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专题 28.3 解直角三角形的有关的计算
◆ 典例分析
1
【典例1】如图，在△ABC中，AB=AC=4,cosB= ，AB的垂直平分线交边AB于点D，交边AC于点
4
F，交BC的延长线于点E．
（1）求CE的长；
（2）求∠EFC的正弦值．
【思路点拨】
此题考查了解直角三角形和等腰三角形的性质．
BM
（1）过A作AM⊥BC于点M，在Rt△AMB中通过cosB= ，求出BC=2即可求解；
AB
BH 1
（2）过C作CH⊥AB于点H，在Rt△CHB中通过cosB= ，求出BH= 即可．
BC 2
【解题过程】
（1）如图，过A作AM⊥BC于点M，
∵AB=AC，
∴CM=BM，
BM 1
在Rt△AMB中，cosB= = ，
AB 4
∴BM=CM=1，
∴BC=2，
∵ED垂直平分AB，AB=AC=4，1
∴BD=AD= AB=2，
2
1 BD
∵cosB= = ，
4 BE
∴BE=8，
∴CE=BE−BC=8−2=6；
（2）如图，过C作CH⊥AB于点H，
∴∠CHB=90°，
BH 1 BH 1
在Rt△CHB中，cosB= = ，即 = ，
BC 4 2 4
1
∴BH= ，
2
1 7
∴AH=AB−BH=4− = ，
2 2
7
∴ AH 2 7．
sin∠EFC= = =
AB 4 8
◆ 学霸必刷
13
1．（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，AB是⊙O的直径，AE、CE、CB为⊙O的弦，AO= ，
2
AE=12，则sin∠BCE=（）
5 13 5 12
A． B． C． D．
12 12 13 5
2．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，若BC=10，∠B=60°，∠C=45°，则点A到
BC的距离是（ ）A．10−5❑√3 B．5+5❑√3 C．15−5❑√3 D．15−10❑√3
4
3．（23-24九年级下·全国·期末）如图，在 ▱ABCD中，AD=5，AB=12，sinA= ，过点D作
5
DE⊥AB，垂足为点E，连接CE，则sin∠BCE的值为（ ）
9❑√10 6❑√10
A．3 B．5 C． D．
50 25
4．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，延长等腰直角△ABC的斜边AB到D，使BD=3AB，连接
CD，则tan∠BCD的值为（ ）
1 4 3
A． B． C． D．3
4 3 4
5．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，四边形ABCD中(AB>CD)，∠ABC=∠BCD=90°，
❑√3
AB=3，BC=❑√3，把Rt△ABC沿着AC翻折得到Rt△AEC，若tan∠AED= ．则线段DE的长度为
2
（ ）❑√7 ❑√7 ❑√3 2❑√3
A． B． C． D．
5 3 2 3
6．（24-25九年级上·山东青岛·阶段练习）如图，在△ABC中，∠A=30°，∠B=45°，AC=2❑√3，则
S = ．
△ABC
7．（24-25九年级上·山东烟台·期中）如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=3，BC=5，对角线
3
BD平分∠ABC．cos∠ABD= ，则△BCD的面积为 ．
5
8．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，点D是△ABC内一点，连接AD,CD,AD=AB=BC．
若∠ACD=30°，CD=2，tan∠BAC=1，则△ADC的面积是 ．
4
9．（24-25九年级上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在△ABC中，AB=AC,tanA= ,CD⊥AB于点D,E
5
EG
为AC上一点，EF⊥BC于点F，交CD于点G．则 = ．
CF10．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边AD、BC、
12
AB上，连接EF、EG，若tan∠EFC= ，EG=EF，BF=ED=7，则线段AG的长为 ．
5
11．（24-25九年级上·广东深圳·期中）如图，四边形ABCD中，
∠ABC=∠ADC=60°，∠BAD>90°，
AC⊥BC，若 AB=2，AD=❑√2，则BD的长为 ．
12．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，Rt△ABC中，
4
∠A=90°，BD=7，cosB= ，tan∠CDA=2，求AC．
513．（24-25九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AD=12，
3 12
tan∠BAD= ，sinC= ．
4 13
（1）求BD的长；
（2）求BC的长．
14．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB，垂足为D，
AD 3
= ，求tan∠B的值．
DB 215．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12．
（1）求sinB的值；
（2）延长BC至点D，使得∠ADB=30°，求CD的长．
16．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D、E分别在边AC，AB上，
3
BD平分∠ABC，DE⊥AB，AE=8，sin A= ．
5
（1）求CD的长．
（2）求tan∠DBC的值．
17．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边上的点F处，
3
已知折痕AE=5❑√5，且tan∠EFC= ，那么矩形ABCD的周长为？
418．（2023·内蒙古呼和浩特·一模）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是A´B的中点，CD与AB交于
点E，F是AB延长线上的一点，且CF=EF．
（1）求证：CF为⊙O的切线；
1
（2）连接BD，取BD的中点G，连接AG．若CF=4，tan∠BDC= ，求AG的长．
2
19．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，△ABC中，AB=6❑√2，D为AB中点，
❑√2
∠BAC=∠BCD，cos∠ADC= ，⊙O是△ACD的外接圆．
4
（1）求BC的长；
（2）求证：BC是⊙O的切线；（3）求⊙O的半径．
20．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线l，过⊙O上一点A
作直线l的垂线交⊙O于点B，垂足为D，连接BC，OB．
（1）求证：∠ABO=2∠BCD；
1
（2）若tan∠BCD= ，AB=8，求BD的长．
3
