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专题 28.3 构造直角三角形解题四大题型
【人教版】
考卷信息：
本套训练卷共40题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可加强学生构造直角三角形解题四大题型的
理解！
【题型1 三角形作高法】
√3
1．（2023秋·江苏南通·九年级统考期末）如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=2√3，tanB= ，则
2
AB的长为（ ）
A．2+2√3 B．3+√3 C．4 D．5
3
2．（2023春·江苏·九年级专题练习）如图，直线y= x+3交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直
4
3
角顶点置于原点O，另两个顶点M、N恰落在直线y= x+3上，若N点在第二象限内，则tan∠AON的值
4
为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
7 6 5 8
3．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级哈尔滨市萧红中学校考阶段练习）在△ABC中，若AB=√58，3
tanB= ，AC=3√5，则BC= ．
7
4．（2023·天津河北·统考二模）如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=2√3，连接AC，点E在AC上，
∠DEF=90°,EC平分∠DEF,AE= ．
5．（2023·上海·九年级假期作业）如图，将平行四边形ABCD沿着对角线AC翻折，点B的对应点为M，
CM交AD于点N，如果∠B=76∘，∠ACM=∠DCM+10∘，且NC=m，那么平行四边形ABCD的周长
为 ．（参考数据：cos76∘≈0.24,tan76∘≈4）
6．（2023春·重庆·九年级重庆实验外国语学校校考期末）如图，在三角形ABC中，∠ACB＝90°，AB＝
5，AC＝4，点D、点E分别为线段AC、AB上的点，连结DE．将△ADE沿DE折叠，使点A落在BC的延
长线上的点F处，此时恰好有∠BFE＝30°，则CF的长度为_____．
7．（2023·山西·校联考二模）如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠BAC=∠BDE=90°，AB=AC，
∠DBC=30°，且点B，C，E在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD、AD，若BD=BC，
DE=8．则AD的长为 ．8．（2023春·上海静安·九年级上海市静安区教育学院附属学校校考期中）如图，在菱形纸片ABCD中，
AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．
AD上，则sin∠EFG= ．
9．（2023·山东潍坊·校考一模）如图，在RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=3，AC=5，∠ABC和
∠ACB的平分线相交于点D，过点D作DE//AC交BC于点E，那么DE的长为 ．
10．（2023春·江苏苏州·九年级苏州市景范中学校校考期末）如图，已知△ABC是面积为4√3的等边三角
形，△ABC∽△ADE ，
AB＝2AD，∠BAD＝45°，AC与DE相交于点F，则△AEF的面积
等于 （结果保留根号）．
11．（2023秋·全国·九年级校联考期中）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，D是边AB上一点，且
1
tan∠BCD=
2（1）试求sinB的值；
（2）试求△BCD的面积.
12．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图1，一副含30°和45°角的三角板ABC和DEF拼合在一个
平面上，边AC与EF重合．AC＝6，当点E从点A出发沿AC方向滑动时，点F同时从点C出发沿射线BC
方向滑动．
(1)如图2，点E在边AC上，点F在射线CG上，连接CD，求证：CD平分∠ACG；
(2)若AE＝0时，CD＝__________；AE＝3时，CD＝__________；
(3)当点E从点A滑动到点C时，则点D运动的路径长是__________．
【题型2 连接四边形不相邻两顶点法】
1.（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点A逆时针旋
转90°，点B，D分别落在点B'，D'处，如果点B'，D'，C在同一条直线上，那么tan∠DCD'的值为
( )√5 √5-1 1
A. B. C. 4 D.
2 2 2
2.（2023秋·湖南永州·九年级校考期中）菱形ABCD中，AE⊥BC于E，交BD于F点，下列结论：①BF
EF
为∠ABE的角平分线；②DF=2BF；③2AB2=DF⋅DB；④sin∠BAE= .其中正确的为
AF
( )
A. ①③ B. ①②④ C. ①④ D. ①③④
3.（2023秋·江苏盐城·九年级校联考期末）如图所示，将一副三角板摆放在一起，组成四边形ABCD，
∠ABC=∠ACD=90°，∠ADC=60°，∠ACB=45°，连接BD，则tan∠CBD的值为__________．
4.（2023·黑龙江哈尔滨·校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=6，AB⊥BC，AD⊥CD，
∠BAD=60°，点M、N分别在AB、AD边上，若AM：MB=AN：ND=1：2.则cos∠MCN=
________．5.（2023·河北邯郸·校考三模）如图，四边形ABCD，CEFG均为菱形，
1
∠A=∠F，连接BE，EG，EG//BC，EB⊥BC，若sin∠EGD= ，菱
3
形ABCD的周长为12，则菱形CEFG的周长为______ ．
6.（2023秋·云南普洱·九年级统考期末）如图，在△ABC中，D是AC边上的
中点，连结BD，把△BDC沿BD翻折，得到△BDCˈ，DC'与AB交于点E，
连结ACˈ，若AD=AC'=2，BD=3，则点D到BC'的距离为___________
7.（2023秋·浙江湖州·九年级统考期中）如图，四边形ABCD是平行四边形，延长AD至点E，使
DE=AD，连接BD、CE．
(1)求证：四边形BCED是平行四边形；
1
(2)若DA=DB=4，cosA= ，求点B到点E的距离．
4
8.（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，延长BA至点E，使AE=AB，连接DE，AC
(1)求证：四边形ACDE为平行四边形；
1
(2)连接CE交AD于点O，若AC=AB=3，cosB= ，求线段CE的长．
3
【题型3 梯形作高法】
1．（2023·河北·模拟预测）如图，将边长6cm的正方形纸片沿虚线剪开，剪成两个全等梯形．已知裁剪线
与正方形的一边夹角为60°，则梯形纸片中较短的底边长为（ ）
A．（3﹣√3）cm B．（3﹣2√3）cm C．（6﹣√3）cm D．（6﹣2√3）cm
5√3
2．（2023春·上海普陀·九年级统考期末）已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，AB＝ ，CD＝
2
5，那么∠D的度数是 ．
3．（2023·广东深圳·深圳市海滨中学校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CE⊥AB，且
AE=BE，连接DE，若AB=CD=CE=2，则tan∠DEC= ．4．（2023秋·山西临汾·九年级统考期末）为加强防汛工作，我县对小河口水库大坝进行了加固，如图，加
固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坝的坡面AB=12米，背水坝的坡面CD=12√3米，
3
∠B=60°，加固后水库大坝背水坡面为DE，已知tanE= √3，则CE长为 米．
13
5．（2023秋·上海·九年级上海市文来中学校考期中）在梯形ABCD中，AB∥DC，∠B＝90°，
3
BC＝6，CD＝2，tanA= ．点E为BC上一点，过点E作EF∥AD交边AB于点F．将△BEF沿直线
4
EF翻折得到△GEF，当EG过点D时，BE的长为 ．
6．（2023·北京大兴·统考一模）已知，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝√3，BC＝3，在BC边上取两点
E，F（点E在点F左侧），以EF为边作等边三角形DEF，使顶点D与E在边AC异侧，DE，DF分别交
AC于点G，H，连结AD.
（1）如图1，求证：DE⊥AC；（2）如图2，若∠DAC＝30°， DEF的边EF在线段BC上移动.写出DH与BE的数量关系并证明；
（3）若30°＜∠DAC＜60°， D△EF的周长为m，则m的取值范围是 .
7．（2023·安徽合肥·校联考一△模）将一副直角三角板如图①摆放，能够发现等腰直角三角板ABC的斜边
与含30°角的直角三角板DEF的长直角边DE重合．DF=8．
（1）若P是BC上的一个动点，当PA=DF时，求此时∠PAB的度数；
（2）将图①中的等腰直角三角板ABC绕点B顺时针旋转30°，点C落在BF上，AC与BD交于点O，连
接CD，如图②．
①求证：AD∥BF；
②若P是BC的中点，连接FP，将等腰直角三角板ABC绕点B继续旋转，当旋转角α= 时，FP长度最大，
最大值为 （直接写出答案即可）．
8．（2023·江苏·模拟预测）如图，梯形ABCD是某水坝的横截面示意图，其中AB=CD，坝顶BC=2m，
坝高CH=5m，迎水坡AB的坡度为i=1:1．
(1)求坝底AD的长；
(2)为了提高堤坝防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡加固该堤坝，要求坝顶加宽0.5m，背水坡坡角改
为α=30°．求加固总长5千米的堤坝共需多少土方？（参考数据：π≈3.14,√2≈1.41,√3≈1.73；结果精
确到0.1m3）
9．（2023春·上海·九年级专题练习）已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=4，BC=6，
E是线段CD上一点，连接BE．(1)如图1，如果AD=1，且CE=3DE，求∠ABE的正切值；
(2)如图2，如果BE⊥CD，且CE=2DE，求AD的长；
(3)如果BE⊥CD，且△ABE是等腰三角形，求△ABE的面积．
10．（2023·江苏无锡·模拟预测）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DC=6cm，AD=4cm，
BC=20cm，∠C=60°.点P从点A出发沿折线AD→DC方向向点C匀速运动，速度为1cm/s；点Q从点
B出发，沿BC方向向点C匀速运动，速度为2cm/s，P、Q同时出发，且其中任意一点到达终点，另一点
也随之停止运动，设点P、Q运动的时间是t(s)．
(1)当点P在AD上运动时，如图①，DE⊥CD，是否存在某一时刻t，使四边形PQED是平行四边形？若
存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；
(2)当点P在DC上运动时，如图②，设△PQC的面积为S，试求出S与t的函数关系式；
2
(3)是否存在某一时刻t，使△PQC的面积是梯形ABCD的面积的 ？若存在，求出t的值；若不存在，请说
9
明理由；
(4)在（2）的条件下，设PQ的长为xcm，试确定S与x之间的关系式．
11．（2023春·湖北宜昌·九年级校考期中）如图，在梯形ABCD中，AB//DC，∠BCD=90∘，且
AB=1，BC=2，tan∠ADC=2．
（1）求证：DC=BC；
（2）E是梯形内一点，F是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC，DE=BF，当BE:CE=1:2，
∠BEC=135∘时，求sin∠BFE的值．12．（2023·河北沧州·统考模拟预测）为了传承红色教育，某学校组织学生网上游览中央红军长征出发地
纪念园，门口的主题雕塑平面示意图如图所示，底座上方四边形GDEF的边DE与底座四边形ABCD的边
AD在同一条直线上，已知AB∥CD∥EF，AD=BC=1.6米，∠FGC=∠A，雕塑的高为7.5米，底座
梯形下底边AB长为8.6米，斜坡的坡度为3:1．
(1)判断四边形DEFG的形状；
(2)求底座四边形ABCD中CD的长度；
(3)若雕塑中弧PH所在圆的圆心为点D，且点P为边DE的三等分点，求弧PH的长度．（精确到0.1，
sin72o≈0.95，cos72o≈0.31，tan72o≈3，√10≈3.2）
【题型4 连接两点构造垂直法】
1.（2023秋·浙江湖州·九年级统考期末）如图，E为边长为1的正方形ABCD的对
角线BD上一点，且BE=BC，P为CE上任一点，PQ⊥BC于Q，PR⊥BE于
2-√2
R.有下列结论：①△PCQ △PER；②S = ；
△DCE 4
∽
√2
③tan∠DCE=√2-1；④PQ+PR= .其中正确的结论的个数是( )
2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.（2023秋·山东菏泽·九年级校联考期中）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，tanC=2，BD⊥AC于点D，点G是底边BC上一点，过点G向两腰作垂线段，垂足分别为E、F，若
BD=4，GE=1.5，则BF的长度为( )
A. 0.75 B. 0.8 C. 1.25 D. 1.35
3.（2023春·浙江宁波·九年级校联考期末）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10√2，AB=10，D
为BC边的中点，连接AD，将△ABD沿AD折叠得到△AED，连接EC.若△ACE的面积为10，则点E到
BC边的距离为( )
3 5√2
A. B. C. 3 D. 4
2 2
4.（2023秋·上海·九年级上海市文来中学校考期中）如图，在Rt△ABC中，
4
∠C=90°，斜边AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E.若AC=8，tanB= ，
3
那么AE=______．
5.（2023秋·宁夏银川·九年级银川市第三中学校考期中）如图，在△ABC中，∠A=90°，BC=10，
3
sin∠B= ，D是BC边上的一个动点(异于B、C两点)，过点D分别作AB、AC边的垂线，垂足分别为E、
5
F，则EF的最小值是 ．
6.（2023秋·河北保定·九年级统考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，BC和DE相交于点O，点D落在线段AB上，连接BE．
(1)若∠ABC=20°，则∠BCE=______；
(2)若BE=BD，则tan∠ABC=______．
7.（2023秋·四川内江·九年级校考期中）如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD=AB，E，F分别是
2
AC，BD的中点，AC=6，sinC= ，求EF，CF的长．
3
8.（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）已知：如图，在△ABC中，D是边BC的中点，E、F分别是
4
BD、AC的中点，且AB=AD，AC=10，sinC= .求：
5
(1)线段EF的长；
(2)∠B的余弦值．
