识全通关】
一：导数的概念：
1．导数的定义：
对函数 ，在点 处给自变量 x 以增量 ，函数 y 相应有增量
。若极限 存在，则此极限称
为 在点 处的导数，记作 或 ，此时也称 在点 处可导。
即： （或 ）
【点石成金】：
①增量 可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：
如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，
都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 , 称这个函数 为函
数 在开区间内的导函数，简称导数。函数的导数与在点 处的导数不是同一概念， 是常数，是函数 在
处的函数值，反映函数 在 附近的变化情况。
【点石成金】：
函数的导数与在点 处的导数不是同一概念， 是常数，是函数 在
处的函数值，反映函数 在 附近的变化情况。
3．导数几何意义：
（1）曲线的切线
曲线上一点P(x ，y)及其附近一点Q(x+△x,y+△y)，经过点P、Q作曲线的割线
0 0 0 0
PQ，其倾斜角为 当点 Q(x+△x,y+△y)沿曲线无限接近于点
0 0
P(x，y)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
0 0
若切线的倾斜角为 ，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即： 。
(2)导数的几何意义：
函数 在点x 的导数 是曲线 上点（ ）处的切线的斜
0
率。
【点石成金】：
①若曲线 在点 处的导数不存在，但有切线，则切线与 轴垂直。
② ，切线与 轴正向夹角为锐角； ，切线与 轴正向夹角为钝角； ，切线与 轴平行。
(3)曲线的切线方程
如果 在点 可导，则曲线 在点（ ）处的切线方程为：
。
考点二：常见基本函数的导数公式
（1） （C为常数），
（2） （n为有理数），
（3） ，
（4） ，
（5） ，
（6） ，
（7） ，
（8） ，
考点三：函数四则运算求导法则
设 ， 均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数： （ ）
考点四：复合函数的求导法则
或即复合函数 对自变量 的导数 ，等于已知函数 对中间变量
的导数 ，乘以中间变量 对自变量 的导数 。
【点石成金】：
选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。
求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【考点研习一点通】
考点01：导数概念的应用
1、用导数的定义，求函数 在x=1处的导数。
【变式1-1】已知函数
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线 上一点 处的切线方程。
【变式1-2】求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.考点02：利用公式及运算法则求导数
2．求下列函数的导数：
（1） ； （2）
（3） ； （4）y=2x3―3x2+5x＋4
【变式2-1】求下列函数的导数：
（1） ；
（2）
（3）y=6x3―4x2+9x―6
【变式2-1】求下列各函数的导函数
（1） ；（2）y=x2sinx;
（３）y= ； （４）y=考点03：复合函数的求导问题
3．求下列函数导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
【变式3-1】求下列函数的导数：
(1) ； （2）
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（3）y=ln（x＋ ）； （4）
考点04：曲线的切线方程求解问题
4．已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点
处的切线方程是_______________．【变式 4-1】（2014 碑林区校级一模）若存在过点 的直线与曲线 和
都相切，求实数 的值.
5.已知函数f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取
值范围．
【变式】曲线 在（0，1）处的切线与 的距离为 ，求 的方程.
【考点易错】
易错 01 求导数的切线方程
(1)函数 的图象在点 处的切线方程为__________．
(2)函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围
是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
【变式1-1】(1)已知曲线S：y＝－x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线
方程为____．
(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为
____．
（2）x＋y＋＝0
【变式1-2】已知函数f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
易错 02 导数几何意义的应用
2、已知函数 ， 和直线 ，且
．
(1)求 的值；
(2)是否存在 ，使直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线？如果存在，
求出 的值；如果不存在，请说明理由．【变式2-1】已知函数 是 的导函数，则过
曲线 上一点 的切线方程为__________________．
【变式2-2】若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为________．
【巩固提升】
1．已知函数 ， ，若方程 有两个不相等的正实根，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数 ，若 ，使 成立，
则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， （
为 的导函数）.若对任意的 ，不等式恒成立，则实数 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
4．设实数 ，若对任意的 ，不等式 成立，则实数m的取值
范围是（ ）
A． B． C． D．
5．设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．
6．已知函数 .若方程 在区间 上有解，则
实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．函数 的定义域为 ，若存在一次函数 ，使得对于任意的
，都有 恒成立，则称函数 是函数 在 上的
弱渐进函数.下列结论正确的是（ ）
① 是 在 上的弱渐进函数；
② 是 在 上的弱渐进函数；③ 是 在 上的弱渐进函数；
④ 是 在 上的弱渐进函数.
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
8．已知函数 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 存在唯一极值点 ，且
B． 恰有3个零点
C．当 时，函数 与 的图象有两个交点
D．若 且 ，则
9．已知函数 ，其导函数为 ，下列命题中真命题的为
（ ）
A． 的单调减区间是
B． 的极小值是
C．当 时，对任意的 且 ，恒有 （a） （a）
D．函数 有且只有一个零点
10．关于x的不等式 恰有一个解，则实数a的取值范围是__________．
11、曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
12、已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为
，则 的值为_______.13．已知 在 上连续可导， 为其导函数，且
则
A． B．
C．0 D．
14．设过曲线 （ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在
过曲线 上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
15．已知曲线 ，求:
（1）曲线 在点 处的切线方程；
（2）曲线 过点 的切线方程.
16．已知函数 的图象过点 ，且在点 处的
切线方程为 ．
（1）求 和 的值；（2）求函数 的解析式．
