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第 29 讲 三角函数的图象与性质
1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)“五点法”作图原理：
在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： ．
在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是： .
(2)五点法作图的三步骤：列表、描点、连线(注意光滑)．
2、正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定
义
域
值域
奇偶
性
单
调
性
周
期
性
对
称
性1、（2023年全国1卷）已知函数 在区间 有且仅有3个零点，则 的取值范
围是________．
2、【2022年北京】已知函数f(x)=cos2x−sin2x，则（ ）
( π π) ( π π )
A．f(x)在 − ,− 上单调递减 B．f(x)在 − , 上单调递增
2 6 4 12
( π) (π 7π)
C．f(x)在 0, 上单调递减 D．f(x)在 , 上单调递增
3 4 12
1、y＝|cos x|的一个单调递增区间是( )
A. B．[0，π]
C. D.
2、函数f(x)＝的定义域为( )
A.(k∈Z) B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(k∈Z)
3、（2022·河北邯郸·二模）函数 在 上的值域为（ ）
A． B．
C． D．
4、（2022·湖北·荆州中学模拟预测）已知函数 在 单调递减，则 的最大值
为（ ）
A． B． C． D．
5、（多选）（2022·苏锡常镇一模）下列函数中，最大值是1的函数有( )
A. y＝|sin x|＋|cos x|
B. y＝sin2x－cos2x
C. y＝4sin2x cos2x
D. y＝考向一 三角函数的定义域
例1 (1)函数y＝的定义域为________．
（2）函数y＝的定义域为________．
变式、函数y＝lg(sin 2x)＋的定义域为________．
方法总结：三角函数定义域的求法
(1)以正切函数为例，应用正切函数y＝tan x的定义域求函数y＝Atan(ωx＋φ)的定义域转化为求解简单
的三角不等式．
(2)求复杂函数的定义域转化为求解简单的三角不等式．
2．简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解．
(2)利用三角函数的图象求解．
考向二 三角函数的值域(最值)
例2、已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋）＋2a＋b，f(x)在R上的值域是 [－5，1]，求a的值．
变式1、 已知a>0，函数f(x)＝－2a sin （2x＋）＋2a＋b.当x∈时，f(x)的值域是[－5，1]，求a的值．
变式2、 求下列函数的值域：
(1) y＝；
(2) y＝(00，若函数y＝4sin ωx在区间[－，]上单调递增，求ω的取值范围．
方法总结：本题考查三角函数的单调性．首先化成y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再把ωx＋φ看作整体代入y＝
sinx的相应单调区间内求x的范围即可．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，
首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它
们之间的关系可求解．考查运算求解能力，整体代换及转化与化归的思想．
考向四 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
例4、（2022年湖北省荆州市高三模拟试卷）（多选题）已知函数 ，给出下
列四个命题，其中正确的是（ ）
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于点 中心对称
C. 在区间 上单调递增 D. 的值域为
变式1、（2022年广东普宁市高三模拟试卷）（多选题）对于函数 ，下列结论正确得是（ ）
A. 的值域为 B. 在 单调递增
C. 的图象关于直线 对称 D. 的最小正周期为
变式2、（2022年福建莆田市模拟试卷）（多选题）已知函数 ， 则（
）
A. 函数 的最小正周期为 B. 为函数 的一条对称轴
C. 函数 的最小值为1，最大值为 2 D. 函数 在 上单调递减
变式3、（2022年福建上杭县高三模拟试卷）写出一个同时满足下列三个性质的函数： ______.
① 为奇函数；② 为偶函数；③ 在 上的最大值为2.
方法总结：本题考查三角函数的奇偶性与对称性．求 f(x)的对称轴，只需令ωx＋φ＝＋kπ(k∈Z)，求x即可；
如果求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，求x即可．奇偶性可以用定义判断，也可以通
过诱导公式将y＝Asin(ωx＋φ)转化为y＝Asinωx或y＝Acosωx.考查运算求解能力，整体代换及转化与化归
的思想．
1、（2022年福建上杭县模拟试卷）“函数 的图象关于 中心对称”是“ ”的（
）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2、（2023·江苏连云港·统考模拟预测）若函数 在区间 上的最大值为 ，
则常数 的值为（ ）A． B． C． D．
3、（2022年湖南常德市模拟试卷）设函数 ，若 ， ，
，则（ ）
A. B.
C. D.
4、（2022年福建诏安县高三模拟试卷） 下列可能为函数 的图象的是（ ）
A. B.
C. D.
5、（2022年河北承德市高三模拟试卷）（多选题）函数 的定义域为 ，
值域为 ，则 的值可能是（ ）
A. B. C. D.
