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专题 27.2 平行线分线段成比例
◆ 典例分析
【典例1】如图，AD是△ABC的中线．
AF
（1）若E为AD的中点，射线CE交AB于点F，求 ；
BF
AE 1 AF
（2）若E为AD上的一点，且 = ，射线CE交AB于点F，求 ．
ED k BF
【思路点拨】
本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键．
BG BD
（1）过点D作DG∥CF，交AB于点G．由DG∥CF得出 = ，结合AD是△ABC的中线得出
GF DC
AF AE
FG=BG，由DG∥CF得出 = ，结合E为AD的中点得出AF=FG=BG，即可得解；
FG ED
AF AE AE 1
（2）过点D作DG∥CF，交AB于点G．由DG∥CF得出 = 结合 = 得出FG=kAF，由
FG ED ED k
（1）知FG=BG，从而得出BG=FG=k·AF，进而得出BF=2k⋅AF，即可得解．
【解题过程】
（1）解：如图，过点D作DG∥CF，交AB于点G．
∵DG∥CF，
BG BD
∴ = ，
GF DC
又∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，
∴FG=BG．
∵DG∥CF，
AF AE
∴ = ，
FG ED
又∵E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴AF=FG=BG，
AF 1
∴ = ；
BF 2
（2）解：如图，过点D作DG∥CF，交AB于点G．
∵DG∥CF，
AF AE
∴ = ，
FG ED
AE 1
∵ = ，
ED k
AF 1
∴ = ，即FG=kAF，
FG k
由（1）知FG=BG，
∴BG=FG=k·AF，
∴BF=2k⋅AF，
AF AF 1
∴ = = ．
BF 2k⋅AF 2k
◆ 学霸必刷
1．（2024·四川内江·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，对角线AC、BD相交于点O，M为AO的中
点，ME∥AB交BO于E，MF∥OD交AD于F，若∠MEF=∠MFE，则AD的值为（ ）A．4 B．3❑√3 C．3❑√2 D．6
【思路点拨】
由三角形中位线定理可得AB=2ME，OD=2MF，可得AB=OD，由矩形的性质可得
OD=OA=OB=AB，再利用勾股定理可得答案．
【解题过程】
解：如图，
∵M为AO的中点，ME∥AB，MF∥OD，
OE OM AF AM
∴ = =1， = =1，
BE AM FD MO
∴ME是△ABO的中位线，MF是△AOD的中位线，
∴AB=2ME，OD=2MF，
∵∠MEF=∠MFE，
∴ME=MF，
∴AB=OD=3，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AO=OC=OB=OD=3，
∴BD=6，
∴AD=❑√BD2−AB2=❑√36−9=3❑√3，
故选：B．
2．（2023·浙江宁波·二模）如图，过▱ABCD的对称中心O的线段EF交AD于点E，交BC于点F,P为边
AB上的一点，作PQ∥BC交EF于Q，连结DQ,DF,PF，则只需要知道下列哪个图形的面积，就能知
道△DFQ的面积（ ）A．△PQF的面积 B．△PBF的面积 C．△DEQ的面积 D．四边形APQE的面积
【思路点拨】
PN BP
过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AM⊥BC于点M，则PN∥AM，得到 = ，由EF过
AM AB
QF BP
▱ABCD的对称中心O，则ED=BF，由PQ∥BC，得到 = ,进一步得到
EF AB
1 BP 1 BP
S = ⋅ED⋅AM，S = BF⋅AM⋅ ，则可得到S =S ，即可得到答案．
△DFQ 2 AB △PBF 2 AB △DFQ △PBF
【解题过程】
解：过点P作PN⊥BC于点N，过点A作AM⊥BC于点M，
∴PN∥AM，
PN BP
∴ = ，
AM AB
∵EF过▱ABCD的对称中心O，
∴ED=BF，
∵PQ∥BC，
QF BP
∴ = ,
EF AB
QF BP 1 BP
S = S = S = ⋅ED⋅AM，
△DFQ EF △DFE AB △DFE 2 AB
1 1 BP
S = BF⋅PN= BF⋅AM⋅ ，
△PBF 2 2 AB
∴S =S ，
△DFQ △PBF
即只需要知道△PBF的面积，就能知道△DFQ的面积．
故选：BAD 1
3．（23-24九年级下·江西新余·阶段练习）如图，点D，E，F分别在△ABC的边上， = ，DE∥BC
BD 3
MN
，EF∥AB，点M是DF的中点，连接CM并延长交AB于点N， 的值是（ ）
CM
1 1 1 1
A． B． C． D．
5 4 6 7
【思路点拨】
本题考查的是平行线，全等三角形．熟练掌握平行线分线段成比例，全等三角形的判定与性质，是解决问
题的关键．
NG AE 1
先根据平行线性质和中点性质证明△NDM≌△GFM，再证明 = = ，从而可得答案．
CG CE 3
【解题过程】
解：如图，设EF与CN的交点为G，
∵点M是DF的中点，
∴DM=FM，
∵EF∥AB，
∴∠NDM=∠GFM，
∵∠DMN=∠FMG，
∴△NDM≌△GFM(ASA)，
∴GM=MN，
|AD 1
∵DE∥BC， = ，
BD 3AE AD 1
∴ = = ，
CE BD 3
∵EF∥AB
NG AE 1
∴ = = ，
CG CE 3
∴CG=3GN=3(GM+MN)=6MN，
MN MN MN 1
∴ = = = ．
CM CG+MG 7MN 7
故选：D．
4．（2023·重庆沙坪坝·模拟预测）如图，正方形ABCD的边长为6，E为CD边中点，G为BC边上一点，
DF 4
连接AE，DG，相交于点F．若 = ，则FE的长度是（ ）
FG 5
6 3 3❑√3 ❑√5
A． B． C． D．
7 4 7 3
【思路点拨】
本题考查了正方形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解
4
题关键．过点F作FH∥BC交CD于点H，根据平行线分线段成比例定理，推出DH= CD，再利用勾
9
1
股定理，求得AE=3❑√5，EH= CD，再利用平行线分线段成比例定理，即可求出FE的长度．
18
【解题过程】
解：如图，过点F作FH∥BC交CD于点H，DH DF 4 4
则 = = ，即DH= CD，
CH FG 5 9
∵四边形ABCD是正方形，边长为6，
∴AD∥BC，CD=6，∠ADE=90°，
∵E为CD边中点，
1
∴DE= CD=3，
2
1 4 1
∴AE=❑√AD2+DE2=3❑√5，EH=DE−DH= CD− CD= CD，
2 9 18
∵FH∥BC∥AD，
EF EH
∴ = ，
AE DE
1
CD
EF 18 1
∴ = = ，
3❑√5 1 9
CD
2
❑√5
∴EF= ，
3
故选：D
5．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的中点，F为AD上一点，
EF与AC交于点H，FH=3cm，EH=6cm，AH=4cm，则HC的长为（ ）
A．22cm B．20cm C．18cm D．16cm
【思路点拨】
本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理，全等三角形的判定与性质，构造辅助线证明两个三角形全等是关键；延长FE交CB的延长线于点G，由平行四边形的性质及中点条件可证明
△AFE≌△BGE，得EG=EF；再由平行线分线段成比例定理即可求得结果．
【解题过程】
解：延长FE交CB的延长线于点G，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠EAF=∠EBG，∠AFE=∠BGE，
∵E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴△AFE≌△BGE(AAS)，
∴EG=EF，
∵EF=EH+FH=3+6=9(cm)，
∴EG=9cm，
∴GH=≥+EH=9+6=15(cm)，
∵AD∥BC，
AH FH
∴ = ，
CH GH
4 3
即 = ，
CH 15
解得：CH=20cm．
故选：B．
6．（23-24九年级上·浙江·周测）如图，△ABC中，∠A=90°,AB=6,BC=10,∠ABC的平分线交AC
于点D，与BC的垂线CE相交于点E，过点D作DF⊥BC于点F，则BD:DE为（ ）A．3:2 B．5:3 C．4:3 D．2:1
【思路点拨】
本题主要考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，角平分线的性质，由勾股定理得AC=8，再由角平
分线的性质得DA=DF，进而由面积法求出DF=3，则CD=AC−DA=5，然后由勾股定理得CF=4，
则BF=6，最后由平行线分线段成比例定理即可得出结论．
【解题过程】
解：∵∠A=90°，AB=6，BC=10，
∴DA⊥BA，AC=❑√BC2−AB2=❑√102−62=8，
∵BD平分∠ABC，DF⊥BC，
∴DA=DF，
∵S =S +S ，
△ABC △ABD △BCD
1 1 1
∴ AB⋅AC= AB⋅DA+ BC⋅DF，
2 2 2
∴6×8=6DF+10DF，
解得：DF=3，
∴DA=3，
∴CD=AC−DA=8−3=5，
∴CF=❑√CD2−DF2=❑√52−32=4，
∴BF=BC−CF=10−4=6，
∵DF⊥BC，CE⊥BC，
∴DF∥CE，
BD BF 6 3
∴ = = = ，
DE CF 4 2
即BD:DE=3:2．
故选：A．
7．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D．若AB=4，AC 8
= ，则BD= ．
CD 5
【思路点拨】
此题考查了平行线分线段成比例，等角等对边性质，解题的关键是掌握以上知识点．
BA BD
过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，证明出AE=AC，然后由CE∥AD得到 = ，然后等量
AE DC
BA AE AC 8
代换得到 = = = ，然后代数求解即可．
BD DC DC 5
【解题过程】
解：如图，过点C作CE∥AD交BA的延长线于点E，
则∠BAD=∠E,∠CAD=∠ACE，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠CAD
∴∠E=∠ACE
∴AE=AC
∵CE∥AD
BA BD
∴ =
AE DC
BA AE AC 8
∴ = = =
BD DC DC 5
∵AB=4
5
∴BD= ．
2
5
故答案为： ．
28．（2024八年级·全国·竞赛）如图，在△ABC中，点D、E分别为AB、AC的中点，点F为DE中点，连
接BF并延长交AC于点G，则AG:≥= ．
【思路点拨】
本题考查了中位线的判定和性质，平行线分线段成比例定理；熟练掌握“三角形的中位线平行于三角形的
第三边，并且等于第三边的一半、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例”是解题的关键．
DE 1 1 1
根据中位线的判定和性质可得DE∥BC， = ，结合题意可得EF= DE= BC；根据平行线分线段
BC 2 2 4
成比例定理即可求解．
【解题过程】
解：∵点D、E分别为AB、AC的中点，
∴DE为△ABC的中位线，
DE 1
∴DE∥BC， = ，
BC 2
∴点F为DE中点，
1 1
∴EF= DE= BC；
2 4
又∵DE∥BC，
GE EF 1
∴ = = ，
GC BC 4
GE GE 1
∴ = = ，
AE EC 3
GE GE
=
则AG 1 ；
AE−≥¿= ¿
2
∴AG:≥=2:1．
故答案为：2:1．
9．（23-24九年级上·上海青浦·期中）如图，已知四边形DGFE是△ABC的内接正方形，AH⊥BC于
H，AH=7cm且BD:AD=4:3，则GF= ．【思路点拨】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，平行线分线段成比例．熟练掌握正方形的性质，平行线分
线段成比例是解题的关键．
如图，记AH、DE的 交点为N，证明四边形DGHN为矩形，则DG=NH，由DE∥BC，可得
AN AD 7−NH 3
= ，即 = ，求出NH的值，根据GF=DG=NH，作答即可．
NH BD NH 4
【解题过程】
解：如图，记AH、DE的 交点为N，
∵四边形DGFE是△ABC的内接正方形，
∴DE∥BC，∠DGF=∠EDG=90°，GF=DG，
∵AH⊥BC，
∴∠AHG=90°，
∴四边形DGHN为矩形，
∴DG=NH，
∵DE∥BC，
AN AD 7−NH 3
∴ = ，即 = ，解得，NH=4，
NH BD NH 4
∴GF=DG=NH=4，
故答案为：4．
10．（23-24九年级上·山东青岛·课后作业）如图△ABC中，E、F为BC的三等分点，M为AC的中点，
BM与AE、AF分别交于G、H，则BG:GH:HM= ．【思路点拨】
首先过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，由M是AC的中点与E、F为BC的三等分点，根据
1
平行线分线段成比例定理，即可求得MH= BH，MG=BG，，然后根据比例的性质，即可求解．
4
【解题过程】
解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，
∵M是AC的中点，
MN NK AN AM 1
∴ = = = = ，
EC EF AE AC 2
∵E、F为BC的三等分点，
∴BE=EF=FC，
∴MN=2NK，
MH MK 1 MG MN
∵ = = ， = =1，
BH BF 4 BG BE
1
∴MH= BH，MG=BG，
4
5
设MH=a，BH=4a，BG=GM= a，
2
3
∴GH=GM−MN= a，
2
5 3
∴BG：GH：HM= a: a:a=5:3:2．
2 2故答案为：5:3:2．
11．（2023·浙江绍兴·一模）如图．在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D是边AC上的动点，
过点D作DE∥BC，交边AB于点E，F是边BC上一点，若使点D，E，F构成等腰三角形的点F恰好有
三个，且DE=x，则x的值是 ．
【思路点拨】
本题考查了等腰三角形的性质，平行线分线段成比例定理，根据等腰三角形的性质，运用平行线分线段成
比例定理分类计算即可得到答案；
【解题过程】
解：当CE平分∠C时，符合题意，如图所示，此时四边形DCF E是正方形，
1
∵DE∥BC，
DE AD
∴ = ，
BC AC
x 4−x 12
∴ = ，解得x= ；
3 4 7
如图，当DE=EK=DJ=EB时，恰好有四个位置满足F，
∵∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=❑√32+42=5，∵DE∥BC，
DE AE
∴ = ，
BC AB
x 5−x 15
∴ = ，解得：x=
3 5 8
15
∴
