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第 22 章 二次函数全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若y＝（a2+a） 是二次函数，那么（ ）
xa2−2a−1
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
1
2．（3分）将二次函数y= x2−4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
3
1 1
A．y= (x−6) 2−10 B．y= (x+6) 2−11
3 3
1 1
C．y= (x+6) 2−10 D．y= (x−6) 2−11
3 3
3．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：
x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③m的值为0；④图象不经过第三象限．
上述结论中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③
4．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 …
那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37
5．（3分）点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（1，y ），D（4，y ）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象
1 2 3 4
上的四个点，下列说法一定正确的是（ ）A．若y y ＞0，则y y ＞0 B．若y y ＞0，则y y ＞0
1 2 3 4 1 4 2 3
C．若y y ＜0，则y y ＜0 D．若y y ＜0，则y y ＞0
3 4 1 2 2 3 1 4
6．（3分）一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向
左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（ ）
A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12
7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应
的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5
8．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面 AB宽48m，拱桥
最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点 E，F处安装两盏警
示灯，若要保证两盏灯的水平距离 EF 是 24m，则警示灯 E 距水面 AB 的高度为（ ）
A．12m B．11m C．10m D．9m
9．（3分★★★★）如图，二次函数 的图象与一次函数y ＝kx+m（k≠0）的图象相
y =ax2+bx+c(a≠0) 2
1
交两点，则二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象可能为（ ）A． B． C． D．
10．（3分★★★★）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2＜b2；
④a+b＜m（am﹣b）（m＞0）；
⑤方程ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y
＝ax2+bx+c，则a+b+c＝ ．
12．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝ ．
13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣
mx+c≤n的解集是 ．
14．（3分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线 x＝2；乙说：与x
轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的
顶点式是 ．1 1
15．（3分★★★★）已知二次函数y=−9x2−6ax−a2+2a(− ≤x≤ )有最大值﹣3，则实数a的值为
3 3
．
1 3
16．（3分★★★★★）在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+ x+4 （0≤x≤8）的图象如图所示，对
4 2
任意的0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L
为a到b时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝7时，W的取值范围是 ．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y＝3x2﹣6x+4；
1 5
（2）y=− x2+2x+ ．
2 2
18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣3 0 1 0 …
（1）求这个二次函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
（3）当x的取值范围为 时，y＞﹣3．19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4mx+3m2，m≠0．
（1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值．
20．（8分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上
涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个
月的销售利润为W元．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞4）元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一
个月的销售最大利润为2530，试求出a的值．
21．（8分）某市为了创建国家卫生城市，给市民营造干净卫生的环境，每天需要洒水车为绿化带浇水，
如图：洒水车喷水口H离地竖直高度OH为2米．可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐
标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，H点是下边缘抛物线的最高点，下
边缘喷水的最大射程OB＝1.5米，上边缘抛物线最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口H
的距离为0.5米．
（1）请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式；（不写自变量的取值范围）
（2）此时，距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到
水？并写出你的判断过程．(❑√5≈2.2)22．（8分★★★★）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如
下，请补充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
x … ﹣3 5 ﹣2 ﹣1 0 1 2 5 3 …
−
2 2
y … 0 7 m ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣3 7 0 …
− −
4 4
其中，m＝ ；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函
数图象的另一部分；
（3）观察函数图象，写出两条函数图象的性质 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有 个实数根；
②函数图象与直线y＝﹣3轴有 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝﹣3有 个实数
根；
③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝a有4个实数根时，a的取值范围是 ；
④不等式x2﹣2|x|＞3的解集是 ．2 10
23．（10分★★★★★）如图，直线y=− x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+ x+c经
3 3
过B、C两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上
的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
