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专题 28.2 解直角三角形及其应用【九大题型】
【人教版】
【题型1 网格中解直角三角形】...........................................................................................................................1
【题型2 坐标系中解直角三角形】.....................................................................................................................2
【题型3 直接解直角三角形】...............................................................................................................................4
【题型4 化斜为直解非直角三角形】...................................................................................................................5
【题型5 在四边形中解直角三角形】...................................................................................................................6
【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】............................................................................................7
【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】............................................................................................9
【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】..............................................................................................11
【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】..........................................................................................13
【知识点1 直角三角形的边角关系】
（1）两锐角关系：
（2）三边关系： （勾股定理）
（3）边角关系： ， ，
【知识点2 解直角三角形的类型和解法】
已知条件 图形 解法
已知一直角边和一个锐
角
B
已知斜边和一个锐角
斜边 对
边
b
A C
邻边
已知两直角边
已知斜边和一条直角边
【题型1 网格中解直角三角形】【例1】（江苏省江阴市澄江片2022-2023学年九年级下学期期中考试数学试题）如图是由6个形状、大小
完全相同的菱形组成的网格，菱形的顶点称为格点．已知菱形的一个角（∠O）为120°，A、B、C都在格
点上，则tan∠ABC的值是________________．
【变式1-1】（2022年四川省广元市万达实验学校中考模拟数学试题）如图，A，B，C，D均为网格图中
的格点，线段AB与CD相交于点P，则∠APD的正切值为_______．
【变式1-2】（2022年福建省中考数学模拟试卷（六））如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网
格的格点上，则sin∠BAC=____．
【变式1-3】（2022年中考数学一轮复习讲练测（北京））如图所示的正方形网格中，A，B，C是网格线
交点，∠CAB的度数为__．
【题型2 坐标系中解直角三角形】
3
【例2】（2022·江苏·九年级专题练习）如图，直线y= x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的
4
3
直角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y= x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值
4为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
7 6 5 8
【变式2-1】（2022年黑龙江省佳木斯市前进区九年级中考三模数学试题）如图，在平面直角坐标系中，
点A 的坐标是(0,-1)，点A ，A ，A ，A ，A …所在直线与x轴交于点B (-2,0)，点B ，B ，B ，
1 1 2 3 4 5 0 1 2 3
B …都在x轴上，△A B B ，△A B B ，△A B B ，…都是等腰直角三角形，则等腰直角三角形
4 1 1 2 2 2 3 3 3 4
A B B 的腰长A B 为_______________．
2022 2022 2023 2022 2022
【变式2-2】（2022·四川泸州·中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点B的坐标为
4
(10，4)，四边形ABEF是菱形，且tan∠ABE= ．若直线l把矩形OABC和菱形ABEF组成的图形的面积分
3
成相等的两部分，则直线l的解析式为（ ）
3 15
A．y=3x B．y=- x+
4 2C．y=-2x+11 D．y=-2x+12
【变式2-3】（2022·河南·模拟预测）在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，
∠ABO=60°,CD为△AOB的中位线，过点D向x轴作垂线段，垂足为E，可得矩形CDEO．将矩形
CDEO沿着x轴向右平移，设斜边AB所在直线与矩形所围直角三角形的面积为S．已知点B的坐标为
(6,0)，当S=2√3时，矩形CDEO顶点D的坐标为__________．
【题型3 直接解直角三角形】
【例3】（2022年广东省深圳市宝安区中考数学备考冲刺题--模拟卷（四））如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，∠ABC=60°，∠BAC的角平分线EA与∠BCA的角平分线CD相交于点O，已知BD=4，OC=2√2
，则OE=_________．
【变式3-1】（2022-2023中考1年模拟数学分项汇编）如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，以AB为边作等
边三角形ABD，使点D与点C在AB同侧，连接CD，则CD=______．【变式3-2】（安徽省亳州市2022-2023学年九年级上学期教学质量调研三数学试题）如图，在Rt△ABC中，
3
∠ACB＝90°，CE是斜边AB上的中线，过点E作EF⊥AB交AC于点F．若BC＝4，tan∠CEF= ，则
4
AC的长为__________．
【变式3-3】（2022·湖北武汉·一模）在Rt△ABC中，∠ACB= ，点D为AB上一点．
（1）如图1，若CD⊥AB，求证：AC2=AD·AB； 90°
FH 4 AD
（2）如图2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且 = ，求 的值；
HE 9 BD
（3）如图3，若AC=BC，点H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，则tan∠ACH的值为________．
【题型4 化斜为直解非直角三角形】
【例4】（福建省泉州市第一中学2022-2023学年九年级上学期期中考试数学试题）如图，在等腰 ABC中，
AB=AC，AD平分∠BAC，点E在BA的延长线上，∠AEC=90°，ED=EC，DE交AC于点K，若EC=△10，
1
tan∠AED= ，则AK=_______．
2【变式4-1】（2022·湖北武汉·中考真题）如图．在 ABC中，∠ACB=60°，AC=1，D是边AB的中点，E是边
BC上一点．若DE平分 ABC的周长，则DE的长是_△____．
△
1
【变式4-2】（2022·江苏省洪泽县黄集中学一模））如图，在 ABC中，∠C=150°，AC=4，tanB= ．
8
△
（1）求BC的长；
（2）利用此图形求tan15°的值.
【变式4-3】（2022·四川广元·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边相
交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三
角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段
BD的长．【题型5 在四边形中解直角三角形】
【例5】（2022年广东省深圳市南山区南山外国语学校中考二模质量检测数学试题（5月））如图，在菱
形ABCD中，AB＝30，∠BCD=120°，点E在CD上，且DE＝10，BE交AC于点F，连接DF．现给出
5√57
以下结论：①△ABF≌△ADF；②AF:CF=3:2；③S =30√3；④sin∠AFD= 正确的是
△DEF 19
（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④
【变式5-1】（2022·广东·深圳市海滨中学模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且
AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tan∠DEC=_____．
【变式5-2】（2022·上海市静安区教育学院附属学校九年级期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，
∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，
则sin∠EFG=__________ ．
【变式5-3】（河南省郑州市中原区中原区第一中学2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试题）如
图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=8，点E是线段AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处
(A'在矩形内部)，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为__________．【题型6 解直角三角形的应用（坡度坡比问题）】
【例6】（2022·重庆八中九年级期末）为了消防安全，学校在校园广场步行梯（折线ABCD）处新建了学
生宿舍安全通道（折线AEF），其剖面示意图如图所示，广场步行梯AB，CD的坡角都是32°，且AB=6
米，CD=4米，水平部分BC=2.4米；新建安全通道中水平部分AE=3.9米，步梯EF的坡度i≈0.62（即
坡角的正切值）．新建安全通道顶端点F到广场步行梯底部所在水平面DG的距离DF的长约为（ ）（结
果精确到0.1米，参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.63）
A．8.8米 B．9.0米 C．9.4米 D．9.6米
【变式6-1】（2022·四川资阳·九年级期末）如图，在操场上的A处，测得旗杆顶端N点的仰角是30°，前
进20米后到达旗台的底端B处，测得旗杆顶端N点的仰角是45°，继续沿着坡比为1:√3的斜坡BC上升到
C处，此时又测得旗杆顶端N点的仰角是60°，旗杆MN垂直于水平线AD，点A、B、D在同一直线上，
CM//AD，求旗杆MN的高度．
【变式6-2】（2022·浙江嘉兴·九年级专题练习）为了监控危险路段的车辆行驶情况，通常会设置电子眼进
行区间测速．如图电子眼位于点P处，离地面的铅垂高度PQ为11米；离坡AB的最短距离是11.2米，坡
AB的坡比为3：4；电子眼照射在A 处时，电子眼的俯角为30°，电子眼照射在坡角点B处时，电子眼的
俯角为70°．（A、B、P、Q在同一平面内）(1)求路段BQ的长；（sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75）
(2)求路段AB的长；（√3≈1.7，结果保留整数）
(3)如图的这辆车看成矩形KLNM，车高2米，当PA过M点时开始测速，PB过M点时结束测速，若在这个
测速路段车辆所用的时间是1.5秒．该路段限速5米/秒，计算说明该车是否超速？
【变式6-3】（2022·上海市罗山中学九年级期中）图1是某区规划建设的过街天桥的侧面示意图，等腰梯
形ABCD的上底BC表示主跨桥，两腰AB，CD表示桥两侧的斜梯，A，D两点在地面上，已知AD＝
40m，设计桥高为4m，设计斜梯的坡度为1：2.4．点A左侧25m点P处有一棵古树，有关部门划定了以P
为圆心，半径为3m的圆形保护区．
(1)求主跨桥与桥两侧斜梯的长度之和；
(2)为了保证桥下大货车的安全通行，桥高要增加到5m，同时为了方便自行车及电动车上桥，新斜梯的坡
度要减小到1：4，新方案主跨桥的水平位置和长度保持不变．另外，新方案要修建一个缓坡MN作为轮椅
坡道，坡道终点N在左侧的新斜梯上，并在点N处安装无障碍电梯，坡道起点M在AP上，且不能影响到
古树的圆形保护区．已知点N距离地面的高度为0.9m，请利用表中的数据，通过计算判断轮椅坡道的设计
是否可行．
表：轮椅坡道的最大高度和水平长度
坡度 1：20 1：16 1：12 1：10 1：8
最大高度（m） 1.20 0.90 0.75 0.60 0.30
水平长度（m） 24.00 14.40 9.00 6.00 2.40【题型7 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】
【例7】（2022·重庆巴蜀中学九年级）如图，巴蜀中学旁边高36米的高楼AB正对着斜坡CD，点E在斜
坡处．已知斜坡的坡角∠DCG为30°，AB⊥BC，若点A、B、C、D、E在同一平面内，从点E处测得楼顶
A的仰角α为37°，楼底B的俯角β为24°，现计划在斜坡中点E处挖去部分斜坡，修建一个平行于水平线
BC的平台EF和一条新的斜坡DF，使新斜坡DF的坡比为√3：1．某施工队承接这项任务，为尽快完成任
务，增加了人手，实际工作效率提高到原计划的1.5倍，结果比原计划提前2天完成任务，施工队原计划
平均每天修建_________米？（结果保留1位小数）（参考数据：cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan24°≈0.45，
cos24°≈0.91）
【变式7-1】（2022·四川广元·中考真题）如图，某无人机爱好者在一小区外放飞无人机，当无人机飞行到
一定高度D点处时，无人机测得操控者A的俯角为75°，测得小区楼房BC顶端点C处的俯角为45°．已知
操控者A和小区楼房BC之间的距离为45米，小区楼房BC的高度为15√3米．
（1）求此时无人机的高度；
（2）在（1）条件下，若无人机保持现有高度沿平行于AB的方向，并以5米/秒的速度继续向前匀速飞行．
问：经过多少秒时，无人机刚好离开了操控者的视线？（假定点A，B，C，D都在同一平面内．参考数据：tan75°=2+√3，tan15°=2-√3．计算结果保留根号）
【变式7-2】（2022·山东聊城·中考真题）我市某辖区内的兴国寺有一座宋代仿木楼阁式空心砖塔，塔旁有
一棵唐代古槐，称为“宋塔唐槐”（如图①）．数学兴趣小组利用无人机测量古槐的高度，如图②所示，
当无人机从位于塔基B点与古槐底D点之间的地面H点，竖直起飞到正上方45米E点处时，测得塔AB的
顶端A和古槐CD的顶端C的俯角分别为26.6°和76°（点B，H，D三点在同一直线上）．已知塔高为39
米，塔基B与树底D的水平距离为20米，求古槐的高度（结果精确到1米）．（参考数据：
sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24，tan76°≈4.01
）
【变式7-3】（2022·四川自贡·九年级专题练习）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中
AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船
M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为
30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的
背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成这项
工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）
【题型8 解直角三角形的应用（方向角问题）】
【例8】（2022·河南·漯河市郾城区第二初级实验中学一模）在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到来自故障船C的求救信号，已知A、B相距 海里，C在A的北偏东60°方向上，
100(√3+1)
C在B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得C正好在观测点D的南偏东75°方向上．
(1)求AC和AD（运算结果若有根号，保留根号）；
(2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触
礁的危险？（参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73）
【变式8-1】（2022·黑龙江·大庆市庆新中学九年级阶段练习）如图，一艘军舰在A处测得小岛P位于南偏
东60°方向，向正东航行40海里后到达B处，此时测得小岛P位于南偏西75°方向，求小岛P离观测点
B的距离．
【变式8-2】（2022·内蒙古·乌海市第二中学九年级期末）如图，线段EF与MN表示某一段河的两岸，EF
平行MN．综合实践课上，同学们需要在河岸MN上测量这段河的宽度（EF与MN之间的距离），已知河
对岸EF上有建筑物C、D，且CD＝30米，同学们首先在河岸MN上选取点A处，用测角仪测得C建筑物
位于A北偏东45°方向，再沿河岸走10米到达B处，测得D建筑物位于B北偏东55°方向，请你根据所测
数据求出该段河的宽度，（用非特殊角的三角函数或根式表示即可）【变式8-3】（2022·山东泰安·模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游人
络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P 处的临皋亭和P
1 2
处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；
当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 处与遗爱
1
亭P 处之间的距离为 _____．（计算结果保留根号）
2
【题型9 解直角三角形的应用（实物建模问题）】
【例9】（2022·浙江温州·八年级期中）图1是一张可调节靠椅，调节示意图如图2，已知两支脚AB＝AC
＝10分米，BC＝12分米，O为AC上固定连接点，靠背OD＝10分米．档位为Ⅰ档时，OD∥AB．档位为
Ⅱ档时，OD⊥AC．当靠椅由Ⅰ档调节为Ⅱ档时，EF＝________分米．
【变式9-1】（2022·浙江·金华市南苑中学九年级期中）图1是一种儿童可折叠滑板车，该滑板车完全展开
后示意图如图2所示，由车架AB-CE-EF和两个大小相同的车轮组成，已知CD=25cm，DE=17cm，
4
cos∠ACD= ，当A，E，F在同一水平高度上时，∠CEF=135°，则AC=______cm；为方便存放，将
5
车架前部分绕着点D旋转至AB//EF，如图3所示，则d -d 为______cm．
1 2
【变式9-2】（2022·江西景德镇·九年级期中）如图1是一个水龙头的示意图，类似于字母“F”的形状，
将其抽象成如图2所示的截面图形，线段BE是一根固定的轴，线段AB，CD均垂直于线段BE，出水口在点D处，AB为自来水开关，AB⊥BC即为无水状态，将AB绕点B逆时针向上转动即是开水．若已知
BC=10cm，AB=20cm，CD=30cm．（参考数据，精确到0．1，sin34°=0.56，cos34°=0.83，
√2≈1.414，√3=1.732，25.0792=629）
(1)求出水龙头不开时，点A与出水口的距离；
(2)当BA向上旋转34°时，即是最大出水量，求出最大出水量时，点A与出水口的距离．
【变式9-3】（2022·江苏宿迁·一模）如图1是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置
在托板上，如图2是其侧面结构示意图．量得托板长AB=120mm，支撑板长CD=80mm，底座长
DE=90mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，且CB=40mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点
D转动．
(1)若∠DCB=80°，∠CDE=60°，求点A到直线DE的距离；
(2)为了观看舒适，在（1）的条件下，把AB绕点C逆时针旋转10°后，再将CD绕点D顺时针旋转，使点
B落在直线DE上．画出图形，并求CD旋转的角度；
（参考数据：sin40°≈0.643，cos40°≈0.766，tan40°≈0.839，sin26.6°≈0.448，cos26.6°≈0.894，
tan26.6°≈0.500，√3≈1.732．计算结果均精确到0.1）
