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第 28 讲 平面向量的概念与线性运算
【基础知识网络图】
平面向量
平 平 平
平 面 面 面
面 向 向 向
向 量 量 量
量 的 的 的
的 线 基 坐
概 性 本 标
念 运 定 表
算 理 示
【基础知识全通关】
一、向量的概念
1．向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段 表示，其中A为起点，B为终点.
向量 的长度 又称为向量的模；
长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量.
2．方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.
平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量.
3．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等.
4. 与 长度相等，方向相反的向量叫做 的相反向量，规定零向量的相反向量是零向量.
【微点拨】 ①有向线段的起、终点决定向量的方向， 与 表示不同方向的向量；
②有向线段的长度决定向量的大小，用 表示， .
③任意两个非零的相等向量可经过平移重合在一起，因此可用一个有向线段表示，而与起点无关.
二、向量的加法、减法
1．向量加法的平行四边形法则
平行四边形ABCD中（如图），
向量 与 的和为 ,记作: .（起点相同）
2．向量加法的三角形法则
根据向量相等的定义有: ，即在Δ 中， .
首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点.
规定:零向量与向量 的和等于 .
3. 向量的减法
向量 与向量 叫做相反向量.记作: .
则 .
【微点拨】
①关于两个向量的和应注意：两个向量的和仍是一个向量；使用三角形法则时要注意“首
尾相连”；当两个向量共线时，三角形法则适用，而平行四边形法则不适用.
②向量减法运算应注意：向量的减法实质是加法的逆运算，差仍为一个向量；用三角形法
则作向量减法时，记住“连结两个向量的终点，箭头指向被减向量”.
三、实数与向量的积
1．定义：
λ
一般地，实数 与向量 的积是一个向量,记作 ，它的长与方向规定如下：
（1） ；
λ λ
（2）当 >0时， 的方向与 的方向相同；当 <0时， 的方向与 的方向相反；
λ
当 =0时， ；2．运算律
设 λ ，μ为实数，则
（1） ；
（2） ；
（3）
3．向量共线的充要条件
已知向量 、 是两个非零共线向量，即 ，则 与 的方向相同或相反.
向量 与 共线，当且仅当有唯一一个实数 ，使 .
【微点拨】
①向量数乘的特殊情况：当 时， ；当 时，也有 ；实数和向量
可以求积，但是不能求和、求差.
②平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用
时，构成两个基地的向量是不共线的向量.
四、平面向量的坐标运算
1．平面向量的坐标表示
选取直角坐标系的x轴、y轴上的单位向量 ， 为基底，由平面向量基本定理，该平面内
任一向量 表示成 的形式，由于 与数对（x,y）是一一对应的，因此把
（x,y）叫做向量 的坐标表示.
2．平面向量的坐标运算
已知 ， ，则
（1）
（2）3．平行向量的坐标表示
已知 ， ，则 （ ）
【微点拨】
①若 ， ，则 的充要条件不能表示成 ，因为
有可能等于 0，所以应表示为 ；同时 的充要条件也不能错记为
， 等.
②若 ， ，则 的充要条件是 ，这与
在本质上是没有差异的，只是形式上不同.
【考点研习一点通】
考点一 平面向量的有关概念
例1、给出下列四个命题：
①若|a|＝|b|，则a＝b；
②若A，B，C，D是不共线的四点，则“AB＝DC”是“四边形ABCD为平行四边形”的充
要条件；
③若a＝b，b＝c，则a＝c；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b.
其中正确命题的序号是( )
A. ②③ B.①② C.③④ D.②④
【变式1-1】给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；
②λa＝0(λ为实数)，则λ必为零；
③λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中错误的命题的个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
【变式1-2】如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心．
A F
a
B E
O
b
C D（1）与 相等的向量有 ；
（2）与 相等的向量有
；
与 共线的向量有
（3） ．
考点二 向量的线性运算
例2、(1)在△ABC中，BD＝BC，若AB＝a，AC＝b，则AD＝( )
A.a＋b B．a＋b
C.a－b D.a－b
(2)(一题多解)已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA－12OB－3OC＝0，则( )
A.OA＝12AB＋3AC B．OA＝12AB－3AC
C.OA＝－12AB＋3AC D.OA＝－12AB－3AC
【变式2-1】
1.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB等于( )
A.AB－AC B.AB－AC
C.AB＋AC D.AB＋AC
2．如图，在等腰梯形ABCD中，DC＝AB，BC＝CD＝DA，DE⊥AC于点E，则DE等于(
)
A.AB－AC B.AB＋AC
C.AB－AC D.AB＋AC
【变式2-2】如图所示，四边形 为梯形，其中 ， ，
， 分别为 ， 的中点，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
考点三 共线定理的应用
例3、如图，在△ABO中，OC＝OA，OD＝OB，AD与BC相交于点M，设OA＝a，OB＝b.试用a和b表示OM.
【变式3-1】设两个非零向量a与b不共线．
(1)AB＝a＋b，BC＝2a＋8b，CD＝3(a－b)，求证：A，B，D三点共线；
(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．
【考点易错】
1.已知向量 ， 满足 ， 在 上投影为 ，则 的最小值为
A． B． C． D．
2.在平行四边形 中， ， ， ， 交 于F且
，则下列说法正确的有（ ）A． B．
C． D．
3.已知两个非零向量a与b不共线.
（1）若 =a+b, =2a+8b, =3(a−b),求证:A,B,D三点共线;
（2）试确定实数k,使ka+b和a+kb共线.
【巩固提升】
1、在△ABC中，点G满足GA＋GB＋GC＝0.若存在点O，使得OG＝BC，且OA＝mOB＋nOC，则m
－n等于( )
A．2 B．－2 C．1 D．－1
AD
2.在 中， 为 边上的中线， 为 的中点，则
A． B．
C． D．
3.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=2AD=2DC，E为BC边上一点，且
，F为AE的中点，则（ ）A．
B．
C．
D．
4.如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．下列说法正确的是
A．向量 与向量 是共线向量，则点 必在同一条直线上
B．两个有共同终点的向量，一定是共线向量
C．长度相等的向量叫做相等向量
D．两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同
6．已知O是正六边形ABCDEF的中心，则与向量 平行的向量为
A． B．C． D．
7．设 是平行四边形 的对角线的交点， 为任意一点（且不与 重合），
等于
A． B．
C． D．
8．设D为 所在平面内一点， ，则
A． B．
C． D．
9．已知 为非零不共线向量，向量 与 共线，则
A． B．
C． D．8
10．已知 为两非零向量，若 ，则 与 的夹角的大小是
A． B．
C． D．
11．已知非零向量 ，且 ，则一定共线的三
点是
A．A、B、D B．A、B、C
C．B、C、D D．A、C、D
12．如图， 在 的内部， 为 的中点，且 ，则的面积与 的面积的比值为
A．3 B．4
C．5 D．6
13．已知 为 内一点，且 ， ，若 , , 三点共
线，则 的值为
A． B．
C． D．
14．已知等边三角形 中， 是线段 的中点， ，垂足为 是线段
的中点，则
A． B．
C． D．
15、在四边形ABCD中，AB＝DC＝(1,1)，·BA＋·BC＝·BD，则四边形ABCD的面积为
________.
16.设向量 ，若 ，则 .
17.如图，在四边形 中， ， ，且
，则实数 的值为_________，若 是线段 上的动点，且 ，则 的最小值为_________．
18.已知正方形 的边长为2，点P满足 ，则 _________；
_________．
19.已知平面单位向量 ， 满足 ．设 ， ，向量 ，
的夹角为 ，则 的最小值是_______．
20.已知a，b为单位向量，且a·b=0，若 ，则 ___________.
21.在四边形 中，
， 点 在 线 段 的 延 长 线 上 ， 且
，则 _____________．
22、已知向量a＝2e－3e，b＝2e＋3e，其中e，e不共线，向量c＝2e－9e，问是否存
1 2 1 2 1 2 1 2
在这样的实数λ，μ，使向量d＝λa＋μb与c共线？
23．如图,M,N是平行四边形ABCD的边AD,CD的中点,E,F是对角线AC的三等分点,求
证:B,E,M三点共线,且B,F,N三点共线.
