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专题3 全等三角形中动态问题中的几何变换与动点问题（解析版）
类型一 全等三角形动态问题中的几何变换
（一）平移型
1．（2023春•临渭区期中）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，将△ABC沿AB边所在的直线向下平移得到
△DEF，BC与DF交于H，下列结论中不一定正确的（ ）
A．AD＝BD
B．AD＝BE
C．∠DEF＝90°
D．S四边形ADHC ＝S四边形BEFH
【思路引领】根据平移的性质逐一判断即可．
【解答】解：∵Rt△ABC沿直线边AB所在的直线向下平移得到△DEF，
∴AD＝BE，△ABC≌△DEF，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，S△ABC ＝S△DEF ，
∴S四边形ADHC ＝S四边形BEFH ，
观察四个选项，AD≠BD不正确，
故选：A．
【总结提升】本题考查了平移的性质，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键．
2．如图（a）所示，A、E、F、C在一条直线上，AE＝CF，过E、F分别作DE⊥AC、BF⊥AC，若AB＝
CD．（1）求证：BD平分EF（即EG＝FG）．
（2）若将DE向右平移、将BF向左平移，得到图（b）所示图形，在其余条件不变的情况下，（1）中
的结论是否仍然成立？请说明理由．
【思路引领】（1）要证明BD平分EF（即EG＝FG），可证明EG与FG所在的三角形全等（即证明
△EGD≌△FGB），由于DE⊥AC、BF⊥AC，∠BGF与∠DGE是对顶角的条件，所以解决问题的关键
是证明有一条边相等（DE＝BF），可通过证明△EDC与△FBA全等来实现，说明△EDC≌△FBA，通
过AE＝CF证明CE＝AF是关键；
（2）平移后△EDC与△FBA仍然相似，可仿照（1）进行推理证明．
【解答】解：（1）∵AE＝CF，EF＝EF，
∴AE+EF＝CF+EF，即AF＝CE
∵DE⊥AC、BF⊥AC，
∴∠DEG＝∠BFG＝90°
在Rt△ABF和Rt△CED中，
{AF=CE)
AB=CD
∴△ABF≌△CED．
∴ED＝BF，
∵在△DEG和△BFG中，
{∠EGD=∠BGF
)
∠DEG=∠BFG
DE=BF
∴△DEG≌△BFG，
∴EG＝FG，即BD平分EF．
（2）BD仍然平分EF．
理由：∵AE＝CF，EF＝EF，
∴AE﹣EF＝CF﹣EF，即AF＝CE
∵DE⊥AC、BF⊥AC，
∴∠DEG＝∠BFG＝90°
在Rt△ABF和Rt△CED中，
{AF=CE)
AB=CD
∴△ABF≌△CED．∴ED＝BF，
∵在△DEG和△BFG中，
{∠EGD=∠BGF
)
∠DEG=∠BFG
DE=BF
∴△DEG≌△BFG，
∴EG＝FG，即BD平分EF
【总结提升】本题考查了三角形的判定和三角形的性质．解决本题亦可连接 EB、FD，证明四边形
BEDF是平行四边形，利用平行四边形的性质说明BD平分EF．
（二）翻折型
3．（2023 秋•来宾期末）如图，△ABE 和△ADC 分别沿着边 AB、AC 翻折 180°形成的，若∠BCA：
∠ABC：∠BAC＝28：5：3，BE与DC交于点F，则∠EFC的度数为（ ）
A．20° B．30° C．40° D．45°【思路引领】根据∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，三角形的内角和定理分别求得∠BCA，
∠ABC，∠BAC的度数，然后根据折叠的性质求出∠D、∠DAE、∠BEA的度数，在△AOD中，根据三
角形的内角和定理求出∠AOD的度数，继而可求得∠EOF的度数，最后根据三角形的外角定理求出
∠EFC的度数．
【解答】解：在△ABC中，
∵∠BCA：∠ABC：∠BAC＝28：5：3，
∴设∠BCA为28x，∠ABC为5x，∠BAC为3x，
则28x+5x+3x＝180°，
解得：x＝5°，
则∠BCA＝140°，∠ABC＝25°，∠BAC＝15°，
由折叠的性质可得：∠D＝25°，∠DAE＝3∠BAC＝45°，∠BEA＝140°，
在△AOD中，∠AOD＝180°﹣∠DAE﹣∠D＝110°，
∴∠EOF＝∠AOD＝110°，
∴∠EFC＝∠BEA﹣∠EOF＝140°﹣110°＝30°．
故选：B．
【总结提升】本题考查图形的折叠变化及三角形的内角和定理．关键是要理解折叠是一种对称变换，它
属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，只是位置变化．
4．（2021秋•高坪区校级期中）如图，△ABE、△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的．若
∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，则∠EFC的度数为（ ）
A．75° B．80° C．95° D．100°
【思路引领】由题意设∠BAC＝28x，∠ABC＝5x，∠ACB＝3x，利用三角形的内角和定理可求解x值，
即可求解∠BAC＝140°，∠ABC＝25°，∠ACB＝15°，再由折叠的性质可求得∠FBCC，∠FCB的度数，
根据三角形外角的性质可求解．
【解答】解：∵∠BAC：∠ABC：∠ACB＝28：5：3，
∴设∠BAC＝28x，∠ABC＝5x，∠ACB＝3x，∴28x+5x+3x＝180°，
解得x＝5，
∴∠BAC＝140°，∠ABC＝25°，∠ACB＝15°，
由折叠可知：∠EBA＝∠ABC＝25°，∠ACD＝∠ACB＝15°，
∴∠FBC＝50°，∠FCB＝30°，
∴∠EFC＝∠FBC+∠FCB＝50°+30°＝80°，
故选：B．
【总结提升】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，通过方程求解∠BAC，∠ABC，
∠ACB的度数是解题的关键．
5．（2019秋•孝义市期中）（1）如图1，将两个全等的三角板如图摆放，其中△ABC和△ADE的直角顶
点重合在点A处，∠ADE＝∠ABC＝60°，且点D在AC上，点B在AE上，∠C＝∠E＝30°，AB＝AD，
AC＝AE，BC＝DE，BC和DE相交于点F．求证：CF＝EF．
（2）如图2，将这两个三角板如图摆放，直角顶点A仍然重合，BC与DE相交于点F，AC与DE交于
点M，AE和BC交于点N．猜想CF和EF还相等吗？说明理由．
（3）如图3，在（2）的基础上，若∠DAM＝30°．求证：线段DF和AC互相垂直平分．
【思路引领】（1）证明△CDF≌△EBF，根据全等三角形的性质证明结论；
（2）证明△BAN≌△DAM，得到AN＝AM，得到CM＝EN，证明△CMF≌△ENF，根据全等三角形的
性质证明结论；
（3）连接AF，分别证明△ACFA≌△AEF、△ADM≌△AFM、△CFM≌AFM，根据全等三角形的性质
证明结论．
【解答】（1）证明：∵AB＝AD，AC＝AE
∴AC﹣AD＝AE﹣AB，即CD＝EB，
在△CDF和△EBF中，{
∠C=∠E
)
∠CFD=∠EFB ，
CD=EB
∴△CDF≌△EBF（AAS）
∴CF＝EF；
（2）解：相等．
理由如下：∵∠CAB＝∠EAD＝90°，
∴∠CAB﹣∠CAE＝∠EAD﹣∠CAE，即∠BAN＝∠DAM，
在△BAN和△DAM中，
{∠BAN=∠DAM
)
AB=AD ，
∠B=∠D
∴△BAN≌△DAM（ASA）
∴AN＝AM，
∴AC﹣AM＝AE﹣AD，即CM＝EN，
在△CMF和△ENF中，
{
∠C=∠E
)
∠CFM=∠EFN ，
CM=EN
∴△CMF≌△ENF（AAS）
∴CF＝EF；
（3）证明：连接AF，
当∠DAM＝30°时，∠AMD＝180°﹣∠D﹣∠DAM＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∴AC⊥DF，即∠AMD＝∠AMF＝∠CMF＝90°，
∠CAN＝∠DAE﹣∠DAM＝90°﹣30＝60°，
在△ACF和△AEF中，
{AC=AE
)
CF=EF ，
AF=AF
∴△ACFA≌△AEF（SSS），
∴∠CAF＝∠EAF，
1
∴∠CAF＝∠EAF= ∠CAN＝30°，
2
在△ADM和△AFM中，{∠DAM=∠FAM
)
AM=AM
∠AMD=∠AMF
∴△ADM≌△AFM（ASA）
∴DM＝FM，即AC平分DF，
在△CFM和AFM中，
{
∠C=∠FAM
)
FM=FM
∠CMF=∠AMF
∴△CFM≌AFM（ASA）
∴AM＝CM，即DF平分AC，
综上所述，AC和DF互相垂直平分．
【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的
关键．
（三）旋转型
6．（2019•广阳区一模）如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，直角∠EPF的顶点P是BC中点，
两边PE，PF分别交AB，AC于点E，F，当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合）
给出以下五个结论：①AE＝CF；②∠APE＝∠CPF；③连接EF，△EPF是等腰直角三角形；④EF＝
AP；⑤S四边形AFPE ＝S△APC ，其中正确的有几个（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【思路引领】①②③连接 AP，证明△AEP≌△CFP（ASA）即可判断；EF 不是中位线，所以
EF≠AP；证明△AFP≌△BEP（SAS），S四边形AFPE ＝S△BPE +S△CPF ，即可判断⑤；【解答】解：①如图1：连接AP，
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，P是BC中点，
∴AP＝CP，∠BAP＝∠C＝45°，
∵∠EPF＝90°，
∴∠EPA+∠APF＝90°，∠APF+∠CPF＝90°，
∴∠APE＝∠CPF，
∴△AEP≌△CFP（ASA），
∴AE＝CF；
∴①②正确；
③由△AEP≌△CFP（ASA），
∴EP＝PF，
∴△EPF是等腰直角三角形，
∴③正确；
④∵EF不是中位线，
∴EF≠AP；
故①②③正确；
⑤∵AE＝CP，AP＝BP，∠B＝∠FAP＝45°，
∴△AFP≌△BEP（SAS），
∴S四边形AFPE ＝S△BPE +S△CPF ，
⑤∵AE＝CF，P是BC中点；
∴过点P作△APE和△PFC的高，高是相等的，
∴S△APE ＝S△PFC ，
∴S四边形AFPE ＝S△APC ，
∴⑤正确；
故选：C．【总结提升】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质；熟练掌握全等三角形的性质和判
定是解决问题的关键．
7．（2022秋•道县期末）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，
BE⊥MN于E．
（1）当MN绕点C旋转到图1的位置时，其他条件不变，请你探究线段DE、AD、BE之间的数量关系？
写出结论，并写出证明过程．
（2）当MN绕点C旋转到图2的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，
请写出你的结论，并加以证明；
（3）当MN绕点C旋转到图3的位置时，其他条件不变，你在（1）中得到的结论还成立吗？若不成立，
请直接写出结论，不要求写出证明过程）
【思路引领】（1）由条件可证明△ADC≌△CEB，利用全等三角形的性质和线段的和差可证得结论；
（2）同（1）可证得△ACD≌△CBE，利用全等三角形的性质可求得DE＝AD﹣BE；
（3）同理可证△ACD≌△CBE，则可得出答案．
【解答】解：（1）结论：DE＝AD+BE．
理由：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠DAC+∠DCA＝∠DCA+∠BCE＝90°，
∴∠DAC＝∠ECB，
在△ADC和△CEB中
{∠ADC=∠BEC
)
∠DAC=∠ECB ，
AC=BC
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴AD＝CE，CD＝BE，∵DE＝CD+CE，
∴DE＝AD+BE；
（2）不成立，结论：DE＝AD﹣BE．
理由：同理可证得△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵DE＝CE﹣CD，
∴DE＝AD﹣BE；
（3）不成立，结论：DE＝BE﹣AD．
理由：同理可证得△ADC≌△CEB，
∴CD＝BE，AD＝CE，
∵DE＝CD﹣CE，
∴DE＝BE﹣AD，
【总结提升】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知
识，由条件证得△ADC≌△CEB是解题的关键．
8．（2020秋•东辽县期末）将两个全等的直角三角形ABC和DBE按图①方式摆放，其中∠ACB＝∠DEB
＝90°，∠A＝∠D＝30°，点E落在AB上，DE所在直线交AC所在直线于点F．
（1）连接BF，求证：CF＝EF．
（2）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角 ，且0°＜ ＜60°，其他条件不变，如图②，
求证：AF+EF＝DE． α α
（3）若将图①中的△DBE绕点B按顺时针方向旋转角 ，且60°＜ ＜180°，其他条件不变，如图③，
你认为（2）中的结论还成立吗？若成立，写出证明过程β；若不成立β，请直接写出AF、EF与DE之间的
数量关系．【思路引领】（1）如图，连接BF，由△ABC≌△DBE，可得BC＝BE，根据直角三角形的“HL”判定
定理，易证△BCF≌△BEF，即可得出结论；
（2）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AC＝AF+CF＝AF+EF，即AF+EF＝
DE；
（3）同（1）得CF＝EF，由△ABC≌△DBE，可得AC＝DE，AF＝AC+FC＝DE+EF．
【解答】（1）证明：如图1，连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，
{BC=BE)
，
BF=BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴CF＝EF；
（2）如图2，连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，
{BC=BE)
，
BF=BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴EF＝CF，
∴AF+EF＝AF+CF＝AC＝DE；
（3）如图3，连接BF，
∵△ABC≌△DBE，
∴BC＝BE，
∵∠ACB＝∠DEB＝90°，
∴△BCF和△BEF是直角三角形，
在Rt△BCF和Rt△BEF中，{BC=BE)
，
BF=BF
∴Rt△BCF≌Rt△BEF（HL），
∴CF＝EF，
∵AC＝DE，
∴AF＝AC+FC＝DE+EF．
【总结提升】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，学生应熟练掌握证明三角形全等的几个判定定
理及其性质．解题时注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．
9．（2018秋•邗江区期末）活动一：已知如图 1，AB⊥AD，DE⊥AD，BC⊥CE，且AB＝CD．求证：
△ABC≌△DCE．
活动二：动手操作，将两个斜边长相等的直角三角形纸片按图2放置，其中∠ACB＝∠CED＝90°，∠A
＝45°，∠D＝30°．把△DCE绕点C按顺时针方向旋转15°得到△MCN．如图3，连接MB，求证：
△ACB≌△CBM．
活动三：如图4，已知点C坐标为（0，2），B为x轴上一点，△ABC是以BC为腰的在第一象限的等
腰直角三角形，∠BCA＝90°，当B点从原点出发沿x轴正半轴运动时，在图中画出A点运动路线．并
请说明理由．
【思路引领】活动一：利用同角的余角相等，证明∠B＝∠ECD，根据ASA即可证明；
活动二：根据SAS即可证明；活动三：作AH⊥y轴于H．只要证明△ACH≌△CBO，可得AH＝OC＝2，推出点A到y的距离为定值，
推出点A在平行于y轴的射线上运动，射线与y轴之间的距离为2（如图中虚线）．
【解答】活动一：证明：如图1，∵AB⊥AD，BC⊥CE，
∴∠ABC+∠BCA＝90°，
∠ECD+∠BCA＝90°，
∴∠ABC＝∠DCE，
∵∠BAC＝∠CDE＝90°，AB＝CD，
∴△ABC≌△DCE（ASA）．
活动二：证明：如图3，∵∠CNM＝90°，∠CMN＝30°，
∴∠MCN＝60°，
∵∠BCN＝15°，
∴∠MCB＝45°，
∵∠A＝45°，
∴∠A＝∠BCM，
∵AB＝CM，AC＝CB，
∴△ACB≌△CBM（SAS）．
活动三：解：作AH⊥y轴于H．
∵C（0，2），
∴OC＝2，∵∠AHC＝∠COB＝∠ACB＝90°，
∴∠HAC+∠ACH＝90°，∠ACH+∠BCO＝90°，
∴∠HAC＝∠BCO，
∵AC＝CB，
∴△ACH≌△CBO（AAS），
∴AH＝OC＝2，
∴点A的横坐标为2，
∴点A在平行于y轴的射线上运动，射线与y轴之间的距离为2（如图中竖直虚线）．
【总结提升】本题考查了三角形综合题，全等三角形的判定及性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形
的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．
类型二 全等三角形中的动点问题
10．（2020秋•姜堰区期中）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝5cm，CD为AB边上的
高，点E从点B出发，在直线BC上以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠BCD；
（2）当CF＝AB时，点E运动多长时间？并说明理由．
【思路引领】（1）根据余角的性质即可得到结论；
（2）如图，分点E在射线BC上移动和点E在射线CB上移动两种情况，证△CEF≌△ACB得CE＝AC
＝5，继而得出BE的长，从而得出答案．
【解答】解：（1）∵∠A+∠ACD＝90°，∠BCD+∠ACD＝90°，
∴∠A＝∠BCD；
（2）如图，当点E在射线BC上移动时，
∵∠A＝∠BCD，∠BCD＝∠ECF，
∴∠A＝∠ECF，
在△CFE与△ABC中，{∠CEF=∠ACB
)
∠ECF=∠A ，
CF=AB
∴△CEF≌△ACB（AAS），
∴CE＝AC＝7，
∴BE＝BC+CE＝12，
∴t＝12÷2＝6（s）；
当点E在射线CB上移动时，
同理△CF′E′≌△CBA（AAS），
∴CE′＝AC＝7，
∴BE′＝CE′﹣CB＝2，
∴t＝2÷2＝1（s）
总之，当点E在射线CB上移动6s或1s时，CF＝AB．
【总结提升】本题考查了全等三角形的判定和性质，余角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是
解题的关键．
11．（2022秋•昭阳区期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点，如
果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．
（1）若点Q与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；
（2）若点Q与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能使△BPD与△CQP全等？
【思路引领】（1）经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，由已知可得BD＝PC，BP＝CQ，∠ABC＝∠ACB，即据SAS可证得△BPD≌△CQP．
（2）可设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等，则可知PB＝3tcm，PC＝
（8﹣3t）cm，CQ＝xtcm，据（1）同理可得当BD＝PC，BP＝CQ或BD＝CQ，BP＝PC时两三角形全
等，求x的解即可．
【解答】解：（1）结论：△BPD与△CQP全等．
理由：经过1秒后，PB＝3cm，PC＝5cm，CQ＝3cm，
∵△ABC中，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
在△BPD和△CQP中，
{
BD=PC
)
∠ABC=∠ACB ，
BP=CQ
∴△BPD≌△CQP（SAS）．
（2）设点Q的运动速度为x（x≠3）cm/s，经过ts△BPD与△CQP全等；则可知PB＝3tcm，PC＝（8
﹣3t）cm，CQ＝xtcm，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
根据全等三角形的判定定理SAS可知，有两种情况：①当BD＝PC，BP＝CQ时，②当BD＝CQ，BP
＝PC时，两三角形全等；
①当BD＝PC且BP＝CQ时，8﹣3t＝5且3t＝xt，解得x＝3，∵x≠3，∴舍去此情况；
15
②BD＝CQ，BP＝PC时，5＝xt且3t＝8﹣3t，解得：x= ；
4
15
故若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点 Q的运动速度为 cm/s时，能够使△BPD与
4
△CQP全等．
【总结提升】本题主要考查了全等三角形全等的判定，涉及到等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形
的判定方法是解题的关键．判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根
据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．
12．（2022秋•淅川县期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线
AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位
长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P
的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．
【思路引领】（1）由题意得t+3t＝6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；
{ 6−t(t≤6) )
（2）根据题意即可得出CP的长为 ；
t−6(6＜t≤14)
（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．
【解答】解：（1）由题意得t+3t＝6+8，
7
解得t= （秒），
2
7
当P、Q两点相遇时，t的值为 秒；
2
（2）由题意可知AP＝t，
{ 6−t(t≤6) )
则CP的长为 ；
t−6(6＜t≤14)
（3）当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，
∴∠EPC＝∠QCF，
∴△PCE≌△CQF，
∴PC＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，
∴CQ＝8﹣3t＝5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，由题意得，6﹣t＝3t﹣8，
解得t＝3.5，
∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
【总结提升】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
13．如图：在∠EAF的平分线上取点B作BC⊥AF于点C，在直线AC上取一动点P，在直线AE上取点Q
使得BQ＝BP
（1）如图1，当点P在点线段AC上时，求证：∠BQA+∠BPA＝180°；
（2）如图2，当点P在CA延长线上时，探究AQ、AP、AC三条线段之间的数量关系，说明理由；
（3）在满足（1）的结论条件下，当点P运动到在射线AC上时，直接写出AQ、AP、PC三条线段之间
的数量关系为 AQ ﹣ AP ＝ 2 PC 或 AP ﹣ AQ ＝ 2 PC ．
【思路引领】（1）作BD⊥AE于D，根据角平分线的性质得到BD＝BC，证明Rt△DBQ≌Rt△CBP，
根据全等三角形的性质得到∠BQA＝∠BPC，证明结论；
（2）作BM⊥AE垂足为M，分别证明△ABM≌△ABC、Rt△DBQ≌Rt△CBP，根据全等三角形的性质
解答；
（3）分点P在线段AC上、点P在线段AC的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：如图1，作BD⊥AE于D，
∵AB是∠EAF的平分线，BC⊥AF，BD⊥AE，
∴BD＝BC，
在Rt△DBQ和Rt△CBP中，
{BD=BC)
，
BQ=BP
∴Rt△DBQ≌Rt△CBP（HL），
∴∠BQA＝∠BPC，
∵∠BPC+∠BPA＝180°，∴∠BQA+∠BPA＝180°；
（2）解：AQ﹣AP＝2AC，
理由如下：如图2，作BM⊥AE垂足为M，
∵BC⊥AF，
∴∠BMA＝∠BCA＝90°，
在△ABM和△ABC中，
{∠BMA=∠BCA
)
∠BAM=∠BAC ，
AB=AB
∴△ABM≌△ABC（AAS），
∴∠ABM＝∠ABC，AM＝AC，BM＝BC，
在Rt△MBQ和Rt△CBP中，
{BM=BC)
，
BQ=BP
∴Rt△DBQ≌Rt△CBP（HL），
∴QM＝PC，
∴AQ﹣AP＝（AM+QM）﹣（PC﹣AC）＝2AC；
（3）当点P在线段AC上时，如图1，AQ﹣AP＝2PC，
理由如下：∵Rt△DBQ≌Rt△CBP，
∴DQ＝PC，
由（2）可知，AD＝AC，
∴AQ﹣AP＝AD+DQ﹣（AC﹣PC）＝DQ+PC＝2PC；
当点P在线段AC的延长线上时，如图3，AP﹣AQ＝2PC，
理由如下：作BM⊥AE垂足为M，
∵Rt△MBQ≌Rt△CBP，
∴MQ＝PC，
由（2）可知，AM＝AC，
∴AP﹣AQ＝AC+PC﹣（AM﹣MQ）＝MQ+PC＝2PC，
故答案为：AQ﹣AP＝2PC或AP﹣AQ＝2PC．【总结提升】本题考查的是全等三角形的判定和性质、角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和
性质定理是解题的关键．
14．（2022春•张家港市期末）如图，∠MAN是一个钝角，AB平分∠MAN，点C在射线AN上，且AB＝
BC，BD⊥AC，垂足为D．
（1）求证：∠BAM＝∠BCA；
（2）动点P，Q同时从A点出发，其中点Q以每秒3个单位长度的速度沿射线AN方向匀速运动；动点
P以每秒1个单位长度的速度匀速运动．已知AC＝5，设动点P，Q的运动时间为t秒．
5
①如图②，当点P在射线AM上运动时，若点Q在线段AC上，且S△ABP =
2
S△BQC ，求此时t的值；
②如图③，当点P在直线AM上运动时，点Q在射线AN上运动的过程中，是否存在某个时刻，使得
△APB与△BQC全等？若存在，请求出t的值；若不存在，请说出理由．【思路引领】（1）先根据角平分线得出∠BAM＝∠BAN，再根据等边对等角得出∠BAN＝∠BCA，即
可得出结论；
5
（2）①过点B作BH⊥AM于H，先判断出BH＝BD，再用S△ABP =
2
S△BQC ，建立方程求解，即可求出
答案；
②分点P在射线AM和射线AM的反向延长线上，由△APB与△BQC全等结合条件判断出AP＝CQ，进
而建立方程求解，即可求出答案．
【解答】（1）证明：∵AB平分∠MAN，
∴∠BAM＝∠BAN，
∵AB＝BC，
∴∠BAN＝∠BCA，
∴∠BAM＝∠BCA；
（2）解：①如图②，过点B作BH⊥AM于H，
∵AB平分∠MAN，BD⊥AN，
∴BH＝BD，
5
∵S△ABP =
2
S△BQC ，
1 5 1
∴ AP•BH= • CQ•BD，
2 2 2
5
∴AP= CQ，
2
由运动知，AP＝t，AQ＝3t，
∵AC＝5，
∴CQ＝AC﹣AQ＝5﹣3t，
5
∴t= （5﹣3t），
225
∴t= ；
17
②Ⅰ、当点P在射线AM上时，如图③，
由（1）知，∠BAM＝∠BCA，
∵△APB与△BQC全等，且AB＝CB，
∴△APB≌△CQB，
∴AP＝CQ，
由①知，AP＝t，CQ＝5﹣3t，
∴t＝5﹣3t，
5
∴t= ；
4
Ⅱ、当P在射线AM的反向延长线上时，如图④，
由（1）知，∠BAM＝∠BCA，
∵∠BAP＝180°﹣∠BAM，∠BCQ＝180°﹣∠BCA，
∴∠BAP＝∠BCQ，
∵△APB与△BQC全等，且AB＝CB，
∴△APB≌△CQB，
∴AP＝CQ，
同①的方法得，AP＝t，CQ＝3t﹣5，
∴t＝3t﹣5，
5
∴t= ，
2
5 5
即满足条件的t的值为 或 ．
4 2【总结提升】此题是三角形综合题，主要考查了角平分线的定义和角平分线定理，全等三角形的性质和
判定，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
15．（2022秋•上杭县期中）如图1，直线AM⊥AN，AB平分∠MAN，过点B作BC⊥BA交AN于点C；动
点E、D同时从A点出发，其中动点E以2cm/s的速度沿射线AN方向运动，动点D以1cm/s的速度沿射
线AM方向运动；已知AC＝6cm，设动点D，E的运动时间为t．
（1）试求∠ACB的度数；
（2）当点D在射线AM上运动时满足S△ADB ：S△BEC ＝2：3，试求点D，E的运动时间t的值；
（3）当动点D在射线AM上运动，点E在射线AN上运动过程中，是否存在某个时间t，使得△ADB与
△BEC全等？若存在，请求出时间t的值；若不存在，请说出理由．
【思路引领】（1）根据角平分线的定义、直角三角形的锐角互余即可解决问题．
（2）作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．由BA平分∠MAN，推出BG＝BH，由S△ADB ：S△BEC ＝2：3，
1 1
AD＝t，AE＝2t，可得（ •t•BG）：（ •|6﹣2t|•BH）＝2：3，解方程即可解决问题．
2 2
（3）存在．由BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，可知当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1中，
∵AM⊥AN，
∴∠MAN＝90°，
∵AB平分∠MAN，
∴∠BAC＝45°，
∵CB⊥AB，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ACB＝45°．
（2）如图2中，
作BH⊥AC于H，BG⊥AM于G．
∵BA平分∠MAN，
∴BG＝BH，
∵S△ADB ：S△BEC ＝2：3，AD＝t，AE＝2t，
1 1
∴（ •t•BG）：（ •|6﹣2t|•BH）＝2：3，
2 212
∴t= 或t＝12秒．
7
12
∴当t=
7
s或12秒时，满足S△ADB ：S△BEC ＝2：3．
（3）存在．∵BA＝BC，∠BAD＝∠BCE＝45°，
∴当AD＝EC时，△ADB≌△CEB，
∴t＝6﹣2t，
∴t＝2s，
∴满足条件的t的值为2s．
【总结提升】此题是三角形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三
角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．
