文档内容
第 17 讲 导数的概念及其运算
【基础知识网络图】
导数的概念
导数的概念
导数的概念和运算
初等函数的求导公式
导数的运算 导数的运算法则
复合函数求导
【基础知识全通关】
一：导数的概念：
1．导数的定义：
对函数 ，在点 处给自变量 x 以增量 ，函数 y 相应有增量
。若极限 存在，则此极限称为
在点 处的导数，记作 或 ，此时也称 在点 处可导。
即： （或 ）
【点石成金】：
①增量 可以是正数，也可以是负数；
②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。
2．导函数：
如果函数 在开区间 内的每点处都有导数，此时对于每一个 ，
都对应着一个确定的导数 ，从而构成了一个新的函数 , 称这个函数 为函
数 在开区间内的导函数，简称导数。函数的导数与在点 处的导数不是同一概念， 是常数，是函数 在 处
的函数值，反映函数 在 附近的变化情况。
【点石成金】：
函数的导数与在点 处的导数不是同一概念， 是常数，是函数 在 处
的函数值，反映函数 在 附近的变化情况。
3．导数几何意义：
（1）曲线的切线
曲线上一点P(x，y)及其附近一点Q(x+△x,y+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其
0 0 0 0
倾斜角为 当点Q(x+△x,y+△y)沿曲线无限接近于点P(x，y)，
0 0 0 0
即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。
若切线的倾斜角为 ，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。
即： 。
(2)导数的几何意义：
函数 在点x 的导数 是曲线 上点（ ）处的切线的斜率。
0
【点石成金】：
①若曲线 在点 处的导数不存在，但有切线，则切线与 轴垂直。
② ，切线与 轴正向夹角为锐角； ，切线与 轴正向夹角为钝角；，切线与 轴平行。
(3)曲线的切线方程
如果 在点 可导，则曲线 在点（ ）处的切线方程为：
。
考点二：常见基本函数的导数公式
（1） （C为常数），
（2） （n为有理数），
（3） ，
（4） ，
（5） ，
（6） ，
（7） ，
（8） ，
考点三：函数四则运算求导法则
设 ， 均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数： （ ）
考点四：复合函数的求导法则
或即复合函数 对自变量 的导数 ，等于已知函数 对中间变量
的导数 ，乘以中间变量 对自变量 的导数 。
【点石成金】：
选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求
导后，要把中间变量转换成自变量的函数。
【考点研习一点通】
考点01：导数概念的应用
1、用导数的定义，求函数 在x=1处的导数。
【解析】∵
∴
∴ 。
【变式1-1】已知函数
（1）求函数在x=4处的导数.
（2）求曲线 上一点 处的切线方程。
【答案】
（1），
（2）由导数的几何意义知，曲线在点 处的切线斜率为 ，
∴所求切线的斜率为 。
∴所求切线方程为 ，整理得5x+16y+8=0。
【变式1-2】求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程.
【解析】设 .
由f(1)=3，故切点为（1，3），
切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2.
考点02：利用公式及运算法则求导数
2．求下列函数的导数：
（1） ； （2）
（3） ； （4）y=2x3―3x2+5x＋4
【解析】
（1） .
（2） .（3）∵ ，∴ .
（4）
【变式2-1】求下列函数的导数：
（1） ；
（2）
（3）y=6x3―4x2+9x―6
【答案】
（1） .
（2）
∴ .
（3）
【变式2-1】求下列各函数的导函数
（1） ；（2）y=x2sinx;
（３）y= ； （４）y=
【解析】
（1）法一：去掉括号后求导.
法二：利用两个函数乘积的求导法则
=2x(2x－3)+(x2+1)×2=6x2－6x+2
（2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx
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（３） =
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（4）
=
=
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考点03：复合函数的求导问题
3．求下列函数导数.
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） .
【解析】
（1） ， .
.
（2） ，
∴
（3） ， .∴
（4） ， ，
∴
.
【变式3-1】求下列函数的导数：
(1) ； （2）
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（3）y=ln（x＋ ）； （4）
【答案】
(1)令 , ,
（2）令
（3） = ＝
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（4）考点04：曲线的切线方程求解问题
4．已知 为偶函数，当 时， ，则曲线 在点 处
的切线方程是_______________．
【解析】当 时， ，则 ．又因为 为偶函数，所以
，所以 ，则切线斜率为 ，所以切线方程为
，即 ．
【变式 4-1】（2014 碑林区校级一模）若存在过点 的直线与曲线 和
都相切，求实数 的值.
【解析】设直线与曲线 的切点坐标为 ，则 解得： 或
，则切线的斜率 或 ，
若 ，此时切线的方程为
由 ，消去 ，可得 ，其中 ，即
解得：
若 ，且切线方程为 ，
由 ，消去 可得 又由 可得解得： 故 .
5.已知函数f(x)＝ x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.
(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；
(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值
范围．
【解析】(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，
则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，
即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．
(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，
则由(2)中条件并结合(1)中结论可知 ，
解得－1≤k＜0或k≥1，
故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，
得x∈(－∞，2－ ]∪(1,3)∪[2＋ ，＋∞)．
【变式】曲线 在（0，1）处的切线与 的距离为 ，求 的方程.
【答案】由题意知，
∴曲线在（0，1）处的切线的斜率
∴该切线方程为
设 的方程为 ，
则 ，
解得 ，或 .
当 时， 的方程为 ；当 时， 的方程为
综上可知， 的方程为 或 .
【考点易错】
易错 01 求导数的切线方程
(1)函数 的图象在点 处的切线方程为__________．
(2)函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围
是( )
A．(－∞，－2] B．(－∞，2)
C．(2，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】 (1)x－y－3＝0 (2)B
【解析】 (1)f′(x)＝，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.
（2）函数f (x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋
∞)上有解．所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－.
因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)．
【变式1-1】(1)已知曲线S：y＝－x3＋x2＋4x及点P(0，0)，那么过点P的曲线S的切线方程
为____．
(2)已知函数f(x)＝xlnx，过点A(－，0)作函数y＝f(x)图像的切线，那么切线的方程为____．
【答案】（1）y＝4x或y＝x
（2）x＋y＋＝0
【解析】 (1)设过点P的切线与曲线S切于点Q(x，y)，则过点Q的曲线S的切线斜率为k＝
0 0
y′|x＝x＝－2x＋2x＋4，又当x≠0时，k ＝，
0 0 0 PQ
∴－2x＋2x＋4＝. ①∵点Q在曲线S上，∴y＝－x＋x＋4x.②
0 0 0
将②代入①得－2x＋2x＋4＝，化简，得x－x＝0，∴x＝或x＝0，
0 0 0
当x＝时，则k＝，过点P的切线方程为y＝x.
0
当x＝0时，则k＝4，过点P的切线方程为y＝4x，故过点P的曲线S的切线方程为y＝4x或
0
y＝x.
(2)设切点为T(x，y)，则k ＝f′(x)，
0 0 AT 0
∴＝lnx＋1，即e2x＋lnx＋1＝0.
0 0 0
设h(x)＝e2x＋lnx＋1，则h′(x)＝e2＋，当x>0时，h′(x)>0，
∴h(x)在(0，＋∞)上是单调增函数，∴h(x)＝0最多只有一个根. 又h＝e2×＋ln＋1＝0，
∴x＝.
0
由f′(x)＝－1得切线方程是x＋y＋＝0.
0
【变式1-2】已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)若直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；
(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线方程．
【解析】 (1)由函数f(x)的解析式可知点(2，－6)在曲线y＝f(x)上，∴f′(x)＝(x3＋x－
16)′＝3x2＋1，
∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13，
∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，
即y＝13x－32.
(2)(方法1)设切点为(x，y)，
0 0
则直线l的斜率为f′(x)＝3x＋1，
0
∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x)＋x＋x－16.
0 0
又∵直线l过点(0，0)，
∴0＝(3x＋1)(－x)＋x＋x－16，
0 0
整理得x＝－8，∴x＝－2，
0
∴y＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
0
f′(－2)＝3×(－2)2＋1＝13，
故直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(方法2)设直线l的方程为y＝kx，切点坐标为(x，y)，则k＝＝.
0 0
又∵k＝f′(x)＝3x＋1，
0
∴＝3x＋1，解得x＝－2，
0
∴y＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
0
k＝3×(－2)2＋1＝13，∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．
(3)∵曲线f(x)的某一切线与直线y＝－＋3垂直，∴该切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x，y)，
0 0
则f′(x)＝3x＋1＝4，
0
∴x＝±1，∴或
0
故切线方程为y－(－14)＝4(x－1)
或y－(－18)＝4(x＋1)，即y＝4x－18或y＝4x－14.
易错 02 导数几何意义的应用
2、已知函数 ， 和直线 ，且
．
(1)求 的值；
(2)是否存在 ，使直线 既是曲线 的切线，又是曲线 的切线？如果存在，
求出 的值；如果不存在，请说明理由．
【解析】：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，
∵f′(－1)＝0，∴3a－6－6a＝0，∴a＝－2.
(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0,9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，
则设切点为(x3x＋6x＋12)．∵g′(x)＝6x＋6，
0, 0 0 0
∴切线方程为y－(3x＋6x＋12)＝(6x＋6)(x－x)，
0 0 0
将(0,9)代入切线方程，解得x＝±1.当x＝－1时，切线方程为y＝9；
0 0
当x＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，
0
①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.
在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；
在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.
②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.
在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；
在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10；
∴y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.
综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.
【变式2-1】已知函数 是 的导函数，则过曲
线 上一点 的切线方程为__________________．
【变式2-2】若直线 是曲线 的切线，则实数 的值为________．
【答案】：(1)3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0 (2)－e
【解析】：(1)由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x得f′(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x，
则a＝f′()＝3－2sin ＋2cos ＝1.由y＝x3得y′＝3x2，
当P点为切点时，切线的斜率k＝3a2＝3×12＝3.又b＝a3，则b＝1，所以切点P的坐标为
(1,1)．
故过曲线y＝x3上的点P的切线方程为y－1＝3(x－1)，即3x－y－2＝0.
当P点不是切点时，设切点为(x，x)，∴切线方程为y－x＝3x(x－x)，
0 0
∵P(a，b)在曲线y＝x3上，且a＝1，∴b＝1.∴1－x＝3x(1－x)，
0
∴2x－3x＋1＝0，∴2x－2x－x＋1＝0，∴(x－1)2(2x＋1)＝0，∴切点为 ，
0 0
∴此时的切线方程为 ，
综上，满足题意的切线方程为3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0.
(2)设切点为(x，xln x)，
0 0 0
由y′＝(xln x)′＝ln x＋x·＝ln x＋1，得切线的斜率k＝ln x＋1，
0
故切线方程为y－xln x＝(ln x＋1)(x－x)，整理得y＝(ln x＋1)x－x，与y＝2x＋m比
0 0 0 0 0 0
较得
解得x＝e，故m＝－e.
0
【巩固提升】1．已知函数 ， ，若方程 有两个不相等的正实根，
则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由方程 有两个不相等的正实根，转化为方程 有两个不相等的
正实根，进而得到函数 的图象与直线 在 上有两个不同的
交点，根据当 时，若直线 与 的图象相切，得到切点坐标为
和切线方程，结合图象，即可求解.
【详解】
因为函数 ， ，且方程 有两个不相等的正实根，
所以方程 有两个不相等的正实根，
即方程 有两个不相等的正实根，
即函数 的图象与直线 在 上有两个不同的交点，
因为当 时， ，所以 在 上单调递增，
作出 在 上的大致图象，如图所示，当 时，若直线 与 的图象相切，
设切点坐标为 ，则切线方程为 ，
可得切线过点 ，所以 ，解得 或 (舍去)，
所以该切线的斜率为 ，
因为函数 的图象与直线 在 上有两个不同的交点，
所以数形结合可得 .
故选：D.
【点睛】
方法点拨：把方程 有两个不相等的正实根，转化为方程 有两
个不相等的正实根，进而转化为函数 的图象与直线 在 上
有两个不同的交点，利用导数求得函数的单调性与最值，结合图象求解是解答的关键.2．已知函数 ，若 ，使 成立，则
的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
当 时，求得函数 的值域为 ，当 时，求得 ，当 时，
利用导数求得函数的单调性，可得 ，根据题意，转化为 值域
包含 的值域，得出不等式 ，求得 ；②当 时，求得
的值域为 ，满足题意，进而求得实数 的取值范围.
【详解】
当 时，函数 ，所以函数 的值域为 ，
当 时，函数 ，可得 ，
①当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增，所以 ，
因为对 ，使 成立，转化为 值域包含 的值
域，
所以 ，即 ，解得 ，所以 ；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递增，此时值域为 ，
满足对 ，使 成立，
综上所述，实数 的取值范围为 .
故选：A.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
3．已知函数 的定义域为 ，且 是偶函数， （
为 的导函数）.若对任意的 ，不等式 恒成立，
则实数 的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】
设函数 ，求得 时， ，得到当 时， ，得
到函数 的单调性，把任意的 ， 恒成立，
转化为 ，即可求解.
【详解】
由 为偶函数，得函数 的图象关于直线 对称.
设函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
可得当 时， ，
所以当 时， ，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
设函数 ，则当 时 ，
因为 ，
所以由对任意的 ， 恒成立，
可得 ，即 ，解得 或 ，即实数 的取值范围是 .
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后
构造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
4．设实数 ，若对任意的 ，不等式 成立，则实数m的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
把不等式 成立，转化为 恒成立，设函数 ，
进而转化为 恒成立，得出 恒成立，构造函数 ，利用导
数求得函数的单调性与最值，即可求解.
【详解】
因为 ，不等式 成立，即 成立，即 ，
进而转化为 恒成立，
构造函数 ，可得 ，
当 ， ， 单调递增，则不等式 恒成立等价于 恒成立，即 恒成立，
进而转化为 恒成立，
设 ，可得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以当 ，函数 取得最大值，最大值为 ，
所以 ，即实数m的取值范围是 .
故选：D.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构
造的新函数的最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值
范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解
法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题
意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
5．设函数 在区间 上存在零点，则 的最小值为（ ）
A．7 B． C． D．
【答案】C
【分析】设 为函数 的零点，则 ，转化为 在直线
上，根据 表示点 到原点的距离的平方，得到
，构造新函数 ，利用导数求得函数的单调性与最
值，即可求解.
【详解】
由题意，函数 ，
设 为函数 在 上的零点，则 ，
即 ，即点 在直线 上，
又由 表示点 到原点的距离的平方，
则 ，即 ，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
可得函数 在区间 上单调递增，
所以当 时，函数取得最小值，最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故选：C.
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构
造的新函数能直接求出最值点的情况，通常要设出导数的零点，难度较大.
6．已知函数 .若方程 在区间 上有解，则实
数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
把方程 在区间 上有解，转化为 在区间 上有解，
构造函数 ，利用导数求得函数 在 上的单调性，进而求得实数
的取值范围.
【详解】
当 时，直线 在 图象的上方，故当 时， ，
由方程 在区间 上有解，
可得 在区间 上有解，
令 ， ，则 ，
因为 ，所以 ，则由 ，得 ，所以当 时， ，
当 时， ，于是 在 上单调递减，在 上单调递增，
又 ， ， ，
， ，
所以实数 的取值范围为 ，
故先：C.
【点睛】
含参数的方程有解问题的处理方法常常是分参数法，通常将原问题转化为求函数的值域问
题，对于分子､分母都有对数式的式子的求导，常常需要变形，分离出常数，如本题中的函数
，直接求导比较繁琐，可变形转化为 ，再求导就比较
简单.
7．函数 的定义域为 ，若存在一次函数 ，使得对于任意的
，都有 恒成立，则称函数 是函数 在 上的弱
渐进函数.下列结论正确的是（ ）
① 是 在 上的弱渐进函数；
② 是 在 上的弱渐进函数；③ 是 在 上的弱渐进函数；
④ 是 在 上的弱渐进函数.
A．①② B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】
根据弱渐进函数的新定义，对4个命题分别构建
①由构建关系，并分子有理化，由不等式性质可知符合题意，正确；
②由构建关系，由双勾函数值域可知不符合题意，错误；
③由构建关系，取特值 ，不符合题意，错误；
④构建关系，求导分析单调性，求得值域，符合题意，正确.
【详解】
①由于 ，因为 ，所以
，所以①正确；
②设 ，当 时， ，不符合 ，所以
②错误；
③设取特值 ， 不符合，所以③错误；
④设 ， ，当 时， ， 在
上单调递减，所以 ；又 时， ， ，即 ，所以 ，④正确.
综上，①④正确.
故选:C
【点睛】
本题考查函数新定义问题，需根据定义精准对应定义要求，属于难题.
8．已知函数 ， ，则下列结论正确的是（ ）
A． 存在唯一极值点 ，且
B． 恰有3个零点
C．当 时，函数 与 的图象有两个交点
D．若 且 ，则
【答案】ACD
【分析】
根据导数求得函数 在 上为单调递减函数，结合零点的存在性定，可判定A正确；
利用导数求得函数 在 ， 单调递减，进而得到函数 只有2个零
点，可判定B不正确；由 ，转化为函数 和 的图象
的交点个数，可判定C正确；由 ，化简得到 ，结合单调性，
可判定D正确.
【详解】
由函数 ，可得 ，则 ，
所以 在 上为单调递减函数，又由 ，所以函数 在区间 内只有一个极值点，所以A正确；
由函数 ，
当 时， ，可得 ，
因为 ，所以 ，函数 在 单调递减；
又由 ，所以函数在 上只有一个零点，
当 时， ，可得 ，
因为 ，所以 ，函数 在 单调递减；
又由 ，所以函数在 上只有一个零点，
综上可得函数 在定义域内只有2个零点，所以B不正确；
令 ，即 ，即 ，
设 ， ，
可得 ，则 ，所以函数 单调递增，
又由 ，可得当 时， ，函数 单调递减，
当 时， ，函数 单调递增，
当 时，函数 取得最小值，最小值为 ，
又由 ，因为 ，则 ，且过原点的直线，
结合图象，即可得到函数 和 的图象有两个交点，所以C正确；由 ，若 时，因为 ，
可得 ，即
，因为 在 单调递减，所以 ，即 ，
同理可知，若 时，可得 ，所以D正确.
故选：ACD.
【点睛】
函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：
1、分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为从
中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设条件构
建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解
法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题
意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.
9．已知函数 ，其导函数为 ，下列命题中真命题的为（ ）
A． 的单调减区间是B． 的极小值是
C．当 时，对任意的 且 ，恒有 （a） （a）
D．函数 有且只有一个零点
【答案】BCD
【分析】
由 ，知 ，令 ，得
， ，分别求出函数的极大值和极小值，知 错误， 正确；由 ， 且
，令 利用导数说明其单调性，再根据切割线的定义即可判断，故
正确；
【详解】
解： ，其导函数为 ．
令 ，解得 ， ，
当 时，即 ，或 时，函数单调递增，
当 时，即 时，函数单调递减；
故当 时，函数有极小值，极小值为 ，当 时，函数有极大值，极大值
为 ，
故函数只有一个零点，错误， 正确；
令 ，则 故在 上 ，即
在 上单调递增，根据切割线的定义可知，当 时，对任意的
，恒有 ，即
对任意的 ，恒有 ，即 ，
故 正确；
故选： ．
【点睛】
本题考查函数的单调区间、极值的求法，以及不等式的应用，解题时要认真审题，仔细解答，
注意等价转化思想和导数性质的灵活运用．
10．关于x的不等式 恰有一个解，则实数a的取值范围是__________．
【答案】 .
【分析】
设 ，当 和 时，不符合题意，当 时，得到 ，
必有 ，解得 ，再结合函数的单调性与最值，
即可求解.
【详解】
设函数 ，若 时，当 时， ，此时不等式 ，有无
穷多个整数解，不符合题意；
若 时， 无解，不符合题意；
若 时，可得 ，则必有 ，
解得 ，所以 ，
当 时，可得 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上单调递减，在 单调递增，
当 时， ；当 时， ，
即当 时， 恰好有一个整数解，即为 ，即 ，
综上可得，实数a的取值范围是 .
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分类参数法，但压轴试题中很少碰到分离
参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要
考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
11、曲线 在点 处的切线的斜率为 ，则 ________．
【答案】【解析】 ，则 ，所以 .
12、已知函数 ，若曲线 在点 处的切线方程为
，则 的值为_______.
【答案】3e
【解析】因为 ，所以 ，
则 ，
又曲线 在点 处的切线方程为 ，
当 时， ，即 ，
所以有 ，解得 .
因此 ，所以 .
故答案为
13．已知 在 上连续可导， 为其导函数，且
则
A． B．
C．0 D．
【答案】C
【解析】对x求导数得 ，
f ′（﹣x）＝ =﹣f ′（x），
所以f ′（x）是R上的奇函数，则f ′（0）＝0，f ′（﹣2）＝﹣f ′（2），即f ′（2）+f ′（﹣2）＝0，
所以f '（2）+f '（﹣2）﹣f '（0）f '（1）＝0，
故选C．
【名师点睛】本题主要考查函数导数值的计算，根据条件判断函数的奇偶性是解决本题的关
键，是中档题.求解时，根据条件判断函数f ′（x）的奇偶性，利用奇偶性的性质进行求解即
可．
14．设过曲线 （ 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为 ，总存在过
曲线 上一点处的切线 ，使得 ，则实数 的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【 解 析 】 因 为 切 线 ， 的 切 点 分 别 为 而
，所以 .
因为 ，所以( .
因为 ，所以 ，因
此 ，选C．
15．已知曲线 ，求:
（1）曲线 在点 处的切线方程；
（2）曲线 过点 的切线方程.【解析】（1） 的导数为 ，
所以曲线在点 处的切线的斜率为 ，
则曲线在点 处的切线方程为 ，
即为 .
（2）设切点为 ，所以 ，
所以切线方程为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
所以切线方程为 .
【名师点睛】本题考查导数的运用，求切线的方程，掌握导数的几何意义，同时考查直线的点
斜式方程，属于基础题．
（1）求出函数的导数，令 求得切线的斜率，由点斜式方程即可得到切线的方程；
（2）设切线的切点(a， )，再利用已知求出a的值得解.
16．已知函数 的图象过点 ，且在点 处的切
线方程为 ．
（1）求 和 的值；
（2）求函数 的解析式．
【解析】（1）∵ 在点 处的切线方程为 ，故点 在切线 上，且切线斜率为 ，
得 且 ．
（2）∵ 过点 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
由 得 ，
又由 ，得 ，
联立方程得 ，解得 ，
故 ．
