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专题 3-2 平行四边形（考题猜想，构造中位线解题的五种方法）
方法1：连接两点构造三角形的中位线
【例题1】（2023下·广西桂林·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD中，AB=5，AD=3，CE平分
∠BCD交AB于点E，点F，G分别是CD，CE的中点，则FG的长为（ ）
❑√10 ❑√13
A．5 B． C．❑√13 D．
2 2
【答案】D
【分析】CE平分∠BCD可得∠DCE=∠BCE，根据矩形ABCD可得△BCE是等腰直角三角形，所以
BC=AD=BE=3，从而可求EA=2，连接DE，由勾股定理得DE的长，再根据三角形中位线定理可求
FG的长．
【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BEC=∠DCE，
∵CE平分∠BCD，
∴∠DCE=∠BCE，
∴∠BCE=∠BEC，∴BC=AD=BE=3，
∵AB=CD=5，
∴AE=AB-BE=2，
连接DE，如图，
∴DE=❑√AE2+AD2=❑√22+32=❑√13，
∵点F、G分别为CD、CE的中点，
1 ❑√13
∴FG= DE= ．
2 2
故选：D．
【点睛】本题考查了矩形的性质以及三角形中位线定理，勾股定理等知识点，熟记性质与定理是解题关键．
【变式1】.（2023下·湖北黄冈·八年级校考期中）如图，矩形ABCD中，AE⊥BD交CD于点E，点F在
AD上，连接CF交AE于点G，且CG=GF=AF，若BD=4❑√6，则CD的值为 ．
【答案】2❑√15
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理．连接AC交BD于点O，连接OG，令
BD与CF交于点M，根据矩形的性质，三角形中位线定理，平行线的性质，对顶角相等和余角的性质可得
∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，用x表示出CD和AD，
利用勾股定理列出方程即可解答．
【详解】解：连接AC交BD于点O，连接OG，令BD与CF交于点M，
∵GF=AF，
∴∠FAG=∠FGA，
∵四边形ABCD为矩形，
∴BD=AC=4❑√6，OB=OD，
∵CG=GF，∴OG为△CAF的中位线，
∴AF=2OG，OG∥AD，
∴∠FDM=∠MOG，
∵AE⊥BD，
∴∠FGA+∠GMO=90°，∠MDF+∠FAG=90°，
∴∠GMO=∠MDF，
∴∠GMO=∠MDF=∠MOG=∠FMD，
∴OG=GM，FM=FD，
设OG=GM=x，则CG=GF=AF=2x，
∴FD=FM=FG-MG=2x-x=x，
∴CF=4x，AD=3x，
在Rt△DCF中，由勾股定理得，
CD=❑√FC2-FD2=❑√15x，
在Rt△ADC中，由勾股定理得，
DC2+AD2=AC2，
即15x2+9x2=96，
解得x=2，
∴CD=❑√15x=2❑√15．
故答案为：2❑√15．
【变式2】（22-23八年级下·浙江宁波·期中）如图，在平行四边形 中，对角线 交于点
，点 分别是 的中点， 交 于点 ，下列4个结论中说法正确的
有（ ）
（1） （2） （3） ；（4）
A．（1）（2） B．（1）（2）（3） C．（1）（3）（4） D．（1）（2）（3）（4）
【答案】D
【分析】根据平行四边形 的性质和 ，可以确定 为等腰三角形，再应用等腰三角形
三线合一的性质可判断（1）正确；根据直角三角形 的性质确定 ，根据三角形 的中位线的性质确定 ，再结合平行四边形 的性质可判断（2）正确；根据三角形 的中位线
和平行四边形 的性质可以确定 ，且 ，进而得到平行四边形 ，再应用其对
角线互相平分的性质确定（3）正确；根据 可得 确定（4）正确．
【详解】解：①∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵E为 中点，
∴ ．故（1）正确．
②∵ ，G是 中点，
∴ ．
∵E、F分别是 中点，
∴ ．
∵四边形 是平行四边形，
∴ ．
∴ ．故（2）正确．
如下图所示，连结 ．如图所示：
∵四边形 是平行四边形，
∴ ， ．
∵E、F分别是 中点，
∴ ．
∴ ，即 ．
∵ ， ，
∴ ．
∴四边形 是平行四边形．∴ ．故（3）正确．
④∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∵E为 中点，
∴
∴ ，故（4）正确；
综上可知，正确的有（1）（2）（3）（4），
故选D．
【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，三角形中位线和直角三角形的性质，平行四边形的性质
与判定定理以及三角形面积与底和高之间的关系，综合应用这些知识点是解题关键
【变式2】．（22-23八年级下·全国·假期作业）如图，在 中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点．
求证：AF与DE互相平分．
【答案】见解析
【详解】证明：如图，连接DF，EF．
， ， 分别是AB，AC，BC的中点，
， ， 四边形 是平行四边形，
与DE互相平分．
【变式3】如图，点B为AC上一点，分别以AB，BC为边在AC同侧作等边三角形ABD和等边三角形
BCE，点P，M，N分别为AC，AD，CE的中点．(1)求证：PM＝PN；
(2)求∠MPN的度数．
【答案】（1）证明见解析；(2) ∠MPN＝120°.
【详解】试题分析：（1）连接CD、AE,由△ABD和△BCE是等边三角形得AB＝DB，BE＝BC，∠ABD
＝∠CBE＝60°，易证△ABE≌△DBC，得AE＝DC，再由三角形中位线的性质可证PM＝PN；
（2）如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H，易证四边形PFHG为平行四边形，故
∠MPN＝120°.
试题解析：(1)如图，连接CD，AE.由三角形中位线定理可得PM= CD，PN= AE，∵△ABD和△BCE
是等边三角形，∴AB＝DB，BE＝BC，∠ABD＝∠CBE＝60°，∴∠ABE＝∠DBC.
∴△ABE≌△DBC，∴AE＝DC.∴PM＝PN.
(2)如图，设PM交AE于F，PN交CD于G，AE交CD于H.由(1)知△ABE≌△DBC，∴∠BAE＝∠BDC.
∴∠AHD＝∠ABD＝60°，∴∠FHG＝120°.
易证四边形PFHG为平行四边形，∴∠MPN＝120°.
方法2：已知角平分线及垂直构造中位线
【例题2】（22-23八年级下·四川绵阳·阶段练习）如图，在 中， ，点E是 的中点，
若 平分 ，线段 的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中位线的性质，三角形的中位线平行于第三边且等于第三
边长度的一半． 延长 交 于 ，证明 ，则 ， ，
，可证 是 的中位线，根据 ，计算求解即可．
【详解】解：如图，延长 交 于 ，由题意知， ， ，
在 和 中，
∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ 是 的中点， ，
又∵ 是 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴ ，
∴ 的长为 ．
故选：B
【变式1】（20-21八年级下·重庆·期中）如图，在 中， 是对角线， ，E是 的中
点， 平分 ，连接 ， ．若 ， ， ，则 的长为 ．
【答案】 /3.5
【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形中位线的定理，添
加辅助线构造全等三角形是解题的关键．延长 ， 交于点H，由“ ”可证 ，可
得 ， ，由三角形中位线定理可求解．
【详解】解：如图，延长 ， 交于点H，∵四边形 是平行四边形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 平分 ，
∴ ，
在 和 中，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵E是 的中点，
∴ ．
故答案为：
【变式2】（22-23八年级下·辽宁盘锦·期中）如图， 中，AD平分 ，E是 中点， ，
， ，求 的长．
【答案】
【分析】延长 交 于点F，先证明 ，得到 ，D是 的中点，再由中位
线的性质解答即可．【详解】解：延长 交 于点F，如图
AD平分 ， ，
，
，
，
，
D是 的中点，
E是 中点，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、中位线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关
键
【变式3】（22-23八年级下·浙江杭州·期中）如图，正方形 的对角线 相交于O， 平分
， 于点F，交 于点G，
求证：
(1) ；
(2) ；
(3)若M为 得中点， ，求 的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理，勾股定理：
（1）先由正方形的性质得到 ，再证明 ，即可证明
，推出 ；
（2）由正方形的性质得到 ，再证明 ，即可证明
；（3）由角平分线的定义得到 ，进而得到 ，证明 ，
得到 ， ，由勾股定理得 ，则 ，证明
是 的中位线，则 ．
【详解】（1）证明：∵四边形 为正方形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）证明：∵四边形 是正方形，
∴ ，
由（1）得 ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
由勾股定理得 ，
∴ ，
∵点M为 的中点，
∴ 是 的中位线，
∴
方法3：倍长法构造三角形中位线
【例题3】（22-23八年级下·辽宁营口·期末）如图， 中， 平分 ，过点 作 于点
，点 是 的中点，连接 ，若 ， ，求 的长．【答案】 的长为 ．
【分析】先添加辅助线，构造全等三角形，利用性质求出 ，最后用中位线定理即可求解．
【详解】解：如图，延长 ， 交于点 ，
∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵点 为 中点，点 为 中点，
∴ 为 的中位线，
∴ ，
答： 的长为 ．
【点睛】此题考查了等腰三角形和全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理，解题的关键是延长
交 延长线于 ，证明 是 的中位线
【变式1】（22-23八年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在等腰直角 和等腰直角 ，
，M为 的中点，连接 ，过B作 的延长线于点S．(1)求证： ；
(2)若 ， ， ，则四边形 的面积为______．（直接写出结果）
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）延长 至点D，使 ，连接 ．由三角形中位线定理可得 ，
．再根据等腰直角三角形的性质可得出 ， ，从而可证 ，
，进而得出 ，即证明 ，得出结论 ；
（2）在（1）的基础上过点F作 于点G，交 于点H．延长 交 于点I．易证
， ，再结合 可证 ，得出 ，
，根据勾股定理可求出 ，即可求出 ．由
为 中位线，可得出 ．又根据四边形 为矩形，即得出 ，从而可求
出 ．根据三角形全等的判定和性质可得出 ，即可由
求出最后结果．
【详解】（1）证明：如图，延长 至点D，使 ，连接 ．
∵M为 的中点，
∴ ， ．∵ 和 都为等腰直角三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ；
（2）如图，在（1）的基础上过点F作 于点G，交 于点H．延长 交 于点I．
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，
∴ ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
∵ 为 中位线，
∴点H为 中点，
∴ ．
由所作辅助线可知四边形 为矩形，
∴ ，
∴ ．
由（1）可知 ，∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
故答案为： ．
【点睛】本题考查三角形中位线的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，矩形的判定和性质，三角形
全等的判定和性质等知识．正确作出辅助线是解题关键
【变式2】（22-23八年级下·广东深圳·期中）（1）如图1，在 中， ， ，点 、
、 分别为 、 、 的中点，求证： ；
（2）如图2，在 中， ， ，点 为 的中点， ，那么
是否成立？证明你的猜想；
（3）如图3，边长为4的等边 外有一点 ， ， ， 、 分别是边 、 的
点，满足 ，求 的周长．
【答案】（1）见详解（2） 不成立，理由见详解（3）8
【分析】（1）根据三角形的中位线性质可得 ，再进行
边的等量代换，即可作答．
（2） 不成立，延长 至点M，使 ，连接 ，证明 ，
再结合 ， ，得 ，因为三角形的三边关系，即可作答．
（3）把 绕点D顺时针旋转 至 ，可使 与 重合，证出 ，进而得到
，即可得 的周长．
【详解】解：（1）∵点 、 、 分别为 、 、 的中点，
∴
∵ ，
∴
（2） 不成立，理由如下：延长 至点M，使 ，连接 ，如图所示．
∵ 是 的中点
∴
∵
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，由三角形的三边关系得：
，
∴ ；
（3）∵ 是边长为4的等边三角形，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
把 绕点D顺时针旋转 至 ，可使 与 重合，
由旋转得： ，
，
∴点 在同一条直线上，∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 的周长 ．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，做辅助线“倍长中线法”，中位线的判定与性质、等边三
角形的性质，旋转性质，综合性强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
【变式3】（2023上·福建漳州·八年级校联考期中）【知识探究】探究得到定理：直角三角形斜边上的中
线等于斜边的一半.
【定理证明】请你利用矩形的性质，证明该定理.
已知：如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O是AC的中点；
1
（1）求证：OB= AC.
2
（2）【灵活运用】如图2，四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，E，F分别是AC，CD的中点，
连接BE，EF，BF，求证：∠1=∠2．
【答案】（1）见解析，（2）见解析
【分析】（1）延长BO至点D，使OD=OB，连接AD、CD，先证四边形ABCD是平行四边形，再证平
行四边形ABCD是矩形，得AC=BD，即可得出结论；
1 1
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得BE= AC，再由三角形中位线定理得EF= AD，然后由
2 2
AC=AD，得BE=EF，即可得出结论．
【详解】解：证明：如图1，延长BO至点D，使OD=OB，连接AD、CD，∵O是AC的中点，
∴OA=OC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
1
∴OB= AC，
2
1
故答案为：OB= AC；
2
（2）证明：如图2，
∵∠ABC=90°，E是AC的中点，
1
∴BE= AC，
2
∵F是CD的中点，
∴EF是△ACD的中位线，
1
∴EF= AD，
2
∵AC=AD，
∴BE=EF，
∴∠1=∠2．
【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角
形中位线定理、等腰三角形的性质等知识；熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质和三角形中位线定理，1
证出OB= AC是解题的关键．
2
方法4：已知两边中点，取第三边中点构造三角形的中位线
【例题4】（21-22八年级下·广东广州·期中）如图，在 中， ， ，E，F分别为
CA，CB上的点， ，M，N分别为AF，BE的中点，若 ，则MN＝ ．
【答案】
【分析】取AB的中点D，连接MD、ND，如图，先判断DM为 ABF的中位线，DN为 ABE的中位线得
到DM= BF=2，DM∥BF，DN= AE=2，再证明AE⊥BF，则D△M⊥DN，然后根据 DM△N为等腰直角三
角形确定MN的长． △
【详解】解：取AB的中点D，连接MD、ND，如图，AE=1，
∵CA=CB，CE=CF，
∴BF=AE=1，
∵点M、N分别为AF、BE的中点，
∴DM为 ABF的中位线，DN为 ABE的中位线，
∴DM= △BF= ，DM∥BF，DN=△ AE= ，DN∥AE，
∵AE⊥BF，
∴DM⊥DN，
∴△DMN为等腰直角三角形，
∴MN= DM= ．
故答案为 ．
【点睛】本题考查了三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．也考查
了等腰直角三角形的性质【变式1】（2023下·全国·八年级假期作业）如图，在四边形ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点．若
AB=10，CD=8求MN长度的取值范围．
【答案】1❑√13-1，当点B、M、N在同一直线上时，
2
BM取最小值，即可求解．
【详解】解：令AC中点为点N，连接MN,BN，
∵点N为AC中点，
1
∴AN= AC=2，
2
根据勾股定理可得：BN=❑√AB2+AN2=❑√32+22=❑√13，
∵点M为AP中点，点N为AC中点，CP=2，
1
∴MN= CP=1，
2
∴在△BMN中，BM>BN-MN，即BM>❑√13-1，
当点B、M、N在同一直线上时，BM=BN-MN，
此时BM取最小值❑√13-1，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了勾股定理，中位线定理，三角形三边之间的关系，解题的关键是掌握直角三角形
两直角边的平方和等于斜边平方；三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半；三角形两边之和大
于第三边，两边之差小于第三边．【变式1】（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∠BAC=30°，BC=3，线段BC绕点B旋转到BD，连AD，E为AD的中点，连CE，设CE的最大值为
m，最小值为n，则m+n= ．
【答案】6
【分析】取AB的中点F，利用直角三角形斜边中线的性质求出AB=2BC=6，利用三角形中位线定理推
1 3
出EF= BD= ，再分类讨论可求得m和n的值，即得出答案．
2 2
【详解】解：由旋转的性质可得出BD=BC=3，
如图，取AB的中点F，连接EF、CF，
∵∠BAC=30°，BC=3．
∴AB=2BC=6，BF=FA=BC=CF=3，
∵E、F分别是AD、AB的中点，
1 3
∴EF= BD= ，
2 2
如图，当AD在AB上方时，
3
此时，如果C、E、F三点共线，则CE有最大值，最大值为CF+EF=3+ =4.5，即m=4.5；
2
如图，当AD在AB下方时，
3
此时，如果C、E、F三点共线时，CE有最小值，最小值为CF-EF=3- =1.5，即n=1.5，
2
∴n+n=6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，分类讨论求得CE的最大值和最小值是解题的关键．
【变式2】（22-23八年级下·江西宜春·阶段练习）在 中， 为 的中点，分别延长 ， 到点
， ，使 ；过 ， 分别作 ， 的垂线，相交于 ．求证： ．
【答案】证明见解析
【分析】取 、 的中点M、N，并连接 、 、 、 ．根据直角三角形斜边中线性质易得
，进而证明 ．
【详解】解：如图，分别取 、 的中点M、N，并连接 、 、 、 ．
∵ 为 的中点，
∴ ， ， ， ，
，
∵M、N分别为直角三角形 斜边的中点，
， ，
，
∴ ，
，
，
∴ 、 为顶角相等的等腰三角形，
．
【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是正确做出
辅助线
【变式3】．（2023上·辽宁葫芦岛·八年级统考期中）如图，D在AC上，△ABC与△CDE均为等边三角
形，F,H,G分别是BC,CE,AD的中点，连接FH,HG,GH．求证：△FGH为等边三角形．【答案】见解析
【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，取CD的中点M，连
接MH，得出△CMH为等边三角形，利用等边三角形的性质和中点的性质得出CF=MG，进而可证出
△FCH≌△GMH，由此得出HF=HG，∠FHG=60°，即可得出答案，合理作出辅助线得出三角形全
等是解决此题的关键．
【详解】取CD的中点M，连接MH，
∵△ABC与△CDE均为等边三角形，
∴BC=AC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∵F，H，G分别是BC，CE，AD的中点，M为CD的中点，
1 1 1 1
∴CF= CB，CH= CE，DM=CM= CD，DG= AD，
2 2 2 2
∴CM=CH，
又∠MCH=∠DCE=60°，
∴△CMH为等边三角形，
∴MH=CH，∠MCH=∠CMH=∠CHM=60°，
∴∠GMH=180°-∠CMH=180°-60°=120°，
又∠FCH=∠ACB+∠MCH=60°+60°=120°，
∴∠FCH=∠GMH，
1 1 1 1
又MG=DG+DM= AD+ CD= （AD+CD）= AC，
2 2 2 2
∴CF=MG，
在△FCH和△GMH中，
¿
∴△FCH≌△GMH（SAS），
∴HF=HG，∠CHF=∠MHG，∴∠CHF+∠FHM=∠MHG+∠FHM，
∴∠CHM=∠FHG，
∴∠FHG=60°，
∴△FGH为等边三角形，
