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专题 27.2 模型构建专题：相似三角形中的六大基本模型
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目录
【考点一 （双）A字型相似】.........................................................................................................................1
【考点二 （双）8字型相似】.........................................................................................................................7
【考点三 母子型相似】..................................................................................................................................16
【考点四 手拉手型相似】..............................................................................................................................21
【考点五 K字型相似】..................................................................................................................................26
【考点六 三角形内接矩形】..........................................................................................................................30
【典型例题】
【模型一 （双）A字型相似模型】
【基本模型】
①如图，在 中，点D在 上，点E在 上， ，则 ，
．
②模型拓展1：斜交A字型条件： ，图2结论： ；③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B ADC∽△ACB ．
⇔△ ⇔
例题：如图，在 中，点 分别在 上，且 ．
（1）求证： ；
（2）若点 在 上， 与 交于点 ，求证： ．
【变式训练】
1．（2023秋·山西大同·九年级大同一中校考期末）如图所示，在 中，点 是 的中点，
，点 在边 上，下列判断错误的是（ ）A． B．
C． D．
2．如图，在 中，点 、 分别在 、 上， ，如果 ， 的面积为9，四
边形 的面积为16，则 的长为 ．
3．如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为
．
4．如图，D是 的边AC上的一点，连接BD，使 ．
(1)说明 ．
(2) ， ，求线段AC的长．5．王华同学在晚上由路灯AC走向路灯BD，当他走到点P时，发现身后他影子的顶部刚好接触到路灯AC
的底部，当他向前再步行12m到达Q点时，发现身前他影子的顶部刚好接触到路灯BD的底部．已知王华
同学的身高是1.6m，两个路灯的高度都是9.6m．
(1)求两个路灯之间的距离；
(2)当王华同学走到路灯BD处时，他在路灯AC下的影子长是多少？
6．如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且DE BC， ．
（1）求证：DF BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6 ．求证△ADE∽△AEB．
7． 中， ， ， ，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，
动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们
同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．
（1）求运动时间为多少秒时，P、Q两点之间的距离为10cm?
（2）若 的面积为 ，求 关于t的函数关系式．
（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与 相似?8．（1）如图，在 中，点 、 、 分别在 、 、 上，且 ， 交 于点 ，求
证： ．
（2）如图， 中， ，正方形 的四个顶点在 的边上，连结 ， 分别交
于 ， 两点．
①如图，若 ，直接写出 的长；
②如图，求证： ．【模型二 （双）8字型相似模型】
【基本模型】
①如图1，AB∥CD AOB∽△COD ；
⇔△ ⇔
②如图2，∠A＝∠D AOB∽△DOC ．
⇔△ ⇔
③模型拓展：如图，∠A＝∠C AJB∽△CJD ．
⇔△ ⇔例题：（2023·全国·九年级专题练习）如图， 是 的中位线，点 在 上， ．连接
并延长，与 的延长线相交于点 ．若 ，则线段 的长为（ ）
A． B．7 C． D．8
【变式训练】
1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是AD上一点， ，连接BE交AC于点G，延长BE交CD
的延长线于点F，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·山西吕梁·校联考模拟预测）如图，正方形 的边长为3，点 在 边上， 交 于点
，交 于点 ，交 于点 ，若 ，则 ．
3．已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，
CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
4．（2023春·广西南宁·九年级南宁市天桃实验学校校考阶段练习）【模型启迪】
（1）如图1，在 中， 为 边的中点，连接 并延长至点 ，使 ，连接 ，则
与 的数量关系为______，位置关系为______；
【模型探索】
（2）如图2，在 中， 为 边的中点，连接 ， 为 边上一点，连接 交 于点 ，且
．求证： ；
【模型应用】
（3）如图3，在(2)的条件下，延长 至点 ，使 ，连接 ，交 的延长线于点 ．若
， ， ，求线段 的长．
5．如图1，ΔABC中，AB=AC，点D在BA的延长线上，点E在BC上，DE=DC，点F是DE与AC的交点．
（1）求证：∠BDE=∠ACD；（2）若DE=2DF，过点E作EG//AC交AB于点G，求证：AB=2AG；
（3）将“点D在BA的延长线上，点E在BC上”改为“点D在AB上，点E在CB的延长线上”，“点F
是DE与AC的交点”改为“点F是ED的延长线与AC的交点”，其它条件不变，如图2．
①求证：AB·BE=AD·BC；
②若DE=4DF，请直接写出S :S 的值．
ΔABC ΔDEC
6． 如图，正方形 的边长为 ，点 是射线 上的一个动点，连接 并延长，交射线 于点
，将 沿直线 翻折，点 落在点 处．
（1）当 时，如图 ，延长 ，交 于点 ，
① 的长为________；
②求证： ．
（2）当点 恰好落在对角线 上时，如图 ，此时 的长为________； ________；（3）当 时，求 的正弦值．
【模型三 母子型相似模型】
【基本模型】
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当 时， ，则有 ．
例题：如图，在△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，AD＝BD．(1)求证：△ABC∽△BDC．
(2)若∠C＝90°，BC＝2，求AB的长．
【变式训练】
1．（2023春·山东烟台·八年级统考期末）如图，在 中，D是AB边上的点， ，
，则AC的长为（ ）
A．1.5 B．2 C．2.5 D．
2．如图，在 ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且 ，∠BAD＝∠ECA．
△
（1）求证：AC2＝BC•CD；
（2）若AD是 ABC的中线，求 的值．
△
3．（2023春·山东泰安·八年级统考期末）小军在学习相似三角形时，遇到这样一个问题：(1)如图1，在 中， 是边 上一点，连接 ，若 ，求证： ；
(2)如图2，已知 ， ， ，求 的度数．
4．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足 ，则称点P为这个三角形的“理想点”．
(1)如图①，若点D是 的边AB的中点， ， ，试判断点D是不是 的“理想点”，
并说明理由；
(2)如图②，在 中， ， ， ，若点D是 的“理想点”，求CD的长．
5.在 ABC中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC交AC于点D．
△
（1）如图（1），若AB＝3，AC＝5，求AD的长；
（2）如图（2），过点A分别作AC，BD的垂线，分别交BC，BD于点E，F．①求证：∠ABC＝∠EAF；
②求 的值．
6．在Rt△ABC中，∠ACB=90 ，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证° ：AC2=AD·AB；
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 ，求 的值；
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
【模型四 手拉手型相似模型】
【基本模型】
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]②如图所示， 和 都是等腰直角三角形， 的延长线与 相交于点P，则
，且相似比为 ， 与 的夹角为 ．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点
及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示， ，则 ， ，且 ．
例题：如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点在一直线上，连接AF并延长交边
CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．【变式训练】
1.如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
2．（2023春·山东菏泽·九年级统考期中）【问题呈现】
（1）如图1， 和△ADE都是等边三角形，连接 ．求证： ．
【类比探究】
（2）如图2， 和△ADE都是等腰直角三角形， ，连接 ．请直接写出
的值．
【拓展提升】
（3）如图3， 和△ADE都是直角三角形， ，且 ．连接 ．①求 的值；
②延长 交 于点 ，交 于点 ．求 的值．
【模型五 K字型相似模型】
【基本模型】
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.
补充：其他常见的一线三等角图形
例题：如图，AB⊥BC，DC⊥BC，E是BC上一点，使得AE⊥DE．
(1)求证： ABE∽△ECD；
(2)若AB＝△4，AE＝BC＝5，求CD的长．【变式训练】
1．（2023春·湖南株洲·九年级统考开学考试）如图，已知矩形 ，点 在 边上，连接 ，过
点作 交 于点 ．
(1)求证： ．
(2)若 ， ， ，求 的长．
2．（1）问题
如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当 时，求证： ．
（2）探究
若将90°角改为锐角或钝角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．
（3）应用
如图3，在 中， ， ，以点A为直角顶点作等腰 ．点D在BC上，点E在
AC上，点F在BC上，且 ，若 ，求CD的长．【模型六 三角形内接矩形模型】
【基本模型】
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF， AGF∽△ABC，
△
例题：如图1，在 ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC
上． △
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．【变式训练】
1．（2023秋·福建莆田·九年级校考开学考试）如图，在 中，点 、 在 上，点 、 在 、
上，四边形 是矩形， ， 是 的高， ， ，那么 的长为
．
2．（2023·山东·九年级专题练习）如图，在 中， ，垂足为D， ，四边形
和四边形 均为正方形，且点E、F、G、N、M都在 的边上，那么 与四边形
的面积比为 ．
3．如图,在 中， ， ，高 ，矩形 的一边 在 边上， 、 分别在
、 上， 交 于点 ．(1)求证： ；
(2)设 ，当 为何值时，矩形 的面积最大?并求出最大面积；
(3)当矩形 的面积最大时，该矩形 以每秒 个单位的速度沿射线 匀速向上运动(当矩形的边
到达 点时停止运动)，设运动时间为 秒，矩形 与 重叠部分的面积为 ，求 与 的函数关
系式，并写出 的取值范围．
