专题27.3难点探究专题：相似三角形中动点问题之六大考点（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 27.3 难点探究专题：相似三角形中动点问题之六大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】.....................................................1 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】.................................................8 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】..........................................................................16 【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】..............................................................................24 【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】..............................................................................28 【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】..........................................................................................38 【典型例题】 【考点一 相似三角形动点中求时间多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2023·河北·九年级专题练习）如图，在 中， ，点P从A出发，以 的速度向B运动，同时点Q从C出发，以 的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动 点也随之停止运动，设运动的时间为t． （1）用含t的代数式表示： = ； （2）当以A，P，Q为顶点的三角形与 相似时，运动时间【变式训练】 1．如图，在Rt△ABC中，C 90，A30，BC 9，若点P是边AB上的一个动点，以每秒3个单 AB A Q BC 位的速度按照从 运动，同时点 从 以每秒1个单位的速度运动，当一个动点到达终点时， 另一个动点也随之停止运动，在运动过程中，设运动时间为t，若△BPQ与ABC相似，则t的值为 ． 2．如图，在矩形 中， ， ，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿 向点C移动， 同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿 向点B移动．若P、Q两点移动 （ ）后， 与 相似，则 ． 3．（2023春·广东汕头·九年级校考期中）如图1，在 中， ，动 点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以 每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒 ，连接PQ． (1)若△BPQ与 相似，求t的值；(2)直接写出△BPQ是等腰三角形时t的值； (3)如图2，连接AQ、CP，若 ，求t的值． 【考点二 相似三角形动点中求线段长多解问题（利用分类讨论思想）】 例题：（2023秋·福建漳州·九年级统考期末）在 中， ， ， ，动点D在 边上， 的垂直平分线交 边于点E．若 是直角三角形，则 的长为 ． 【变式训练】 1．矩形 中， ， ，点 是边 上一个动点，延长 到点 ，使 ， 连接线段 ，点 是线段 上一点， ，连接线段 和线段 ，当 时，则 的 长为 ． 2．如图，在 中， ，点 是边 上一动点（不与 重合），点 是 上一 个动点，始终保持 ．则当 为直角三角形时， 的长为 ． 3．如图，在 中， ， ，点E为 边上一点，动点D从点C出发沿线段 向终点A运动，作 ，与边 相交于点F．当点D与C点重合，且 时， 的长为 ，当 为等腰三角形且 时，求 的长 ．4．（2023春·山东淄博·八年级统考期末）如图，直线 与x轴、y轴分别交于点A、B，一动点P 从点A出发，沿 的路线运动到点B停止，C是 的中点，沿直线PC截 ，若得到的三角形 与 相似，则点P的坐标是 ． 【考点三 相似三角形动点中求线段及线段和最值问题】 例题：（2023秋·湖南益阳·九年级统考期末）正方形 的边长为6，点 在边 上，且 ， 是边 上一动点，连接 ，过点 作 交 边于点 ，设 的长为 ，则线段 长度的最 大值为 . 【变式训练】 1．（2023·江苏扬州·统考二模）如图，在直角 中， ， ， ，点P是边 上 的动点，过点P作 交 于点H，则 的最小值为 ． 2．（2023秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在矩形 中， ．点E是 上的动点，点F是 的中点 相交于点G，则 的最小值为 ． 3．定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直 角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形，根据以上定义，解决下列问题： (1)如图1，正方形 中，E是 上的点，将 绕B点旋转，使 与 重合，此时点E的对应 点F在 的延长线上，则四边形 __________“直等补”四边形．（“是”或“不是”） (2)如图2，已知四边形 是“直等补”四边形， ， ， ，点B到直线 的 距离为 ．①求 的长；②已知点D到 所在直线的距离为 ，若M、N分别是 、 边上的动点， 求 周长的最小值． 【考点四 相似三角形中的动点问题与函数图像问题】 例题：（2023·河南焦作·统考二模）如图，在 中， ，点P为边 上 一动点，过点P作直线 ，交折线 于点Q．设 ，则y关于x的函数图象大致是 （ ）A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2023春·河南南阳·九年级统考阶段练习）如图1，在矩形 中，对角线 与 相交于点O，动 点P从点B出发，在线段 上匀速运动，到达点C时停止．设点P运动的路程为x，线段 的长为y， 如果y与x的函数图象如图2所示，则矩形 的面积是（ ） A．20 B．24 C．48 D．60 2．（2023·安徽合肥·校联考二模）如图，在正方形 中， ，动点 从 点出发沿 方 向在 和 上匀速移动，连接 交 或 的延长线于 ，记点 移动的距离为 ， 为 ，则 关于 的函数图像大致是（ ） A． B． C． D． 3．（2023·黑龙江·模拟预测）如图，已知直线 是线段 的中垂线， 与 相交于点C，D是位于直线 下方的 上的一动点（点D不与点C重合），连接 ，过点A作AE∥BD，过点B作BE⊥AE AB6 AD  x AE y 于点E，若 ，设 ， ，则y关于x的函数关系用图像可以大致表示为（ ）．A． B． C． D． 【考点五 相似三角形中的动点问题与几何综合问题】 ABCD AB3,AD6 BC 例题：（2023·江苏·九年级专题练习）如图，在矩形 中， ，动点E在边 上，连接 DE，过点A作AH DE，垂足为H，AH 交CD于F． (1)求证：△ CDE∽△ DAF； (2)当FC2时，求EC的长． (3)若直线AF 与线段BC延长线交于点G，当△DEB∽△GFD时，求DF的长． 【变式训练】 1．已知：在平行四边形 中，点M、N分别是边 一个动点，联结 . (1)如图1，如果 ，求证： ； (2)如图2，如果 ，试问 是否成立，如果成立，请证明，如果不成立，请简述理由 2．如图，正方形 中，点 关于直线的 对称点为 ， 为 边上一动点， 交 于 ， 交 于 . (1)当 为 中点时，求证 ； (2)若线段 满足 . ①求证： ； ②求 的值. 3．如图，矩形 中， ， ，动点E在对角线 上．连接 ，作 交射线 于点F．(1)当 平分 时，求 的长； (2)当 为等腰三角形时， 的长． (3)在运动过程中， 与 的比值是否发生变化，如果改变，请说明理由；如果不改变，请直接写出它 的比值． 【考点六 相似三角形中的动点探究应用问题】 例题：（2023春·浙江·九年级专题练习）【基础巩固】 (1)如图1， 在 中， 分别为 上的点， 交 于点 ， 求证： ． 【尝试应用】 (2)如图2， 已知 为 的边 上的两点， 且满足 ， 一条平行于 的直线分 别交 和 于点 和 ， 求 的值． 【拓展提高】 (3)如图3， 点 是正方形 的边 上的一个动点， ， 延长 至点 ， 使 ，连接 ， 求 的最小值． 【变式训练】 1．（2023·湖北武汉·校考模拟预测）一次数学综合实践活动课上．小慧发现并证明了关于三角形角平分线 PA AB 的一个结论．如图1， 是 的角平分线，可以证明  PD △PAC PC BC 【基础巩固】 （1）参照小慧提供时思路，利用图（2）请证明上述结论； （2）A、B、C、是同一直线l上从左到右顺次的点，点P是直线外一动点，PB平分APC； 【尝试应用】①若AB2，BC1，延长AB至D，使CDBC，若PD的长为定值，请求出这个值； ABm BC n (mn) PD PD 【拓展提高】②拓展：若 ， ， ，P点在l外运动时，使 为定值，直接写出 的 长为 ___________（用含m、n的式子表示）． 2．（2023·江苏苏州·校联考三模）在 中， ， ， 于点D，点E是直线 AC上一动点，连接DE，过点D作 ，交直线BC于点F．(1)[探究发现]：如图1，若 ，点E在线段AC上，猜想DE与DF的数量关系，并说明理由； (2)[数学思考]： ①如图2，若点E在线段AC上，求证： ； ②当点E在直线AC上运动时，数学思考①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明； (3)[拓展应用]：若 ， ， ，求CE的长．（可结合题意，另行画图）