专题28.3模型构建专题：解直角三角形应用之四大基本模型（学生版）_初中数学_九年级数学下册（人教版）_重难点专题提优-V8

专题 28.3 模型构建专题：解直角三角形应用之四大基本模型 【考点导航】 目录 【典型例题】..................................................................................................................................................1 【类型一 “独立”型】....................................................................................................................................1 【类型二 “背靠背”型】................................................................................................................................5 【类型三 “叠合”型】..................................................................................................................................10 【类型四 “斜截”型】..................................................................................................................................16 【典型例题】 【类型一 “独立”型】 例题：（2023上·江苏常州·九年级统考期末）如图，某数学兴趣小组测量一棵树 的高度，小明站在点C 处测得树顶A的仰角为 ，若小明的测量点到地面距离 ，测量点与树底距离 ，则这 棵树 的高度是（ ） A．6m B． m C． m D． m 【变式训练】 1．（2023·湖北随州·统考模拟预测）一座楼梯的示意图如图所示， 是铅垂线， 是水平线，已知 米，楼梯宽度3米，则地毯面积为（ ）A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 2．（2023春·安徽淮南·九年级校联考阶段练习）如图，甲乙两楼相距30米，乙楼高度为36米，自甲楼楼 顶A处看乙楼楼顶B处仰角为30°，则甲楼高度为 米； 3．（2023上·吉林长春·九年级校联考阶段练习）如图，为了测量旗杆的高度 ，在离旗杆底部12米的A 处，用高 米的测角仪 测得旗杆顶端C处的仰角α为 ．求旗杆 的高．（精确到 米）[参考数 据： ， ， ] 4．（2023上·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考开学考试）北大壶滑雪场是我国重要的滑雪基地， 拥有国际标准雪道19条，其中青云大道某段坡长 为800米，坡角 ，求垂直落差 的高度． （结果保留整数：参考数据： ， ， ）5．（2023上·吉林长春·九年级吉林大学附属中学校考阶段练习）位于长春莲花山生态旅游度假区的冰雪新 天地，是人们冬季打卡的必选之地，其中的世界最长的大滑梯六条冰道并驾齐驱，如图是大滑梯示意图， 测得 米，坡角 ，求垂直落差 的高度．（结果保留整数，参考数据： ， ， ） 【类型二 “背靠背”型】 例题：（2023上·广东深圳·九年级深圳外国语学校校联考阶段练习）如图，无人机在塔树上方 处悬停， 测得塔顶 的俯角为 ，树顶 的俯角为 ，树高 为 米，无人机竖直高度 为60米， 、 、 在一条直线上，且 点到塔底 的距离比到树底 的距离多 米，求塔高 的值．（结果可保留根号， 参考数据： ， ， ）【变式训练】 1．（2023上·湖南岳阳·九年级校联考期中）某同学利用数学知识测量建筑物 的高度．他从点A出发 沿着坡度为i＝ 的斜坡 步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端D的仰角为 ，建筑物 底端E的俯角为 ．若 为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度 米，则此建筑物的高度 ， （结果保留根号）（ ， ， ） 2．（2023上·福建泉州·九年级校考期中）随着5G技术的进步与发展，中国大疆无人机享誉世界，生活中 的测量技术也与时俱进．某天，数学小达人小婉利用无人机来测量神农湖上A，B两点之间的距离（A，B 位于同一水平地面上），如图所示，小婉站在A处遥控空中C处的无人机，此时她的仰角为 ，无人机的 飞行高度为 ，并且无人机C测得湖岸边B处的俯角为 ，若小婉的身高， ， （点A，B，C，D在同一平面内）．求A、B两点之间的距离．（结果精确到1m， ） 3．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆实验外国语学校校考期中）校庆期间，小南同学从天津到北关中学瞻 仰张伯苓校长的雕塑，聆听学校的办校故事．他从沙坪坝火车站出站后，导航给出两条线路，如图：①A﹣E﹣D﹣M；②A﹣B﹣C﹣M．经勘测，点E在点A的北偏西 方向 米处，点D在点E的正北方 向200米处，点M在点D的正东方向250米处，点B在点E的正东方向，且在点A的北偏东 方向，点 C在点D的正东方向，且在点B的北偏西 方向． (1)求EB的长度；（结果保留根号） (2)由于时间原因，小南决定选择一条较短路线到达张伯苓校长的雕塑前，请计算说明他应该选择线路①还 是线路②？（参考数据 ， ， ， ， ） 【类型三 “叠合”型】 例题：（2023上·湖南邵阳·九年级统考期中）在一次数学综合实践活动中，小明计划测量城门大楼的高度， 如图，在点B处测得楼顶A的仰角为 ，他正对着城楼前进29米到达C处，再登上2米高的楼台D处， 并测得此时楼顶A的仰角为 ． (1)求城门大楼的高度； (2)每逢重大节日，城门大楼管理处都要在A，B之间拉上绳子，并在绳子上挂一些彩旗，请你求出A，B之 间的长度．（结果保留整数）（参考数据： ， ， ）【变式训练】 1．（2023上·山东淄博·九年级统考期中）如图，湖的旁边有一建筑物 ，某数学兴趣小组决定测量它的 高度．他们首先在点 处测得建筑物最高点 的仰角为 ，然后沿 方向前进12米到达 处，又测得 点 的仰角为 ．请你帮助该小组同学，计算建筑物 的高度约为 米．（结果精确到1米， 参考数据 ） 2．（2023·广东深圳·深圳市桂园中学校考模拟预测）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 ， 飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为 和 ．若飞机离地面的高度 为1600米，且 点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度 为 米（结果保留根号）． 3．（2023·江苏徐州·校考模拟预测）徐州新区欢乐世界．摩天轮高约130米（最高点到地面的距离）．如 图，点 是摩天轮的圆心， 是其垂直于地面的直径，小明在地面 处用测角仪测得摩天轮最高点 的 仰角为 ，测得圆心 的仰角为 ，求摩天轮的半径．（结果保留根号）4．（2023上·海南海口·九年级海南华侨中学校考期中）如图，在一个坡角位 的斜坡上有一棵树 ， 树高 米．当太阳光 与水平线成 角时，该树在斜坡上的树影恰好为线段 ． (1) ______ ， ______ ； (2)求树影 的长．（结果保留一位小数）（参考数据： ， ， ， ， ， ， ） 5．（2023上·黑龙江大庆·九年级校考阶段练习）为了维护国家主权和海洋权利，海监部门对我国领海实现 了常态化巡航管理， 如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时 40 海里的速度向正东方航行，在 A 处 测得 灯塔 P 在北偏东 60 °方向上，继续航行 1 小时到达 B 处，此时测得灯塔 P 在北偏东30 °方向上． (1)求 的度数； (2)已知在灯塔 P 的周围 30 海里内有暗礁，问海监船继续向正东方向航行是否安全？（【类型四 “斜截”型】 例题：（2023春·辽宁阜新·九年级校考阶段练习）如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，   100 31 现均收到故障船C的求救信号，已知A，B两船相距 海里，船C在船A的北偏东60方向上， 船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75方向上． (1)求出A与C之间的距离AC． (2)已知距观测点D处100海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触 2 1.41 31.73 暗礁危险？（参考数据： ， ） 【变式训练】 1．（2023·内蒙古·统考中考真题）某数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度CD．如图所示，一架 水平飞行的无人机在A处测得河流左岸C处的俯角为，无人机沿水平线AF 方向继续飞行12米至B处， D 30 AM 24 3 M C D 测得河流右岸 处的俯角为 ，线段 米为无人机距地面的铅直高度，点 ， ， 在同一 tan2 CD 31.7 条直线上，其中 ．求河流的宽度 （结果精确到1米，参考数据： ）．2．（2023上·湖北襄阳·九年级校考期中）如图，某渔船沿正东方向以30海里/小时的速度航行，在A处测 得岛C在北偏东 方向，20分钟后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东 方向，已知该岛C周围9海 里内有暗礁．（参考数据： ， ， ．） (1)如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由． (2)如果渔船在B处改为向东偏南 方向航行，有无触礁危险？说明理由． 3．（2023·辽宁·模拟预测）某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚 展开长度 ，遮阳棚前端自然下垂边的长度 ，遮阳棚固定点A距离地面高度 ，遮阳棚与墙面的夹角 ． (1)如图2，求遮阳棚前端B到墙面 的距离； (2)如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角 ，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度 的长（结果精确到 ）．（参考数据： ）