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专题5.19 命题、定理、证明（分层练习）（综合练）
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2024上·重庆渝中·七年级重庆巴蜀中学校考期末）下列命题中，是真命题的是（ ）
A．如果 ，则点 为线段 的中点 B．同位角相等
C．平行于同一条直线的两条直线互相平行 D．两点之间，直线最短
2．（2022下·河北邯郸·七年级校考阶段练习）下列关于命题“互为补角的两个角相等”判断正确的有
（ ）
①该命题可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相等”的形式；
②该命题的条件是两个角互为补角；
③该命题是真命题
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．（2013下·八年级课时练习）下列推理正确的是（ ）
A．弟弟今年13岁，哥哥比弟弟大6岁，到了明年，哥哥比弟弟只大了5岁，因为弟弟明年比今年
长了1岁
B．如果a>b，b>c，那么a>c
C．∠A与∠B相等，原因是它们看起来大小差不多
D．因为对顶角相等，所以相等的角必是对顶角
4．（2019下·山东德州·八年级校考期末）下列定理中，没有逆定理的是（ ）
A．两直线平行，同位角相等
B．全等三角形的对应边相等
C．全等三角形的对应角相等
D．在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上
5．（2022下·陕西榆林·八年级统考期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（ ）
A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2
C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y|
6．（2024上·广东佛山·八年级校考期末）下列命题中，是假命题的是（ ）A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
7．（2022上·河北石家庄·八年级石家庄市第十七中学校考阶段练习）若x为有理数，则 ，
能说明这个命题是假命题的x的取值是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023下·福建厦门·七年级厦门一中校考期中）如图，已知 ，直线 与直线 有公共
点，命题“内错角相等”是一个假命题，下列选项可以作为反例的是（ ）
A． B． C． D．
9．（2023下·河北石家庄·七年级统考阶段练习）试说明“若 ， ，
，则 ”是真命题．以下是排乱的推理过程：
①因为 （已知）；
②因为 ， （已知）；
③所以 ， （等式的性质）；
④所以 （等量代换）；
⑤所以 （等量代换）．
正确的顺序是（ ）
A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④
C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④
10．（2023上·湖北武汉·七年级统考期末）①若 与 互为相反数，则 ；②在方位示意图中，北偏东 方向与西偏北 方向形成 夹角；③10条直线两两相交最多有55个交点；④若不论 取何值，
恒成立，则 ；⑤若 ，则 的最小值为2．其中，正
确命题的个数有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11．（2022上·上海浦东新·八年级统考期中）“若 ，则 ， ” 命题（选填“是”或
“不是”）．
12．（2023上·浙江宁波·八年级校考期中）要说明命题“若 ，则 ”是假命题，可以举的反
例是 ．
13．（2019上·八年级课时练习）如图所示，已知 ， ， ．下列结论：①
；② ；③ ．其中正确的结论是 ．（填序号）
14．（2020上·浙江金华·八年级统考期末）已知命题：等边三角形的各个内角都等于 ．这个命题的
逆命题是 ．
15．（2023上·宁夏银川·八年级银川唐徕回民中学校考期末）“平行于同一条直线的两条直线平行”
这个命题的条件是 ．
16．（2018下·八年级课时练习）小明在解答“已知 ABC中，AB＝AC，求证∠B＜90°”这道题时，写
出了下面用反证法证明这个命题过程中的四个推理步骤：
（1）所以∠B+∠C+∠A＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾．
（2）所以∠B＜90°．
（3）假设∠B≥90°．
（4）那么，由AB＝AC，得∠B＝∠C≥90°，即∠B+∠C≥180°．
请你写出这四个步骤正确的顺序 ．
17．（2023上·陕西西安·八年级统考期末）将直角三角板 按如图所示的方式摆放， ，，顶点 分别落在直线 上，若 ，则 的度数为 ．
18．（2023下·湖北武汉·七年级统考期中）下列命题中：①两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③若 的两边与 的两边分别平行，则
或 ；④若 ，则 ．其中假命题的是 （填写序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）（2023下·七年级课时练习）把命题“邻补角的角平分线互相垂直”改写成“如果……那
么……”的形式，指出它的题设和结论，请画出图形，并说明它是真命题还是假命题．
20．（8分）（2022上·浙江·八年级专题练习）写出下列各命题的逆命题，并判断其逆命题是真命题
还是假命题，若是假命题，请举出一个反例说明：
（1）两直线平行，同旁内角互补；
（2）垂直于同一条直线的两直线平行；
（3）相等的角是内错角；
（4）有一个角是60°的三角形是等边三角形．21．（10分）（2023上·浙江·八年级专题练习）如图，现有以下3个论断：① ；② ；
③ ．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．
（1）请写出所有的真命题；
（2）请选择其中一个命题加以证明．
22．（10分）（2023下·吉林白城·七年级校联考阶段练习）如图，从① ，② ，③
三个条件中选出两个作为已知条件，另一个作为结论可以组成3个命题．
（1）这三个命题中，真命题有______个；
（2）选择一个真命题，并且完成证明过程．
23．（10分）（2023上·黑龙江绥化·七年级校考阶段练习）如图，已知两平行直线 、 被直线所截，射线 、 分别平分 和 ．
（1）判断 与 之间的位置关系，并证明你的结论；
（2）由（1）的结论可以得到一个命题：如果（ ），那么（ ）．
24．（12分）（2023下·湖北武汉·七年级校考阶段练习）我们知道：“两直线平行，同位角相等”是
平行线的一个性质，把这个命题的题设和结论互换，可以得到平行线的判定“同位角相等，两直线平
行．”
（1）我们易证：“已知 ，求证： ”它是一个真命题．请你把
这个命题的题设和结论互换，写出一个命题，判断这个命题的真假，并说明理由．
（2）结合前面的知识完成如下问题：如图，已知 ， ， ，求证：
．参考答案：
1．C
【分析】本题考查了命题与定理的知识，根据平行线的性质及判定方法、线段的性质分别判断后即可
确定正确的选项．
解：A. 如果 共线，且 ，则点 为线段 的中点，故该选项不是真命题，不符合题意；
B. 两直线平行，同位角相等，故该选项不是真命题，不符合题意；
C. 平行于同一条直线的两条直线互相平行，故该选项是真命题，符合题意；
D. 两点之间，线段最短，故该选项不是真命题，不符合题意；
故选：C．
2．C
【分析】利用命题的定义，将原有命题进行拆解即可判定①、②是否正确，根据命题的真假的判定方
法可以判定③是否正确，由此即可得出答案．
解：由题意可知，命题“互为补角的两个角相等”可以写成“如果两个角互为补角，那么这两个角相
等”的形式，故①正确；
该命题的条件为“两个角互为补角”，故②正确；
互补的角不一定相等，故该命题为假命题，故③错误，
综上所述判断正确的为：①②，共2个，
故选：C．
【点拨】本题主要考查的是命题与定理的知识，准确掌握命题定理与补角的概念是解题的关键．
3．B
【分析】根据判断命题的真假性，即可得到答案.
解：A、哥哥与弟弟的年龄差不变，故本项错误；
B、根据不等式性质，a>b，b>c，那么a>c，正确；
C、∠A与∠B相等是因为它们的度数相等，故本项错误；
D、对顶角相等，但是相等的角不一定是对顶角，故本项错误；
故选择：B.
【点拨】本题考查了真假命题的判断，解题的关键是熟练的判断每个选项的真假性.
4．C
【分析】写出各个定理的逆命题，判断是否正确即可．
解：两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，正确，A有逆定理；
全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的两个三角形全等，正确，B有逆定理；全等三角形的对应角相等的逆命题是对应角相等的两个三角形全等，错误，C没有逆定理；
在角的内部，到角的两边距离相等的点在角的平分线上的逆命题是角的平分线上的点到角的两边距离
相等，正确，D有逆定理；
故选C．
【点拨】本题考查的是命题与定理，属于基础知识点，比较简单.
5．C
【分析】交换题设和结论，即可得到答案．
解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|，
故选：C．
【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结
论．
6．D
【分析】本题主要考查了真假命题，平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质一一判断即可.
解： ．若 ，根据两直线平行，同位角相等，则 ，是真命题，故本选项不符合题意；
．若 ，根据两直线平行，内错角相等，则 ，是真命题，故本选项不符合题意；
．若 ，根据同位角相等，两直线平行，则 ，根据两直线平行，同位角相等，则
，是真命题，故本选项不符合题意；
．若 ，根据内错角相等，两直线平行，则 ，无法推出 , 是假命题, 故本
选项符合题意；
故选：D．
7．B
【分析】根据平方的非负性可得当 时， ，当 时， ，进而可作出判断.
解：∵当 时， ，当 时， ，
∴能说明这个命题是假命题的x的取值是 ；
故选：B.
【点拨】本题考查了平方的非负性和假命题的判断，正确理解题意是关键.
8．B
【分析】根据内错角的概念、平行线的性质对每个选项进行一一判断即可．
解：A．∵ ，
∴ ，∴此命题不符合题意；
B．∵ 与 虽然是内错角，但 与 不平行，
∴ ．
∴此命题符合题意；
C．∵ 与 是同旁内角，不是内错角，
∴此命题不符合题意；
D．∵ 与 是同旁内角，不是内错角，
∴此命题不符合题意；
故选：B
【点拨】本题考查了内错角、平行线的性质，解决本题的关键是熟练掌握平行线的性质．
9．C
【分析】写出正确的推理过程，进行排序即可．
解：证明：因为 ， （已知），
所以 ， （等式的性质）；
因为 （已知），
所以 （等量代换）．
所以 （等量代换）．
∴排序顺序为：②→③→①→⑤→④．
故选C．
【点拨】本题考查推理过程．熟练掌握推理过程，是解题的关键．
10．B
【分析】①考虑 的情况，即可判断；②在方位示意图中，北偏东 方向与西偏北 方向形成
夹角；即可判断；③10条直线两两相交最多有45个交点；即可判断；④根据等式的性质可判断④正确；
⑤根据 ， 在数轴上表示的意义，进行判断即可．
解：① 与 互为相反数，若 ，则不满足 ，所以①错误；
②在方位示意图中，北偏东 方向与西偏北 方向形成 夹角，所以②错误；
③因为n条直线相交最多有 ，所以10条直线两两相交最多有45个
交点；所以③错误；④∵ 恒成立，
∴ ，
∴ ，
∴ ，故④正确；
⑤ 表示的意义是数轴上表示数x的点到表示数2，数 点的距离之和，所以
，
同理：
∵
∴ ，
∴x最小值是-1，y的最小值是3，
∴ 的最小值为2
∴若 ，则 的最小值为2，⑤正确．
故选B
【点拨】本题考查命题的正误，涉及的知识点有相反数的定义，方向角，直线的交点，等式的性质，
数轴上两点间的距离，解题的关键是能够对命题进行正确判断．
11．是
【分析】根据命题的定义判断即可．
解：若 ，则 ， 是一个命题.
故答案为：是．
【点拨】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题.
12． （答案不唯一）
【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，理解命题的定义，能够根据命题适当的举出反例
是解题关键；本题要使得 成立，则 或 ，因此举反例可列举 的数字即可．
解：当 时， ，但不满足 ，
故答案为： （答案不唯一）．
13．①②③【分析】根据SSS证明△ABD △FEC，由全等三角形性质，对选项进行分析判断即可.
解：∵ ，
∴ ，
∴BD=EC，
∵ ， ，
∴△ABD △FEC（SSS），
∴∠A=∠F，∠B=∠E，∠ADB=∠FCE，
∴ ， ，
所以①②③都正确，
故答案为①②③.
【点拨】本题考查了全等三角形的判定和性质，以及平行线的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等
三角形的判定和性质.
14．三个角都是 的三角形是等边三角形
【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命
题．根据逆命题的概念写出原命题的逆命题，根据等边三角形的判定定理判断即可．
解：命题“等边三角形的每个内角都等于 ”的逆命题是“三个角都是 的三角形是等边三角形”，
故答案为：三个角都是 的三角形是等边三角形．
15．两条直线平行于同一条直线
【分析】本题考查了对命题的题设和结论的理解，把命题改写成“如果⋯那么⋯”的形式，即可求解，
把命题改写成“如果 那么 ”的形式是解题的关键．
解：命题“平行于同一条直线的两条直线平行”可改写为：“如果两条直线平行于同一条直线，那么
这两条直线平行”，
∴命题的条件是“两条直线平行于同一条直线”，
故答案为：两条直线平行于同一条直线．
16．（3）（4）（1）（2）
【分析】根据反证法的一般步骤解答即可．
解：证明：假设 ，
那么，由 ，得 ，即 ，
所以 ，这与三角形内角和定理相矛盾，
所以 ，
所以这四个步骤正确的顺序是（3）（4）（1）（2），故答案为：（3）（4）（1）（2）．
【点拨】本题考查的是反证法，解题的关键是掌握反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；
②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．
17．
【分析】本题考查平行线的性质，直角三角板特殊度数．根据题意可知 ，再利用平行线性
质即可得到 ，再利用角度计算即可得到本题答案．
解：∵直角三角板 按如图所示的方式摆放， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
18．①②
【分析】逐个判断各个命题的真假即可．
解：①两条平行，同位角相等，故①为假命题，符合题意；
②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；故②为假命题，符合题意；
③若 的两边与 的两边分别平行，如图：则 或 ；故③为真命题，不符合题
意；
④若 ，则 ，故④为真命题，不符合题意；
综上：假命题有①②，
故答案为：①②．
【点拨】本题主要考查了判断命题的真假，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质．
19．见分析
解：如果两条射线分别是邻补角的平分线，那么它们互相垂直．
题设：两条射线分别是邻补角的角平分线；
结论：它们互相垂直．是真命题；
如图， ， 是邻补角， ， 分别平分 ， ．20．（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等
（4）等边三角形有一个角是60°真命题
【分析】写出各个命题的逆命题，作出判断即可．
解：（1）同旁内角互补，两直线平行，真命题；
（2）如果两条直线平行，那么这两条直线垂直于同一条直线（在同一平面内），真命题；
（3）内错角相等，假命题；例如：∠1与∠2是内错角，但不相等；
（4）等边三角形有一个角是60°真命题．
【点拨】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握平行线的判定和性质，等边三角形的判定和性质，
属于中考常考题型．
21．（1）见详解；（2）见详解
【分析】（1）分别以其中2个论断为条件，第3个论断为结论可写出3个命题；
（2）根据平行线的判定与性质对命题进行证明即可．
（1）解：命题1：由①②得到③；
命题2：由①③得到②；
命题3：由②③得到①；
（2）命题1证明如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，∴ ，
∴ ，
∴ ；
命题2证明如下：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
命题3证明如下：
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题主要考查命题与定理知识，平行线的判定与性质，熟练运用平行线的判定与性质是解答
此题的关键．
22．（1）3；（2）见分析
【分析】（1）利用平行线的判定和性质，进行判定即可；
（2）利用平行线的判定和性质，进行证明即可．
（1）解：这三个命题中，真命题有3个；理由见（2）
故答案为：3；
（2）已知 ， ，求证： ．
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，∴ ，
∴ ．
已知 ， ，求证： ．
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
已知 ， ，求证： ．
证明：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ．
【点拨】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平形线的判定定理和性质定理．
23．（1） ，证明见分析；（2）两条直线平行，内错角的角平分线平行
【分析】本题考查了平行线的性质和角平分线的性质：
（1）根据平行线的性质可得 ，再结合角平分线的性质可得 ，根据“内
错角相等，两直线平行”即可得证；
（2）结合（1）的结论即可得到答案．
（1）解： ．证明如下：
（已知）
（两直线平行，内错角相等）
射线 、 分别平分 和 （已知）， （角平分线的定义）
（已证）
（等量代换）
（内错角相等，两直线平行）
（2）解：如果两条直线平行，那么内错角的角平分线平行．
故答案为：两条直线平行，内错角的角平分线平行．
24．（1）见分析；（2）见分析
【分析】（1）过点C作 ，然后根据平行线的判定和性质进行推理证明；
（2）结合（1）中的结论，根据平行线的性质和判定进行推理论证．
（1）解：命题：如果 ，那么 ，此命题是真命题，理由如下：
过点C作 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
（2）证明：∵ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
【点拨】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质，准确添加辅助线是解题关键．
