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第 28 讲 三角恒等变换（2）
知识梳理
1. 在三角函数式的化简、求值、证明等三角恒等变换中，要注意将不同名的三角函数化成同名的三角
函数，如遇到正切、正弦、余弦并存的情况，一般要切化弦．
2. 要注意对“1”的代换：
如1＝sin2α＋cos2α＝tan，还有1＋cosα＝2cos2，1－cosα＝2sin2.
3. 对于sinαcosα与sinβ±cosα同时存在的试题，可通过换元完成：
如设t＝sinα±cosα，则sinαcosα＝±.
4. 要注意角的变换，熟悉角的拆拼技巧，理解倍角与半角是相对的，如2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋
β)－β＝(α－β)＋β，是的半角，是的倍角等．
5. 用三角方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asinx＋bcosx＝sin(x＋φ)，其中cosφ＝，sinφ＝.则－≤y≤.
(2)y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整理转化为上一种形式．
(3)y＝(或y＝)
可转化为只有分母含sinx或cosx的函数式sinx＝f(y)的形式，由正、余弦函数的有界性求解．
6. 用代数方法求三角函数的最值常见的函数形式：
(1)y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为关于cosx的二次函数式．
(2)y＝asinx＋(a，b，c＞0)，令sinx＝t，则转化为求y＝at＋(－1≤t≤1)的最值，一般可用基本不等式
或单调性求解．
1、【2023年新高考1卷】 已知 ，则 （ ）．
A. B. C. D.
2、【2021年新高考1卷】若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3、【2018年新课标1卷文科】已知角 的顶点为坐标原点，始边与 轴的非负半轴重合，终边上有两点
， ，且 ，则
A． B． C． D．
4、【2018年新课标1卷文科】已知函数 ，则A． 的最小正周期为 ，最大值为
B． 的最小正周期为 ，最大值为
C． 的最小正周期为 ，最大值为
D． 的最小正周期为 ，最大值为
1、若tan α＝，tan(α＋β)＝，则tan β＝ .
2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，则α＋β等于( )
A. B.或
C. D．2kπ＋(k∈Z)
Δ AEB
3、已知¿ ， ，则 [ 的值为_______．
4、设 为锐角，若 ，则 的值为 ．
5、 （2022年福建诏安县模拟试卷）已知 ， ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
考向一 变角的运用
例1、已知α为锐角，若cos ＝，求 sin 的值．
变式1、（1）（2022·江苏·南京外国语学校模拟预测）已知 ，若 ，则
（ ）A． B． C． D．
（2）（2022·广东湛江·二模）若 ， ，则 ___________.
1 1
tan tan
变式2、（1）（2021·山东烟台市·高三二模）已知 2 ， 3，则
tan2
的
值为______．
（2）已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，则cos＝________.
方法总结：所谓边角就是用已知角表示所求的角，要重点把握住它们之间的关系，然后运用有关公式进行
求解。
考向二 求角
例2、已知锐角α，β满足sin α＝，cos β＝，求α＋β的值．
变式1、已知α，β为锐角，且sin α＝，cos β＝，求α－β的值．
变式2、若sin 2α＝，sin (β－α)＝，且α∈，β∈，则α＋β的值为__________．
变式3、（1）（2022·湖北·恩施土家族苗族高中高三期末）已知 且 ，则
=（ ）
A． B．
C． D． 或
（2）（2022·河北张家口·高三期末）（多选题）已知 ， ，则
（ ）A． B． C． D．
方法总结：求角的步棸：1、求角的某一个三角函数值，（结合具体情况确定是正弦、余弦还是正切）2、
确定角的范围（范围尽量缩小）3、根据范围和值确定角的大小。
考向三 公式的综合运用
例3、已知函数f(x)＝sin (x＋θ)＋a cos (x＋2θ)，其中a∈R，θ∈.
(1) 当a＝，θ＝时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2) 若f＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
变式1、(1) 函数f(x)＝sin (x＋φ)－2sin φcos x的最大值为 ；
(2) 函数f(x)＝sin －2sin2x的最小正周期是 ．
变式2、（2022·山东青岛·高三期末）（多选题）已知函数 ，则下
列结论正确的是（ ）
A．
B． 是 图象的一条对称轴
C． 的最小正周期为
D．将 的图象向左平移 个单位后，得到的图象关于原点对称
方法总结：降幂公式是解决含有cos2x、sin2x式子的问题较常用的变形之一，它体现了逆用二倍角公式的解
题技巧．1、（2022·广东韶关·一模）若 ，则 __________.
2、（2022年福建连城县模拟试卷）已知 ，且 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3、（2022年广东揭阳市模拟试卷）已知 ，则
A. B. C. D. .
4 、 （ 2022 年 福 建 上 杭 县 模 拟 试 卷 ） 已 知 ， ， 则
（ ）
A. B. C. D. 0
5、（2022·江苏宿迁·高三期末）已知 ， 则 ____________.
6、（2022·江苏通州·高三期末）若 ，则α的一个可能角度值为__________.
7、（2022·江苏如东·高三期末）写出一个满足tan20°＋4cosθ＝ 的θ＝_________.
8、（2022·江苏南京·模拟预测）已知 ， ．(1)求 的值；
(2)若 ， ，求 的值．
