文档内容
专题 3-3 平行四边形（考题猜想，特殊四边形的性质在动点问题中的巧
用）
技巧1：巧用平行四边形的性质解决动点问题
【例题1】（22-23八年级下·河南新乡·期中）如图1，点E是平行四边形 边上一动点，沿
A→D→C→B的路径移动，设点E经过的路径长为x， 的面积是y，图2是点E运动时y随x变化的
关系图象，则 与 间的距离是（ ）
A．5 B．4 C． D．
【变式1】（23-24八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，E是 的中点，已知 ，
， ， ，点P是线段 上的一个动点，当 的长为 时，以点P，A，D，
E为顶点的四边形是平行四边形．【变式2】（22-23八年级下·吉林长春·期末）直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，菱形
如图放置在平面直角坐标系中，其中点D在x轴负半轴上，直线 经过点C，交x轴于点E.
(1)请直接写出点C，点D的坐标，并求出m的值；
(2)点 是线段 上的一个动点（点P不与O、B重合），经过点P且平行于x轴的直线交 于M，
交 于N.当四边形 是平行四边形时，求点P的坐标；
(3)点 是y轴正半轴上的一个动点，Q是平面内任意一点，t为何值时，以点C、D、P、Q为顶点的四
边形是菱形？
【变式3】（22-23八年级下·四川成都·期中）如图，在平行四边形 中，点E是 边上的动点，现
将 沿 折叠，点 是点B的对应点．
(1)如图1，当点 恰好落在 边上时，求证：四边形 是平行四边形；
(2)如图2，若 点 落在 上时，求 的长；(3)如图3．若 取 的中点F，连接 ，求 的取值范围
技巧2：巧用菱形的性质解决动点问题
【例题2】（22-23八年级下·山东德州·期中）如图，点P是边长为1的菱形 对角线 上的一个动
点E，F分别是边 ， 的中点，则 的最小值是（ ）
A． B．1 C． D．2
【变式1】（22-23八年级下·福建莆田·期末）定义：平面上一点与某个图形所有点相连的线段中最短的线
段长度叫做点与该图形之间的距离，记为 ．如图，已知菱形 ， ， ，平面内一
动点 菱形外部 到菱形 的距离为 ，则点 运动轨迹的长度为
【变式2】（22-23八年级下·辽宁抚顺·期末）在 中， ，点D为射线 上一动点（点D不
与B，C重合），以 为边作菱形 ，使 ，连接 ．(1)如图1，当点D在线段 上时，直接写出线段 与 的数量关系；
(2)如图2，当点D在线段BC的延长线上，且 时，求证： ．
【变式3】（23-24八年级上·重庆渝中·期末）在平面直角坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于
点 ，且 ， ．
(1)如图1，点 为线段 上一点，若 ，求点 的坐标；
(2)如图2，点 在线段 上， 是直线 上的两个动点且 ， 是 轴上任意一
点，连接 ，求 的最小值；
(3)在（2）的条件下，当 取最小值时， 为直线 上一动点， 是平面内任意一点，当
四点构成的四边形是以 为边的菱形时，请直接写出点 的坐标．技巧3：巧用矩形的性质解决动点问题
【例题3】（23-24八年级上·广东揭阳·期中）在矩形 中， ， ，点P是线段 上一个
动点，若将 沿 折叠，使点B落在点E处，连结 、 ，若P、E、D三点在同一条直线上，则
的长度是（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．0.5
【变式1】（23-24八年级上·山东淄博·期末）如图，在矩形 中， ， ，对角线 与
交于点 ，点 为 边上的一个动点， ， ，垂足分别为点F，G，则
．
【变式2】（22-23八年级下·江苏苏州·阶段练习）在矩形 中， ，点E是射线 上一
个动点，连接 并延长交射线 于点F，将 ，沿直线 翻折到 ，延长 与直线 交于
点M．(1)求证： ；
(2)当点E是边 的中点时，求 的长；
(3)当 时，求 的长．
【变式3】（22-23八年级下·辽宁沈阳·期末）如图①，在矩形 中， ， ，对角线
与 交于点 ．
(1)求证： 是等边三角形；
(2)动点 在对角线 上，连接 ，将 绕点 逆时针旋转 得 ，连接 ， ， ．
①如图②，当点 在线段 上，且 时， （直接填空）；
②当 时，直接写出 的面积．
技巧4：巧用正方形的性质解决动点问题
【例题4】（22-23八年级下·广东广州·期中）如图，M、N是正方形 的边 上的两个动点，满足
，连接 交 于点E，连接 交 于点F，连接 ，若正方形的边长为2，则线段 的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【变式1】（22-23八年级下·河北石家庄·期中）如图，在正方形 中， 是 上一点， ，
，则 ，若 是 上一动点，则 的最小值是 ．
【变式2】（22-23八年级下·云南红河·期末）如图，四边形 是正方形，对角线 ， 相交于点 ，
， 分别是边 ， 上的动点，且 ，连接 ， 分别交对角线 于点 ， ，连接 ，
．
(1)求证： ．
(2)当点 ， 分别在 ， 的什么位置时？四边形 是平行四边形，并说明理由．【变式3】（22-23八年级下·湖北武汉·期中）如图1，在平面直角坐标系中，正方形 的顶点在坐标
原点，点G的坐标为 ．
(1)求 的长及F点的坐标；
(2)将图1正方形 绕O点旋转至图2位置，使点E在x轴负半轴上，以 为腰作等腰 ，B为
中点， 与 交于C，D为 中点，连 ，求证：线段 的长为定值；
(3)如图3，正方形对角线 上的两个动点M，N满足 ，点P为 中点，连 ，当
取得最小值时，求 的长值．
