文档内容
专题 01 二次根式
【考点1】二次根式有意义的条件★
【考点2】利用二次根式的性质化简．★★
【考点3】最简二次根式的判定★
【考点4】同类二次根式的相关概念★
【考点5】二次根式的混合运算．★★
【考点6】二次根式的化简求值★★
【考点7】二次根式的实际应用★★
【考点8】分母有理化★★★
知识点1：二次根式的相关概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根号．
如 都是二次根式。
知识点2：二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性 : (主要用于二次根式的计算)
（3）转化性：
知识点3：二次根式的乘除法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
知识点4：最简二次根式及化简
1. 最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2. 化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行
开方
若被开方数中含有带
分数，先将被开方数
化成假分数
若被开方数中含有小
数，先将小数化成分
数
化去根号下的分
母
若被开方数时分式，
先将分式分母化成能
转化为平方的形式，
再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
知识点5： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点6：二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开
方数保持不变。
知识点7：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【考点1】二次根式有意义的条件★
√ 1
1．若❑ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）．
x−1
A．x<1 B．x≥1 C．x>0 D．x>1
【答案】D
【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关
键．根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，同时考虑分母不为0，即可确
定x的取值范围．
√ 1
【详解】解：∵二次根式❑ 有意义，
x−1
∴x−1>0，
解得x>1，故D正确．
故选：D．
2．要使二次根式❑√x+2有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥−2【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是明确二次根式中被开方数
是非负数．
根据二次根式有意义的条件，被开方数需大于等于零，列出不等式求解．
【详解】对于二次根式❑√x+2，要使其有意义，被开方数x+2需满足x+2≥0．
解不等式x+2≥0，两边同时减去2，得x≥−2．
所以x的取值范围是x≥−2．
故答案为：x≥−2．
3．若实数x、y满足y=❑√x−4+❑√4−x+5，则x−y的值为 ．
【答案】−1
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，求不等式的解集，代入求值，掌握二次
根式有意义的条件得到x,y的值是解题的关键．
{x−4≥0)
根据题意得到 ，得到x=4，则y=5，代入计算即可求解．
4−x≥0
【详解】解：实数x、y满足y=❑√x−4+❑√4−x+5，
{x−4≥0)
∴ ，
4−x≥0
∴x=4，
∴y=5，
∴x−y=4−5=−1，
故答案为：−1 ．
4．若|2024−m)+❑√m−2025=m，则m−20242= ．
【答案】2025
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据❑√m−2025有意义，得出m≥2025，
进而化简已知等式得出m−2025=20242，即可求解．
【详解】解：∵❑√m−2025有意义，
∴m−2025≥0
∴m≥2025
∴2024−m<0
∵|2024−m)+❑√m−2025=m
∴m−2024+❑√m−2025=m
∴❑√m−2025=2024即m−2025=20242
∴m−20242=2025故答案为：2025．
【考点2】利用二次根式的性质化简★★
1．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简❑√(a−b) 2−❑√b2得（ ）
A．a B．−a C．a−2b D．2b−a
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，实数与数轴，熟练掌握二次根式的性质是
解题的关键．由数轴，得a<0,b>0，于是得出a−b<0，再根据二次根式的性质化简
即可．
【详解】解：由数轴，得a<0,b>0，
∴a−b<0，
∴❑√(a−b) 2−❑√b2
=| a−b| −| b|
=−(a−b)−b
=−a+b−b
=−a，
故选：B．
2．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则❑√a2−|c−a)+❑√(b−c) 2 =（ ）
A．−2a B．−2a−b C．−b D．−2b−a
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二
次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到a<0，c−a>0，b−c<0，再根据所给
的二次根式的性质即可求解．
【详解】解：由数轴可知，a0，b−c<0，∴❑√a2−|c−a)+❑√(b−c) 2
=|a)−|c−a)+|b−c)
=−a−(c−a)−(b−c)
=−a−c+a−b+c
=−b；
故选：C．
3．实数a，b在数轴上位置如图所示，则化简❑√a2−❑√b2−❑√(a−b) 2的结果（ ）
A．2b B．2a C．2b−2a D．0
【答案】A
【分析】此题主要考查了实数与数轴之间的对应关系，解题关键是根据a，b在数轴上
的位置判断各数的符号以及绝对值的大小．首先结合数轴确定−10，然后再根据运算法则进行计算，即可获得答案．
【详解】解：由数轴可知，−10，
∴❑√a2−❑√b2−❑√(a−b) 2 =a−(−b)−(a−b)
=a+b−a+b
=2b．
故选：A．
4．先阅读材料，然后回答问题：
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简❑√5−2❑√6，经过思考，小
张解决这个问题的过程
如下：
❑√5−2❑√6=❑√2−2❑√2×3+3①
=❑√(❑√2) 2 −2❑√2×❑√3+(❑√3) 2 ②
=❑√(❑√2−❑√3) 2
③
=❑√2−❑√3④(1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简❑√8−4❑√3；
【答案】(1)④，❑√3−❑√2
(2)❑√6−❑√2
【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利
用二次根式的性质进行化简是解题的关键．
（1）根据二次根式的性质❑√a2=a(a≥0)即可求解；
（2）根据（1）中的材料化简即可．
【详解】（1）解：❑√5−2❑√6=❑√2−2❑√2×3+3①，
=❑√(❑√2) 2 −2❑√2×❑√3+(❑√3) 2 ②，
=❑√(❑√2−❑√3) 2 ③，
=❑√3−❑√2④，
在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：❑√3−❑√2；
（2）解：原式=❑√6−2❑√6×2+2
=❑√(❑√6) 2 −4❑√3+(❑√2) 2
=❑√(❑√6−❑√2) 2
=❑√6−❑√2．
【考点3】最简二次根式的判定★
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
√3
A．❑ B．❑√9 C．❑√11 D．❑√28
4
【答案】C
【分析】本题考查了最简二次根式，熟练掌握定义是解题的关键．
根据最简二次根式的定义即二次根式化简后，被开方数不含分母，并且被开方数中所有
因式的幂的指数小于2，判断即可．
√3 ❑√3
【详解】A. ❑ = ，不为最简二次根式，不符合题意；
4 2B. ❑√9=3，不为最简二次根式，不符合题意；
C. ❑√11是最简二次根式，符合题意；
D. ❑√28=2❑√7，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：Ｃ．
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√8 B．❑ C．❑√x+y3 D．❑√x y3
2
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的化简，最简二次根式的定义，熟练掌握二次根式的性质
是解题的关键．根据最简二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A．❑√8=2❑√2，❑√8不是最简二次根式，不符合题意；
√1 ❑√2 √1
B．❑ = ，❑ 不是最简二次根式，不符合题意；
2 2 2
C．❑√x+y3，被开方数为多项式，无法分解成含完全平方的因式，❑√x+y3是最简二次
根式，符合题意，
D．❑√x y3=|y)❑√xy不是最简二次根式，不符合题意．
故选：C．
3．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√12 B．❑ C．❑√0.3 D．❑√6
7
【答案】D
【分析】本题考查最简二次根式，根据被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含
分母，这样的二次根式是最简二次根式，进行判断即可．
【详解】解：A、❑√12=2❑√3，不是最简二次根式，不符合题意；
√1 ❑√7
B、❑ = ，不是最简二次根式，不符合题意；
7 7
❑√30
C、❑√0.3= ，不是最简二次根式，不符合题意；
10
D、❑√6是最简二次根式，符合题意；
故选D．
4．若❑√18与最简二次根式❑√m+1能合并，则m的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次
根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键．
由题意知，❑√18=3❑√2，则m+1=2，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，❑√18=3❑√2，
∴m+1=2，
解得，m=1，
故选：B．
【考点4】同类二次根式的相关概念★
1．下列二次根式中，与❑√5是同类二次根式的是（ ）
A．❑√10 B．❑√15 C．❑√20 D．❑√25
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，同类二次根式，含有相同的被开方数的最
简二次根式是同类二次根式，根据定义判断．
【详解】解：A、❑√10和❑√5被开方数不同，不是同类二次根式，选项不符合题意；
B、❑√15和❑√5不是同类二次根式，选项不符合题意；
C、❑√20=2❑√5和❑√5被开方数相同，是同类二次根式，选项符合题意；
D、❑√25=5和❑√5被开方数不同，不是同类二次根式，选项不符合题意．
故选：C．
2．下列二次根式能与❑√2进行合并的是（ ）
A．❑√8 B．❑√24 C．❑√27 D．❑√125
【答案】A
【分析】本题考查了同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．
根据同类二次根式的定义判断即可．
【详解】解：A、❑√8=2❑√2，能与❑√2进行合并；
B、❑√24=2❑√6，不能与❑√2进行合并；
C、❑√27=3❑√3，不能与❑√2进行合并；
D、❑√125=5❑√5，不能与❑√2进行合并；
故选：A3．已知4❑√a+1是最简二次根式，且它与❑√54是同类二次根式，则a= ．
【答案】5
【分析】此题考查了化简二次根式，同类二次根式，关键是能准确理解同类二次根式：
被开方数相同的最简二次根式叫同类二次根式，并能对二次根式进行正确的化简．
先将二次根式❑√54化简，再根据同类二次根式的概念进行求解．
【详解】解：∵❑√54=3❑√6，
又∵最简二次根式4❑√a+1与❑√54是同类二次根式，
∴a+1=6，
∴a=5，
故答案为：5．
4．最简二次根式❑√12−5m与❑√7是同类二次根式，则m= ．
【答案】1
【分析】本题考查的是同类二次根式的概念．由同类二次根式的定义可得：
12−5m=7，解方程可得答案．
【详解】解：∵最简二次根式❑√12−5m与❑√7是同类二次根式，
∴12−5m=7．
∴m=1．
故答案为：1．
【考点5】二次根式的混合运算★★
1．计算．
(1)❑√8+❑√32−❑√2；
( √1)
(2) 2❑√12−❑ ×❑√6−❑√48÷❑√6；
3
(3)(2❑√3−1)(2❑√3+1)−(1−2❑√3) 2；
(4)
|1−❑√2)−√38+(π−3.14) 0−
(1) −1
．
5
【答案】(1)5❑√2
(2)9❑√2
(3)4❑√3−2(4)❑√2−7
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，实数的运算．
（1）先将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）先算二次根式的乘除，再算二次根式的加减即可；
（3）先根据平方差公式、完全平方公式计算，再合并即可；
（4）先根据绝对值的性质、立方根的定义、零指数幂的运算法则、负整数指数幂的运
算法则计算，再合并即可．
【详解】（1）解：❑√8+❑√32−❑√2
=2❑√2+4❑√2−❑√2
=5❑√2；
( √1)
（2）解： 2❑√12−❑ ×❑√6−❑√48÷❑√6
3
√1
=2❑√12×❑√6−❑ ×❑√6−❑√8
3
=12❑√2−❑√2−2❑√2
=9❑√2；
（3）解：(2❑√3−1)(2❑√3+1)−(1−2❑√3) 2
=12−1−(1−4❑√3+12)
=12−1−1+4❑√3−12
=4❑√3−2；
（4）解：|1−❑√2)−√3 8+(π−3.14) 0−
(1) −1
5
=❑√2−1−2+1−5
=❑√2−7．
2．计算：
4
(1)(❑√5+1) 0 +❑√6×❑√3− ；
❑√2
(2)(2+❑√3)(2−❑√3)+(❑√2−❑√3) 2．
【答案】(1)1+❑√2(2)6−2❑√6
【分析】本题考查了实数混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答
本题的关键，注意平方差公式和完全平方公式的应用．
（1）根据二次根式乘法，分母有理化，零指数幂运算法则，先化简，然后计算加减法
即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式将题目中的式子展开，然后合并同类二次根式即
可．
4
【详解】（1）解：(❑√5+1) 0 +❑√6×❑√3−
❑√2
=1+3❑√2−2❑√2
=1+❑√2；
（2）解：(2+❑√3)(2−❑√3)+(❑√2−❑√3) 2
=4−3+2−2❑√6+3
=6−2❑√6．
3．计算
(1)(❑√2) 2 +(π −2) 0−6❑
√1
+|❑√2−2)
3
(2)(2+❑√3)(2−❑√3)−❑√42÷❑√6
【答案】(1)5−2❑√3−❑√2
(2)1−❑√7
【分析】此题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的性质化简，零指数幂，解
题的关键是掌握以上运算法则．
（1）首先根据二次根式的性质化简，计算零指数幂和绝对值，然后计算加减即可；
（2）首先计算二次根式的乘法和除法，然后计算加减．
【详解】（1）(❑√2) 2 +(π −2) 0−6❑
√1
+|❑√2−2)
3
=2+1−2❑√3+2−❑√2
=5−2❑√3−❑√2；
（2）(2+❑√3)(2−❑√3)−❑√42÷❑√6
=4−3−❑√7=1−❑√7．
4．计算：
(1)(❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)−❑√24−|❑√6−3)
2
( √1 ) (√1)
(2) 3❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3+ ❑
3 3
【答案】(1)−❑√6
(2)5
【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，熟知二次根式的混合计算法则是解题
的关键．
（1）先利用平方差公式去括号，然后化简二次根式和绝对值，再计算加减法即可得到
答案；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式乘除法，最后计算加法即可得到答案．
【详解】（1）解：(❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)−❑√24−|❑√6−3)
=5−2−2❑√6−(3−❑√6)
=5−2−2❑√6−3+❑√6
=−❑√6；
2
( √1 ) (√1)
（2）解： 3❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3+ ❑
3 3
( ❑√3 ) 1
= 3×2❑√3−2× +4❑√3 ÷2❑√3+
3 3
( 2❑√3 ) 1
= 6❑√3− +4❑√3 ÷2❑√3+
3 3
28❑√3 1
= ÷2❑√3+
3 3
14 1
= +
3 3
=5．【考点6】二次根式的化简求值★★
( 3 ) x2−4x+4
1．先化简，再求值： 1+ ÷ 的值，其中x=❑√5+2．
x−5 x−5
1 ❑√5
【答案】 ；
x−2 5
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．
根据分式混合运算法则进行化简，然后再代入数据求值即可．
( 3 ) x2−4x+4
【详解】解： 1+ ÷
x−5 x−5
(x−5 3 ) (x−2) 2
= + ÷
x−5 x−5 x−5
x−2 x−5
= ⋅
x−5 (x−2) 2
1
= ，
x−2
1 1 ❑√5
把x=❑√5+2代入得：原式= = = ．
❑√5+2−2 ❑√5 5
1 1
2．已知x= ，y= ，求下列各式的值．
3+2❑√2 3−2❑√2
(1)x2+y2；
√ x √ y
(2)❑ +❑ ．
y x
【答案】(1)34；
(2)6．
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，正确对所求的式子进行变形是解题的关键．
（1）先对x和y进行化简，利用完全平方公式把所求的式子写成(x+y) 2−2xy的形式，
然后代入求解即可；
（2）先对所求的式子进行化简，然后代入求解即可．
1 3−2❑√2
【详解】（1）解：x= = =3−2❑√2，
3+2❑√2 (3+2❑√2)(3−2❑√2)1 3+2❑√2
y= = =3+2❑√2，
3−2❑√2 (3−2❑√2)(3+2❑√2)
∴x2+y2
=(x+y) 2−2xy
=(3−2❑√2+3+2❑√2) 2 −2(3−2❑√2)(3+2❑√2)
=62−2(9−8)
=36−2
=34；
√ x √ y
（2）解：❑ +❑
y x
❑√xy ❑√xy
= +
y x
(1 1)
=❑√xy +
y x
x+y
=❑√xy⋅ ，
xy
∵xy=(3−2❑√2)(3+2❑√2)=1，x+y=3−2❑√2+3+2❑√3=6，
6
∴原式=❑√1× =6．
1
3．已知a=❑√5+2，b=❑√5−2，求下列代数式的值：
(1)a2b+b2a；
(2)a2−b2．
【答案】(1)2❑√5
(2)8❑√5
【分析】本题考查了二次根式的化简与求值，注意利用因式分解，是使得问题能得以
简算的关键．
（1）先计算a+b、a−b和ab的值，将原式分解因式，再整体代入计算即可；
（2）将原式分解因式，再将a+b和a−b的值代入计算即可．
【详解】（1）解：∵a=❑√5+2，b=❑√5−2，∴a+b=❑√5+2+❑√5−2=2❑√5，
a−b=(❑√5+2)−(❑√5−2)=4，ab=(❑√5+2)(❑√5−2)=1，
∴a2b+b2a=ab(a+b)=2❑√5；
（2）解：a2−b2=(a+b)(a−b)
=2❑√5×4
=8❑√5．
x2−6x+9 x−3
4． 先化简， 再求值： ÷ ， 其中x=❑√3−3．
x2−9 x+2
x+2 3−❑√3
【答案】 ；
x+3 3
【分析】本题主要考查了分式化简求值，先根据分式除法运算法则进行化简，然后再
代入数据求值即可．
x2−6x+9 x−3
【详解】解： ÷
x2−9 x+2
(x−3) 2 x+2
= ⋅
(x+3)(x−3) x−3
x+2
= ，
x+3
将 x=❑√3−3代入得：
❑√3−3+2
原式=
❑√3−3+3
❑√3−1
=
❑√3
3−❑√3
= ．
3
【考点7】二次根式的实际应用★★
1．如图，长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则长方形内阴影部分的面积是（
）A．2 B．4−2❑√2 C．2❑√2−2 D．2❑√2
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据正方形的面积公式求得两个正方形的
边长分别是❑√2，2，再根据阴影部分的面积等于矩形的面积减去两个正方形的面积进
行计算．
【详解】解：∵长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，，
∴AB=❑√4=2，BE=CD=❑√2，
∴阴影部分的面积为(AB−CD)⋅BE=(2−❑√2)×❑√2=2❑√2−2．
故选：C．
2．如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为❑√72m，宽AB为❑√32m，现
要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为(❑√10+1)m，宽
为(❑√10−1)m．
(1)求矩形空地ABCD的周长；
(2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/m2的地砖，
要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)矩形空地ABCD的周长为20❑√2m
(2)购买地砖需要花费780元
【分析】本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
（1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解；
（2）先求得长方形的面积，根据面积乘以20即可求解．
【详解】（1）解：(❑√72+❑√32)×2=(6❑√2+4❑√2)×2=10❑√2×2=20❑√2(m)．
答：矩形空地ABCD的周长为20❑√2m；
（2）解：❑√72×❑√32−(❑√10+1)×(❑√10−1)
=6❑√2×4❑√2−(10−1)
=48−9
=39(m2)．
39×20=780（元）．
答：购买地砖需要花费780元．
3．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为❑√162m，宽AB为
❑√128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的
长为(❑√14+1)m，宽为(❑√14−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖
（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
【答案】(1)34❑√2m
(2)655元
【分析】本题考查二次根式的应用；
（1）根据长方形ABCD的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法
则计算即可；
（2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论．
【详解】（1）解：长方形ABCD的周长=2(BC+AB)
=2(❑√162+❑√128)=2(9❑√2+8❑√2)
=34❑√2(m)
答：长方形ABCD的周长是34❑√2m．
（2）铺地砖的面积=❑√162×❑√128−(❑√14+1)(❑√14−1)
=144−13
=131(m2
)
故购买地砖的花费为131×5=655(元)
答：购买地砖需要花费655元．
4．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长BC为9❑√3m，宽AB
为8❑√2m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛
的长为(❑√14+1)m，宽为(❑√14−1)m．
(1)求长方形ABCD的周长．
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地
砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【答案】(1)(18❑√3+16❑√2)m
(2)(360❑√6−65)元
【分析】本题考查二次根式运算的实际应用．熟练掌握二次根式运算法则是解题的关
键．
（1）根据长方形ABCD的周长=2(AB+BC)计算即可；
（2）用长方形ABCD的面积减去长方形花坛（图中阴影部分）面积差乘以地砖的单
价，列式计算即可．
【详解】（1）解：2×(9❑√3+8❑√2)=(18❑√3+16❑√2)(m)．
∴ 长方形ABCD的周长是(18❑√3+16❑√2)m．
（2）解：5×[9❑√3×8❑√2−(❑√14+1)(❑√14−1)]
=5×[72❑√6−(14−1)]=5×(72❑√6−13)
=(360❑√6−65)元．
答：购买地砖需要花费(360❑√6−65)元．
【考点8】分母有理化★★★
1．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有
二次根式，如❑√a⋅❑√a=a，(❑√b+1)(❑√b−1)=b−1(b≥0)．课本中阅读材料告诉我
们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个
代数式互为有理化因式．
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
1
(1)化简： =_________；
❑√11−3
(2)比较大小：❑√2023−❑√2021_________❑√2025−❑√2023（用“>”、“<”或“=”
填空）；
(3)已知❑√8−x−❑√2−x=2，求❑√8−x+❑√2−x的值；
1 1 1 1
(4)直接写出 + +⋯ + 的值．
❑√4+❑√1 ❑√5+❑√2 ❑√2024+❑√2021 ❑√2025+❑√2022
❑√11+3
【答案】(1)
2
(2)>
(3)3
1
(4) (−❑√2−❑√3+⋅⋅⋅+❑√2023+❑√2024+44)
3
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，理解题目中所给的有理
化因式的定义，熟知二次根式的运算法则是解答关键．
（1）利用有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解；
（2）根据题意得到所给的两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们
倒数的大小来求解；
（3）设m=❑√8−x−❑√2−x=2，n=❑√8−x+❑√2−x，根据有理化因式的定义计算出
mn的值，根据m的值得出n的值，即是结果．
（4）根据有理化因式的定义和二次根式的运算法则进行化简求解；1 ❑√11+3 ❑√11+3 ❑√11+3
【详解】（1）解： = = =
❑√11−3 (❑√11−3)(❑√11+3) 11−9 2
（2）解：∵
1 ❑√2025+❑√2023 ❑√2025+❑√2023
= = ，
❑√2025−❑√2023 (❑√2025−❑√2023)(❑√2025+❑√2023) 2
1 ❑√2023+❑√2021 ❑√2023+❑√2021
= = ，
❑√2023−❑√2021 (❑√2023−❑√2021)(❑√2023+❑√2021) 2
❑√2025+❑√2023 ❑√2023+❑√2021
而 > ，
2 2
1 1
∴ > ，
❑√2025−❑√2023 ❑√2023−❑√2021
∵(❑√2025−❑√2023)和(❑√2023−❑√2021)都是大于0的数，
∴(❑√2025−❑√2023)<(❑√2023−❑√2021)，
即(❑√2023−❑√2021)>(❑√2025−❑√2023)
故答案为：>．
（3）解：设m=❑√8−x−❑√2−x=2，n=❑√8−x+❑√2−x，
则
m×n=(❑√8−x−❑√2−x)(❑√8−x+❑√2−x)=(❑√8−x) 2 −(❑√2−x) 2 =8−x−(2−x)=6，
∵m=2，
6 6
∴n= = =3，即❑√8−x+❑√2−x=3．
m 2
1 1 1 1
（4）解： + +⋯ +
❑√4+❑√1 ❑√5+❑√2 ❑√2024+❑√2021 ❑√2025+❑√2022
❑√4−❑√1 ❑√5−❑√2 ❑√2024−❑√2021 ❑√2025+❑√2022
= + +⋯ +
(❑√4+❑√1)(❑√4−❑√1) (❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2) (❑√2024+❑√2021)(❑√2024−❑√2021) (❑√2025+❑√2022)(❑√2025−❑√2022)
❑√4−❑√1 ❑√5−❑√2 ❑√2024−❑√2021 ❑√2025−❑√2022
= + +⋯+ +
3 3 3 31
= (❑√4−❑√1+❑√5−❑√2+❑√6−❑√3+⋅⋅⋅+❑√2024−❑√2021+❑√2025−❑√2022)
3
1
= (−❑√1−❑√2−❑√3+❑√2023+❑√2024+❑√2025)
3
1
= (−❑√1−❑√2−❑√3+❑√2023+❑√2024+45)
3
1
= (−❑√2−❑√3+❑√2023+❑√2024+44)
3
2．观察下列等式：
1 ❑√2−1
= =❑√2−1 ①；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
1 ❑√3−❑√2
= =❑√3−❑√2 ②；
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 ❑√4−❑√3
= =❑√4−❑√3 ③；
❑√4+❑√3 (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)
回答下列问题：
1
(1) =_______；
❑√7+❑√6
1
(2) =_______；（n为正整数）
❑√n+1+❑√n
(3)利用上面所揭示的规律计算：
1 1 1 1 1
+ + +⋯⋯+ + ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2023+❑√2024 ❑√2024+❑√2025
【答案】(1)❑√7−❑√6
(2)❑√n+1−❑√n
(3)❑√2025−1
【分析】本题为二次根式规律题，考查了二次根式化简与二次根式的混合计算、分母
有理化运算，平方差公式等知识．
（1）类比提供的式子，分子分母同乘以❑√7−❑√6，再进行计算即可求解；
（2）类比提供的式子，分子分母同乘以❑√n+1−❑√n，再进行计算即可求解；
（3）利用（1）、（2）的结论，将各式进行化简，再进行加减计算即可求解．1 ❑√7−❑√6
【详解】（1）解： = =❑√7−❑√6；
❑√7+❑√6 (❑√7+❑√6)(❑√7−❑√6)
故答案为：❑√7−❑√6；
1 ❑√n+1−❑√n
（2）解： = =❑√n+1−❑√n；
❑√n+1+❑√n (❑√n+1+❑√n)(❑√n+1−❑√n)
故答案为：❑√n+1−❑√n；
1 1 1 1 1
（3）解： + + +…+ +
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2023+❑√2024 ❑√2024+❑√2025
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+…+❑√2024−❑√2023+❑√2025−❑√2024
=❑√2025−1．
3．“分母有理化”是我们常用的一种方法，如：
1 ❑√2−1 ❑√2−1
= = =❑√2−1；
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√2) 2 −12
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
= = =❑√3−❑√2．
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2
1
(1)观察上面的解题过程，请直接写出 的结果是 ；
❑√n+❑√n−1
(2)根据你发现的规律，请计算：
( 1 1 1 1 )
+ + +...+ (1+❑√2025)．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2024+❑√2025
【答案】(1)❑√n−❑√n−1
(2)2024
【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式，准确计算是解题关键．
（1）根据平方差公式，可分母有理化；
（2）根据平方差公式，可分母有理化，根据实数的运算，可得答案．
【详解】（1）解：1 ❑√n−❑√n−1 ❑√n−❑√n−1 ，
= = =❑√n−❑√n−1
❑√n+❑√n−1 (❑√n+❑√n−1)(❑√n−❑√n−1) n−(n−1)
故答案为：❑√n−❑√n−1；
( 1 1 1 1 )
（2）解： + + +...+ (1+❑√2025)
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2024+❑√2025
=(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+…+❑√2025−❑√2024)(1+❑√2025)
=(−1+❑√2025)(1+❑√2025)
=2025−1
=2024．
一、单选题
1．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A．❑√x+1 B．❑√3−π C．❑√3 D．❑√−1
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解答本题的关键．
根据二次根式的定义逐项判断即可．
【详解】解：A、不能确定x+1的正负，故A选项不符合题意；
B、3−π <0，二次根式没有意义，故B选项不符合题意；
C、❑√3是二次根式，故C选项符合题意；
D、−1<0，二次根式没有意义，故D选项不符合题意；
故选：C．
2．要使二次根式❑√x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>0 B．x>2 C．x≤2 D．x≥2
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式的被开方
数是非负数．根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可求得x的取值范
围．【详解】解：由题意得：x−2≥0，
解得：x≥2，
故选：D．
3．下列二次根式中，与2❑√3是同类二次根式的是（ ）
A．❑√0.5 B．❑√20 C．❑√2 D．❑√3
【答案】D
【分析】本题考查同类二次根式的识别，掌握定义是解题的关键，即：二次根式化成
最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．首先化简二次根式，
然后根据同类二次根式的定义即可判定．
❑√2
【详解】解：❑√0.5= ，与2❑√3不是同类二次根式，故A选项不合题意；
2
❑√20=2❑√5，与2❑√3不是同类二次根式，故B选项不合题意；
❑√2与2❑√3不是同类二次根式，故C选项不合题意；
❑√3与2❑√3是同类二次根式，故D选项符合题意；
故选：D．
4．估算❑√2(❑√6+2❑√2)的结果应在（ ）
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的运算，无理数的估算，先根据二次根式的乘法法则计
算，然后利用“夹逼法”求解即可．
【详解】解：❑√2(❑√6+2❑√2)
=❑√2×❑√6+❑√2×2❑√2
=❑√12+4，
∵9<12<16，
∴❑√9<❑√12<❑√16，即3<❑√12<4，
∴3+4<❑√12+4<4+4，即7<❑√12+4<8，
∴7<❑√2(❑√6+2❑√2)<8，
故选：B．
5．按一定规律排列的单项式：a，❑√3a2，❑√5a3，❑√7a4，3a5，⋯，第n个单项式是（ ）
A．❑√n+1an−1 B．❑√n−1an−1 C．❑√2n−1an D．❑√2n+1an
【答案】C
【分析】本题考查数式规律问题，根据题干所给单项式总结规律即可．
【详解】解：第1个单项式为a，即❑√1a1=❑√2×1−1a1，
第2个单项式为❑√3a2=❑√2×2−1a2，
第3个单项式为❑√5a3=❑√2×3−1a3
．．．
第n个单项式为❑√2n−1an，
故选：C．
6．式子❑√x+3⋅❑√x−1=❑√(x+3)(x−1)成立的条件是（ ）
A．x≥−3 B．x≥1 C．x≥−3或x≥1 D．−3≤x≤1
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式乘法成立的条件：被开方数非负；据此即可求解．
【详解】解：∵❑√x+3⋅❑√x−1=❑√(x+3)(x−1)，
{x+3≥0)
∴ ，
x−1≥0
解得：x≥1；
故选：B．
二、填空题
7．比较大小：2❑√5 3❑√2．（填>，<或=）
【答案】>
【分析】本题考查了二次根式的大小比较：对于带根号的无理数的大小比较，可以利
用平方法先转化为有理数的大小比较．先比较两个数平方的大小即可得到它们的大小
关系．
【详解】解：∵(2❑√5) 2 =20，(3❑√2) 2 =18，
∴(2❑√5) 2 >(3❑√2) 2 ，
∴2❑√5>3❑√2．
故答案为：>．三、解答题
( 1)
8．计算：−2× − −|1−❑√3)−❑√27．
2
【答案】2−4❑√3
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，先化简二次根式和绝对值，再计算乘
法，最后计算加减法即可得到答案．
【详解】解：原式=1−(❑√3−1)−3❑√3
=1−❑√3+1−3❑√3
=2−4❑√3．
9．已知：a=2+❑√5，b=❑√5−2．
(1)求a2+b2−ab的值；
m
(2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求 的值．
n
【答案】(1)17
4❑√5+8
(2)
3
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，无理数的估算，熟知二
次根式的相关知识是解题的关键．
（1）先求出a+b，ab的值，再根据a2+b2−ab=(a+b) 2−3ab代值计算即可；
（2）根据无理数的估算方法分别求出a、b的范围，进而求出m、n的值，最后代值计
算即可得到答案．
【详解】（1）解：∵a=2+❑√5，b=❑√5−2，
∴a+b=2+❑√5+❑√5−2=2❑√5，ab=(2+❑√5)(❑√5−2)=1，
∴a2+b2−ab
=(a2+b2+2ab)−3ab
=(a+b) 2−3ab=(2❑√5) 2 −3×1
=20−3
=17；
（2）解：∵❑√4<❑√5<❑√9，
∴2<❑√5<3，
∴4<2+❑√5<5，0<❑√5−2<1，
∵m为a整数部分，n为b小数部分，
∴m=4，n=❑√5−2，
m 4 4(❑√5+2) 4❑√5+8
∴ = = = ．
n ❑√5−2 (❑√5+2)(❑√5−2) 3
10．已知a=3+2❑√2，b=3−2❑√2，分别求下列代数式的值：
(1)a2−b2
(2)a2−3ab+b2
【答案】(1)24❑√2
(2)31
【分析】本题主要考查二次根式的运算及乘法公式，熟练掌握二次根式的运算法则、
平方差公式及完全平方公式是解题的关键．
（1）先得出a+b=6，a−b=4❑√2，再利用平方差公式计算即可；
（2）先根据平方差公式得出ab=1，利用完全平方公式变形，代入a−b和ab的值即可
得答案．
【详解】（1）解：∵a=3+2❑√2，b=3−2❑√2，
∴a+b=6，a−b=4❑√2，
∴a2−b2=(a+b)(a−b)=6×4❑√2=24❑√2．
（2）解：∵a=3+2❑√2，b=3−2❑√2，
∴ab=(3+2❑√2)(3−2❑√2)=9−8=1，
∴a2−3ab+b2=(a−b) 2−ab=(4❑√2) 2 −1=31．
