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专题 28.3 解直角三角形的应用
【典例1】如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架AB，CD交于点E，支架AB与
水平底座MN的夹角∠BAM=60°，AB=CD=30cm，BE:AE=2:3，ED=24cm，灯罩抽象为△DFG，
DF=DG=10cm，∠FDG=90°，GF∥MN．
（1）若支架AB⊥CD，
①求∠CDG的度数；
②求GF与水平底座之间的距离．（结果精确到0.1cm）
（2）若在（1）的条件下，将支架CD绕点E旋转，使GF与水平底座之间的距离为24.1cm，求支架CD的
旋转方向及角度．（参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73，sin40.5°≈0.65，sin37°≈0.60）
【思路点拨】
（1）①过点D作DK⊥MN，交于点K，求出∠EDK,∠GDH的角度，即可解答；
②过点E分别作MN，DK的垂线，垂足为P,Q，则四边形EPKQ为矩形，根据特殊直角三角形的相关性
质，即可解答；
（2）旋转后，GF与水平底座之间的距离增加了3.6cm，即点D在竖直方向上上升了3.6cm，再根据解直
角三角形，即可解答．
【解题过程】
（1）①如图（1），过点D作DK⊥MN，交MN的延长线于点K，交GF于点H．
∵GF∥MN，
∴DH⊥GF．
∵DF=DG，∠FDG=90°，
∴∠G=∠GDH=45°．∵∠BAM=60°，
∴∠EAK=120°．
∵AB⊥CD，DK⊥MK，
∴∠EDK=360°−90°−120°−90°=60°，
∴∠CDG=∠EDK−∠GDH=15°．
②解：∵AB=30cm，BE:AE=2:3，
∴AE=18cm．
如图（1），过点E分别作MN，DK的垂线，垂足为P,Q，则四边形EPKQ为矩形，
∴∠DEQ=90°−60°=30°，EP=QK．
∵ED=24cm，
1
∴DQ= ED=12cm．
2
∵∠BAM=60°，
❑√3
∴EP=QK=AE×sin60°=18× =9❑√3(cm)
2
∵DG=10cm，DH⊥GF，∠G=45°，
❑√2
∴DH=DG×sin45°=10× =5❑√2(cm)．
2
∴HK=DQ+QK−DH=12+9❑√3−5❑√2≈20.5(cm)
答：GF与水平底座之间的距离约为20.5cm．
（2）解：由（1）②可知当AB⊥CD时，CF与水平底座之间的距离约为20.5cm，
∴若使GF与水平底座之间的距离为24.1cm，则需将支架CD绕点E逆时针旋转．
设需要将CD绕点E逆时针旋转α，旋转后点D的对应点为D′，如图（2）．∵24.1−20.5=3.6(cm)，
∴旋转后，GF与水平底座之间的距离增加了3.6cm，即点D在竖直方向上上升了3.6cm（关键点）．
过点D′作D′K′⊥MN，垂足为K′，过点E作EQ′⊥D′K′于点Q′．
结合（1）②可知D′Q′=DQ+3.6=12+3.6=15.6(cm)．
∵D′E=DE=24cm，
D′Q′ 15.6
∴sin∠D′EQ′= = =0.65，
D′E 24
∴∠D′EQ′≈40.5°，
∴α=∠D′EQ′−∠DEQ=40.5°−30°=10.5°
∴将支架CD绕点E逆时针旋转10.5°，GF与水平底座之间的距离为24.1cm．
1．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为16❑√2海里的圆
形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离
为32海里．
（1）若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？
（2）如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东α度方向航行确保安
全通过这一海域，求α的取值范围．【思路点拨】
（1）过P作PB⊥于B，则PB的长是A沿方向距离P点的最短距离，求出最短距离，再比较比较即可；
（2）设轮船沿南偏东航向是射线AC，过点P作PD⊥AC于D，利用特殊角的三角函数值确定答案．
【解题过程】
（1）解：过点P作PB⊥轮船航线于B，则PB的长是A沿方向距离P点的最短距离，
由题意得∠PAB=90°−60°=30°，PA=32，
∴在Rt△PAB中，∠PBA=90°，
PB 1
∴sin∠PAB= = ，
AP 2
∴PB=16，
∵16<16❑√2，
答：若轮船继续向正东方向航行有触礁危险．
（2）解：设轮船沿南偏东航向是射线AC，过点P作PD⊥AC于D，
当PD=16❑√2时，角α的度数最大，
∵在Rt△PAD 中，AP=32，PD=16❑√2，
❑
PD ❑√2
∴sin∠PAD= = ，
AP 2
∴∠PAD=45°，
∴∠EAD=45°−30°=15°，
∴沿南偏东最大角度为90°−15°=75°方向航行确保安全通过这一海域，
即0<α<75°时，轮船能安全通过这一区域．2．（2023·河南周口·校考三模）郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，周边有郑州大剧院，郑州植
物园等，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，
让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度AB，如
图，他们在C处测得顶端A的仰角为38°，沿CB方向前进17m到达D处，又测得顶端A的仰角为45°．
已知测角仪的高度为1.5m，测量点C，D与郑州博物馆（新馆）的底部B在同一水平线上，求郑州博物馆
（新馆）的高度AB．（结果精确到1m．参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
【思路点拨】
先延长EF，交AB于点G，再设AG的长为x，最后表示出FG，EG,最后用正切定义列出方程即可求出
AG的长，再求和即可得到AB的长．
【解题过程】
如图，延长EF，交AB于点G
设AG=x
∵∠AFG=45°,∠AGF=90°
∴GF=AG=x
∴¿=GF+EF=x+17
∵∠AEG=38°,∠AGF=90°
AG
∴tan38°= ≈0.78
EG
x
∴ ≈0.78
x+17∴x≈60（此时分母不为0）
∵∠BGF=90°,∠GBD=90°,∠BDF=90°
∴四边形GBDF是矩形
∴BG=DF=1.5
∴AB=AG+BG=60+1.5=61.5
故郑州博物馆（新馆）的高度AB为61.5m．
3．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，某工厂准备开发一块四边形ABCD
的空地，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点
C在点B的正南方向．已知AB=2千米，CD=5❑√2千米．（参考数据： ❑√2≈1.414，❑√3≈1.732）
（1）如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到0.1千米）
（2）该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为20万元，通过计算，判断改造费
用是否充足？
【思路点拨】
（1）过点D作BC的垂线段，交BC于点F，过点A作DF的垂线段，交DF于点E，根据题意可得
∠FDC=45°,∠ADE=90°−60°=30°，解直角三角形求出AD,BC的值，即可解答；
（2）根据（1）求得数据，求出四边形ABCD的面积，即可解答．
【解题过程】
（1）解：如图，过点D作BC的垂线段，交BC于点F，过点A作DF的垂线段，交DF于点E，
据题意可得∠FDC=45°,∠ADE=90°−60°=30°，FC ❑√2
∴sin∠FDC=sin45°= = ，
DC 2
❑√2
∴FC=DF= DC=5千米，
2
∵∠AEF=∠EFB=∠B=90°，
∴四边形AEFB为矩形，
∴EF=AB=2千米，
∴DE=DF−EF=3千米，
DE ❑√3
∴cos∠ADE=cos30°= = ，
AD 2
DE
∴AD= =2❑√3
❑√3 ，
2
1
∴BF=AE= AD=❑√3，
2
∴四边形ABCD的周长=AB+BF+FC+CD+DA=7+5❑√2+3❑√3≈19.3千米，
答：需要19.3千米的防护栏；
3❑√3 25
（2）解：四边形ABCD的面积=S +S +S =2❑√3+ + ≈18.562平方千米，
矩形AEFB △ADE △DFC 2 2
∵18.562×20=371.24<380，
∴判断改造费用充足．
4．（2023·全国·九年级专题练习）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成
功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为
机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
【思路点拨】（1）延长AB，过点C作CE⊥AB，在Rt△BCE中，求出BE、CE的长，再在Rt△ACE中求出AC．
（2）过点A，作AF⊥CD于点F，则四边形AFDO为矩形，求出CF，在Rt△ACF中，求出AF．
【解题过程】
（1）如图，延长AB，过点C作CE⊥AB，
∵∠ABC=143°，
∴∠EBC=37°，
在Rt△BCE中，
BE=BC⋅cos37°=1.6m，
CE=BC⋅sin37°=1.2m，
∴AE=AB+BE=5+1.6=6.6m，
在Rt△ACE中，
AC=❑√AE2+CE2=3❑√5≈6.7m
∴A、C两点之间的距离为6.7m．
（2）过点A，作AF⊥CD于点F，
则四边形AFDO为矩形，
∴AF=DO，DF=OA=1m，
∴CF=6−1=5m在Rt△ACF中，
AF=❑√AC2−CF2=2❑√5≈4.5m，
∴OD=4.5m
5．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处
于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄OA=5cm，BE是底座，OA与BE所成的夹角为36.8°，O点
是把柄转轴所在的位咒，且O点到底座BE的距离OC=2cm．OD与一根套管相连，OD可绕O点转动，此
时，OD∥BE，套管内含打孔针MN，打孔针的顶端M触及到OA，但与OA不相连，MN始终与BE垂直，
且OM=1cm，MN=2cm．
（1）打孔针MN的针尖N离底座BE的距离是多少厘米?
（2）压下把柄OA，直到A点与B点重合，如图3，此时，M．D两点重合，把柄OA将压下打孔针MN并
将它锲入放在底座BE上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针MN锲入底座BE有多少厘米？
3 4 3
（参考数据：sin36.8°≈ ，cos36.8°≈ ，tan36.8°≈ ）
5 5 4
【思路点拨】
（1）如答图1，连接CN，先说明四边形COMN是平行四边形可得CN=OM=1cm，再解直角三角形可得
NP≈0.6cm即可解答；
（2）如答图1，由题意可得四边形CODP是平行四边形可得OD=CP=0.8cm．如图3中，设MN与BE的
交点为Q，则OM=OD=0.8cm，BM=OB–OM=4.2cm．又MN∥OC可得△BMQ∼△BOC即
BM:OB=MQ:OC，进而求得MQ=1.68cm，最后根据线段的和差即可解答．
【解题过程】
（1）解：如答图1，连接CN，由题意可知，OC⊥BE，MN⊥BE，
∴OC∥MN
∵OC=MN=2cm，
∴四边形COMN是平行四边形．
∴CN=OM=1cm．
又∵OA与BE所成的夹角为36．8°，
∴∠NCP=36.8°．
在Rt△NCP中，NP=CN⋅sin∠NCP=1×sin36.8°≈0.6cm．
CP=CN⋅cos∠NCP=1×cos36.8°≈0.8cm．
∴打孔针MN的针尖N离底座BE的距离是0．6厘米．
（2）解：如答图1，
∵OD∥BE，OC∥MN，
∴四边形CODP是平行四边形．
∴OD=CP=0.8cm
如图3中，设MN与BE的交点为Q，则OM=OD=0.8cm，BM=OB–OM=4.2cm．
∵MN∥OC，
∴△BMQ∼△BOC
∴BM:OB=MQ:OC，
∴4.2:5=MQ:2，解得MQ=1.68cm．
∴QN=MN –MQ=2−1.68=0.32cm．
∴打孔针MN锲入底座BE有0．32厘米．
6．（2023·河南周口·校考三模）如图1是一个倾斜角为α的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端A到地面的距
1
离AB为2m,tanα= ．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端C处安装了一个喷头D，喷头D到
3
地面的距离DC为0.5m，水珠在距喷头D水平距离4m处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，其中喷出水珠的竖直高度为y
（单位：m）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与AB的水平距离为x（单位：m）．（1）求抛物线的表达式．
（2）斜坡正中间有一棵高1m的树苗，通过计算判断从喷头D喷出的水珠能否越过这棵树苗．
4
（3）若有一个身高为 m的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头D的水平距离s(m)应在什么
3
范围内？
【思路点拨】
（1）根据三角函数关系得到CB=6m，再由二次函数对称轴公式得到b=−4a，然后再利用待定系数法即
可解得；
（2）通过比较树苗的最高点与相应位置的抛物线函数值大小关系即可判断结果；
（3）利用s表示出对应函数值和小朋友高度值，根据题意列出不等式求解即可；
【解题过程】
（1）解：由题意可知，A(0,2)
AB 2
CB= = =6m
tanα 1 ，
3
( 1)
则点D坐标为D 6, ，
2
b
∵ − =6−4=2，
2a
∴ b=−4a，
将点A坐标代入y=ax2+bx+c得c=2，则y=ax2−4ax+2
1
将点D坐标代入y=ax2−4ax+2得 =36a−24a+2
2
1 1
解得a=− ，则b= ，
8 2
1 1
∴抛物线的表达式为y=− x2+ x+2；
8 2
1 1
（2）解：如图过BC中点F作BC垂线交AC于点E，则EF= AB=1m，BF= BC=3m，
2 21 1 1 3 19
将x=3代入y=− x2+ x+2得，y=− ×9+ +2=
8 2 8 2 8
19 3
∵ =2 >1+1，
8 8
∴从喷头D喷出的水珠能越过这棵树苗；
（3）解：如图过BC上一点H作BC垂线交AC于点G，
1 1 1 1 4
设CH=s，则BH=6−s，HG= s，由题意可得− (6−s) 2+ (6−s)+2> s+
3 8 2 3 3
化简得3s2−16s+20<0，
10
因式分解得(3s−10)(s−2)<0，解得21，
∴他的头顶不会碰到遮阳蓬面．
任务3，由任务2可得，NH=0.3米，
∴tan∠α=tan∠NB′F=1，
∴B′H=0.3米，
GH 3
∵tan∠OB′F= =
，
B′H 4
∴GH=0.225米，
∵GH+HN=0.525米，小于1米，
设小明在点K位置时，头顶刚好碰到遮阳蓬面，
所以KI=1米，
IP=0.7米，
IP 3
∵tan∠OB′F= =
，
B′P 4
14
∴B′P=
米，
15
6 14 4
QK=FP= − −= 米，
5 15 154
QN的求值范围是0
