文档文本内容
第 28 节 圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系
基础知识要夯实
1.圆的定义和圆的方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
标 圆心C(a，b)
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
准 半径为r
方 (D2＋E2－4F＞0)
程 一 充要条件： D 2 ＋ E 2 － 4 F ＞ 0
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
般 圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
平面上的一点M(x ，y )与圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2之间存在着下列关系：
0 0
(1)|MC|＞r M在圆外，即(x －a)2＋(y －b)2＞r2 M在圆外；
0 0
(2)|MC|＝r M在圆上，即(x －a)2＋(y －b)2＝r2 M在圆上；
⇔ 0 0 ⇔
(3)|MC|＜r M在圆内，即(x －a)2＋(y －b)2＜r2 M在圆内.
⇔ 0 0 ⇔
3.直线与圆的位置关系
⇔ ⇔
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为
d，由
消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
位置关系 相离 相切 相交
图形
方程观点 Δ<0 Δ＝0 Δ>0
量化
几何观点 d>r d＝r d<r
4.圆与圆的位置关系
设两圆的半径分别为R，r(R＞r)，两圆圆心间的距离为d，则两圆的位置关系可用下表
表示：
位置关系 外离 外切 相交 内切 内含
图形R － r ＜ d ＜
量的关系 d ＞ R ＋ r d ＝ R ＋ r d ＝ R － r d ＜ R － r
R ＋ r
公切线条数 4 3 2 1 0
5.常用结论
1.圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为x x＋y y＝r2.
0 0 0 0
(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x ，y )的圆的切线方程为(x －a)(x－a)＋(y －b)(y
0 0 0 0
－b)＝r2.
(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x ，y )作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为 x x＋y y
0 0 0 0
＝r2.
2.直线被圆截得的弦长的求法
(1)几何法：运用弦心距d、半径r和弦长的一半构成的直角三角形，计算弦长|AB|＝2.
(2)代数法：设直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交于点M，N，将直线方程
代入圆的方程中，消去y，得关于x的一元二次方程，求出x ＋x 和x ·x ，则|MN|＝·.
M N M N
基本技能要落实
考点一 圆的方程
1.在平面直角坐标系中，经过三点 (0，0)，(1，1)，(2，0)的圆的方程为
________________.
2.已知圆C的圆心在直线x＋y＝0上，圆C与直线x－y＝0相切，且截直线x－y－3＝0
所得的弦长为，则圆C的方程为________.
3.(2021·兰州、张掖重点中学联考)设A(2，－1)，B(4，1)，则以线段AB为直径的圆的
方程为( )
A.(x－3)2＋y2＝2 B.(x－3)2＋y2＝8
C.(x＋3)2＋y2＝2 D.(x＋3)2＋y2＝8
4.(2021·郑州二模)圆(x＋2)2＋(y－12)2＝4关于直线x－y＋8＝0对称的圆的方程为( )
A.(x＋3)2＋(y＋2)2＝4 B.(x＋4)2＋(y－6)2＝4
C.(x－4)2＋(y－6)2＝4 D.(x＋6)2＋(y＋4)2＝4
考点二 与圆有关的轨迹问题
【例2】已知Rt ABC的斜边为AB，且A(－1，0)，B(3，0)，求：
(1)直角顶点C的轨迹方程；
△(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【方法技巧】
求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法：
(1)直接法，直接根据题目提供的条件列出方程；
(2)定义法，根据圆、直线等定义列方程；
(3)几何法，利用圆的几何性质列方程；
(4)代入法，找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等.
【跟踪训练】
1.设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形
MONP，求点P的轨迹方程.
考点三 直线与圆的位置关系
1.若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( )
A.[－3，－1] B.[－1，3]
C.[－3，1] D.(－∞，－3]∪[1，＋∞)
2.(2022·衡水模拟)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是( )
A.相交 B.相切
C.相离 D.不确定
3.“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【方法技巧】判断直线与圆的位置关系的常见方法
(1)几何法：利用d与r的关系.
(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断.
(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交.
上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题.
考点四 圆的弦长问题
【例4】(1)(2021·济南调研)已知圆C：(x－1)2＋(y＋1)2＝1与直线kx＋y＋1＝0相交于
A，B两点，若△CAB为等边三角形，则k的值为( )
A.± B.±2 C.± D.±
(2)(2020·河南名校联考)设圆x2＋y2－2x－2y－2＝0的圆心为C，直线l过(0，3)，且与
圆C交于A，B两点，若|AB|＝2，则直线l的方程为( )A.3x＋4y－12＝0或4x－3y＋9＝0
B.3x－4y＋12＝0或4x＋3y＋9＝0
C.4x－3y＋9＝0或x＝0
D.3x＋4y－12＝0或x＝0
【方法技巧】弦长的两种求法
(1)代数方法：将直线和圆的方程联立方程组，消元后得到一个一元二次方程.在判别式
Δ＞0的前提下，利用根与系数的关系，根据弦长公式求弦长.
(2)几何方法：若弦心距为d，圆的半径长为r，则弦长l＝2.
【跟踪训练】
1.过圆C：(x－1)2＋y2＝1外一点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B.若△PAB为等
边三角形，则过D(2，1)的直线l被P点轨迹所截得的最短弦长为________.
考点五 圆的切线问题
【例5】(1)(经典母题)过点P(2，4)引圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1的切线，则切线方程为
________.
(2)点P为射线x＝2(y≥0)上一点，过P作圆x2＋y2＝3的两条切线，若两条切线的夹角
为90°，则点P的坐标为( )
A.(2，1) B.(2，2)
C.(2，) D.(2，0)
【方法技巧】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线
方程.若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切
线有两条，此时注意斜率不存在的切线.
【跟踪训练】
1.(2022·马鞍山二模)在平面直角坐标系xOy中，若圆C：(x－3)2＋(y－a)2＝4上存在两
点A，B满足∠AOB＝60°，则实数a的最大值是( )
A.5 B.3
C. D.2
考点六 圆与圆的位置关系
【例6】已知两圆C ：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C ：x2＋y2－10x－12y＋45＝0.
1 2
(1)求证：圆C 和圆C 相交；
1 2
(2)求圆C 和圆C 的公共弦所在直线的方程和公共弦长.
1 2
【方法技巧】1.判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法.
2.若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到.
【跟踪训练】
1.已知圆O 的方程为x2＋y2＝1，圆O 的方程为(x＋a)2＋y2＝4，若这两个圆有且只有一
1 2
个公共点，那么a的所有取值构成的集合是( )
A.{1，－1，3，－3} B.{5，－5，3，－3}
C.{1，－1} D.{3，－3}
(2)(2021·东北三省三校联考)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(
)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
达标检测要扎实
1．已知圆 与直线 至少有一个公共点，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．若点 在圆 的外部，则实数 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．两圆 与 的公切线有（ ）
A． 条 B． 条 C． 条 D． 条
4．圆 关于直线l： 对称的圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．过圆 内一点 作一弦交圆于 、 两点，过点 、 分别作圆的切线 、
，两切线交于点 ，则点 的轨迹方程为（ ）
A． B．C． D．
6．过点 作圆 的最短弦，延长该弦与 轴、 轴分别交于 两点，则
的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
7．已知 ， ，圆 ： （ ），若圆 上存在点 ，使
，则圆 的半径 的范围是（ ）
A． B． C． D．
8． 为 上一点， 为直线 上一点，则线段 长度的最小
值为（ ）
A． B． C． D．
9．已知圆C：x2+（y﹣2）2＝r2与直线x﹣y＝0交于A，B两点，若以弦AB为直径的圆刚好经过已
知圆的圆心C，则圆C的半径r的值为（ ）
A．1 B． C．2 D．4
10．已知圆 ，圆 ， ， 分别为圆 和圆 上的
动点， 为直线 上的动点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．如果复数z满足 ，那么 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知圆 ， ，则这两圆的公共弦长为（ ）A．4 B． C．2 D．1
二、填空题
13．圆 与圆 内切，则 的值为______.
14．已知平面直角坐标系中， ，若 是等边三角形的顶点，且依次按逆时针方
向排列，则点 的坐标是___________.
15．已知圆 ，点 ，从坐标原点 向圆 作两条切线 ， ，
切点分别为 ， ，若切线 ， 的斜率分别为 ， ， ，则 的取值范围为
________．
16．已知圆的方程为 ，设该圆过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，
则四边形 的面积为__________.
三、解答题
17．已知圆 过点 ， ，且点 关于直线 的对称点 仍在圆 上．
（1）求圆 的方程；
（2）设 是圆 上任意一点 ， ， 求 的最大值和最
小值．
18．已知 ， ， .
（1）求点 到直线 的距离；
（2）求 的外接圆的方程.
19．最近国际局势波云诡谲，我国在某岛（如图（1））上进行军事演练，如图（2）， 是三
个军事基地， 为一个军事要塞.已知 km， 到 的距离分别为 km，
km.（1）求两个军事基地 的长；
（2）若要塞 正北方向距离要塞20km处有一 城中心正在进行爆破试验，爆炸波生成th时的半
径为 ( 为大于零的常数)，爆炸波开始生成时，一军事卡车以 km/h的速度自基地 开往
基地 ，问实数 在什么范围取值时，爆炸波不会波及到卡车的行驶.
20．已知直线 与圆 交于 两点．
（1）求出直线 恒过定点的坐标
（2）求直线 的斜率的取值范围
（3）若 为坐标原点，直线 的斜率分别为 ，试问 是否为定值？若是，求出该
定值：若不是，请说明理由．
21．已知圆C经过 三点.
（1）求圆C的方程；
（2）设点A在圆C上运动，点 ，且点M满足 ，记点M的轨迹为 .
①求 的方程；
②试探究：在直线 上是否存在定点T(异于原点O)，使得对于 上任意一点P，都有 为
一常数，若存在，求出所有满足条件的点T的坐标，若不存在，说明理由.
22．已知 ， 为 上三点.（1）求 的值；
（2）若直线 过点(0，2)，求 面积的最大值；
（3）若 为曲线 上的动点，且 ，试问直线 和直线 的
斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由.
