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专题 28.3 解直角三角形的应用
【典例1】如图（1）是一个创意台灯，图（2）是其抽象示意图，已知支架AB，CD交于点E，支架AB与
水平底座MN的夹角∠BAM=60°，AB=CD=30cm，BE:AE=2:3，ED=24cm，灯罩抽象为△DFG，
DF=DG=10cm，∠FDG=90°，GF∥MN．
（1）若支架AB⊥CD，
①求∠CDG的度数；
②求GF与水平底座之间的距离．（结果精确到0.1cm）
（2）若在（1）的条件下，将支架CD绕点E旋转，使GF与水平底座之间的距离为24.1cm，求支架CD的
旋转方向及角度．（参考数据：❑√2≈1.41，❑√3≈1.73，sin40.5°≈0.65，sin37°≈0.60）
【思路点拨】
（1）①过点D作DK⊥MN，交于点K，求出∠EDK,∠GDH的角度，即可解答；
②过点E分别作MN，DK的垂线，垂足为P,Q，则四边形EPKQ为矩形，根据特殊直角三角形的相关性
质，即可解答；
（2）旋转后，GF与水平底座之间的距离增加了3.6cm，即点D在竖直方向上上升了3.6cm，再根据解直
角三角形，即可解答．
【解题过程】
（1）①如图（1），过点D作DK⊥MN，交MN的延长线于点K，交GF于点H．∵GF∥MN，∴DH⊥GF．
∵DF=DG，∠FDG=90°，
∴∠G=∠GDH=45°．
∵∠BAM=60°，
∴∠EAK=120°．
∵AB⊥CD，DK⊥MK，
∴∠EDK=360°−90°−120°−90°=60°，
∴∠CDG=∠EDK−∠GDH=15°．
②解：∵AB=30cm，BE:AE=2:3，
∴AE=18cm．
如图（1），过点E分别作MN，DK的垂线，垂足为P,Q，则四边形EPKQ为矩形，
∴∠DEQ=90°−60°=30°，EP=QK．
1
∵ED=24cm，∴DQ= ED=12cm．
2
∵∠BAM=60°，
❑√3
∴EP=QK=AE×sin60°=18× =9❑√3(cm)
2
∵DG=10cm，DH⊥GF，∠G=45°，
❑√2
∴DH=DG×sin45°=10× =5❑√2(cm)．
2
∴HK=DQ+QK−DH=12+9❑√3−5❑√2≈20.5(cm)
答：GF与水平底座之间的距离约为20.5cm．
（2）解：由（1）②可知当AB⊥CD时，CF与水平底座之间的距离约为20.5cm，
∴若使GF与水平底座之间的距离为24.1cm，则需将支架CD绕点E逆时针旋转．
设需要将CD绕点E逆时针旋转α，旋转后点D的对应点为D′，如图（2）．∵24.1−20.5=3.6(cm)，
∴旋转后，GF与水平底座之间的距离增加了3.6cm，即点D在竖直方向上上升了3.6cm（关键点）．
过点D′作D′K′⊥MN，垂足为K′，过点E作EQ′⊥D′K′于点Q′．
结合（1）②可知D′Q′=DQ+3.6=12+3.6=15.6(cm)．
∵D′E=DE=24cm，
D′Q′ 15.6 ，
∴sin∠D′EQ′= = =0.65
D′E 24
∴∠D′EQ′≈40.5°，
∴α=∠D′EQ′−∠DEQ=40.5°−30°=10.5°
∴将支架CD绕点E逆时针旋转10.5°，GF与水平底座之间的距离为24.1cm．
1．（2023上·上海闵行·九年级统考期中）如图，海中有一小岛P，在以P为圆心，半径为16❑√2海里的圆
形海域内有暗礁．一轮船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°方向上，且A，P之间的距离
为32海里．
（1）若轮船继续向正东方向航行，轮船有无触礁危险？
（2）如果轮船继续向正东方向航行有危险，轮船自A处开始改变航行方向，沿南偏东α度方向航行确保安
全通过这一海域，求α的取值范围．2．（2023·河南周口·校考三模）郑州博物馆（新馆）位于郑州奥体中心附近，周边有郑州大剧院，郑州植
物园等，其主展馆以郑州出土的商代青铜方鼎为造型基础，整体建筑风格取鼎器粗犷与精美相统一的神韵，
让人叹为观止．某校数学小组的同学们使用卷尺和自制的测角仪测量郑州博物馆（新馆）的高度AB，如
图，他们在C处测得顶端A的仰角为38°，沿CB方向前进17m到达D处，又测得顶端A的仰角为45°．
已知测角仪的高度为1.5m，测量点C，D与郑州博物馆（新馆）的底部B在同一水平线上，求郑州博物馆
（新馆）的高度AB．（结果精确到1m．参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78）
3．（2023上·重庆沙坪坝·九年级重庆南开中学校考阶段练习）如图，某工厂准备开发一块四边形ABCD
的空地，点C在点D的南偏东45°方向上，点A在点D的北偏东60°方向上，点B在点A的正东方向，点
C在点B的正南方向．已知AB=2千米，CD=5❑√2千米．（参考数据： ❑√2≈1.414，❑√3≈1.732）
（1）如果要在空地四周建立防护栏，需要多少千米的防护栏？（精确到0.1千米）
（2）该工厂计划用380万元改造该地块，如果每平方千米的改造费用为20万元，通过计算，判断改造费用是否充足？
4．（2023·全国·九年级专题练习）2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成
功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA是垂直于工作台的移动基座，AB、BC为
机械臂，OA=1m，AB=5m，BC=2m，∠ABC=143°．机械臂端点C到工作台的距离CD=6m．
（1）求A、C两点之间的距离；
（2）求OD长．
5．（2023·江西九江·统考三模）如图1是某品牌的纸张打孔机的实物图，图2是从中抽象出的该打孔机处
于打孔前状态的侧面示意图，其中打孔机把柄OA=5cm，BE是底座，OA与BE所成的夹角为36.8°，O点
是把柄转轴所在的位咒，且O点到底座BE的距离OC=2cm．OD与一根套管相连，OD可绕O点转动，此
时，OD∥BE，套管内含打孔针MN，打孔针的顶端M触及到OA，但与OA不相连，MN始终与BE垂直，
且OM=1cm，MN=2cm．
（1）打孔针MN的针尖N离底座BE的距离是多少厘米?
（2）压下把柄OA，直到A点与B点重合，如图3，此时，M．D两点重合，把柄OA将压下打孔针MN并
将它锲入放在底座BE上的纸张与底座之内，从而完成纸张打孔，问：打孔针MN锲入底座BE有多少厘米？3 4 3
（参考数据：sin36.8°≈ ，cos36.8°≈ ，tan36.8°≈ ）
5 5 4
6．（2023·河南周口·校考三模）如图1是一个倾斜角为α的斜坡的截面示意图．已知斜坡顶端A到地面的距
1
离AB为2m,tanα= ．为了对这个斜坡上的绿植进行喷灌，在斜坡底端C处安装了一个喷头D，喷头D到
3
地面的距离DC为0.5m，水珠在距喷头D水平距离4m处达到最高，喷出的水珠可以看作抛物线的一部分．
建立如图2所示的平面直角坐标系，并设抛物线的表达式为y=ax2+bx+c，其中喷出水珠的竖直高度为y
（单位：m）（水珠的竖直高度是指水珠到水平地面的距离），水珠与AB的水平距离为x（单位：m）．
（1）求抛物线的表达式．
（2）斜坡正中间有一棵高1m的树苗，通过计算判断从喷头D喷出的水珠能否越过这棵树苗．
4
（3）若有一个身高为 m的小朋友经过此斜坡，想要不被淋湿衣服，他到喷头D的水平距离s(m)应在什么
3
范围内？7．（2022·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机测量大楼的
高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°．已知楼
AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为
30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
（2）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（3）求此时无人机距离地面BC的高度．8．（2023·江西上饶·二模）火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是
消防救援的主要装备．图1是某种消防车云梯，图2是其侧面示意图，点D，B，O在同一直线上，DO可
绕着点O旋转，AB为云梯的液压杆，点O，A，C在同一水平线上，其中BD可伸缩，套管OB的长度不变，
在某种工作状态下测得液压杆AB=3m，∠BAC=53°，∠DOC=37°．
（1）求BO的长．
（2）消防人员在云梯末端点D高空作业时，将BD伸长到最大长度6m，云梯DO绕着点O顺时针旋转一定
3
的角度，消防人员发现铅直高度升高了3m，求云梯OD旋转了多少度．（参考数据：sin37°≈ ，
5
3 4 4
tan37°≈ ，sin53°≈ ，tan53°≈ ，sin64°≈0.90，cos64°≈0.44）
4 5 39．（2023·海南海口·统考一模）如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高度，他在点A处（点G、A、C
在同一水平线上）测得大树顶端B的仰角为45°，沿着坡度i=1:❑√3的斜坡AE走6米到达斜坡上点D处，
此时测得大树顶端B的仰角为31°，点A、B、C、D在同一平面内．
（1）填空：∠EAG= °，∠ADB= °；
（2）求斜坡上点D到AG的距离；
（3）求大树BC的高度（结果精确到0.1米．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，
❑√3≈1.73，❑√2≈1.41）10．（2023上·辽宁沈阳·九年级东北育才双语学校校考阶段练习）如图，一般轮船在A处测得灯塔M位于
A的北偏东30°方向上，轮船沿着正北方向航行10海里到达B处，测得灯塔M位于B的北偏东60°方向上，
测得港口C位于B的北偏东45°方向上：已知港口C在灯塔M的正北方向上．
（1）填空：∠AMB= ______度，∠BCM= ______度；
（2）求灯塔M到轮船航线AB的距离（结果保留根号）；
（3）求港口C与灯塔M的距离（❑√2≈1.414，❑√3≈1.732，结果精确到1海里）．11．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）如图，四边形ABCD是某公园的休闲
步道．经测量，点B在A的正西方向，AB=200❑√3米，点D在A的正北方向，点C在B的西北方向，
BC=300❑√2米，点C在D的南偏西60°方向上．
（1）求步道AD的长度；（精确到个位数）；
（2）小亮以90米/分的速度沿A→B→C→D的方向步行，小明骑自行车以300米/分的速度沿
D→C→B→A的方向行驶．两人能否在4分钟内相遇？请说明理由．（参考数据：❑√2≈1.414，
❑√3≈1.732）12．（2022下·江西景德镇·九年级统考期中）如图1是一个水龙头的示意图，类似于字母“F”的形状，
将其抽象成如图2所示的截面图形，线段BE是一根固定的轴，线段AB，CD均垂直于线段BE，出水口在
点D处，AB为自来水开关，AB⊥BC即为无水状态，将AB绕点B逆时针向上转动即是开水．若已知
BC=10cm，AB=20cm，CD=30cm．（参考数据，精确到0．1，sin34°=0.56，cos34°=0.83，
❑√2≈1.414，❑√3=1.732，25.0792=629）
（1）求出水龙头不开时，点A与出水口的距离；
（2）当BA向上旋转34°时，即是最大出水量，求出最大出水量时，点A与出水口的距离．13．（2023下·浙江金华·九年级浙江省义乌市稠江中学校考阶段练习）如图是某风车示意图，其相同的四
个叶片均匀分布，水平地面上的点M在旋转中心O的正下方．某一时刻，太阳光线恰好垂直照射叶片OA，
OB，此时各叶片影子在点M右侧成线段CD，测得MC=8.5m，CD=13m，设光线与地面夹角为α，测
2
得tanα= ．
3
（1）求点O，M之间的距离．
（2）转动时，求叶片外端离地面的最大高度．14．（2023·江西南昌·南昌市外国语学校校考一模）三折伞是我们生活中常用的一种伞，它的骨架是一个
“移动副”和多个“转动副”组成的连杆机构，如图1是三折伞一条骨架的结构图，当“移动副”（标号
1）沿着伞柄移动时，折伞的每条骨架都可以绕“转动副”（标号2－9）转动；图2是三折伞一条骨架的
示意图，其中四边形CDEF和四边形DGMN都是平行四边形，AC=BC=13cm，DE=2cm，DN=1cm．
（1）若关闭折伞后，点A、E、H三点重合，点B与点M重合，求BN的长度；
（2）在（1）的条件下，折伞完全撑开时，∠BAC=75°，则点H到伞柄AB距离为多少．
15．（22·23九年级下·江西南昌·阶段练习）图1是屏幕投影仪投屏情景图，图2是其侧面示意图，投影光
线AE、投影仪DA在同一直线上，且与三角支架中的A−F−C在同一平面上，点E位于屏幕BG的正中心，FC=50cm，AF=12cm，AF垂直于水平地面HC，支架点F与水平地面HC的距离为30cm，若投影仪的
尾端D与支架点F所在直线恰好平行于水平地面HC，测得DF=15cm，CH=240cm．
（1）求三角支架中的FC与地面的夹角．
（2）求投影点E与水平地面的距离．
（3）若投影仪后移1m，要正常投影，（投影光线射向点E）则投影仪的仰角须减小了多度？
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，tan39°≈0.8，tan28°≈0.53）
16．（2022·河北石家庄·校联考三模）小明在一段斜坡OA−AB上进行跑步训练．在训练过程中，始终有
一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为3m/s，距水平地面的高度总为15m（在直线y=15
上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知OA=10❑√10m，斜坡OA的坡度i=1：3，斜
坡AB的坡角为22.5°．（1）点A坐标为______，OA段y关于x的函数解析式为______；
（2）小明在斜坡AB上的跑步速度是______m/s，并求AB段y关于x的函数解析式；
（3）若小明沿O−A−B方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m的时长．（参考数据：
5 12 5
sin22.5°≈ ，cos22.5°≈ ，tan22.5°≈ ）
13 13 12
17．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）根据以下素材，探索完成任务：
素材一：图1是某款遮阳蓬，图2是其侧面示意图，点A，O为墙壁上的固定点，摇臂OB绕点O旋转过程
中，遮阳蓬AB可自由伸缩，蓬面始终保持平整.如图2，∠AOB=90°，OA=OB=1.5米．素材2：某地区某天下午不同时间的太阳高度角α（太阳光线与地面的夹角）的正切值参照表：
时刻 12点 13点 14点 15点
角α的正切 3
4 2 1
值 4
素材 3：小明身高（头顶到地面的距离）约为 1米，如图2，小明所站的位置离墙角的距离（QN）为 1.2
米.
问题解决
这天12点，小明所站位置刚好不被阳光照射到，请求固定点O到墙角的距离（OQ
任务1 确定高度
）的长.
如图2，为不被阳光照射到，旋转摇臂OB，B的对应点为B′，使得B′离墙壁距离为
判断是否
任务2 1.2米，在这天15点时，小明退至刚好不被阳光照射到的地方，请判断他的头顶是
碰到蓬面
否会碰到遮阳蓬面？
如图3，不改变B′的位置，小明打算在这天12-14点之间在遮阳蓬下休息，为使得全
探究合理
任务3 程不被阳光照射到，又不会碰到遮阳蓬面，求小明所站位置离墙角距离（QN）的
范围
范围．
18．（2023·浙江温州·统考中考真题）根据背景素材，探索解决问题．
测算发射塔的高度某兴趣小组在一幢楼房窗口测算远处小山坡上发射
塔的高度MN（如图1）．他们通过自制的测倾仪
（如图2）在A，B，C三个位置观测，测倾仪上的
示数如图3所示．
背
景
素
材
经讨论，只需选择其中两个合适的位置，通过测量、换算就能计算发射塔的高度．
问题解决
分析规划 选择两个观测位置：点_________和_________
任
务
写出所选位置观测角的正切值，并量出观测点
1 获取数据
之间的图上距离．
任
务 推理计算 计算发射塔的图上高度MN．
2
任
楼房实际宽度DE为12米，请通过测量换算发
务 换算高度
射塔的实际高度．
3
注：测量时，以答题纸上的图上距离为准，并精确到1mm．
19．（2023·江苏宿迁·中考真题）【问题背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如图，即
∠CEF=∠AEF）．小军测量某建筑物高度的方法如下：在地面点E处平放一面镜子，经调整自己位置
后，在点D处恰好通过镜子看到建筑物AB的顶端A．经测得，小军的眼睛离地面的距离CD=1.7m，
BE=20m，DE=2m，求建筑物AB的高度．【活动探究】
观察小军的操作后，小明提出了一个测量广告牌高度的做法（如图）：他让小军站在点D处不动，将镜子
移动至E 处，小军恰好通过镜子看到广告牌顶端G，测出DE =2m；再将镜子移动至E 处，恰好通过镜
1 1 2
子看到广告牌的底端A，测出DE =3.4m．经测得，小军的眼睛离地面距离CD=1.7m，BD=10m，求这
2
个广告牌AG的高度．
【应用拓展】
小军和小明讨论后，发现用此方法也可测量出斜坡上信号塔AB的高度．他们给出了如下测量步骤（如
图）：①让小军站在斜坡的底端D处不动（小军眼睛离地面距离CD=1.7m），小明通过移动镜子（镜子
平放在坡面上）位置至E处，让小军恰好能看到塔顶B；②测出DE=2.8m；③测出坡长AD=17m；④测
8
出坡比为8:15（即tan∠ADG= ）．通过他们给出的方案，请你算出信号塔AB的高度（结果保留整
15
数）．
20．（2023·浙江温州·统考一模）根据以下素材，设计落地窗的遮阳篷．
素材1：如图1，小浩家的窗户朝南，窗户的高度AB=2m，此地一年中的正午时刻，太阳光与地平面的最小夹角为α，最大夹角为β．如图2，小浩设计直角形遮阳篷BCD，点C在AB的延长线上，CD⊥AC，
它既能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内（太阳光与BD平行），又能最大限度地遮挡夏天炎热的阳
光（太阳光与AD平行）．
1 4
素材2：小浩查阅资料，计算出tanα= ，tanβ= （∠EAM=α，∠DAM=β，如图2）．
3 3
素材3：如图3，为了美观及实用性，小浩再设计出圆弧形可伸缩遮阳篷（劣弧CD延伸后经过点B，DF
段可伸缩，F为C´D的中点），BC，CD的长保持不变．
【任务1】如图2，求BC，CD的长．
【任务2】如图3，求劣弧CD的弓高．
2
【任务3】如图3，若某时太阳光与地平面的夹角γ的正切值tanγ= ，要最大限度地使阳光射入室内，求
3
遮阳篷点D上升高度的最小值（点D′到CD的距离）．
