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专题5.1 分式混合运算与化简求值（七大题型）
【题型1 分式混合运算】
【题型2 分式化简求值-直接代入】
【题型3 分式化简求值-选择性代入】
【题型4 分式化简求值-整体代入】
【题型5 设比例系数或消元法求值】
【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】
【题型7 恒指不变数】
【题型1 分式混合运算】
【典例1】化简：
(1)a2−b2 a2+b2 ； (2)( x x ) 4x ．
÷(2+ ) − ÷
a−b ab x−2 x+2 x−2
【变式1-1】化简：
(1) a2−1 a2−a； (2) 1 1 (x+y )．
÷ − ⋅ −x−y
a2+2a+1 a+1 2x x+y 2x
【变式1-2】分式的计算：
(1) x4−1 ÷(x2+1) ； (2)( 3 −x−1 ) ÷ x−2 ．
x2+2x+1 x−1 x2−2x+1【变式1-3】计算：
(1) 3m m2n ； (2)x2+xy x2−xy；
8m2n4 ⋅(− )÷(− ) ÷(x−y)⋅
4n3 2 x2−xy xy
(3) x2 ； (4) a2+1 a2−1 2a ．
−x+1 ( − )÷
x+1 a2−1 a2−2a+1 a−1
【变式1-4】计算．
(1) 3x x ； (2)( x+1 x ) x+1 ．
− + ÷
(x−3) 2 3−x x2−1 x−1 x2−2x+1
【题型2 分式化简求值-直接代入】
x−2 2x+5
【典例2】先化简，再求值： ⋅(1+ )，其中x=1．
x+1 x2−4
【变式2-1】先化简，再求值：( 1 ) a+2 ，其中 ．
1− ÷ a=1
a+3 a2−9
【变式2-2】先化简，再求值：a2−2ab+b2 a2−ab 2 ，其中 ， ．
÷ − a=2 b=−3
a2−b2 a a+b【变式2-3】先化简再求值：( 1 ) x2−4x+4，其中 ．
1− ÷ x=−1
x−1 x2−x
【变式2-4】先化简，再求代数式的值：( 4x x ) x ，其中 2．
− ÷ x=
x−2 x+2 x2−4 3
【变式2-5】先化简，再求值： (x2−2x+1 1) 1 ，其中
+ ÷ x=−3
x2−1 x x+1
【题型3 分式化简求值-选择性代入】
【典例3】先化简，再求值：( 3 ) a2−4 ，再从 ， ，0，1，2中取一个数代入求
−a+1 ÷ −2 −1
a+1 a2+2a+1
值其中．
【变式3-1】先化简，再求值：( 2 ) m2−4，请为m选择一个合适的数代入求值．
1+ ⋅
m−2 m
【变式3-2】先化简，再求值：( 8 ) a2−6a+9，在 中选一个整数求值．
−a−1 ÷ 0<a<4
a−1 a−1【变式3-3】先化简，再选一个你喜欢的 的值，求( 1 1 ) 2 的值．
x − ÷
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
( 1 1 ) x2−6x+9 { 2−x<3 )
【变式3-4】先化简，再求值： − ÷ ，其中x的值从不等式组 1
2x2−4x 2x 2x3−8x (x−1)≤1
2
的整数解中选取．
【变式3-5】先化简：( 1 ) x2+2x+1，并在 ，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的
1− ÷ −2,−1
x+2 x2−4
数作为x的值，求出该代数式的值．
【题型4 分式化简求值-整体代入】
【典例4】已知 ，求( 4 2) x2+2x+1的值．
x2−x−1=0 − ⋅
x+1 x x2−x
x+3 x 2x−3
【变式4-1】 先化简，再求值：( − )÷ ，其中x满足x2−2x−1=0．
x2−x x2−2x+1 x
a−4 a+2 a−1
【变式4-2】先化简，再求值： ÷( − )，其中a满足a2=4a+3．
a a2−2a a2−4a+4【变式4-3】先化简，再求值：( x−2 x−1 ) x−4，其中x满足
− ÷ x2+2x−1=0
x2+2x x2+4x+4 x+2
【变式4-4】先化简，再求值 a+1 a2−1，其中a满足方程 ．
÷ a2+2a−8=0
a2−9 a−3
【题型5 设比例系数或消元法求值】
1 1 a−2ab−b
【典例5】已知 − =4，则 的值等于（ ）
a b 2a−2b+7ab
2 2
A． B．− C．−6 D．6
15 7
a 4 b
【变式5-1】已知 = ，则 的值为（ ）
b 3 b−2a
5 5 3 3
A．− B． C． D．−
3 3 5 5
1 1 2x+3xy+2y
【变式5-2】已知 + =2，则 的值为（ ）
x y 3x−2xy+3 y
7 7 1
A． B． C．5 D．
4 2 2
m 7 m−n
【变式5-3】若 = ，则 的值为（ ）
n 3 m+n
3 7 3 2
A． B． C． D．
7 10 10 5
1 1 2x+3xy−2y
【变式5-4】若 − =3， 的值为（ ）
x y x−xy−y
3 3 4
A．− B． C．− D．无法确定
4 4 3
【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】【典例6】化简求值．( a2−b2 a ) b2 ，其中， ．
+ ÷ |b−❑√5)+❑√a−2=0
a2−2ab+b2 b−a a2−ab
【变式6-1】先化简，再求值： 2 m−n (n2−4 )，其中m，n满足 ．
− ÷ −m−2 ❑√m−1+(n+2) 2 =0
m+n m−2 m−2
【变式6-2】先化简，再求值： a2+2ab+b2 a+b，其中 满足 ．
1− ÷ a，b (a+1) 2 +❑√b+1=0
a2−ab a−b
【题型7 恒指不变数】
【典例7】已知 x2−2x+1 x2−x 1 ，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论 为何
y= ÷ − +2019 x
x2−1 x+1 x
值，y的值不变．
【变式7-1】试说明无论x，y取何值（x，y的取值要保证式子有意义），代数式
1 1 (x+y )的值保持不变．
− ⋅ −x−y
2x x+y 2x
【变式7-2】已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像
a m+n+p
b ， 2m 这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种：
c+d n+p
1 1
−
a b (1 1) (1 1) b−a
例如化简 ，方法一：需把原式写成 − ÷ + 后化简，化简的结果为 ；方法二：繁
1 1 a b a b b+a
+
a bb−a
分式的分子分母同乘ab进行化简，化简的结果为 ．
b+a
请根据以上方法，回答下面的问题：
1 1
(1)繁分式 1化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式 1有意义，x的取值范围是
1− 1−
x x
_______；
2t 3
(2)若实数m，n满足m+n=− ，mn=− ．
t2+2 t2+2
m+n
① =_______（用含t的式子表示）；
mn
6 12
2t+ −
n m
②求证：不论t取何值，分式 化简后都为一个定值，并求出该定值．
6 3
−t+ −
n m
【变式7-3】请你说明，在代数式x2−2x+1 x2−x 3x−1有意义的情况下，无论x取何值，代数
÷ +
x2−1 x+1 x
式的值都不变．
