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专题 27.2 平行线分线段成比例
◆ 典例分析
【典例1】如图，AD是△ABC的中线．
AF
（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，求 ；
BF
AE 1 AF
（2）若E为AD上的一点，且 = ，射线CE交AB于点F，求 ．
ED k BF
【思路点拨】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
BG BD
（1）过点D作DG∥CF，交AB于点G．由DG∥CF得出 = ，结合AD是△ABC的中线得出
GF DC
AF AE
FG=BG，由DG∥CF得出 = ，结合E为AD的中点得出AF=FG=BG，即可得解；
FG ED
AF AE AE 1
（2）过点D作DG∥CF，交AB于点G．由DG∥CF得出 = 结合 = 得出FG=kAF，由
FG ED ED k
（1）知FG=BG，从而得出BG=FG=k·AF，进而得出BF=2k⋅AF，即可得解．
【解题过程】
（1）解：如图，过点D作DG∥CF，交AB于点G．
∵DG∥CF，
BG BD
∴ = ，
GF DC
又∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∴FG=BG．
∵DG∥CF，
AF AE
∴ = ，
FG ED
又∵E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴AF=FG=BG，
AF 1
∴ = ；
BF 2
（2）解：如图，过点D作DG∥CF，交AB于点G．
∵DG∥CF，
AF AE
∴ = ，
FG ED
AE 1
∵ = ，
ED k
AF 1
∴ = ，即FG=kAF，
FG k
由（1）知FG=BG，
∴BG=FG=k·AF，
∴BF=2k⋅AF，
AF AF 1
∴ = = ．
BF 2k⋅AF 2k
◆ 学霸必刷
1．（2024·四川内江·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC、BD相交于点O，M为AO的中
点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF=∠MFE，则AD的值为（ ）A．4 B．3❑√3 C．3❑√2 D．6
【思路点拨】
由三角形中位线定理可得AB=2ME，OD=2MF，可得AB=OD，由矩形的性质可得
OD=OA=OB=AB，再利用勾股定理可得答案．
【解题过程】
解：如图，
∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD，
OE OM AF AM
∴ = =1， = =1，
BE AM FD MO
∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线，
∴AB=2ME，OD=2MF，
∵∠MEF=∠MFE，
∴ME=MF，
∴AB=OD=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=OB=OD=3，
∴BD=6，
∴AD=❑√BD2−AB2=❑√36−9=3❑√3，
故选：B．
2．（2023·浙江宁波·二模）如图，过▱ABCD的对称中心O的线段EF交AD于点E，交BC于点F,P为边
AB上的一点，作PQ∥BC交EF于Q，连结DQ,DF,PF，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知
道△DFQ的面积（ ）A．△PQF的面积 B．△PBF的面积 C．△DEQ的面积 D．四边形APQE的面积
【思路点拨】
PN BP
过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AM⊥BC于点M，则PN∥AM，得到 = ，由EF过
AM AB
QF BP
▱ABCD的对称中心O，则ED=BF，由PQ∥BC，得到 = ,进一步得到
EF AB
1 BP 1 BP
S = ⋅ED⋅AM，S = BF⋅AM⋅ ，则可得到S =S ，即可得到答案．
△DFQ 2 AB △PBF 2 AB △DFQ △PBF
【解题过程】
解：过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AM⊥BC于点M，
∴PN∥AM，
PN BP
∴ = ，
AM AB
∵EF过▱ABCD的对称中心O，
∴ED=BF，
∵PQ∥BC，
QF BP
∴ = ,
EF AB
QF BP 1 BP
S = S = S = ⋅ED⋅AM，
△DFQ EF △DFE AB △DFE 2 AB
1 1 BP
S = BF⋅PN= BF⋅AM⋅ ，
△PBF 2 2 AB
∴S =S ，
△DFQ △PBF
即只需要知道△PBF的面积，就能知道△DFQ的面积．
故选：BAD 1
3．（23-24九年级下·江西新余·阶段练习）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上， = ，DE∥BC
BD 3
MN
，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N， 的值是（ ）
CM
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 6 7
【思路点拨】
本题考查的是平行线，全等三角形．熟练掌握平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，是解决问
题的关键．
NG AE 1
先根据平行线性质和中点性质证明△NDM≌△GFM，再证明 = = ，从而可得答案．
CG CE 3
【解题过程】
解：如图，设EF与CN的交点为G，
∵点M是DF的中点，
∴DM=FM，
∵EF∥AB，
∴∠NDM=∠GFM，
∵∠DMN=∠FMG，
∴△NDM≌△GFM(ASA)，
∴GM=MN，
|AD 1
∵DE∥BC， = ，
BD 3AE AD 1
∴ = = ，
CE BD 3
∵EF∥AB
NG AE 1
∴ = = ，
CG CE 3
∴CG=3GN=3(GM+MN)=6MN，
MN MN MN 1
∴ = = = ．
CM CG+MG 7MN 7
故选：D．
4．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为6，E为CD边中点，G为BC边上一点，
DF 4
连接AE，DG，相交于点F．若 = ，则FE的长度是（ ）
FG 5
6 3 3❑√3 ❑√5
A． B． C． D．
7 4 7 3
【思路点拨】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解
4
题关键．过点F作FH∥BC交CD于点H，根据平行线分线段成比例定理，推出DH= CD，再利用勾
9
1
股定理，求得AE=3❑√5，EH= CD，再利用平行线分线段成比例定理，即可求出FE的长度．
18
【解题过程】
解：如图，过点F作FH∥BC交CD于点H，DH DF 4 4
则 = = ，即DH= CD，
CH FG 5 9
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AD∥BC，CD=6，∠ADE=90°，
∵E为CD边中点，
1
∴DE= CD=3，
2
1 4 1
∴AE=❑√AD2+DE2=3❑√5，EH=DE−DH= CD− CD= CD，
2 9 18
∵FH∥BC∥AD，
EF EH
∴ = ，
AE DE
1
CD
EF 18 1
∴ = = ，
3❑√5 1 9
CD
2
❑√5
∴EF= ，
3
故选：D
5．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，
EF与AC交于点H，FH=3cm，EH=6cm，AH=4cm，则HC的长为（ ）
A．22cm B．20cm C．18cm D．16cm
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，构造辅助线证明两个三角形全等是关键；延长FE交CB的延长线于点G，由平行四边形的性质及中点条件可证明
△AFE≌△BGE，得EG=EF；再由平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【解题过程】
解：延长FE交CB的延长线于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠EBG，∠AFE=∠BGE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴△AFE≌△BGE(AAS)，
∴EG=EF，
∵EF=EH+FH=3+6=9(cm)，
∴EG=9cm，
∴GH=≥+EH=9+6=15(cm)，
∵AD∥BC，
AH FH
∴ = ，
CH GH
4 3
即 = ，
CH 15
解得：CH=20cm．
故选：B．
6．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，△ABC中，∠A=90°,AB=6,BC=10,∠ABC的平分线交AC
于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD:DE为（ ）A．3:2 B．5:3 C．4:3 D．2:1
【思路点拨】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得AC=8，再由角平
分线的性质得DA=DF，进而由面积法求出DF=3，则CD=AC−DA=5，然后由勾股定理得CF=4，
则BF=6，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【解题过程】
解：∵∠A=90°，AB=6，BC=10，
∴DA⊥BA，AC=❑√BC2−AB2=❑√102−62=8，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，
∴DA=DF，
∵S =S +S ，
△ABC △ABD △BCD
1 1 1
∴ AB⋅AC= AB⋅DA+ BC⋅DF，
2 2 2
∴6×8=6DF+10DF，
解得：DF=3，
∴DA=3，
∴CD=AC−DA=8−3=5，
∴CF=❑√CD2−DF2=❑√52−32=4，
∴BF=BC−CF=10−4=6，
∵DF⊥BC，CE⊥BC，
∴DF∥CE，
BD BF 6 3
∴ = = = ，
DE CF 4 2
即BD:DE=3:2．
故选：A．
7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB=4，AC 8
= ，则BD= ．
CD 5
【思路点拨】
此题考查了平行线分线段成比例，等角等对边性质，解题的关键是掌握以上知识点．
BA BD
过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，证明出AE=AC，然后由CE∥AD得到 = ，然后等量
AE DC
BA AE AC 8
代换得到 = = = ，然后代数求解即可．
BD DC DC 5
【解题过程】
解：如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，
则∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD
∴∠E=∠ACE
∴AE=AC
∵CE∥AD
BA BD
∴ =
AE DC
BA AE AC 8
∴ = = =
BD DC DC 5
∵AB=4
5
∴BD= ．
2
5
故答案为： ．
28．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点F为DE中点，连
接BF并延长交AC于点G，则AG:≥= ．
【思路点拨】
本题考查了中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理；熟练掌握“三角形的中位线平行于三角形的
第三边，并且等于第三边的一半、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
DE 1 1 1
根据中位线的判定和性质可得DE∥BC， = ，结合题意可得EF= DE= BC；根据平行线分线段
BC 2 2 4
成比例定理即可求解．
【解题过程】
解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
DE 1
∴DE∥BC， = ，
BC 2
∴点F为DE中点，
1 1
∴EF= DE= BC；
2 4
又∵DE∥BC，
GE EF 1
∴ = = ，
GC BC 4
GE GE 1
∴ = = ，
AE EC 3
GE GE
=
则AG 1 ；
AE−≥¿= ¿
2
∴AG:≥=2:1．
故答案为：2:1．
9．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形DGFE是△ABC的内接正方形，AH⊥BC于
H，AH=7cm且BD:AD=4:3，则GF= ．【思路点拨】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，平行线分
线段成比例是解题的关键．
如图，记AH、DE的 交点为N，证明四边形DGHN为矩形，则DG=NH，由DE∥BC，可得
AN AD 7−NH 3
= ，即 = ，求出NH的值，根据GF=DG=NH，作答即可．
NH BD NH 4
【解题过程】
解：如图，记AH、DE的 交点为N，
∵四边形DGFE是△ABC的内接正方形，
∴DE∥BC，∠DGF=∠EDG=90°，GF=DG，
∵AH⊥BC，
∴∠AHG=90°，
∴四边形DGHN为矩形，
∴DG=NH，
∵DE∥BC，
AN AD 7−NH 3
∴ = ，即 = ，解得，NH=4，
NH BD NH 4
∴GF=DG=NH=4，
故答案为：4．
10．（23-24九年级上·山东青岛·课后作业）如图△ABC中，E、F为BC的三等分点，M为AC的中点，
BM与AE、AF分别交于G、H，则BG:GH:HM= ．【思路点拨】
首先过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，由M是AC的中点与E、F为BC的三等分点，根据
1
平行线分线段成比例定理，即可求得MH= BH，MG=BG，，然后根据比例的性质，即可求解．
4
【解题过程】
解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，
∵M是AC的中点，
MN NK AN AM 1
∴ = = = = ，
EC EF AE AC 2
∵E、F为BC的三等分点，
∴BE=EF=FC，
∴MN=2NK，
MH MK 1 MG MN
∵ = = ， = =1，
BH BF 4 BG BE
1
∴MH= BH，MG=BG，
4
5
设MH=a，BH=4a，BG=GM= a，
2
3
∴GH=GM−MN= a，
2
5 3
∴BG：GH：HM= a: a:a=5:3:2．
2 2故答案为：5:3:2．
11．（2023·浙江绍兴·一模）如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是边AC上的动点，
过点D作DE∥BC，交边AB于点E，F是边BC上一点，若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有
三个，且DE=x，则x的值是 ．
【思路点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质，运用平行线分线段成
比例定理分类计算即可得到答案；
【解题过程】
解：当CE平分∠C时，符合题意，如图所示，此时四边形DCF E是正方形，
1
∵DE∥BC，
DE AD
∴ = ，
BC AC
x 4−x 12
∴ = ，解得x= ；
3 4 7
如图，当DE=EK=DJ=EB时，恰好有四个位置满足F，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=❑√32+42=5，∵DE∥BC，
DE AE
∴ = ，
BC AB
x 5−x 15
∴ = ，解得：x=
3 5 8
15
∴ <x<3时，就满足了3个F，
8
12 15
故答案为：x= 或 <x<3．
7 8
12．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AB上，点E在
CB的延长线上，DE=DC，延长ED交AC于点F，DE=4DF，则△ABC与△DEC的面积比为
．
【思路点拨】
过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EM∥AC交AB的延长线于点M，证
FA AD 1
明△ADC≌△MED(AAS)，可得AD=ME，根据平行线分线段定理可得 = = ，设AF=a，则
BM MD 4
DH BD 3
ME=AD=4a，MD=16a，MB=ME=4a，DB=12a，再根据平行线分线段定理可得 = =
AG BA 4
BM BE 1
， = = ，设DH=3m，AG=4m，设BE=b，BC=4b，则CE=5b，从而求得S =8mb，
BA BC 4 △ABC15
S = mb．根据平行线的性质和对顶角的性质及等腰三角形的性质可证∠MEB=∠MBE，从而可得
△DEC 2
【解题过程】
解：过点A作AG⊥BC于点G，过点D作DH⊥BC于点H，过点E作EM∥AC交AB的延长线于点
M，
∵EM∥AC，
∴∠A=∠M，
∵AB=AC，DE=DC，
∴∠ACB=∠ABC，∠DCE=∠DEC，
∴∠ACD+∠DCB=∠DBC，
又∵∠DBC=∠MDE+∠DEC，
∴∠ACD=∠MDE，
在△ADC和△MED中，
{
∠A=∠M
)
∠ACD=∠MDE ，
DC=ED
∴△ADC≌△MED(AAS)，
∴AD=ME，
∵EM∥AC，
FA AD FD
∴ = = ，
EM MD ED
∵DE=4DF，
FA AD 1
∴ = = ，
EM MD 4
设AF=a，则ME=AD=4a，MD=16a，
∵∠ACB=∠ABC，∠ABC=∠MBE，∴∠ACB=∠MBE，
∵EM∥AC，
∴∠ACB=∠MEB，
∴∠MEB=∠MBE，
∴MB=ME=4a，
∴DB=16a−4a=12a，
∵DH⊥BC，AG⊥BC，
∴AG∥DH，
DH BD 12a 3
∴ = = = ，
AG BA 16a 4
设DH=3m，AG=4m，
∵EM∥AC，
BM BE 4a 1
∴ = = = ，
BA BC 16a 4
∴设BE=b，BC=4b，则CE=5b，
1 1 15
∴S = ×4m×4b=8mb，S = ×3m×5b= mb，
△ABC 2 △DEC 2 2
15
∴S :S =8mb: mb=16:15，
△ABC △DEC 2
故答案为：16:15．
13．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，已知AB∥CD∥EF,AF与BE交于O点，若
AF=9，BO=2，OC=1，CE=4，求DF和OD的长．
【思路点拨】
本题主要考查了平行线等分线段定理，根据平行线等分线段定理列出比例式成为解题的关键．
AD BC 9−DF 3 36
先根据线段的和差求得BC=3，根据平行线等分线段定理可得 = 即 = 可得DF= ，进
DF CE DF 4 727
27 AO BO −OD
而得到AD= ，再根据平行线等分线段定理可得 = 即 7 1，然后求解即可．
7 OD OC =
OD 2
【解题过程】
解：∵BO=2，OC=1，
∴BC=OB+OC=3，
∵AB∥CD∥EF，
AD BC
∴ = ，
DF CE
AF−DF BC 9−DF 3 36
∴ = ，即 = ，解得：DF= ，
DF CE DF 4 7
27
∴AD=AF−DF= ，
7
∵AB∥CD，
AO BO
∴ = ，
OD OC
27
AD−OD BO −OD 9
∴ = ，即 7 2，解得：OD= ．
OD OC = 7
OD 1
14．（23-24八年级下·山东烟台·期末）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，E在AD上，
AE 2
= ，CE交AB于点F，DG∥CF．若AB=6cm，求GF的长．
AD 5
【思路点拨】
本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到BD=DC，再由平行线
BG BD AF AE 2 2
分线段成比例定理得到 = =1，BG=GF，同理得到 = = ，则AF= GF，则
GF DC AG AD 5 3
2
GF+GF+GF=6 (cm)，据此可得答案．
3
【解题过程】解：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=DC，
又∵DG∥CF，
BG BD
∴ = =1，
GF DC
∴BG=GF，
AE 2
∵ = ，DG∥CF，
AD 5
AF AE 2
∴ = = ，
AG AD 5
2
∴AF= GF
3
∵AB=6cm，
2
∴AF+GF+BG=6，即 GF+GF+GF=6 (cm)．
3
9
解得，GF= (cm)．
4
15．（24-25九年级上·上海·假期作业）如图，AB∥CD、AD∥CE，F、G分别是AC和FD的中点，过
G的直线依次交AB、AD、CD、CE于点M、N、P、Q，求证：MN+PQ=2PN．
【思路点拨】
本题考查平行四边形的判定和性质，平行线分线段成比例．正确作出辅助线，构造平行四边形是解题关
DG 1
键．延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形．结合题意得出 = ．根据平行线分
OG 3
MN AN PQ CQ MN+PQ AN+CQ AN+CQ
线段成比例，得出 = ， = ，即得出 = ．再证明 =2即可．
PN DN PN DN PN DN DN【解题过程】
证明：延长BA、EC，设交点为O，则四边形OADC为平行四边形．
∵F是AC的中点，
DG 1
∴DF的延长线必过O点，且 = ．
OG 3
∵AB∥CD，
MN AN
∴ = ．
PN DN
∵AD∥CE，
PQ CQ
∴ = ．
PN DN
MN PQ AN CQ MN+PQ AN+CQ
∴ + = + ，即 = ．
PN PN DN DN PN DN
DN DG 1
又∵ = = ，
OQ OG 3
∴OQ=3DN，
∴CQ=OQ−OC=3DN−OC=3DN−AD．
∵AN=AD−DN．
AN+CQ
∴AN+CQ=2DN，即 =2，
DN
MN+PQ AN+CQ
∴ = =2，
PN DN
即MN+PQ=2PN．
16．（2024·上海黄浦·二模）如图，M、N分别是平行四边形ABCD边AD、BC的中点，对角线BD交AN
、CM分别于点P、Q．1
（1）求证：PQ= BD；
3
（2）当四边形ANCM是正方形时，试从内角大小和邻边的数量关系的角度探究平行四边形ABCD的形状
特征．
【思路点拨】
本题主要考查平行四边形的性质、平行线所截线段成比例以及正方形的性质，
BP BN 1
（1）根据平行四边形的性质和中点得到AMCN是平行四边形，有AN∥CM，则有 = = 和
BQ BC 2
DQ DM 1
= = ，即可得到结论．
DP AD 2
（2）由正方形的性质得到AN=NC，∠ANB=90°，结合中点AN=NB，则有
❑√2
∠ABC=45°,∠BAC=135°, AN= AB，进一步可得BC=❑√2AB．
2
【解题过程】
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC∥AD,BC=AD，
∵M、N分别是AD、BC的中点，
1 1
∴AM=NC，BN= BC,DM= AD，
2 2
∴四边形AMCN是平行四边形，
∴AN∥CM，
BP BN 1
则 = = ，即BP=PQ，
BQ BC 2
DQ DM 1
同理 = = ，即DQ=PQ，
DP AD 2
1
PQ= BD．
3
（2）如图，由（1）知，BN=NC,
∵四边形ANCM是正方形，
∴AN=NC，∠ANB=90°，
∴AN=NB，
❑√2
则∠ABC=45°,∠BAC=135°, AN= AB，
2
即BC=❑√2AB．
17．（23-24八年级下·山东淄博·期末）如图，正方形ABCD的边长为1．对角线AC、BD相交于点O，P
是BC延长线上的一点，AP交BD于点E，交CD于点H，OP交CD于点F，且EF与AC平行．
（1）求证：EF⊥BD．
（2）求证：四边形ACPD为平行四边形．
（3）求OF的长度．
【思路点拨】
（1）由正方形的性质得出AC⊥BD，结合EF∥AC即可得证；
PE EF DE EF
（2）由EF∥AC得出 = ， = ，由正方形的性质得出AD∥CP，OA=OC，从而
PA OA DO OC
PE DE PE DE
= ，即 = ，推出AO∥DP，即可得证；
PA DO AE OE
（3）求出OE和EF的长，再由勾股定理计算即可得出答案．
【解题过程】
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，∵EF∥AC，
∴EF⊥BD；
（2）证明：∵EF∥AC，
PE EF DE EF
∴ = ， = ，
PA OA DO OC
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥CP，OA=OC，
PE DE
∴ = ，
PA DO
PE DE
∴ = ，
AE OE
∴AO∥DP，
∴四边形ACPD为平行四边形；
（3）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴BD=AC=❑√12+12=❑√2，
∵四边形ACPD为平行四边形，
∴CP=AD=BC，
AD 1
∴ = ，
PB 2
∵AD∥BP，
DE AD 1
∴ = = ，
BE BP 2
1 ❑√2 ❑√2 ❑√2 ❑√2
∴DE= BD= ，OE=OD−DE= − = ，
3 3 2 3 6
1 ❑√2
∵DO= BD= ，∠≝=∠DOC=90°−∠EDF=45°，
2 2
∴∠DFE=45°，
❑√2
∴EF=DE= ，
3
∴由勾股定理可得：OF=❑√OE2+EF2=❑
√ (❑√2) 2
+
(❑√2) 2
=
❑√10
．
6 3 6
18．（23-24九年级上·四川内江·期中）阅读与计算，请阅读以下材料，完成相应的任务．
材料：三角形的内角平分线定理：AB BD
如图1，在ΔABC中，AD平分∠BAC，交BC于点D，则 = ．
AC CD
下面是这个定理的部分证明过程．
证明：如图2，过C作CE∥DA，交BA的延长线于点E．
（1）【思路说明】请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余部分；
（2）【直接应用】如图3，△ABC中，E是BC中点，AD是∠BAC的平分线，EF∥AD交AC于F．若
AB=11，AC=15，求线段FC的长；
（3）【拓展延伸】如图4，△ABC中，AD平分∠BAC，BC的延长线交△ABC外角角平分线AF于点F
．
①找出AB、AC、BF、CF这四条线段的比例关系，并证明；
②若BD=2，CF=4，求CD的长．
【思路点拨】
BD AB
（1）根据平行线分线段成比例得出 = ，进而根据等角对等边得出AE=AC，等量代换，即可得
CD EA
证；
AB BD 11 15
（2）根据角平分线分线段成比例定理得出 = = ，得出CD= BC根据E是BC的中点，得到
AC CD 15 26
1
CE= AB，根据EF∥AD，由平行线分线段成比例，即可求解；
2
AB BF AB BF
（3）①作CE∥AF交AB于点E，则 = ，进而证明AE=AC，即可得出 = ；
AE CF AC CFAB BD AB BF BF BD
②根据角平分线分线段成比例可得 = ，由①知 = ，则 = ，代入数据，即可得出
AC CD AC CF CF CD
CD=−3+❑√17，即可求解．
【解题过程】
（1）证明：∵ CE∥DA，
BD AB
∴ = ，∠CAD=∠ACE，∠BAD=∠E，
CD EA
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD，
∴∠ACE=∠E，
∴AE=AC，
AB AB BD
∴ = = ，
AC AE CD
AB BD
即 = ．
AC CD
（2）解：∵AD平分∠BAC，AB=11，AC=15，
AB BD 11
∴ = = ，
AC CD 15
11
∴ BD= CD，
15
26
∴ BC=BD+CD= CD，
15
15
∴ CD= BC，
26
∵E是BC的中点，
1
∴ CE= BC，
2
∵ EF∥AD，
1
BC
CF CE 2 13
∴ = = = ，
AC CD 15 15
BC
26
∴CF=13．
AB BF
（3）①AB、AC、BF、CF这四条线段的比例关系： = ，理由如下：
AC CF如图：作CE∥AF交AB于点E，
AB BF
∴ = ，∠MAF=∠AEC，∠CAF=∠ACE，
AE CF
∵AF平分∠CAM，
∴∠MAF=∠CAF，
∴∠AEC=∠ACE，
∴AE=AC，
AB BF
∴ = ．
AC CF
②∵AD平分∠BAC，
AB BD
∴ = ，
AC CD
AB BF
由①知 =
AC CF
BF BD
∴ = ，
CF CD
∵BD=2，CF=4，
2+CD+4 2
∴ = ，
4 CD
解得CD= −3±❑√17，
∵CD= −3−❑√17不符合题意，舍去，
∴CD= −3+❑√17．
