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专题 4.9 幂的运算压轴题精选 30 道
【人教版】
9
1．（2024秋•杨浦区校级月考）已知a2m＝3，a3n＝5，则2a6m﹣4＝ 5 0 ，a4m﹣6n＝ ．
25
【分析】利用幂的乘方法则，同底数幂除法法则将各式变形后代入数值计算即可．
【解答】解：∵a2m＝3，a3n＝5，
∴2a6m﹣4
＝2（a2m）3﹣4
＝2×33﹣4
＝2×27﹣4
＝50；
a4m﹣6n
＝a4m÷a6n
＝（a2m）2÷（a3n）2
＝32÷52
＝9÷25
9
= ；
25
9
故答案为：50； ．
25
9
2．（2024秋•长宁区校级期中）若xa＝3，x2a﹣3b= ，则xb的值为 5 ．
125
【分析】根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则进行解题即可．
【解答】解：∵xa＝3，
9
∴x2a﹣3b＝x2a÷x3b＝（xa）2÷（xb）3＝32÷（xb）3= ，
125
∴（xb）3＝125，
∴xb＝5．
故答案为：5．
3．（2024秋•朝阳区期中）若x+2y﹣3＝0，则2x﹣2•4y的值为 2 ．【分析】先将代数式化成同底数幂的乘法的形式，再进行计算即可．
【解答】解：∵x+2y﹣3＝0，
∴x+2y＝3，
∴2x﹣2•4y＝2x﹣2•22y＝2x+2y﹣2＝23﹣2＝2，
故答案为：2．
4．（2024秋•徐汇区校级期中）比较大小：2m+n+1 ≤ 4m+4n．
【分析】令2m＝a，2n＝b，则2m+n+1＝2×2m×2n＝2ab，4m+4n＝（2m）2+（2n）2＝a2+b2，再作差比较大
小．
【解答】解：令2m＝a，2n＝b，则有：
2m+n+1＝2×2m×2n＝2ab，
4m+4n＝（2m）2+（2n）2＝a2+b2，
∵a2+b2﹣2ab＝（a﹣b）2≥0，仅当a＝b，即m＝n时取等号，
∴2m+n+1﹣4m+4n≤0，
∴2m+n+1≤4m+4n．
故答案为：≤．
5．（2024秋•徐汇区校级期中）已知4x＝2y﹣1，3y+1＝27x﹣2，则x﹣y＝ ﹣ 9 ．
【分析】根据幂的乘方法则化为底数相同的式子，根据指数相等求出x和y的值，即可求出答案．
【解答】解：∵4x＝2y﹣1，3y+1＝27x﹣2，
∴22x＝2y﹣1，3y+1＝33x﹣6，
∴2x＝y﹣1，y+1＝3x﹣6，
∴x＝8，y＝17，
∴x﹣y＝8﹣17＝﹣9．
故答案为：﹣9．
6．（2024秋•普陀区期中）如果2a÷4b×8＝2，那么16b÷4a＝ 1 6 ．
【分析】根据同底数幂的除法法则以及幂的乘方运算法则解答即可．
【解答】解：∵2a÷4b×8＝2a﹣2b+3＝2，
∴a﹣2b+3＝1，
即a﹣2b＝﹣2，
∴﹣（a﹣2b）＝2b﹣a＝2，
∴16b÷4a＝42b÷4a＝42b﹣a＝42＝16．
故答案为：16．7．（2023秋•松北区期末）已知32×9m×27＝321，求m＝ 8 ．
【分析】根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则解答即可．
【解答】解：32×9m×27＝321，
即32×32m×33＝321，
∴32+2m+3＝321，
∴2+2m+3＝21，
解得m＝8．
故答案为：8
8．（2024春•句容市期中）若22n+3+4n+1＝192，则n的值为 2 ．
【分析】利用同底数幂的乘法的法则及幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：∵22n+3+4n+1＝192，
∴22n+3+22n+2＝192，
∴2×22n+2+22n+2＝192，
∴3×22n+2＝192，
∴22n+2＝64，
∴2n+2＝6，
∴n＝2．
故答案为：2．
3 3
9．（2024秋•浦东新区校级月考）若100a＝20，1000b＝50，则a+ b+ 的值是 3 ．
2 2
【分析】先把100和1000写成底数是10的幂，然后把两个等式相乘，求出2a+3b的值，从而求出
3
a+ b的值，然后直接代入进行计算即可．
2
【解答】解：∵100a＝20，1000b＝50，
∴（102）a＝20，（103）b＝50，
102a＝20，103b＝50，
∴102a•103b＝20×50＝1000＝103，
102a+3b＝103，
2a+3b＝3，
3 3
∴a+ b= ，
2 23 3 3 3
∴a+ b+ = + =3，
2 2 2 2
故答案为：3．
1
10．（2024春•峄城区校级月考）已知a﹣c＝1，c﹣b＝4，则2a+b﹣2c＝ ．
8
【分析】直接利用已知将原式变形进而得出答案．
【解答】解：∵a﹣c＝1，c﹣b＝4，
∴b﹣c＝﹣4，
1
∴2a+b−2c=2a−c ⋅2b−c=21×2−4=2−3= ．
8
1
故答案为： ．
8
11．（2024春•西安校级月考）若2a﹣3b+c﹣2＝0，则16a÷64b×4c＝ 1 6 ．
【分析】先求出2a﹣3b+c＝2，再把原式变形为42a÷43b×4c，进一步得到42a﹣3b+c，据此代值计算即可．
【解答】解：∵2a﹣3b+c﹣2＝0，
∴2a﹣3b+c＝2，
∴16a÷64b×4c
＝（42）a÷（43）b×4c
＝42a÷43b×4c
＝42a﹣3b+c
＝42
＝16，
故答案为：16．
12．（2024春•东台市月考）已知2x+2•3x+2＝36x﹣3，则x＝ 8 ．
【分析】利用幂的乘方及积的乘方法则将原式变形后得到关于x的一元一次方程，解得x的值即可．
【解答】解：∵2x+2•3x+2＝36x﹣3，
∴（2×3）x+2＝（62）x﹣3，
即6x+2＝62x﹣6，
则x+2＝2x﹣6，
解得：x＝8，
故答案为：8．
13．（2024春•泰州期末）已知2x﹣3y+6＝0，则代数式4x+1•82﹣y的值为 4 ．【分析】将所求式化为以2为底数的幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则，并整体代入可解答．
【解答】解：∵2x﹣3y+6＝0，
∴2x﹣3y＝﹣6，
∴4x+1•82﹣y
＝22（x+1）•23（2﹣y）
＝22x+2•26﹣3y
＝22x﹣3y+8
＝2﹣6+8
＝22
＝4．
故答案为：4．
14．（2024春•秦都区校级月考）已知2m＝a，3m＝b，24m＝c，那么a，b，c之间满足的等量关系是 c
＝ a 3 b ．
【分析】根据幂的乘方与积的乘方将24m写成3m•（2m）3，再代入计算即可．
【解答】解：∵24m＝（3×8）m＝3m•8m＝3m•（2m）3，而2m＝a，3m＝b，24m＝c，
∴c＝a3b，
故答案为：c＝a3b．
15．（2023秋•衡南县期末）若9a•27b÷81c＝9，则2a+3b﹣4c的值为 2 ．
【分析】利用幂的乘方的法则，同底数幂的乘法的法则，同底数幂的除法的法则对已知条件进行整理，
从而可求解．
【解答】解：9a•27b÷81c＝9，
32a•33b÷34c＝32，
32a+3b﹣4c＝32，
∴2a+3b﹣4c＝2，
故答案为：2．
16．（2023秋•沐川县期末）若2a﹣3b+c﹣2＝0，则16a÷82b×4c＝ 1 6 ．
【分析】由已知条件可得2a﹣3b+c＝2，将原式利用同底数幂乘法与除法公式，幂的乘方公式变形后进
行计算即可．
【解答】解：∵2a﹣3b+c﹣2＝0，
∴2a﹣3b+c＝2，
∴16a÷82b×4c＝（42）a÷（82）b×4c
＝42a÷43b×4c
＝42a﹣3b+c
＝42
＝16，
故答案为：16．
17．（2024春•长丰县期中）已知2x﹣5y+4＝0，则4x+1•321﹣y的值是 8 ．
【分析】由已知得到2x﹣5y＝﹣4，再将4x+1•321﹣y变形为22x﹣5y+7，然后代入计算即可．
【解答】解：∵2x﹣5y+4＝0，
∴2x﹣5y＝﹣4，
∴4x+1•321﹣y
＝（22）x+1•（25）1﹣y
＝22x+2•25﹣5y
＝22x﹣5y+7
＝2﹣4+7
＝23
＝8，
故答案为：8．
18．（2024春•宿豫区校级期中）若a＝255，b＝344，c＝433，则将a、b、c按从小到大排列是 a ＜ c ＜ b
．
【分析】首先利用幂的性质将原式都变为指数相同的数，进而比较底数即可．
【解答】解：∵a＝255＝（25）11＝3211，
b＝344＝8111，
c＝433＝（43）11＝6411，
∴a＜c＜b．
故答案为：a＜c＜b．
1
19．（2024秋•越秀区校级期中）已知4m×8n＝32，2m÷4n= ，则mn＝ 1 ．
2
【分析】已知等式利用幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的乘除法则计算，得到关于 m与n的方
程，组成方程组，求出方程组的解得m与n的值，即可求出值．
【解答】解：∵4m×8n＝（22）m×（23）n＝22m×23n＝22m+3n＝32＝25，1
2m÷4n=2m÷(22
)
n=2m÷22n=2m−2n= =2−1，
2
∴2m+3n＝5，m﹣2n＝﹣1，
解得m＝1，n＝1，
∴mn＝1，
故答案为：1．
20．（2024春•鼓楼区期中）（1）若25+25＝2a，37+37+37＝3b，则a+b＝ 1 4 ．
（2）若2m×3n＝（4×27）7，求m，n．
（3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr．
【分析】（1）根据乘方的意义，把加法运算写成乘法运算，再按照同底数幂相乘法则进行计算，从而
求出a，b，再求出a+b即可；
（2）把4和27分别写成底数是2和3的幂，然后根据积的乘方和幂的乘方法则进行计算，求出 m，n
即可；
（3）根据已知条件，利用幂的乘方法则进行计算，从而求出答案即可．
【解答】解：（1）∵25+25＝25×2＝26＝2a，37+37+37＝37×3＝38＝3b，
∴a＝6，b＝8，
∴a+b＝6+8＝14，
故答案为：14；
（2）∵2m×3n＝（4×27）7＝（22×33）7＝22×7×33×7＝214×321，
∴m＝14，n＝21；
（3）∵2p＝m，mq＝n，nr＝32，
∴（2p）q＝n，[（2p）q]r＝32，
∴2pqr＝25，
∴pqr＝5．
21．（2024秋•秦安县校级月考）已知16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2013的值．
【分析】根据幂的乘方和积的乘方逆用运算法则分别求出m、n的值，然后代入求解即可．
【解答】解：∵16m＝（24）m＝24m，
4×22n﹣2＝22×22n﹣2＝22n，
∴4m＝2n，
27n＝（33）n＝33n，
9×3m+3＝32×3m+3＝3m+5，∴3n＝m+5，
{4m=2n
)
∴ ，
3n=m+5
{4m−2n=0)
即 ，
3n−m=5
{m=1)
解得： ，
n=2
∴（m﹣n）2013＝（1﹣2）2013＝（﹣1）2013＝﹣1．
22．（2024秋•浦东新区校级月考）已知（9m+1）2＝316，32n+1+9n＝324，求m+n的值．
【分析】先把底数9写成底数是3的幂，然后利用幂的乘方法则进行计算，列出关于m，n的方程，解
方程求出m，n，再代入m+n进行计算即可．
【解答】解：∵（9m+1）2＝316，32n+1+9n＝324，
[（32）m+1]2＝316，3×32n+32n＝324，
（32m+2）2＝316，4×32n＝324，
34m+4＝316，32n＝81＝34，
∴4m+4＝16，2n＝4，
解得：m＝3，n＝2，
∴m+n＝3+2＝5．
23．（2024春•莱西市校级月考）（1）已知x3n＝3，求（﹣2x2n）3+4（x2）3n的值．
（2）已知4a﹣3b+7＝0，求32×92a+1÷27b的值．
【分析】（1）根据积的乘方运算法则进行运算，然后再进行变形，整体代入求值即可；
（2）先根据4a﹣3b+7＝0得出4a﹣3b＝﹣7，再将32×92a+1÷27b变形，然后整体代入求值即可．
【解答】解：（1）（﹣2x2n）3+4（x2）3n
＝﹣8x6n+4x6n
＝﹣4x6n
＝﹣4（x3n）2，
把x3n＝3代入得：原式＝﹣4×32＝﹣36．
（2）∵4a﹣3b+7＝0，
∴4a﹣3b＝﹣7，
∴32×92a+1÷27b
＝32×（32）2a+1÷（33）b
＝32×34a+2÷33b＝34a﹣3b+4
＝3﹣7+4
＝3﹣3
1
=
33
1
= ．
27
24．（2024秋•仓山区期中）已知3a＝m，9b＝n，27c＝m2n，a，b，c为正整数，求证：2a+2b＝3c．
【分析】先根据已知条件和幂的乘方法则，求出 32a，32b，33c，再根据同底数幂相乘法则证明结论即
可．
【解答】证明：∵3a＝m，9b＝n，27c＝m2n，
∴（3a）2＝32a＝m2，（32）b＝32b＝n，（33）c＝33c＝m2n，
∴32a•32b＝m2n＝33c，
∴32a+2b＝33c，
∴2a+2b＝3c．
25．（2024秋•蒸湘区校级月考）计算：
（1）若a+3b+2z﹣3＝0，求3a×27b×9z的值；
（2）若22x＝3，求（23x+1）2﹣24x的值．
【分析】（1）首先根据题可知a+3b+2z＝3，再将3a×27b×9z整理为3a+3b+2z，然后代入求值即可；
（2）根据幂的乘方运算法则和幂的乘方运算的逆用将原式整理为4×（22x）3﹣（22x）2，然后代入求值
即可．
【解答】解：（1）由题意得a+3b+2z＝3，
∴3a×27b×9z
＝3a×33b×32z
＝3a+3b+2z
＝33
＝27；
（2）已知22x＝3，
则（23x+1）2﹣24x
＝26x+2﹣24x
＝4×（22x）3﹣（22x）2＝4×33﹣32
＝108﹣9
＝99．
26．（2024秋•雁峰区校级月考）（1）am＝2，an＝3，求a2m+n的值；
（2）若16m＝4×22n﹣2，27n＝9×3m+3，求（m﹣n）2025．
【分析】（1）化简a2m+n＝（am）2×an，再将已知代入即可；
（2）由24m＝22n，33n＝3m+5，可得n＝2m，3n＝m+5，求出m、n的值即可求解．
【解答】解：（1）∵am＝2，an＝3，
∴原式＝a2m×an
＝（am）2×an
＝22×3
＝4×3
＝12；
（2）∵16m＝4×22n﹣2，
∴24m＝22×22n﹣2＝22n，
∴n＝2m，
∵27n＝9×3m+3，
∴33n＝3m+5，
∴3n＝m+5，
∴6m＝m+5，
∴m＝1，
∴n＝2，
∴原式＝（1﹣2）2025＝﹣1．
27．（2024秋•商水县月考）若am＝an（m，n是正整数，a＞0且a≠1），则m＝n．
利用上面的结论，解答下面的问题．
（1）若2×8x×16x＝222，求x的值．
（2）若（27x）2＝312，求x的值．
（3）已知p＝57，q＝75，用含p，q的式子表示3535．
【分析】（1）利用幂的乘方以及同底数幂相乘的运算法则变形为2×8x×16x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝222，
结合题意得出1+3x+4x＝22，计算即可得解；
（2）利用幂的乘方法则变形为（27x）2＝36x＝312，结合题意得出6x＝12，计算即可得解；（3）根据幂的乘方与积的乘方法则化为含有57和75的式子，即可得解．
【解答】解：（1）∵2×8x×16x＝2×（23）x×（24）x＝2×23x×24x＝21+3x+4x＝222，
∴1+3x+4x＝22，
∴x＝3；
（2）∵（27x）2＝[（33）x]2＝（33x）2＝36x＝312，
∴6x＝12，
∴x＝2；
（3）∵p＝57，q＝75，
∴3535＝（357）5＝[（5×7）7]5＝（57）5×（77）5＝（57）5×（75）7＝p5q7．
28．（2023秋•金乡县期末）在幂的运算中规定：若ax＝ay（a＞0且a≠1，x、y是正整数），则x＝y．利
用上面结论解答下列问题：
（1）若9x＝36，求x的值；
（2）若3x+2﹣3x+1＝18，求x的值；
（3）若m＝2x+1，n＝4x+2x，用含m的代数式表示n．
【分析】（1）利用幂的乘方的法则进行运算即可；
（2）利用同底数幂的乘法的法则进行运算即可；
（3）利用幂的乘方的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）∵9x＝36，
∴32x＝36，
∴2x＝6，
解得：x＝3；
（2）∵3x+2﹣3x+1＝18，
∴3x+1×3﹣3x+1＝18，
2×3x+1＝2×32，
∴x+1＝2，
解得：x＝1；
（3）∵m＝2x+1，n＝4x+2x，
∴n＝（2x）2+2x
＝2x（2x+1）
＝m2x
＝m（m﹣1）＝m2﹣m．
29．（2024春•工业园区校级月考）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n是正整数），则m＝n，利用上面结论
解决下面的问题：
（1）如果4x×8x＝25，求x的值；
（2）如果3x×2x+1+2x×3x+1＝180，求x的值．
【分析】（1）根据4＝22，8＝23将4x×8x＝25转化为22x×23x＝25，则2x+3x＝5，即可求解；
（2）将3x×2x+1+2x×3x+1＝180整理为3x×2x×5＝3x×2x×5，得出6x＝62，即可求解．
【解答】解：（1）∵4＝22，8＝23，
∴4x×8x＝（22）x+（23）x＝22x×23x＝25，
∴2x+3x＝5，
解得：x＝1；
（2）∵3x×2x+1+2x×3x+1＝180，
∴3x×2x×2+2x×3x×3＝180，
∴3x2x（2+3）＝22×32×5，
∴3x×2x×5＝32×22×5，即6x×5＝62×5，
∴6x＝62
∴x＝2．
30．（2024春•宁明县期中）若am＝an（a＞0且a≠1，m，n都是正整数），则m＝n．利用上述结论解决
下列问题：
（1）若27×9n+1×32n﹣1＝316，求n的值；
（2）若22x+2•22x+1＝32，求x的值．
【分析】（1）利用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则进行运算即可；
（2）利用幂的乘方的法则及同底数幂的乘法的法则进行运算即可．
【解答】解：（1）∵27×9n+1×32n﹣1＝316，
∴33×（32）n+1×32n﹣1＝316，
即33×32n+2×32n﹣1＝316，
∴33+2n+2+2n﹣1＝316，
∴3+2n+2+2n﹣1＝16，
解得n＝3；
（2）∵22x+2•22x+1＝22x+2+2x+1＝32＝25，
∴2x+2+2x+1＝5，解得x．
