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专题 27.7 相似三角形的经典模型【十大题型】
【人教版】
【题型1 A字模型】..................................................................................................................................................2
【题型2 8字模型】...................................................................................................................................................3
【题型3 AX模型】...................................................................................................................................................4
【题型4 母子型】......................................................................................................................................................6
【题型5 三角形内接矩形型】..................................................................................................................................8
【题型6 双垂直型】................................................................................................................................................10
【题型7 手拉手型】................................................................................................................................................12
【题型8 一线三等角型】........................................................................................................................................14
【题型9 倒数型】....................................................................................................................................................16
【题型10 旋转型】....................................................................................................................................................18
模型1：A字模型
①如图，在 中，点D在 上，点E在 上， ，则 ，
．
②模型拓展1：斜交A字型条件： ，图2结论： ；③模型拓展2： 如图，∠ACD＝∠B⇔△ADC∽△ACB⇔ ．
【题型1 A字模型】
【例1】（23-24九年级·上海金山·期中）如图，在△ABC中，点D在边AB上，点E、点F在边AC上，且
AF AE
DE∥BC， = ．
FE EC
（1）求证：DF∥BE；
（2）如且AF＝2，EF＝4，AB＝6❑√3．求证△ADE∽△AEB．
【变式1-1】（23-24九年级·全国·课后作业）如图，BD，CE分别是AC与AB边上的高．
求证：△ADE∽△ABC．
【变式1-2】（23-24九年级·江苏无锡·期中）如图，P为 ▱ABCD的边AD上的一点，E，F分别为PB，
PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S，S．若S=3，则S +S 的值是（ ）
1 2 1 2A．24 B．12 C．6 D．10
【变式1-3】（23-24九年级·安徽安庆·期中）图，AB∥GH∥CD，点H在BC上，AC与BD交于点G，
AB＝2，CD＝3，求GH的长．
模型2：8字模型
①如图1，AB∥CD⇔△AOB∽△COD⇔ ；
②如图2，∠A＝∠D⇔△AOB∽△DOC⇔ ．
③模型拓展：如图，∠A＝∠C⇔△AJB∽△CJD⇔ ．
【题型2 8字模型】
【例2】（23-24九年级·上海奉贤·期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND∽△CNM；
（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
【变式2-1】（23-24九年级·河南开封·期中）如图，在平行四边形ABCD中，E为边AD的中点，连接
AC，BE交于点F．若△AEF 的面积为2，则△ABC的面积为( )
A．8 B．10 C．12 D．14
【变式2-2】（2024·四川广元·中考真题）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边的中点，连接AE，
若AE的延长线和BC的延长线相交于点F．
（1）求证：BC=CF；
（2）连接AC和BE相交于点为G，若△GEC的面积为2，求平行四边形ABCD的面积．
【变式2-3】（23-24九年级·湖南常德·期中）如图在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中
点，CF交BE于点G，若BE=8，则¿= ．模型3：AX模型
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
【题型3 AX模型】
【例3】（2024九年级·全国·专题练习）已知如图，在梯形ABCD中，CD∥AB，AD、BC的延长线相交
于点E，AC、BD相交于点O，连结EO并延长交AB于点M，交CD于点N．那么线段AM与BM是否相
等？请说明理由．
【变式3-1】（23-24九年级·浙江杭州·期中）如图，△ABC中，中线AD，BE交于点F，EG//BC交AD
于点G．
AG
（1）求 的值．
GF
（2）如果BD=4❑√3，DF=4，请找出与△BDA相似的三角形，并挑出一个进行证明．
【变式3-2】（2024·江苏泰州·二模）如图 ABC中，AB=AC=5，BC=8，G是 ABC的重心，GH⊥AB于
H，则GH的长为 ． △ △【变式3-3】（23-24九年级·辽宁鞍山·期中）如图，在平行四边形ABCD中，AD＝AC，∠ADC＝α，点E
为射线BA上一动点，且AE＜AB，连接DE，将线段DE所在直线绕点D顺时针旋转α交BA延长线于点
H，DE所在直线与射线CA交于点G．
（1）如图1，当α＝60°时，求证：△ADH≌△CDG；
（2）当α≠60°时，
①如图2，连接HG，求证：△ADC∽△HDG；
②若AB＝9，BC＝12，AE＝3，请直接写出EG的长．
模型3：母子型
如 图 为 斜 “ A” 字 型 基 本 图 形 ． 当 时 ， ， 则 有 ．
．
如图所示，当E点与C点重合时，为其常见的一个变形，即子母型．
当 时， ，则有 ．【题型4 母子型】
4
【例4】（23-24九年级·湖南株洲·期中）如图1，∠C90，BC6，tanB= ，点M从点B出发以每秒1
3
个单位长度的速度向点C运动，点N同时从点C出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，当一点到达终
点时，另一点也停止运动．
(1)求AB的长．
(2)当以点M、C、N为顶点的三角形与△ABC相似时，求t的值．
(3)如图2，将本题改为点M从点B出发以每秒3个单位长度的速度在BA上向点A运动，点N同时从点A出
发向点C运动，其速度是每秒2个单位长度，其它条件不变，求当t为何值时，△MNA为等腰三角形．
【变式4-1】（23-24九年级·山东聊城·期中）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G
三点在一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
（1）求证：△MFC∽△MCA；
（2）求证△ACF∽△ABE；
（3）若DM=1，CM=2，求正方形AEFG的边长．
【变式4-2】（23-24九年级·江苏苏州·期中）定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足∠1=∠2
，则称点P为这个三角形的“理想点”．(1)如图①，若点D是△ABC的边AB的中点，AC=2❑√2，AB=4，试判断点D是不是△ABC的“理想
点”，并说明理由；
(2)如图②，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，若点D是△ABC的“理想点”，求CD的
长．
【变式4-3】（23-24九年级·广东佛山·阶段练习）如图：在矩形ABCD中，AB=6m，BC=8m，动点Р以
2m/s的速度从A点出发，沿AC向C点移动，同时动点Q以1m/s的速度从点C出发，沿CB向点B移
动，设P、Q两点移动的时间为t秒(0<t<5)．
（1）AP=______m，PC=______m，CQ=_____m（用含t的代数式表示）
（2）t为多少秒时，以P、Q、C为顶点的三角形与△ABC相似？
（3）在P、Q两点移动过程中，四边形ABQP与△CPQ的面积能否相等？若能，求出此时t的值；若不
能，请说明理由．
模型5：三角形内接矩形型
由之前的基本模型（A型或AX型）推导出来的。
结论：AH⊥GF， AGF∽△ABC，
△【题型5 三角形内接矩形型】
【例5】（23-24九年级·吉林长春·期末）如图，在 ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AB＝8．点P从点A出
发，以每秒2个单位长度的速度沿边AB向点B运动△．过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，以PD为
边在PD右侧作正方形PDEF．设正方形PDEF与 ABC重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒
（0＜t＜4）． △
（1）当点D在边AC上时，正方形PDEF的边长为 （用含t的代数式表示）．
（2）当点E落在边BC上时，求t的值．
（3）当点D在边AC上时，求S与t之间的函数关系式．
（4）作射线PE交边BC于点G，连结DF．当DF＝4EG时，直接写出t的值．
【变式5-1】（2024·河南南阳·统考三模）如图，已知三角形铁皮ABC的边BC=acm，BC边上的高
AM= ℎcm，要剪出一个正方形铁片DEFG，使D、E在BC上，G、F分别在AB、AC上，则正方形
DEFG的边长= ．
【变式5-2】（23-24九年级·陕西·期中）有一块直角三角形木板，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm，要
把它加工成一个无拼接的面积最大的正方形桌面．甲、乙两位同学的加工方法分别如图1、图2所示．请
你用学过的知识说明哪位同学的方法符合要求（加工损耗忽略不计）．【变式5-3】（16-17九年级·江苏泰州·阶段练习）如图1，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，正方形DEFG
的顶点D、G分别在AB、AC上，EF在BC上．
（1）求正方形DEFG的边长；
（2）如图2，在BC边上放两个小正方形DEFG、FGMN，则DE= ．
模型6：双垂直型
①如图，直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见
的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
②拓展：
在
（1） 正方形、长方形中经常会出现射影定理模型，如图，在 和 内均有射影定理模
型．
（2）如图，在圆中也会出现射影定理模型．【题型6 双垂直型】
【例6】（2024九年级·全国·专题练习）如图所示，在△ABC中，
∠ABC=90°，BD⊥AC，DE⊥BC，垂足分别为D、E两点，则图中与△ABC相似的三角形有（
）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【变式6-1】（23-24九年级·上海青浦·期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如
果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．3:❑√13 D．2:❑√13．
【变式6-2】（23-24九年级·安徽合肥·期中）△ABC中，∠ABC=90°，BD⊥AC，点E为BD的中点，
连接AE并延长交BC于点F，且有AF=CF，过F点作FH⊥AC于点H．
（1）求证：△ADE∽△CDB；
（2）求证：AE=2EF；
（3）若FH=❑√3，求BC的长．【变式6-3】（23-24九年级·广西南宁·期末）如图1，在正方形ABCD中，AB长为4❑√3，点E和点F分别
是BC，CD边上一点，且DF=CE，连接DE，AF，DE和AF相交于点H．
(1)求证：△ADF≌△DCE；
(2)如图2，过B作BM⊥AF，垂足为M．
①若∠DAF=30°，求MH的长；
DN
②如图3，连接BH并延长BH交CD于点N，若M为AH的中点，求 的值．
BE
模型7：手拉手型
①如图，若△ABC∽△ADE，则△ABD∽△ACE.[来源:Zxxk.Com]
②如图所示， 和 都是等腰直角三角形， 的延长线与 相交于点P，则，且相似比为 ， 与 的夹角为 ．
总结：旋转相似型中由公共旋转顶点、一点及其旋转后的对应点组成的三角形与由公共旋转顶点、另一点
及其旋转后的对应点组成的三角形相似．
③如图所示， ，则 ， ，且 ．
【题型7 手拉手型】
【例7】（23-24九年级·山东烟台·期末）如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，C，F，G三点
在同一直线上，连接AF并延长交边CD于点M．
(1)求证：△MFC∽△MCA；
BE
(2)求 的值；
CF
(3)若DM=2,CM=4，求正方形AEFG的边长．
【变式7-1】（23-24九年级·安徽合肥·期中）如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，
∠ABC=∠ADE，连接BD、CE，若AC︰BC=3︰4，则BD︰CE为（ ）A．5︰3 B．4︰3 C．❑√5︰2 D．2︰❑√3
【变式7-2】（23-24九年级·四川成都·期末）如图，以△ABC的两边AB、AC分别向外作等边△ABD和
等边△ACE，BE与DC交于点P，已知PA=3，PB=4，PC=5．
(1)求证：△ADC≌△ABE；
(2)求∠DPB的度数及BE的长；
(3)若点Q、R分别是等边△ABD和等边△ACE的重心（三边中线的交点），连接AQ、AR、QR，作出
图象，求QR的长．
【变式7-3】（2024·四川·一模）如图，正方形ABCD，对角线AC，BD相交于O，Q为线段DB上的一
点，∠MQN=90°，点M、N分别在直线BC、DC上．
1 1
（1）如图1，当Q为线段OD的中点时，求证：DN+ BM= BC；
3 2
（2）如图2，当Q为线段OB的中点，点N在CD的延长线上时，则线段DN、BM、BC的数量关系为 ；
（3）在（2）的条件下，连接MN，交AD、BD于点E、F，若MB:MC=3:1，NQ=9❑√5，求EF的长．
模型8：一线三等角型
(1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE.
(2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE.
特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE.补充：其他常见的一线三等角图形
【题型8 一线三等角型】
【例8】（2024九年级·全国·专题练习）如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接
AD、DE，且∠B=∠ADE=∠C．
(1)证明：△BDA∽△CED；
(2)若∠B=45°,BC=2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此
时BD的长．
【变式8-1】（23-24九年级·吉林长春·期末）【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P
不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC=90°．易证△DAP∽△PBC．（不需要证明）
【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），∠A=∠B=∠DPC．
若PD=4，PC=8，BC=6，求AP的长．
【拓展】如图③，在△ABC中，AC=BC=8，AB=12，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连
结CP，作∠CPE=∠A，PE与边BC交于点E，当△CPE是等腰三角形时，直接写出AP的长．【变式8-2】（2024·河南周口·三模）（1）问题发现：如图1，∠ABC=α，将边AC绕点C顺时针旋转α
得到线段CE，在射线BC上取点D，使得∠CDE=α．请求出线段BC与DE的数量关系；
1
（2）类比探究：如图2，若α=90°，作∠ACE=90°，且CE= AC，其他条件不变，则线段BC与DE
2
的数量关系是否发生变化?如果变化，请写出变化后的数量关系，并给出证明；
（3）拓展延伸：如图3，正方形ABCD的边长为6，点E是边AD上一点，且AE=2，把线段CE逆时针旋
转90°得到线段EF，连接BF，直接写出线段BF的长．
BC m
【变式8-3】（2024·河南周口·一模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， = ，CD⊥AB于点D，点E
AC n
是直线AC上一动点，连接DE，过点D作FD⊥ED，交直线BC于点F．
（1）探究发现：
DE
如图1，若m＝n，点E在线段AC上，则 ＝ ；
DF
（2）数学思考：
DE
①如图2，若点E在线段AC上，则 ＝ （用含m，n的代数式表示）；
DF
②当点E在直线AC上运动时，①中的结论是否仍然成立？请仅就图3的情形给出证明；
（3）拓展应用：若AC＝❑√5，BC＝2❑√5，DF＝4❑√2，请直接写出CE的长．模型9：倒数型
仔细观察，会发现该模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到
的，该模型的练习有助于提高综合题能力水平。
模型分析：
∵AF∥DE∥BC，
∴△BDE∽△BAF，△ADE∽ABC
∴ ， ．
∴
即
∴ （两边同时除以DE）
【题型9 倒数型】
【例9】（2024春·陕西西安·九年级校考阶段练习）如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交
AB于D．求证： ．【变式9-1】（2024·内蒙古·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点B作BD⊥CB，垂足
为B，且BD=3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N．若AC=2，则MN的长
为 ．
【变式9-2】（2024春·福建莆田·九年级校考期末）如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，正方形EFGH
的四个顶点都在△ABC的边上.求证：
【变式9-3】（2024·河南南阳·统考三模）正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC
于F，交AB于G，连接BF．求证：
(1) AF+BF=EF；
(2)【题型10 旋转型】
【例10】（2024·山东济南·一模）已知△ABC中∠ABC=90∘,点D、E分别在边BC、边AC上，连接
AB DE
DE,DF⊥DE,点F、点C在直线DE同侧，连接FC,且 = =k．
BC DF
（1）点D与点B重合时，
①如图1，k=1时，AE和FC的数量关系是 ；位置关系是 ；
②如图2，k=2时，猜想AE和FC的关系，并说明理由；
（2）BD=2CD时，
③如图3，k=1时，若AE=2,S =6,求FC的长度；
△CDF
④如图4，k=2时，点M、N分别为EF和AC的中点，若AB=10，直接写出MN的最小值．
【变式10-1】（23-24九年级·浙江杭州·期末）已知正方形DEFG的顶点F在正方形ABCD的一边AD的延
长线上，连结AG，CE交于点H，若AB=3，DE=❑√2，则CH的长为 .
【变式10-2】（23-24九年级·吉林长春·期末）在同一平面内，如图①，将两个全等的等腰直角三角形摆放
在一起，点A为公共顶点，∠BAC=∠AED=90°．如图②，若△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时
针旋转，使AD、AE与边BC的交点分别为M、N点M不与点B重合，点N不与点C重合 ．【探究】求证：△BAN∽△CMA．
【应用】已知等腰直角三角形的斜边长为4．
(1)BN⋅CM的值为______．
(2)若BM=CN，则MN的长为______．
【变式10-3】（23-24九年级·福建漳州·期末）如图，在正方形ABCD中，点P在对角线BD上，直线AP
交CD于E，PF⊥AE交BC于点F，连接AF交BD于M．
(1)判断△APF的形状，并说明理由；
(2)连接EF，求EF:PM的值．
