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专题 28.1 锐角三角函数与几何综合
◆ 典例分析
【典例1】如图，在四边形ABCD中，点P是线段BC上一点，∠APD=90°，AP=PD．
（1）如图1，当∠B=∠C=90°时，猜想AB，CD，BC三条线段存在的数量关系并证明．
AB+CD
（2）如图2，延长BA，CD交于点E，当AB⊥CD时，∠B=30°时，求 的值．
BC
AB+CD
（3）如图2，延长BA，CD交于点E，当AB⊥CD时，∠B=α时，用含α的代数式表示 的值．
BC
【思路点拨】
本题考查了三角形全等的判定和性质，特殊角的三角函数值，三角函数的应用，熟练掌握全等的判定，三
角函数的应用是解题的关键．
（1）根据AAS证明△ABP≌△PCD(AAS)即可得证．
（2）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，根据AAS证明△AMP≌△PND(AAS)，结
合特殊角的三角函数计算证明即可．
（3）过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，根据AAS证明△AMP≌△PND(AAS)，结
合三角函数计算证明即可．
【解题过程】
解：（1）如图，三条线段存在的数量关系为BC=AB+CD，理由如下：
∵∠B=∠C=90°，∠APD=90°，AP=PD，
∴∠BAP+∠APB=90°，∠CPD+∠APB=90°
∴∠BAP=∠CPD，{
∠B=∠C
)
∵ ∠BAP=∠CPD ，
AP=PD
∴△ABP≌△PCD(AAS)，
∴AB=PC,BP=CD，
∵BC=BP+CP，
∴BC=AB+CD．
AB+CD
（2） =❑√3−1，理由如下：
BC
过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，
∴∠PMA=∠DNP=∠APD=90°，
∴∠MAP+∠APM=90°，∠NPD+∠APM=90°
∴∠MAP=∠NPD，
{∠AMP=∠PND
)
∵ ∠MAP=∠NPD ，
AP=PD
∴△AMP≌△PND(AAS)，
∴AM=PN,MP=ND，
∵MN=MP+NP，
∴MN=AM+ND．
∵AB⊥CD，∠B=30°，
∴∠E=90°，∠C=60°，
1 ❑√3
∴AM=AB×sin∠B=AB×sin30°= AB，BM=AB×cos∠B=AB×cos30°= AB，
2 2
❑√3 1
DN=CD×sin∠C=CD×sin60°= CD，CN=CD×cos∠C=CD×cos60°= CD，
2 2
∵ ❑√3 1 ❑√3 1 (❑√3+1) ，
BC= AB+ AB+ CD+ CD= (AB+CD)
2 2 2 2 2AB+CD AB+CD 2
= = =❑√3−1
∴ BC (❑√3+1) ❑√3+1 ．
(AB+CD)
2
AB+CD 1
（3） = ，理由如下：
BC sinα+cosα
如前图，过点A作AM⊥BC于点M，过点D作DN⊥BC于点N，
∴∠PMA=∠DNP=∠APD=90°，
∴∠MAP+∠APM=90°，∠NPD+∠APM=90°
∴∠MAP=∠NPD，
{∠AMP=∠PND
)
∵ ∠MAP=∠NPD ，
AP=PD
∴△AMP≌△PND(AAS)，
∴AM=PN,MP=ND，
∵MN=MP+NP，
∴MN=AM+ND．
∵AB⊥CD，∠B=α，
∴∠E=90°，∠C=90°−α，∠NDC=α，
∴AM=AB×sin∠B=AB×sinα，BM=AB×cos∠B=AB×cosα，
DN=CD×cos∠NDC=CD×cosα，CN=CD×sin∠NDC=CD×sinα，
∵BC=AB×sinα+AB×cosα+CD×sinα+CD×cosα=(cosα+sinα)(AB+CD)，
AB+CD AB+CD 1
∴ = = ．
BC (cosα+sinα)(AB+CD) cosα+sinα
◆ 学霸必刷
1．（2024·江苏无锡·二模）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D和点E分别是线段
CD
BC、AC上的动点，且AD⊥BE，在运动过程中， 可取的最大整数值为（ ）
AE
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2024·浙江·模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=3，BD⊥CD．记∠CBD=α，
1
∠BAD=β．若4α=β，tanα= ，则BC的长为（ ）
312❑√5 12❑√2 14❑√2 6❑√10
A． B． C． D．
5 5 5 5
3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，
1
AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE=30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF= CD；④
3
AF=AB+CF．其中正确结论的为（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．②④
4．（2024·山西长治·二模）如图，已知点C为线段AB的中点，CD⊥AB且CD=AB=4，连接AD，点E
是CD上的一点，且EA=ED，BF⊥AE于点F，分别交DC，AD于点G，H，则DH的长为 ．
5．（24-25九年级上·上海·期中）如图，两个大小不同的三角板放在同一平面内，直角顶点重合于C，点
EF
D在边AB上，∠BAC=∠DEC=30°，AC与DE交于点F，连接AE，如果BD=1，AD=5，那么 =
CF
．4
6．（23-24九年级上·陕西西安·期中）如图，在平行四边形ABCD中，sin∠B= ，E是BC边上的点，
5
AB=BE=5，EC=2，F是CD边上的一点，且DF=1，若M、N分别是线段AE、AD上的动点，则
MN+NF的最小值为 ．
7．（2024·黑龙江哈尔滨·一模）如图，在△ABC中，∠ABC=2∠BAC，BD是△ABC的角平分线，过
点D作BD的垂线交BE的延长线于点E，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，若BE+EF=8，
1
tan∠BAC= ，则线段DE的长 ．
2
8．（2024·陕西西安·模拟预测）如图，矩形ABCD顶点坐标分别为A(0,0)、B(−10,0)、C(−10,5)，在
线段AC和AB上各有一个动点E、F，当BE+EF的值最小时，点E的坐标为 ．
9．（2024·江西吉安·三模）如图，在△ABC中，AB=AC，∠B=30°，BC=9，D为AC上一点，AD=2DC，P为边BC上的动点，当△APD为直角三角形时，BP的长为 ．
10．（2024九年级下·浙江·专题练习）在 ▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，EG⊥BD于点G，
FH⊥BD于点H，连接GF，EH.
（1）求证：四边形EHFG是平行四边形.
1
（2）当∠ABD=45°，tan∠EHG= ，EG=1时，求AD的长.
4
11．（2024·安徽合肥·二模）如图1在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，延长DA至E，连接EB、
EC，
（1）求证：△BAE≌△CAE；
（2）在图1中，若AE=AD，其他条件不变得到图2，在图2中过点D作DF⊥AB于点F，H是EC的中
点，过点H作HG∥AB，交DF于点G，交DE于点M．
①求证：AF⋅MH=AM⋅AE；
3
②若AB=5，tan∠AMH= ，求GF的长．
412．（24-25九年级上·福建泉州·期中）如图1，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
点E是线段AD上一点，连接EB、EC．
（1）求证：EB=EC；
（2）过点D作DF⊥EB于点F，取AC的中点H，过点H作HG∥EB，交DF于点G，交DE于点M，
①如图2，若AE=ED，求证：EF⋅MH=EM⋅AE；
1
②如图3，若AE=EB=10，tan∠EAC= ，求GH的长．
313．（2023·四川资阳·模拟预测）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交
AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项．
（1）如图1，求证：∠ANE=∠DCE；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，连接AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长．14．（2024·吉林长春·二模）在矩形纸片ABCD中，AB=12,AD=10．点E是CD的中点．
（1）操作一：如图1，将这张纸片进行折叠，使点A的对应点A′落在CD边上，折痕为MN，点M与点D
重合，此时发现四边形AN A′D是正方形，请证明这个结论．
（2）操作二：如图2，重新折叠纸片，使点A与点E重合，折痕为MN，则AM=____________．
（3）操作三：如图3，在操作二的基础上继续折叠纸片，使点N与点E重合，点B落在B′处，折痕为HG，
连接HE，则sin∠EHG=____________．15．（2024·广东深圳·模拟预测）如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P、Q分别从C
点、A点同时以每秒1cm的速度出发，且分别在边CA，AB上沿C→A，A→B的方向运动，当点Q运动
到点B时，P、Q两点同时停止运动，连接PQ，设点P运动的时间为ts．
（1）如图1，在点P、Q运动过程中．
①点P与点D的最短距离为_________cm；②当PQ∥BC时，t的值为_________；
（2）作PE⊥PQ，PE与边BC相交于点E，连接QE，延长EP交边AD于点F．
①求∠APQ的正切值（用含t的代数式表示）；
②如图2，当t=5时，试探究线段AQ、QE、CE三者之间的等量关系，并加以证明；
AF
③如图3，连接FQ，若FQ平分∠AFE，直接写出 的值．
CE16．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图所示，等腰直角△ABC中，AB=AC，点D是BA延长线上一
点，连接CD，点E是CD上一点，连接BE，交AC于点F．
（1）如图1，若∠CBE=30°，CF=❑√2，求AF的长；
（2）如图2，过点A作AM⊥BF于点M，若BF=CD，试猜想AM、BE、CE之间的关系并推理说明；
（3）如图3，在（2）的条件下，若H为射线BD上一动点，△BGH为等腰直角三角形，且BG=GH，点
P为GH中点，若BC=2❑√5，CE=2，请直接写出EP+FP的最小值．17．（23-24九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AB=3，
AD=4，BC=8，点P从点A出发，沿AD以每秒2个单位的速度向终点D运动，点Q从点D出发，沿折线
D−C−B运动，在线段DC上以每秒5个单位长度的速度运动，在线段CB上以为每秒8个单位的速度运动，
设运动时间为t（t>0）．
（1）tanC=_________．
（2）当四边形PDCQ是平行四边形时，求t的值
（3）连接BP、PQ、BQ，当△BPQ是直角三角形时，求t的值．
（4）作点C、D关于直线PQ的对称点C′，D′，连接C′，D′，直接写出C′D′与AD平行或垂直时t的值．18．（2024·吉林长春·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P、Q分别
是边CA、BC上的两个动点，且PC=2BQ，以PQ，PC为邻边作平行四边形PQMC，作点B关于直线
PQ的对称点B′，设BQ=m(0≤m≤4)．
（1）当△PCQ的面积为8时，求m的值．
（2）当∠BQB′=2∠ABC时，求线段BB′的长．
CQ
（3）当点B′落在四边形PQMC的边上时，求 的值．
BB′
1
（4）直线BB′与四边形PQMC的一条边交于E点，若△CQE的面积是四边形PQMC面积的 时，直接写
4
出m的值．
