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第 22 章 二次函数全章培优测试卷
【人教版】
（考试时间：60分钟 试卷满分：100分）
考前须知：
1．本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分100分，限时60分钟。
2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，压轴题均有★标记。
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）若y＝（a2+a）xa2−2a−1是二次函数，那么（ ）
A．a＝﹣1或a＝3 B．a≠﹣1且a≠0 C．a＝﹣1 D．a＝3
【分析】根据二次函数定义，自变量的最高指数是二，且系数不为0，列出方程与不等式即可解答．
【解答】解：根据题意，得：a2﹣2a﹣1＝2
解得a＝3或﹣1
又因为a2+a≠0即a≠0或a≠﹣1
所以a＝3．
故选：D．
1
2．（3分）将二次函数y= x2−4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式，正确的是（ ）
3
1 1
A．y= (x−6) 2−10 B．y= (x+6) 2−11
3 3
1 1
C．y= (x+6) 2−10 D．y= (x−6) 2−11
3 3
【分析】利用配方法化成顶点式即可得到答案．
1 1 1
【解答】解：∵y= x2−4x+1= (x2−12x)+1= (x−6) 2−11，
3 3 3
1 1
∴将二次函数y= x2−4x+1化成y＝a（x﹣h）2+k的形式为y= (x−6) 2−11．
3 3
故选：D．
3．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x … ﹣1 0 1 2 3 …
y … 3 0 ﹣1 m 3 …
①抛物线开口向下；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③m的值为0；④图象不经过第三象限．
上述结论中正确的是（ ）
A．①④ B．②④ C．③④ D．②③
【分析】根据二次函数的性质和表格中的数据，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决．
【解答】解：由表格可知，
−1+3
抛物线的对称轴是直线x= =1，故②错误，
2
抛物线的顶点坐标是（1，﹣1），有最小值，故抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上，故①错误，
当y＝0时，x＝0或x＝2，故m的值为0，故③正确，
当y≤0时，x的取值范围是0≤x≤2，故④正确，
故选：C．
4．（3分）下表给出了二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数值y的部分对应值：
x … 1 1.1 1.2 1.3 1.4 …
y … ﹣1 ﹣0.67 ﹣0.29 0.14 0.62 …
那么关于x的方程ax2+bx+c＝0的一个根的近似值可能是（ ）
A．1.07 B．1.17 C．1.27 D．1.37
【分析】观察表中数据得到抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，更
靠近点（1.3，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题可得到方程ax2+bx+c＝0一个根的近似值．
【解答】解：∵x＝1.2时，y＝ax2+bx+c＝﹣0.29；
x＝1.3时，y＝ax2+bx+c＝0.14；
∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的一个交点在（1.2，0）和点（1.3，0）之间，且更靠近点（1.3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0有一个根约为1.27．
故选：C．
5．（3分）点A（﹣4，y ），B（﹣2，y ），C（1，y ），D（4，y ）是二次函数y＝﹣2x2﹣4x+c+2图象
1 2 3 4
上的四个点，下列说法一定正确的是（ ）
A．若y y ＞0，则y y ＞0 B．若y y ＞0，则y y ＞0
1 2 3 4 1 4 2 3
C．若y y ＜0，则y y ＜0 D．若y y ＜0，则y y ＞0
3 4 1 2 2 3 1 4
−4
【分析】根据函数的表达式可得抛物线开口向下，对称轴为直线x =− =−1，再根据函数的单
2×(−2)调性得知，y ＞y ＞y ＞y ，接着判断每个选项即可得出答案．
2 3 1 4
【解答】解：∵y＝﹣2x2﹣4x+c+2，
−4
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x =− =−1，
2×(−2)
∴A（﹣4，y ）关于对称轴的对称点为（2，y ），B（﹣2，y ）关于对称轴的对称点为B（0，y ），
1 1 2 2
∵0＜1＜2＜4，且当x＞1时，y随x的增大而减小，
∴y ＞y ＞y ＞y ，
2 3 1 4
A．若y y ＞0，
1 2
则y ，y ，y 同号，
1 2 3
则y 可能与它们同号，也可能异号
4
则y y ＞0或y y ＜0，故本选项不符合题意；
3 4 3 4
B．若y y ＞0，
1 4
则y y 同号或者y y 异号，
2 3 2 3
故本选项不符合题意；
C．若y y ＜0，
3 4
则y ＜0，y ＞0，
4 3
则y ＞0，y ＞0或y ＜0，
2 1 1
故本选项不符合题意；
D．若y y ＜0，
2 3
则y ＞0，y ＜0，
2 3
则y ＜0，y ＜0，
1 4
则y y ＞0．
1 4
故本选项符合题意．
故选：D．
6．（3分）一位同学在画二次函数y＝2x2﹣bx+3的图象时，把﹣b看成了+b，结果所画图象是由原图象向
左平移6个单位长度所得的图象，则b的值为（ ）
A．24 B．﹣24 C．﹣12 D．12
b b2 b2 b
【分析】依据题意，先将二次函数y＝2x2﹣bx+3变形为顶点式y＝2（x2− x+ ）+3− =2（x− ）
2 16 8 4
b2
2+3− ，再由平移的规律“上加下减，左加右减”得向左平移6个单位长度所得的解析式为y＝2（x
8b b2 b b2
− +6）2+3− ，最后结合画错的解析式y＝2x2+bx+3＝2（x+ ）2+3− ，即可列式计算得解．
4 8 4 8
b b2 b2 b b2
【解答】解：由题意，∵二次函数y＝2x2﹣bx+3＝2（x2− x+ ）+3− =2（x− ）2+3− ，
2 16 8 4 8
又向左平移6个单位长度，
b b2
∴所得的解析式为y＝2（x− +6）2+3− ．
4 8
b b2
又结合画错的解析式y＝2x2+bx+3＝2（x+ ）2+3− ，
4 8
b b
∴− +6= ．
4 4
∴b＝12．
故选：D．
7．（3分）已知二次函数y＝x2﹣2mx+m2+1（m为常数），当自变量x的值满足﹣3≤x≤﹣1时，与其对应
的函数值y的最小值为5，则m的值为（ ）
A．1或﹣3 B．﹣3或﹣5 C．1或﹣1 D．1或﹣5
【分析】利用配方法可得出：当x＝m时，y的最小值为1．分m＜﹣3，﹣3≤m≤﹣1和m＞﹣1三种情
况考虑：当m＜﹣3时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方程，解之取其较小值；当﹣
3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；当m＞﹣1时，由y的最小值为5可得出关于m的一元二次方
程，解之取其较大值．综上，此题得解．
【解答】解：∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，
∴当x＝m时，y的最小值为1．
当m＜﹣3时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而增大，
∴9+6m+m2+1＝5，
解得：m ＝﹣5，m ＝﹣1（舍去）；
1 2
当﹣3≤m≤﹣1时，y的最小值为1，舍去；
当m＞﹣1时，在﹣3≤x≤﹣1中，y随x的增大而减小，
∴1+2m+m2+1＝5，
解得：m ＝﹣3（舍去），m ＝1．
1 2
∴m的值为﹣5或1．
故选：D．
8．（3分）廊桥是我国古老的文化遗产．如图是某座抛物线形廊桥的示意图，已知水面 AB宽48m，拱桥最高处点C到水面AB的距离为12m，为保护该桥的安全，现要在该抛物线上的点 E，F处安装两盏警
示灯，若要保证两盏灯的水平距离 EF 是 24m，则警示灯 E 距水面 AB 的高度为（ ）
A．12m B．11m C．10m D．9m
【分析】建立适当的坐标系，利用待定系数法求得抛物线的解析式，再把x＝﹣12代入解析式求出y即
可．
【解答】解：如图，以AB所在直线为x轴、线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，
由题意知，A（﹣24，0），B（24，0），C（0，12），
设过点A、B、C的抛物线解析式为：y＝ax2+12（a＜0），
把点A（﹣24，0）的坐标代入，得
0＝a×（﹣24）2+12，
1
解得：a=− ，
48
1
则该抛物线的解析式为：y=− x2+12；
48
∵EF＝24m，
∴x ＝﹣12，
E1
把x＝﹣12代入y=− x2+12得，
48
1
y=− ×（﹣12）2+12＝9，
48
∴警示灯E距水面AB的高度为9m，
故选：D．
9．（3分）如图，二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y ＝kx+m（k≠0）的图象相交两
1 2
点，则二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象可能为（ ）
A． B． C． D．
【分析】依据题意，由二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y ＝kx+m（k≠0）的图象相
1 2
交两点的横坐标分别为﹣1和2，从而可得方程ax2+bx+c＝kx+m，即ax2+（b﹣k）x+c﹣m＝0的两根为
﹣1和2，故函数y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣m与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0），则抛物线的对称轴是
b−k −1+2 1
直线x=− = = ，可得b﹣k＝﹣a，又a＞0，进而b﹣k＝﹣a＜0，从而k﹣b＞0，则有
2a 2 2
a
− ＜0，最后可以判断得解．
2(k−b)
【解答】解：由题意，∵二次函数y =ax2+bx+c(a≠0)的图象与一次函数y ＝kx+m（k≠0）的图象
1 2
相交两点的横坐标分别为﹣1和2，
∴可得方程ax2+bx+c＝kx+m，即ax2+（b﹣k）x+c﹣m＝0的两根为﹣1和2．
∴函数y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣m与x轴的交点为（﹣1，0），（2，0）．b−k −1+2 1
∴抛物线的对称轴是直线x=− = = ．
2a 2 2
∴b﹣k＝﹣a．
又∵a＞0，
∴b﹣k＝﹣a＜0．
∴k﹣b＞0．
a
∴− ＜0．
2(k−b)
∴二次函数y＝（k﹣b）x2+ax+c﹣m的图象开口向上，对称轴在y轴的左边，故只有A选项符合题意．
故选：A．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，对称轴是直线x＝1，下列结论：
①abc＜0；
②3a+c＞0；
③（a+c）2＜b2；
④a+b＜m（am﹣b）（m＞0）；
⑤方程ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解．
其中结论正确的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
b
【分析】依据题意，抛物线开口向上，对称轴是直线x=− =1，抛物线与y轴于负半轴，又当x＝﹣1
2a
时，y＝a﹣b+c＞0，从而逐个判断即可得解．
b
【解答】解：由题意，抛物线开口向上，对称轴是直线x=− =1，抛物线与y轴于负半轴，
2a
∴a＞0，b＝﹣2a＜0，c＜0．
∴abc＞0，故①错误．
又当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，
∴a+2a+c＞0，即3a+c＞0，故②正确．
由a﹣b+c＞0，∴b﹣a﹣c＜0．
又当x＝1时，y＝a+b+c＝b+a+c＜0，
∴（b﹣a﹣c）（b+a+c）＞0．
∴b2﹣（a+c）2＞0．
∴（a+c）2＜b2，故③正确．
由题意，∵当x＝1时，y取最小值＝a+b+c，
∴对于m＞0，即﹣m＜0，都有a（﹣m）2﹣bm+c＞a+b+c．
∴am2﹣bm＞a+b．
∴a+b＜m（am﹣b），故④正确．
由题意，∵m2≥0，
∴m2+1≥1＞0．
又对于直线y＝m2+1与抛物线y＝ax2+bx+c的交点横坐标为一正一负，
∴方程ax2+bx+c＝m2+1，即ax2+bx+c﹣m2﹣1＝0有一正一负两个实数解，故⑤正确．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物线y
＝ax2+bx+c，则a+b+c＝ ﹣ 1 ．
【分析】根据“左加右减，上加下减”的平移规律求解即可．
【解答】解：将抛物线y＝2（x﹣1）2﹣1先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到抛物
线为y＝2（x﹣1+1）2﹣1﹣2，即y＝2x2﹣3，
∴a＝2，b＝0，c＝﹣3，
∴a+b+c＝2+0﹣3＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．（3分）已知二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上，则a＝ 2 ．
【分析】根据二次函数的最小值为0列式求解即可得到a的值，即可作答．
【解答】解：∵二次函数y＝（a﹣1）x2+2ax+3a﹣2的图象的最低点在x轴上
4(a−1)(3a−2)−(2a) 2
∴ =0且a﹣1＞0，
4(a−1)
整理得，2a2﹣5a+2＝0且a＞1，
1
解得a ＝2，a = （舍去），
1 2 2故答案为：2．
13．（3分）如图，抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，则不等式ax2﹣
mx+c≤n的解集是 ﹣ 2 ≤ x ≤ 4 ．
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到不等式ax2﹣mx+c≤n的解集，本题得以解决．
【解答】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣2，p），B（4，q）两点，
∴ax2+c≤mx+n的解集是﹣2≤x≤4．
∴不等式ax2﹣mx+c≤n的解集是﹣2≤x≤4．
故答案为：﹣2≤x≤4．
14．（3分）有一条抛物线，三位学生分别说出了它的一些性质：甲说：对称轴是直线x＝2；乙说：与x
轴的两个交点的距离为6；丙说：顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，则这条抛物线解析式的
1 1
顶点式是 y=− （ x ﹣ 2 ） 2 + 3 或 y= （ x ﹣ 2 ） 2 ﹣ 3 （答案不唯一） ．
3 3
【分析】依据题意，对称轴是直线x＝2，与x轴的两个交点距离为6，可得与x轴的两个交点的坐标为
（﹣1，0），（5，0）；又结合顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，可得顶点的纵坐标为±3，
得顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3），进而可得用顶点式表示的抛物线的解析式，答案不唯一．
【解答】解：由题意，∵对称轴是直线x＝2，与x轴的两个交点距离为6，
∴可得抛物线与x轴的两个交点的坐标为（﹣1，0），（5，0）（答案不唯一）．
又顶点与x轴的交点围成的三角形面积等于9，
∴顶点坐标为（2，3）或（2，﹣3）．
故可设函数解析式为y＝a（x﹣2）2+3或y＝a（x﹣2）2﹣3；
1
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2+3得a=− ；
3
1
把点（5，0）代入y＝a（x﹣2）2﹣3得a= ．
3
1 1
∴满足上述全部条件的一条抛物线的解析式为 y=− （x﹣2）2+3或y= （x﹣2）2﹣3（答案不唯
3 3一）．
1 1
故答案为：y=− （x﹣2）2+3或y= （x﹣2）2﹣3（答案不唯一）．
3 3
1 1
15．（3 分）已知二次函数y=−9x2−6ax−a2+2a(− ≤x≤ )有最大值﹣3，则实数 a 的值为
3 3
a=−❑√2或=2+❑√6 ．
【分析】本题是关于二次函数最值的“逆向问题”，由题设知，二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称
a 1 1 a
轴是直线x=− ，而x的取值范围是− ≤x≤ ，所以要对− 是否在x的取值范围内讨论求解．
3 3 3 3
a
【解答】解：二次函数y＝﹣9x2﹣6ax﹣a2+2a的对称轴是直线x=− ，
3
1 a 1
（1）若− ≤− ≤ ，即﹣1≤a≤1，抛物线开口向下，
3 3 3
a
当x=− 时，y最大值 ＝2a，
3
a
∵二次函数最大值﹣3，即a=− 与﹣1≤a≤1矛盾，舍去．
3
a 1
（2）若− ＜− ，即a＞1
3 3
1 1
当− ≤x≤ 时，y随x增大而减小，
3 3
1
当x=− 时，y最大值 ＝﹣a2+4a﹣1，
3
由﹣a2+4a﹣1＝﹣3，
解得a＝2±❑√6．
又a＞1，
∴a＝2+❑√6；
a 1
（3）若− ＞ ，即a＜﹣1．
3 3
1 1
当− ≤x≤ 时，y随x增大而增大，
3 3
1
当x= 时，y最大值 ＝﹣a2﹣1，
3
由﹣a2﹣1＝﹣3，解得a＝±❑√2．
又a＜﹣1，∴a=−❑√2．
综上所述，a＝2+❑√6或a=−❑√2．
1 3
16．（3分）在平面直角坐标系中，抛物线y=− x2+ x+4 （0≤x≤8）的图象如图所示，对任意的
4 2
0≤a＜b≤8，称W为a到b时y的值的“极差”（即a≤x≤b时y的最大值与最小值的差），L为a到b
25
时x的值的“极宽”（即b与a的差值），则当L＝7时，W的取值范围是 4 ≤ W ≤ ．
4
【分析】根据抛物线的一般式可得出对称轴和顶点坐标，然后根据L＝7，得出b＝a+7，即可得出0≤a
＜a+7≤8，推出0≤a≤1和7≤a+7≤8，然后即可求出当a≤x≤a+7时y的最大值和最小值，即可写出
1
W= （a+4）2，然后根据0≤a≤1求出W的最大值和最小值即可求出范围．
4
1 3 1 25
【解答】解：根据题意可得：y=− x2+ x+4=− （x﹣3）2+ ，
4 2 4 4
25
∴抛物线的对称轴x＝3，顶点坐标为（3， ），
4
∵L＝7，即b与a的差值为7，
∴b＝a+7，
∵0≤a＜b≤8，即0≤a＜a+7≤8，
∴0≤a≤1，则7≤a+7≤8，
∴当a≤x≤3时，y随x增大而增大，当3＜x≤a+7时，y随x的增大而减小，
25
∴当x＝3时，y有最大值，最大值为 ，
4
1 25
当x＝a+7时，y有最小值，最小值为− （a+4）2+ ，
4 425 1 25 1
∴W= −[− （a+4）2+ ]= （a+4）2，
4 4 4 4
则对称轴a＝﹣4，
∴当0≤a≤1时，W随a的增大而增大，
∴当a＝0时，W有最小值，最小值为4，
25
当a＝1时，W有最大值，最大值为 ，
4
25
综上所述：4≤W≤ ；
4
25
故答案为：4≤W≤ ．
4
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）求下列二次函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴：
（1）y＝3x2﹣6x+4；
1 5
（2）y=− x2+2x+ ．
2 2
【分析】（1）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称
轴；
（2）将题目中的函数解析式化为顶点式，即可写出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴．
【解答】解：（1）∵y＝3x2﹣6x+4＝3（x﹣1）2+1，
∴该函数图象的开口向上，顶点坐标为（1，1），对称轴为直线x＝1；
1 5 1 9
（2）∵y=− x2+2x+ =− （x﹣2）2+ ，
2 2 2 2
9
∴该函数图象的开口向下，顶点坐标为（2， ），对称轴为直线x＝2．
2
18．（6分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如表：
x … ﹣3 ﹣1 1 3 …
y … ﹣3 0 1 0 …
（1）求这个二次函数表达式；
（2）在平面直角坐标系中画出这个函数图象；
（3）当x的取值范围为 ﹣ 3 ＜ x ＜ 5 时，y＞﹣3．【分析】（1）设交点式为y＝a（x+1）（x﹣3），然后把（1，1）代入求出a即可；
（2）利用描点法画二次函数图象；
（3）先利用对称性确定函数值为﹣3所对应的自变量的值，然后结合函数图象求解．
【解答】解：（1）设二次函数的表达式为y＝a（x+1）（x﹣3），
把（1，1）代入得1＝a×2×（﹣2），
1
解得a=− ，
4
1
∴二次函数的表达式为y=− （x+1）（x﹣3），
4
1 1 3
即y=− x2+ x+ ；
4 2 4
（2）如图，抛物线的顶点坐标为（1，1），
（3）∵y＝﹣3时，x＝﹣3或x＝5，
∴当﹣3＜x＜5时，y＞﹣3．
故答案为：﹣3＜x＜5．
19．（6分）已知二次函数y＝x2﹣4mx+3m2，m≠0．（1）求证：该二次函数的图象与x轴总有两个公共点；
（2）若m＞0，且两交点间的距离为2，求m的值．
【分析】（1）由题意得一元二次方程x2﹣4mx+3m2＝0，判断判根公式Δ与0的大小即可；
（2）由题意知x +x =4m，x ×x =3m2，|x −x |=❑√(x +x ) 2−4x ×x =2解得符合要求的m
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
的值．
{y=x2−4mx+3m2
)
【解答】（1）证明：由 可得一元二次方程，x2﹣4mx+3m2＝0，
y=0
∴该二次方程的Δ＝（﹣4m）2﹣4×3m2＝4m2，
∵m≠0，
∴Δ＝4m2＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根，二次函数图象与x轴总有两个公共点；
（2）解：由题意知x +x =4m，x ⋅x =3m2，
1 2 1 2
∴|x −x |=❑√(x +x ) 2−4x x =❑√(4m) 2−4×3m2=2|m|=2，
1 2 1 2 1 2
解得m＝1或m＝﹣1（舍去），
∴m的值为1．
20．（8分）某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出200件．如果每件商品的售价上
涨1元，则每个月少卖5件．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售件数为y，每个
月的销售利润为W元．
（1）直接写出y与x的函数关系式；
（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？
（3）若在销售过程中每一件商品有a（a＞4）元的其他费用，商家发现当售价每件不高于67元时，一
个月的销售最大利润为2530，试求出a的值．
【分析】（1）由题意得y与x的函数关系式即可；
（2）由题意得W与x的解析式为：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40），即可求解；
（3）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣5x2+（150+5a）x+（2000﹣200a），函数的对
1
称轴为直线x=15+ a，再根据二次函数性质即可求解．
2
【解答】解：（1）由题意得：y与x的函数关系式为：y＝200﹣5x；
（2）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40）＝﹣5（x﹣15）2+3125，
∵﹣5＜0，
∴当x＝15时，W有最大值3125，
50+x＝65，
∴当售价定为每件65元，每个月的利润最大，最大的月利润是3125元；
（3）由题意得：W＝（200﹣5x）（50+x﹣40﹣a）＝﹣5x2+（150+5a）x+（2000﹣200a），
150+5a 1
函数的对称轴为直线x=− =15+ a，
2×(−5) 2
∵a＞4，
1
∴15+ a＞17，
2
∵当售价每件不高于67元，即50+x≤67．
∴x≤17，
∵﹣5＜0，在对称轴左侧，W随x增大而增大，
a
∴当x＝17时，W有最大值，为2530，此时对称轴为直线x＝15+ ．
2
∴（200﹣5×17）×（50+17﹣40﹣a）＝2530，
解得：a＝5，
∴a＝5．
21．（8分）某市为了创建国家卫生城市，给市民营造干净卫生的环境，每天需要洒水车为绿化带浇水，
如图：洒水车喷水口H离地竖直高度OH为2米．可以把洒水车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐
标系中两条抛物线的部分图象；把绿化带横截面抽象为矩形 DEFG，H点是下边缘抛物线的最高点，下
边缘喷水的最大射程OB＝1.5米，上边缘抛物线最高点A离喷水口H的水平距离为2米，高出喷水口H
的距离为0.5米．
（1）请分别求出上、下边缘抛物线的函数关系式；（不写自变量的取值范围）
（2）此时，距喷水口水平距离为7米的地方正好有一个行人经过，试判断该行人是否会被洒水车淋到
水？并写出你的判断过程．(❑√5≈2.2)【分析】（1）由题意知，A（2，2.5），H（0，2），B（1.5，0），把两个抛物线解析式设为顶点式，
用待定系数法求解析式即可，
1
（2）将y＝0代入y=− (x−2) 2+2.5，解得x =2+2❑√5，x =2−2❑√5，据此进行判断作答即可．
8 1 2
【解答】解：（1）根据题意得：上边缘抛物线的顶点是A（2，2.5），
设上边缘抛物线的解析式是：y＝a（x﹣2）2+2.5，
把点H（0，2）代入得：2＝a（0﹣2）2+2.5，
1
解得：a=− ；
8
1
∴上边缘抛物线解析式为y=− (x−2) 2+2.5；
8
∵下边缘抛物线的顶点是H（0，2），
∴设下边缘抛物线的解析式是y＝a′x2+2，
把点B（1.5，0）代入得：0＝2.25a′+2，
8
解得：a′=− ，
9
8
∴下边缘抛物线解析式为y=− x2+2；
9
1
（2）令y=− (x−2) 2+2.5=0，则（x﹣2）2＝20，
8
解得：x =2+2❑√5，x =2−2❑√5，
1 2
∵2+2❑√5≈2+2×2.2=6.4＜7，
∴该行人不会被洒水车淋到水．
22．（8分）某班“数学兴趣小组”对函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补
充完整．
（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值如下：
x … ﹣3 5 ﹣2 ﹣1 0 1 2 5 3 …
−
2 2y … 0 7 m ﹣4 ﹣3 ﹣4 ﹣3 7 0 …
− −
4 4
其中，m＝ ﹣ 3 ；
（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函
数图象的另一部分；
（3）观察函数图象，写出两条函数图象的性质 ① 函数图象关于 y 轴对称， ② 当 x ＞ 1 时， y 随 x 的
增大而增大 ；
（4）进一步探究函数图象发现：
①函数图象与x轴有 2 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有 2 个实数根；
②函数图象与直线y＝﹣3轴有 3 个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝﹣3有 3 个实数根；
③关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝a有4个实数根时，a的取值范围是 是﹣ 4 ＜ a ＜﹣ 3 ． ；
④不等式x2﹣2|x|＞3的解集是 x ＜﹣ 1 或 x ＞ 3 ． ．
【分析】（1）把x＝﹣2代入函数解析式即可得m的值；
（2）描点、连线即可得到函数的图象；
（3）根据函数图象得到函数y＝x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②根据y＝x2﹣2|x|﹣3的图象与直线y＝﹣3
的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围．
【解答】解：（1）当x＝﹣2时，y＝（﹣2）2﹣2×|﹣2|﹣3＝﹣3，
∴m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
（2）根据给定的表格中数据描点画出图形，如图所示．（3）观察函数图象，可得出：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大．
故答案为：①函数图象关于y轴对称，②当x＞1时，y随x的增大而增大；
（4）①观察函数图象可知：当x＝﹣3、3时，y＝0，
∴该函数图象与x轴有2个交点，
即对应的方程x2﹣2|x|﹣3＝0有2个实数根．
故答案为：2；2．
②观察函数图象可知：函数y＝x2﹣2|x|﹣3的图象与y＝﹣3只有3个交点．
故答案为：3．
③观察图象可知：关于x的方程x2﹣2|x|﹣3＝a有4个实数根时，a的取值范围是﹣4＜a＜﹣3．
故答案为：﹣4＜a＜﹣3．
④不等式x2﹣2|x|＞3的解集是x＜﹣1或x＞3．
故答案为：x＜﹣3或者x＞3．
2 10
23．（10分）如图，直线y=− x+4与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+ x+c经过B、C
3 3
两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一动点，当△BEC面积最大时，请求出点E的坐标；
（3）在（2）的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上
的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请
直接写出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．【分析】（1）先根据一次函数求B和C的坐标，再利用待定系数法求二次函数的解析式；
2 10 2
（2）如图 1，过 E 作 EG∥y 轴，交直线 BC 于 G，设 E（m，− m2+ m+4），则 G（m，−
3 3 3
m+4），表示铅直高度EG的长，利用三角形面积公式及二次函数的最值得出点E的坐标；
（3）在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形．然后分三种情况讨
论，根据平行四边形的特征，求出使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形的点P的坐标是
多少即可．
【解答】解：（1）当x＝0时，y＝4，
∴B（0，4），
2
当y＝0时，− x+4＝0，
3
x＝6，
∴C（6，0），
10
把B（0，4）和C（6，0）代入抛物线y＝ax2+ x+c中得：
3
{
c=4
)
10 ，
36a+ ×6+c=0
3
{ a=− 2 )
解得： 3 ，
c=4
2 10
∴抛物线的解析式为：y=− x2+ x+4；
3 3
（2）如图1，过E作EG∥y轴，交直线BC于G，2 10 2
设E（m，− m2+ m+4），则G（m，− m+4），
3 3 3
2 10 2 2
∴EG＝（− m2+ m+4）﹣（− m+4）=− m2+4m，
3 3 3 3
1 1 2
∴S△BEC =
2
EG•OC =
2
×6（−
3
m2+ 4m）＝﹣2（m﹣3）2+18，
∵﹣2＜0，
∴S有最大值，此时E（3，8）；
2 10 2 25 25 2 5 49
（3）y=− x2+ x+4=− （x2﹣5x+ − ）+4=− （x− ）2+ ；
3 3 3 4 4 3 2 6
5
对称轴是：x= ，
2
∴A（﹣1，0）
∵点Q是抛物线对称轴上的动点，
5
∴Q的横坐标为 ，
2
在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形；
①如图2，以AM为边时，由（2），可得点M的横坐标是3，
2
∵点M在直线y=− x+4上，
3∴点M的坐标是（3，2），
5
又∵点A的坐标是（﹣1，0），点Q的横坐标为 ，
2
3
根据M到Q的平移规律：可知：P的横坐标为− ，
2
3 5
∴P（− ，− ）；
2 2
②如图3，以AM为边时，四边形AMPQ是平行四边形，
由（2），可得点M的横坐标是3，
5
∵A（﹣1，0），且Q的横坐标为 ，
2
13
∴P的横坐标为 ，
2
13 5
∴P（ ，− ）；
2 2
③以AM为对角线时，如图4，
∵M到Q的平移规律可得P到A的平移规律，
1 13
∴点P的坐标是（− ， ），
2 6综上所述，在抛物线上存在点P，使得以P、Q、A、M为顶点的四边形是平行四边形，
点P的坐标是（，）或（，）或（，）．
