文档内容
专题 27.7 相似三角形的经典模型【十大题型】
【人教版】
【题型1 A字模型】..................................................................................................................................................2
【题型2 8字模型】...................................................................................................................................................3
【题型3 AX模型】...................................................................................................................................................4
【题型4 母子型】......................................................................................................................................................6
【题型5 三角形内接矩形型】..................................................................................................................................8
【题型6 双垂直型】................................................................................................................................................10
【题型7 手拉手型】................................................................................................................................................12
【题型8 一线三等角型】........................................................................................................................................14
【题型9 倒数型】....................................................................................................................................................16
【题型10 旋转型】....................................................................................................................................................18
模型1：A字模型
①如图，在 中，点D在 上，点E在 上， ，则 ，
．
②模型拓展1：斜交A字型条件： ，图2结论： ；③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔ ．
【题型1 A字模型】
【例1】（23-24九年级·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且
AF AE
DE∥BC， = ．
FE EC
（1）求证：DF∥BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6❑√3．求证△ADE∽△AEB．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，BD，CE分别是AC与AB边上的高．
求证：△ADE∽△ABC．
【变式1-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，P为 ▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，
PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S，S．若S=3，则S +S 的值是（ ）
1 2 1 2A．24 B．12 C．6 D．10
【变式1-3】（23-24九年级·安徽安庆·期中）图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，
AB＝2，CD＝3，求GH的长．
模型2：8字模型
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ ；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ ．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔ ．
【题型2 8字模型】
【例2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【变式2-1】（23-24九年级·河南开封·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接
AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式2-2】（2024·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，
若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
【变式2-3】（23-24九年级·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中
点，CF交BE于点G，若BE=8，则¿= ．模型3：AX模型
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX模型】
【例3】（2024九年级·全国·专题练习）已知如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交
于点E，AC、BD相交于点O，连结EO并延长交AB于点M，交CD于点N．那么线段AM与BM是否相
等？请说明理由．
【变式3-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，中线AD，BE交于点F，EG//BC交AD
于点G．
AG
（1）求 的值．
GF
（2）如果BD=4❑√3，DF=4，请找出与△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明．
【变式3-2】（2024·江苏泰州·二模）如图 ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是 ABC的重心，GH⊥AB于
H，则GH的长为 ． △ △【变式3-3】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E
为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点
H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
模型3：母子型
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当 时， ，则有 ．【题型4 母子型】
4
【例4】（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图1，∠C90，BC6，tanB= ，点M从点B出发以每秒1
3
个单位长度的速度向点C运动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终
点时，另一点也停止运动．
(1)求AB的长．
(2)当以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．
(3)如图2，将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动，点N同时从点A出
发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当t为何值时，△MNA为等腰三角形．
【变式4-1】（23-24九年级·山东聊城·期中）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G
三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2
，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2❑√2，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想
点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的
长．
【变式4-3】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点Р以
2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移
动，设P、Q两点移动的时间为t秒(0
