文档内容
专题 28.3 解直角三角形的有关的计算
◆ 典例分析
1
【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC=4,cosB= ，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点
4
F，交BC的延长线于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EFC的正弦值．
【思路点拨】
此题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质．
BM
（1）过A作AM⊥BC于点M，在Rt△AMB中通过cosB= ，求出BC=2即可求解；
AB
BH 1
（2）过C作CH⊥AB于点H，在Rt△CHB中通过cosB= ，求出BH= 即可．
BC 2
【解题过程】
（1）如图，过A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC，
∴CM=BM，
BM 1
在Rt△AMB中，cosB= = ，
AB 4
∴BM=CM=1，
∴BC=2，
∵ED垂直平分AB，AB=AC=4，1
∴BD=AD= AB=2，
2
1 BD
∵cosB= = ，
4 BE
∴BE=8，
∴CE=BE−BC=8−2=6；
（2）如图，过C作CH⊥AB于点H，
∴∠CHB=90°，
BH 1 BH 1
在Rt△CHB中，cosB= = ，即 = ，
BC 4 2 4
1
∴BH= ，
2
1 7
∴AH=AB−BH=4− = ，
2 2
7
∴ AH 2 7．
sin∠EFC= = =
AB 4 8
◆ 学霸必刷
13
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AE、CE、CB为⊙O的弦，AO= ，
2
AE=12，则sin∠BCE=（）
5 13 5 12
A． B． C． D．
12 12 13 5
【思路点拨】本题考查圆周角定理，解直角三角形，连接BE，由圆周角定理得到∠AEB=90°, ∠A=∠BCE,由勾股
BE 5
定理求出BE=❑√AB2−AE2=5,求出sin∠A= = ，即可得到sin∠BCE的值，解题的关键是由圆
AB 13
周角定理得到∠AEB=90°,∠A=∠BCE,掌握锐角的正弦定义．
【解题过程】
解：如图，连接BE，
∵AB是圆的直径，
∴∠AEB=90°,
13
∵AO= ,
2
∴AB=2AO=13,
∵AE=12,
∴BE=❑√AB2−AE2=❑√132−122=5，
BE 5
∴sin∠A= = ,
AB 13
∵∠A=∠BCE,
5
∴sin∠BCE=
13
故选：C．
2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，若BC=10，∠B=60°，∠C=45°，则点A到
BC的距离是（ ）
A．10−5❑√3 B．5+5❑√3 C．15−5❑√3 D．15−10❑√3【思路点拨】
本题考查了解直角三角形，构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的方法是正确解决本题的关键．
作AD⊥BC于D，在Rt△ABD和Rt△ADC中，可将BD和CD用含AD的函数式表示出来，再根据BC的
长可将点A到BC的距离即AD的长求出．
【解题过程】
解：作AD⊥BC于D，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠B=60°，
AD
∴tanB= =❑√3，
BD
∴AD=❑√3BD，
∵∠C=45°，
AD
∴tanC= =1，
CD
∴AD=CD，
∴BC=BD+CD=BD+AD=(1+❑√3)BD=10，
∴BD=5❑√3−5，
∴AD=15−5❑√3，
故选： C．
4
3．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在▱ABCD中，AD=5，AB=12，sin A= ，过点D作
5
DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，则sin∠BCE的值为（ ）9❑√10 6❑√10
A．3 B．5 C． D．
50 25
【思路点拨】
此题考查了解直角三角形，平行四边形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
过点B作BF⊥EC于点F，由平行四边形的性质得到BC=AD=5，CD=AB=12，解直角三角形得到
DE=4，然后利用勾股定理求出CE=❑√CD2+DE2=4❑√10，然后利用等面积法求出
BE⋅DE 9❑√10
BF= = ，然后利用正弦值的概念求解即可．
CE 10
【解题过程】
解：过点B作BF⊥EC于点F．
∵在平行四边形ABCD中，DE⊥AB，
∴BC=AD=5，CD=AB=12，
DE 4 DE 4
∴sinA= = ，即 =
AD 5 5 5
∴DE=4
∴AE=❑√AD2−DE2=3，
∴BE=AB−AE=12−3=9，
∴CE=❑√CD2+DE2=4❑√10．
1 1
∵S = BE⋅DE= CE⋅BF，
△BCE 2 2
BE⋅DE 9❑√10
∴BF= = ，
CE 10
BF 9❑√10
∴sin∠BCE= = ．
BC 50
故选：C．
4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，延长等腰直角△ABC的斜边AB到D，使BD=3AB，连接CD，则tan∠BCD的值为（ ）
1 4 3
A． B． C． D．3
4 3 4
【思路点拨】
本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，解直角三角形，熟练解直角三角形是解题的关键．过
点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=❑√2a，由等腰直角三角形的
性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=3AB=3❑√2a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=3a，
BE=3a，进而求得CE=BC+BE=4a即可求得tan∠BCD．
【解题过程】
解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，
∵等腰直角△ABC的斜边为AB，
∴∠ACB=90°，AC=BC，
∴AC⊥BC，∠ABC=∠BAC，
设AC=BC=a，
∴AB=❑√AC2+BC2=❑√2a，∠ABC+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=3AB=3❑√2a，
∴∠DBE=∠ABC=45°，
∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=3❑√2a⋅sin45°=3a， BE=BD·cos∠DBE=2❑√2a⋅cos45°=3a，
∴CE=BC+BE=4a，
DE 3a 3
∴tan∠BCD= = = ，
CE 4a 4
故选：C．
5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形ABCD中(AB>CD)，∠ABC=∠BCD=90°，
❑√3
AB=3，BC=❑√3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED= ．则线段DE的长度为
2
（ ）
❑√7 ❑√7 ❑√3 2❑√3
A． B． C． D．
5 3 2 3
【思路点拨】
本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、等腰三角形的判定、勾股定理、折叠等，熟练
掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．
根据已知，易求得AC=2❑√3，延长CD交AE于F，可得AF=CF=2，则EF=1，再过点D作DG⊥EF，
设DG=❑√3x，则¿=2x，ED=❑√7x，FG=1−2x，在Rt△FGD中，根据❑√3FG=GD，代入数值，即
可求解．
【解题过程】
解：∵ ∠B=90°，BC=❑√3，AB=3，
∴∠BAC=30°，
∴AC=2❑√3，
∵∠DCB=90°，
∴CD∥AB，
∴∠DCA=30°，延长CD交AE于F，
∴ AF=CF=2，则EF=1，∠EFD=60° ，
过点D作DG⊥EF，设DG=❑√3x，则¿=2x，ED=❑√7x，∴FG=1−2x，
∴在Rt△FGD中，❑√3FG=GD，即❑√3(1−2x)=❑√3x，
1
解得：x= ，
3
❑√7
∴ED= ．
3
故选：B．
6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2❑√3，则
S = ．
△ABC
【思路点拨】
本题考查了解直角三角形，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．过点C作CD⊥AB于点D，先在
Rt△ACD中，解直角三角形可得AD,CD的长，再在Rt△BCD中，解直角三角形可得BD的长，从而可
得AB的长，然后利用三角形的面积公式求解即可得．
【解题过程】
解：如图，过点C作CD⊥AB于点D，
∵∠A=30°，AC=2❑√3，
∴AD=AC⋅cosA=3，CD=AC⋅sin A=❑√3，
∵∠B=45°，CD
∴BD= =❑√3，
tanB
∴AB=AD+BD=3+❑√3，
1 1 3+3❑√3
∴S = AB⋅CD= ×(3+❑√3)×❑√3= ，
△ABC 2 2 2
3+3❑√3
故答案为： ．
2
7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，BC=5，对角线
3
BD平分∠ABC．cos∠ABD= ，则△BCD的面积为 ．
5
【思路点拨】
本题主要考查了解直角三角形，角平分线的定义，根据题目的已知条件作出正确的辅助线是解题的关键．
过点D作DE⊥BC，垂足为E，利用角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，求出BD的长度，利用勾股
定理求出DE的长度，然后利用三角形的面积进行计算即可．
【解题过程】
解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，
3
∵对角线BD平分∠ABC．cos∠ABD= ，
5
∴ ∠ABD=∠CBD，
3
∴ cos∠CBD= ，
5
∵ ∠A=90°，AB=3，AB 3
∴ cos∠ABD= = ，
BD 5
∴BD=5，
BE 3
∵ cos∠CBD= = ，
BD 5
∴BE=3，
∴DE=❑√BD2−BE2=4，
1 1
∴S = ×BC⋅DE= ×5×4=10．
△BCD 2 2
故答案为：10．
8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点D是△ABC内一点，连接AD,CD,AD=AB=BC．
若∠ACD=30°，CD=2，tan∠BAC=1，则△ADC的面积是 ．
【思路点拨】
BF
过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，，结合CD=2，tan∠BAC=1，得到 =1，
AF
设设BF=AF=x，则AD=AB=BC=❑√2x，AC=2x，利用勾股定理，解方程求解即可．
【解题过程】
解：过点D作DE⊥AC于点E，过点B作BF⊥AC于点F，
∵AD=AB=BC，
∴AC=2AF=2CF，
BF
tan∠BAC= ，
AF
AD=AB=BC=❑√BF2+AF2，
∵CD=2，tan∠BAC=1，∠ACD=30°，BF 1
∴ =1，DE= CD=1，CE=❑√CD2−DE2=❑√3，
AF 2
设BF=AF=x，
则AD=AB=BC=❑√BF2+AF2=❑√2x，AC=2x，
根据题意AC=2x>2，
∴AE=❑√AD2−DE2=❑√2x2−1，
∵AE=AC−CE，
∴❑√2x2−1=2x−❑√3，
整理，得x2−2❑√3x+2=0，
解得x =❑√3+1，x =❑√3−1（舍去）
1 2
∴AC=2x=2❑√3+2，
1
∴S = ×(2❑√3+2)×1=❑√3+1．
△ACD 2
故答案为：❑√3+1．
4
9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,tanA= ,CD⊥AB于点D,E
5
EG
为AC上一点，EF⊥BC于点F，交CD于点G．则 = ．
CF
【思路点拨】
本题考查了锐角三角函数，勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解
答本题的关键．设CD=4x,AD=5x，由勾股定理得AB=AC=❑√41x，证明△BDC∽△CFE得BD CF ❑√41−5 BD FG ❑√41−5
= = ，证明△BDC∽△GFC得 = = ，然后根据
CD EF 4 CD CF 4
EF−EG EF EG ❑√41−5
= − = 即可求解．
CF CF CF 4
【解题过程】
解：∵CD⊥AB，
CD 4
∴tanA= = ．
AD 5
设CD=4x,AD=5x，
∴AB=AC=❑√AD2+CD2=❑√41x，
∴BD=AB−AD=(❑√41−5)x．
∵AB=AC，
∴∠B=∠ECF．
∵EF⊥BC，
∴∠BDC=∠EFC=90°，
∴△BDC∽△CFE，
BD CF (❑√41−5)x ❑√41−5
∴ = = = ．
CD EF 4x 4
∵∠BCD=∠FCG，
∴△BDC∽△GFC，
BD FG ❑√41−5
∴ = = ，
CD CF 4
FG CF ❑√41−5
∴ = = ，
CF EF 4
EF−EG EF EG ❑√41−5
∴ = − = ，
CF CF CF 4
CF ❑√41−5
∵ = ，
EF 4
EF 4 ❑√41+5
∴ = = ，
CF ❑√41−5 4
EG ❑√41+5 ❑√41−5 5
∴ = − = ．
CF 4 4 25
故答案为： ．
2
10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AD、BC、
12
AB上，连接EF、EG，若tan∠EFC= ，EG=EF，BF=ED=7，则线段AG的长为 ．
5
【思路点拨】
本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、勾股定理、正方形的性质，作EH⊥BC于H，则
EH 12
∠EHC=∠EHB=90°，解直角三角形得出 = ，设EH=12a，则FH=5a，则
FH 5
¿=EF=❑√FH2+EH2=13a，证明四边形AEHB、CDEH为矩形，得出CH=DE=7，
AE=BH=BF+FH=7+5a，DC=EH=12a，求出a=2，得出AD=12a=24，¿=EF=13a=26，再
求出AE=AD−DE=17，最后由勾股定理即可得解．
【解题过程】
解：如图，作EH⊥BC于H，则∠EHC=∠EHB=90°，
12
∵tan∠EFC= ，
5EH 12
∴ = ，
FH 5
设EH=12a，则FH=5a，
∴¿=EF=❑√FH2+EH2=13a，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=∠EHC=∠EHB=90°，AD=BC=DC，
∴四边形AEHB、CDEH为矩形，
∴CH=DE=7，AE=BH=BF+FH=7+5a，DC=EH=12a，
∴BC=BH+CH=7+5a+7=14+5a，
∴14+5a=12a，
∴a=2，
∴AD=12a=24，¿=EF=13a=26，
∴AE=AD−DE=17，
∴AG=❑√GE2−AE2=3❑√43，
故答案为：3❑√43．
11．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，四边形ABCD中，
∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD>90°，
AC⊥BC，若 AB=2，AD=❑√2，则BD的长为 ．
【思路点拨】
本题考查了勾股定理，解直角三角形、相似三角形的性质和判定，正确作出辅助线，正确运用相关性质定
理是解题的关键．
❑√2 ❑√6
过A作AE⊥DC于E，用三角函数求出DE= ,AE= ，证△ACE∽△DCF，得
2 2
1+❑√3 3+❑√3
DF=CF= ,BF=BC+CF= ，进而可得答案．
2 2【解题过程】
解：过A作AE⊥DC于E，作DF⊥BC于F，与BC的延长线交于点F，
∵∠ADC=60°，AD=❑√2，
1 ❑√2
∴DE=cos∠ADC×AD= ×❑√2= ，
2 2
❑√3 ❑√6
∴AE=sin∠ADC×AD= ×❑√2= ，
2 2
∵∠ABC=60°，AB=2，AC⊥BC，
1 ❑√3
∴在△ABC中，BC=cos∠ABC×AB= ×2=1,AC=sin∠∠ABC×AB= ×2=❑√3，
2 2
∴Rt△ACE中，CE=❑√AC2−AE2=❑
√
(❑√3) 2 −
(❑√6) 2
=
❑√6
，
2 2
∴AE=CE，
∴∠EAC=∠ECA=45°，
∴∠DCF=∠ECA=45°，
∵∠F=∠AEC=90°，
∴△ACE∽△DCF，
DF DC
∴ = ，
AE AC
❑√2 ❑√6
+
DF 2 2 1+❑√3
∴ = ，得DF=CF= ，
❑√6 ❑√3 2
2
3+❑√3
∴BF=BC+CF= ，
21+❑√3
DF 2 ❑√3
∴Rt△BDF中，tan∠DBF= = = ，
BF 3+❑√3 3
2
∴∠DBF=30°，
1+❑√3
DF 2
∴BD= = =1+❑√3．
sin30° 1
2
故答案为：1+❑√3
12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，
4
∠A=90°，BD=7，cosB= ，tan∠CDA=2，求AC．
5
【思路点拨】
本题考查了三角函数的运用和勾股定理的应用，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．根据
4 5 35
tan∠CDA=2，求出2AD=AC，设AD=x，则AC=2x，再根据cos∠B= ，求出BC= AC+ ，
5 8 4
再利用勾股定理求解即可．
【解题过程】
解：∵Rt△ADC中，∠A=90°，tan∠CDA=2，
AC
∴tan∠CDA= =2，
AD
∴2AD=AC，
设AD=x，则AC=2x，
4
在Rt△ABC中，∠A=90°,BD=7，cos∠B= ，
5
∴AB=AD+BD=7+x，
AB 7+x 4
∴cos∠B= = = ，
BC BC 535+5x
∴BC= ，
4
在Rt△ABC中，AB2+AC2=BC2，即(7+x) 2+(2x) 2=
(35+5x) 2
，
4
整理得：55x2−126x−441=0，即(5x−21)(11x+21)=0，
21 11
解得：x= 或x=− （舍去）
5 21
42
AC=2x= ．
5
13．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=12，
3 12
tan∠BAD= ，sinC= ．
4 13
（1）求BD的长；
（2）求BC的长．
【思路点拨】
BD 3 BD 3
（1）由AD⊥BC，则∠ADB=∠ADC=90°，通过tan∠BAD= = ，则 = ，求出BD即可；
AD 4 12 4
AD 12 12 12
（2）由AD⊥BC，则∠ADB=∠ADC=90°，通过sinC= = ，则 = ，求出AC=13，然
AC 13 AC 13
后由勾股定理得CD=5，最后用线段和差即可求解；
本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【解题过程】
（1）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
BD 3
在Rt△ABD中，tan∠BAD= = ，
AD 4
∵AD=12，BD 3
∴ = ，
12 4
∴BD=9，
∴BD的长为9；
（2）解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
AD 12
在Rt△ADC中，sinC= = ，
AC 13
∵AD=12，
12 12
∴ = ，
AC 13
∴AC=13，
∴由勾股定理得：CD=❑√AC2−AD2=❑√132−122=5，
由（1）得：BD=9，
∴BC=BD+CD=9+5=14，
∴BC的长为14．
14．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D，
AD 3
= ，求tan∠B的值．
DB 2
【思路点拨】
AD CD
本题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．证明△ACD∽△CBD得 = ，设
CD DB
AD=3a,DB=2a，求出CD=❑√6a，然后根据正切的定义求解即可．
【解题过程】
解：∵CD⊥AB，
∴∠CDA=∠CDB=90°，
∴∠A+∠ACD=90°，∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠BCD=90°，
∴∠A=∠BCD，
∴△ACD∽△CBD，
AD CD
∴ = ，
CD DB
∴CD2=AD⋅DB，
AD 3
∵ = ，
DB 2
设AD=3a,DB=2a，
则CD2=3a⋅2a=6a2，
∴CD=❑√6a，
CD ❑√6
∴tan∠B= = ．
DB 2
15．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12．
（1）求sinB的值；
（2）延长BC至点D，使得∠ADB=30°，求CD的长．
【思路点拨】
本题考查三角函数求值，等腰三角形性质，勾股定理．
（1）过点A作BC的垂线，垂足为M，利用等腰三角形性质得到BM=CM=6，然后根据勾股定理求出
AM=❑√82−62=2❑√7，然后利用正弦的概念求解即可；
AM
（2）根据题意利用tanD= 即可求出本题答案．
DM
【解题过程】
（1）解：过点A作BC的垂线，垂足为M，∵AB=AC，BC=12，
∴BM=CM=6．
在Rt△ABM中，AM=❑√82−62=2❑√7，
AM 2❑√7 ❑√7
∴sinB= = = ．
AB 8 4
AM 2❑√7 ❑√3
（2）解：在Rt△ADM中，tanD= ，即 = ，
DM DM 3
∴DM=2❑√21，
∴CD=DM−CM=2❑√21−6．
16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC，AB上，
3
BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，sinA= ．
5
（1）求CD的长．
（2）求tan∠DBC的值．
【思路点拨】
3
（1）由DE⊥AB，AE=8，sinA= ，并结合勾股定理可求出DE、AD的长，由角平分线的性质可得
5
CD=DE，即可获得答案；
BC 3
（2）首先证明Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，由全等三角形的性质可得BC=BE，然后由sin A= = ，
AB 5
求出BC的长，从而求出tan∠DBC的值．
【解题过程】
（1）解：∵DE⊥AB，AE=8，DE 3
在Rt△ADE，sinA= = ，
AD 5
设DE=3x，AD=5x，
由勾股定理可得DE2+AE2=AD2，即(3x) 2+82=(5x) 2，
解得 x=−2（舍去）或x=2，
∴DE=6，AD=10，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，∠C=90°，
∴CD=DE=6；
（2）解：∵DE⊥AB，∠C=90°，CD=DE，
又∵BD=BD，
∴Rt△BCD≌Rt△BED(HL)，
∴BC=BE，
设BC=BE= y，
BC BC y 3
在Rt△ABC中，sinA= = = = ，
AB AE+BE 8+ y 5
解得y=12，即BC=BE=12，
CD 6 1
∴在Rt△BCD中，tan∠DBC= = = ．
BC 12 2
17．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，
3
已知折痕AE=5❑√5，且tan∠EFC= ，那么矩形ABCD的周长为？
4
【思路点拨】
根据tan∠EFC的值，可设CE=3k，在Rt△EFC中可得CF=4k，EF=DE=5k，根据
∠BAF=∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在Rt△AEF中利用勾股定理求出k，继而代入可得
出答案．【解题过程】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，∠B=∠C=∠D=90°，
由折叠的性质得：∠AFE=∠D=90°，EF=ED，AF=AD，
CE 3
∵tan∠EFC= = ，
CF 4
∴设CE=3k，则CF=4k，
由勾股定理得： DE=EF=❑√(3k) 2+(4k) 2=5k，
∴DC=AB=3k+5k=8k，
∵∠AFB=∠BAF=90°，∠AFB+∠EFC=90°，
∴∠BAF=∠EFC，
BF 3
∴tan∠BAF= =tan∠EFC= ，
AB 4
∴BF=6k，AF=BC=AD=10k，
在Rt△AFE中，由勾股定理得：
AE=❑√AF2+EF2=❑√(10k) 2+(5k) 2=5❑√5k=5❑√5，
∴k=1，
∴矩形ABCD的周长为2(AB+BC)=2(8k+10k)=36．
18．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是A´B的中点，CD与AB交于
点E，F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
1
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF=4，tan∠BDC= ，求AG的长．
2
【思路点拨】
本题考查了切线的判定，同弧所对的圆周角相等，勾股定理，相似三角形的性质与判定，综合运用以上知
识是解题的关键．（1）连接OC，OD．由∠OCD=∠ODC，FC=FE，可得∠OED=∠FCE，由AB是⊙O的直径，D
是A´B的中点，∠DOE=90°，进而可得∠OCF=90°，即可证明CF为⊙O的切线；
（2）连接BC，过G作GH⊥AB，垂足为H．利用相似三角形的性质求出BF=2，设⊙O的半径为r，则
OF=r+2．在Rt△OCF中，勾股定理求得r=3，证明GH∥DO，得出△BHG∽△BOD，根据
BH BG
= ，求得BH,GH，进而求得AH，根据勾股定理即可求得AG．
BO BD
【解题过程】
（1）证明：如图，连接OC，OD．
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC．
∵FC=FE，
∴∠FCE=∠FEC．
∵∠OED=∠FEC，
∴∠OED=∠FCE．
∵AB是⊙O的直径，D是A´B的中点，则OD⊥AB，
∴∠DOE=90°．
∴∠OED+∠ODC=90°．
∴∠FCE+∠OCD=90°，即∠OCF=90°．
∴OC⊥CF．
∴CF为⊙O的切线．
（2）解：如图，连接BC，过G作GH⊥AB，垂足为H．∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OBC+∠FAC=90°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠FCO=∠FCB+∠OCB=90°，
∴∠FCB=∠FAC，
∵∠F=∠F，
∴△FCB∽△FAC，
FC BC FC FB
∴ = ， = ，
FA AC FA FC
BC 1
∵CF=4，tan∠BDC=tan∠BAC= = ，
AC 2
∴AF=8，
4 FB
∴ = ，解得FB=2，
8 4
设⊙O的半径为r，则AF=2r+2=8．
解之得r=3．
∵GH⊥AB，
∴∠GHB=90°．
∵∠DOE=90°，
∴∠GHB=∠DOE．
∴GH∥DO．
∴△BHG∽△BOD
BH BG
∴ = ．
BO BD
∵G为BD中点，
1
∴BG= BD．
2
1 3 1 3
∴BH= BO= ，GH= OD= ．
2 2 2 2
3 9
∴AH=AB−BH=6− = ．
2 2∴AG=❑√GH2+AH2=❑
√ (3) 2
+
(9) 2
=
3
❑√10．
2 2 2
19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，△ABC中，AB=6❑√2，D为AB中点，
❑√2
∠BAC=∠BCD，cos∠ADC= ，⊙O是△ACD的外接圆．
4
（1）求BC的长；
（2）求证：BC是⊙O的切线；
（3）求⊙O的半径．
【思路点拨】
（1）证明△BAC∽△BCD，得到BC2=AB⋅BD，即可解答；
（2）连接OC，并延长交⊙O于F，连接AF，证明OC⊥BC即可；
3
（3）过点A作AE⊥CD，垂足为E，在Rt△AED中，通过解直角三角形得到DE= ，
2
3❑√7 AC AB
AE=❑√AD2−DE2= ，由△BAC∽△BCD得到 = =❑√2．设CD=x，则AC=❑√2x，
2 CD BC
3
CE=CD−DE=x− ．在Rt△ACE中，根据勾股定理构造方程，求得CD=3，AC=3❑√2．由
2
12❑√7
∠AFC=∠ADC得到sin∠AFC=sin∠ADC，根据正弦的定义即可求出CF= ，即可得到答案．
7
【解题过程】
（1）解：∵∠BAC=∠BCD，∠B=∠B，
∴△BAC∽△BCD．
BC BA
∴ = ，即BC2=AB⋅BD
BD BC
∵AB=6❑√2，D为AB中点，
1
∴BD=AD= AB=3❑√2，
2∴BC2=AB⋅BD=6❑√2⋅3❑√2=36
∴BC=6．
（2）连接OC，并延长交⊙O于F，连接AF，
∵CF是⊙O的直径，
∴∠CAF=90°，
∵∠BCD=∠BAC,∠DAF=∠DCF，
∴∠BCF=∠BCD+∠DCF=∠BAC+∠DAF=∠CAF=90°
∴OC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线；
（3）解：过点A作AE⊥CD，垂足为E，
DE ❑√2
∵在Rt△AED中，cos∠CDA= = ．
AD 4
又∵AD=3❑√2，
3
∴DE= ．
2
3❑√7
∴在Rt△AED中，AE=❑√AD2−DE2=
．
2
∵△BAC∽△BCD，
AC AB 6❑√2
∴ = = =❑√2．
CD BC 6
3
设CD=x，则AC=❑√2x，CE=CD−DE=x− ．
2
∵在Rt△ACE中，AC2=CE2+AE2，∴(❑√2x) 2= ( x− 3) 2 + (3❑√7) 2 ，即x2+3x−18=0，
2 2
解得x =3，x =−6（舍去）．
1 2
∴CD=3，AC=3❑√2．
∵A´C=A´C，
∴∠AFC=∠ADC．
∵CF为⊙O的直径，
∴∠CAF=90°．
3❑√7
AC AE 2 ❑√14．
∴sin∠AFC= =sin∠CDA= = =
CF AD 3❑√2 4
12❑√7
∴CF= ，
7
6❑√7
即⊙O的半径为 ．
7
20．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线l，过⊙O上一点A
作直线l的垂线交⊙O于点B，垂足为D，连接BC，OB．
（1）求证：∠ABO=2∠BCD；
1
（2）若tan∠BCD= ，AB=8，求BD的长．
3
【思路点拨】
（1）连接OC，由题意可得OC⊥CD，AD⊥CD，从而得出AD∥OC，∠BCD+∠OCB=90°，进而
得出∠ABO=∠BOC，2∠BCD+2∠OCB=180°，再由等边对等角并结合三角形内角和定理即可得证；
（2）作OG⊥AD于G，OE⊥BC于E，CF⊥OB于F，证明△OBG≌△COF(AAS)，得出OF=BG=4，
设 ，则 ， ，再由等腰三角形的性质可得
BD=x CD=3x BC=❑√BD2+CD2=❑√10x1 ❑√10
BE=CE= BC= x，再由等面积法求出CF=3x，再由勾股定理得出OF=❑√OC2−CF2=4x=4，
2 2
即可得解．
【解题过程】
（1）证明：如图：连接OC，
由题意可得：OC⊥CD，AD⊥CD，
∴AD∥OC，∠BCD+∠OCB=90°，
∴∠ABO=∠BOC，2∠BCD+2∠OCB=180°，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∵∠OBC+∠OCB+∠BOC=180°，
∴∠OBC+∠OCB+∠ABO=180°，
∴2∠OCB+∠ABO=180°，
∴∠ABO=2∠BCD；
（2）解：如图，作OG⊥AD于G，OE⊥BC于E，CF⊥OB于F，
则∠OGB=∠CFO=90°，
1
由垂径定理可得：BG= AB=4，
2
由（1）可得∠ABO=∠BOC=2∠BCD，
∵OB=OC，∴△OBG≌△COF(AAS)，
∴OF=BG=4，
∵OB=OC，OE⊥BC，
∴∠COE=∠BCD，BE=CE，
1
∴tan∠BCD=tan∠COE= ，
3
设BD=x，则CD=3x，BC=❑√BD2+CD2=❑√10x，
1 ❑√10
∴BE=CE= BC= x，
2 2
3❑√10
∴OE=3CE= x，
2
∴OC=OB=❑√CE2+OE2=5x，
1 1
∵S = BC⋅OE= OB⋅CF，
△OBC 2 2
3❑√10
∴❑√10x⋅ x=5x⋅CF，
2
∴CF=3x，
∴OF=❑√OC2−CF2=4x=4，
∴x=1，
∴BD=1．
