文档内容
专题01 二次根式的综合（十大题型）
重难点题型归纳
【题型01：二次根式的概念】
【题型02：二次根式有意义的条件】
【题型03：判断二次根式的性质化简】
【题型04：同类二次根式的概念】
【题型05：二次根式的混合运算】
【题型06：二次根式的化简求值】
【题型07：二次根式的应用】
【题型08：二次根式中新定义问题】
【题型09：利用分母有理化化简求值】
【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】
【题型01：二次根式的概念】
1．下列各式是二次根式的有（ ）
（1）❑√21；（2）❑√−19；（3）❑√x2+1；（4）√3 9；❑√−2x−2
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C
【分析】本题主要考查二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．根据
形如❑√a(a≥0)的式子是二次根式，可得答案．
【详解】解：二次根式有（1）❑√21，（3）❑√x2+1，
故选：C．
2．下列式子一定是二次根式的是（ ）
A．❑√a B．−❑√a C．√33 D．❑√a2
【答案】D
【分析】本题考查了二次根式的定义，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键．形如
❑√a（a≥0）是二次根式，注意二次根式的被开方数是非负数即可得解．【详解】解：A、当a<0时，❑√a不是二次根式，该选项不符合题意；
B、当a<0时，−❑√a不是二次根式，该选项不符合题意；
C、√33是三次根式，该选项不符合题意；
D、∵ a2≥0，∴ ❑√a2是二次根式，该选项符合题意；
故选：D．
3．下列式子中，是二次根式的是（ ）
A．1 B．−1 C．√32 D．❑√2
【答案】D
【分析】本题考查的是二次根式的定义，熟知一般地，我们把形如❑√a(a≥0)的式子叫
做二次根式．根据二次根式的定义解答即可．
【详解】解：A、1不是二次根式，故本选项不符合题意；
B、−1不是二次根式，故本选项不符合题意；
C、√32不是二次根式，故本选项不符合题意；
D、❑√2是二次根式，故本选项符合题意；
故选：D.
【题型02：二次根式有意义的条件】
4．要使二次根式❑√x−4有意义，则x的取值可以是（ ）
A．5 B．3 C．0 D．−2
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，形如❑√a(a≥0)的式子叫二次根式，二次
根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．根据被开方数是非负数列式求
解即可．
【详解】解：∵x−4≥0，
∴x≥4，
∴x的取值可以是5．
故选：A．
5．代数式❑√6−x有意义时，x应满足的条件是 ．
【答案】x≤6
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数为非负数进行列式计算，
即可作答．【详解】解：∵代数式❑√6−x有意义，
∴6−x≥0，
解得x≤6，
故答案为：x≤6．
❑√2x+3
6．若分式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
x
3
【答案】x≥− 且x≠0
2
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，求一元一次不等式
组的解集，根据二次根式有意义的条件得到2x+3≥0且x≠0，进行求解得出答案即可．
❑√2x+3
【详解】解：∵代数式 在实数范围内有意义，
x
∴2x+3≥0且x≠0，
3
解得：x≥− 且x≠0，
2
3
故答案为：x≥− 且x≠0．
2
7．【教材呈现】我们知道，正数a有两个平方根±❑√a，我们把正数a的正的平方根❑√a，
叫做a的算术平方根……，0的平方根也叫做0的算术平方根，即❑√0=0．
【发现结论】由上述材料可知，代数式❑√a表示a的算术平方根，a的取值范围是
________．
【运用结论】若x、y都是实数，且y=❑√x−3+❑√3−x+2，求(x−y) 2024的值．
【拓展提升】若|2023−a|+❑√a−2024=a，求a−20232的值．
【答案】【发现结论】a≥0；【运用结论】1；【拓展提升】2024
【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用；
（1）根据被开方数为非负数可得答案；
（2）根据非负数的性质可得x=3，再求出y值，最后代入计算即可；
（3）由被开方数为非负数，可把原式化为❑√a−2024=2023，再结合算术平方根的含
义可得答案．
【详解】解：发现结论：(❑√a) 2=a，则a的取值范围是a≥0；
运用结论：∵y=❑√x−3+❑√3−x+2，
∴x−3≥0,3−x≥0，解得：x=3，
∴y=2，
∴(x−y) 2024=(3−2) 2024=12024=1；
拓展提升：∵|2023−a|+❑√a−2024=a，
∴a−2024≥0，
解得：a≥2024，
∴a−2023+❑√a−2024=a，
∴❑√a−2024=2023，
∴a−2024=20232，
∴a−20232=2024；
【题型03：判断二次根式的性质化简】
8．实数a,b在数轴上的位置如图所示，则❑√a2+(❑√b) 2 −|b−a|化简的结果是（ ）
A．−2b B．−2a C．2b−2a D．0
【答案】D
【分析】本题主要考查数轴的特点，绝对值化简二次根式的性质，理解并掌握数轴的特
点，绝对值的性质，二次根式的性质是解题的关键．
由数轴得出a<0,b>0，进一步得出b−a>0，再根据二次根式的性质、绝对值的性质
化简即可．
【详解】解：由数轴得，a<0,b>0，
∴b−a>0，
∴❑√a2+(❑√b) 2−|b−a|
=|a|+b−(b−a)
=−a+b−b+a
=0，
故选：D．9．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简❑√(a−4) 2+❑√(a−11) 2结果为（ ）
A．7 B．−7 C．2a−15 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到
a−4与a−11的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解．
【详解】解：根据数轴得：50，a−11<0，
∴❑√(a−4) 2+❑√(a−11) 2
=|a−4)+|a−11)
=a−4+11−a
=7．
故选：A．
√ 1
10．化简−a❑− 的结果是（ ）
a
A．−❑√−a B．❑√−a C．−❑√a D．❑√a
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质计算即可得解，熟练掌握二
次根式的性质是解此题的关键．
【详解】解：−a❑ √ − 1 =❑ √ (−a) 2 ⋅ ( − 1) =❑ √ a2 ⋅ ( − 1) =❑√−a，
a a a
故选：B．
11．实数a、b在数轴上的位置如图所示，且|a)>|b)，则化简❑√a2−❑√a2+2ab+b2的结果
为（ ）
A．2a+b B．−2a+b C．b D．2a−b
【答案】C
【分析】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质，先由数轴得a<0|b)，则，故 ，即可作答．
a+b<0 ❑√a2−❑√a2+2ab+b2=|a)−|a+b)=b
【详解】解：由数轴得a<0|b)，
∴a+b<0，
则❑√a2−❑√a2+2ab+b2
=|a)−|a+b)
=−a−[−(a+b))
=−a+a+b
=b，
故选：C．
12．已知30，再
利用二次根式的性质与绝对值的性质化简，再合并即可．
【详解】解：∵30，
∴❑√(x−5) 2+|x−3)
=5−x+x−3
=2；
故选：A
13．已知实数a在数轴上的位置如图所示，则化简：❑√(a−2) 2+❑√(a−4) 2的结果为
．
【答案】2
【分析】本题考查数轴上的数的大小，二次根式的化简；根据数轴得出20，a+c<0，
b−c>0，
∴|a)−❑√(a+c) 2+❑√(b−c) 2−❑√b2
=|a)−|a+c)+|b−c)−|b)
=−a+a+c+b−c−b
=0．
【题型04：同类二次根式的概念】
15．下列二次根式中，与❑√12是同类二次根式的是（ ）
√1
A．❑√18 B．❑√2 C．❑ D．❑√6
3
【答案】C
【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题
的关键．化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二
次根式．根据同类二次根式的定义分别判断即可．
【详解】解：❑√12=2❑√3
A、❑√18=3❑√2与❑√12=2❑√3不是同类二次根式，不符合题意；
B、❑√2与❑√12=2❑√3不是同类二次根式，不符合题意；
√1 ❑√3
C、❑ = 与❑√12=2❑√3是同类二次根式，符合题意；
3 3D、❑√6与❑√12=2❑√3不是同类二次根式，不符合题意；
故选：C．
16．下列二次根式中，是同类二次根式的是（ ）
A．❑√8与❑√12 B．❑√3x3与❑√27x
√2
C．2b❑√b与b❑ D．❑√a2b与❑√ab3
b
【答案】B
【分析】本题考查了同类二次根式的定义．掌握同类二次根式的定义是解答本题的关
键．
把几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做
同类二次根式，由此判断即可．
【详解】解：A．❑√8=2❑√2，❑√12=2❑√3，所以❑√8与❑√12不是同类二次根式，故此选
项不符合题意；
B．❑√3x3=x❑√3x，❑√27x=3❑√3x，所以❑√3x3与❑√27x是同类二次根式，故此选项
符合题意；
√2 ❑√2b √2
C．b❑ =b⋅ =❑√2b，所以2b❑√b与b❑ 不是同类二次根式，故此选项不符合
b b b
题意；
D．❑√a2b=|a)❑√b，❑√ab3=|b)❑√ab，所以❑√a2b与❑√ab3不是同类二次根式，故此选
项不符合题意；
故选：B．
17．若❑√8与最简二次根式❑√2a−4能合并，则a= ．
【答案】3
【分析】本题考查了同类二次根式，根据化简为最简二次根式的被开方数相等，则它
们为同类二次根式，先整理❑√8=2❑√2，结合❑√8与最简二次根式❑√2a−4能合并，得
2a−4=2，解得a=3，即可作答．
【详解】解：依题意，❑√8=2❑√2，
∵❑√8与最简二次根式❑√2a−4能合并，
∴2a−4=2，
解得a=3，故答案为：3
18．若❑√5m+2能与❑√3合并，则正整数m的最小值是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查了二次根式的化简，同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根
式的化简是解决此题的关键．首先要明确同类二次根式能合并的条件，即被开方数相
同，所以要使❑√5m+2能与❑√3合并， ❑√5m+2化简后被开数必须为3，由此来即可确
定m的值．
【详解】解：∵ ❑√5m+2能与❑√3合并，
∴ ❑√5m+2化简后被开数必须为3，
∴设5m+2=3k2（k为正整数），
∵正整数m取最小值，
∴当k=2时， 5m+2=3×22=12，
解得：m=2，
故答案为：2 ．
19．若最简二次根式❑√x+1与❑√7是同类二次根式，则x= ．
【答案】6
【分析】本题考查最简二次根式、同类二次根式，熟练掌握相关的知识点是解题的关
键．
根据最简二次根式和同类二次根式的定义进行解题即可．
【详解】解：由题可知，
x+1=7，
解得x=6．
故答案为：6．
【题型05：二次根式的混合运算】
20．计算：
(1)❑√20−❑√3×❑
√5
． (2)(❑√2−1) 2+(❑√3+1)(❑√3−1)．
3
【答案】(1)❑√5
(2)5−2❑√2
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
（1）先化简二次根式、计算二次根式的乘法，再计算二次根式的减法即可得；（2）先计算二次根式的乘法，再计算加减法即可得．
√ 5
【详解】（1）解：原式=2❑√5−❑3×
3
=2❑√5−❑√5
=❑√5．
（2）解：原式=2−2❑√2+1+(❑√3) 2 −12
=3−2❑√2+3−1
=5−2❑√2．
21．计算
(1)❑√2+❑√8+2❑√8；
2 √1
(2) ❑√27−4❑√12+3❑ ；
3 3
❑√20+❑√5 √1
(3) −❑ ⋅❑√18；
❑√5 2
(4)(❑√6−2❑√3) 2+(❑√2+2❑√5)(2❑√5−❑√2)．
【答案】(1)7❑√2
(2)−5❑√3
(3)0
(4)36−12❑√2
【分析】（1）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（2）先利用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可；
（3）先计算乘除，再求算术平方根，最后计算加减即可；
（4）利用完全平方公式和平方差公式将算式展开，再利用二次根式的性质化简即可．
【详解】（1）解：❑√2+❑√8+2❑√8
=❑√2+2❑√2+4❑√2
=7❑√2；
2 √1
（2）解： ❑√27−4❑√12+3❑
3 3
2 ❑√3
= ×3❑√3−4×2❑√3+3×
3 3
=2❑√3−8❑√3+❑√3=−5❑√3；
❑√20+❑√5 √1
（3）解： −❑ ⋅❑√18
❑√5 2
=❑√4+1−❑√9
=2+1−3
=0；
（4）解：(❑√6−2❑√3) 2+(❑√2+2❑√5)(2❑√5−❑√2)
=6−4❑√18+12+20−2
=36−12❑√2．
【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的加减运算，利用二次根式
的性质化简，合并同类二次根式，完全平方公式，平方差公式，求一个数的算术平方
根等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键．
22．计算：
(1)❑√50+❑√18+❑√8；
(2)(❑√2+❑√3)(❑√2−❑√3)；
【答案】(1)10❑√2
(2)−1
【分析】本题考查二次根式的混合运算：
（1）先化简，再合并同类二次根式即可；
（2）利用平方差公式进行计算即可．
【详解】（1）解：原式=5❑√2+3❑√2+2❑√2=10❑√2；
（2）原式=2−3=−1．
23．计算
(1)❑√45−2❑√5
√1
(2)❑√27−❑ +❑√12
3
(3)(4❑√3−3❑√6)÷2❑√3
(4)(❑√6−2❑√15)×❑√3−3❑√2【答案】(1)❑√5
14
(2) ❑√3
3
3
(3)2− ❑√2
2
(4)−6❑√5
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算与混合运算，掌握二次根式的混合运算的
运算顺序是解本题的关键．
（1）先化简二次根式，再进行减法计算；
（2）先化简二次根式，再进行加减混合运算；
（3）按照二次根式的除法法则先计算除法，再进行减法计算；
（4）利用乘法分配律先计算乘法，再进行加减计算．
【详解】（1）解：❑√45−2❑√5=3❑√5−2❑√5=❑√5；
√1 ❑√3 14
（2）解：❑√27−❑ +❑√12=3❑√3− +2❑√3= ❑√3；
3 3 3
3
（3）解：(4❑√3−3❑√6)÷2❑√3=4❑√3÷2❑√3−3❑√6÷2❑√3=2− ❑√2；
2
（4）解：(❑√6−2❑√15)×❑√3−3❑√2
=❑√18−2❑√45−3❑√2
=3❑√2−6❑√5−3❑√2
=−6❑√5．
24．计算：
(1)❑√12+❑√32−2❑√2；
(2)(❑√5+2)(❑√5−2)−(2❑√3−1) 2 ．
【答案】(1)2❑√3+2❑√2
(2)4❑√3−12
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先化简，根据二次根式的加减混合运算计算即可；
（2）运用平方差公式，完全平方公式，根据二次根式混合运算计算即可．
【详解】（1）解：❑√12+❑√32−2❑√2
=2❑√3+4❑√2−2❑√2=2❑√3+2❑√2．
（2）解：(❑√5+2)(❑√5−2)−(2❑√3−1) 2
=(❑√5) 2 −22−13+4❑√3
=4❑√3−12．
25．计算：
❑√32
(1)❑√27×❑√3− ；
❑√2
√1 1
(2)2❑√18−6❑ + ❑√8；
2 4
(3)(❑√5−1) 2 −(❑√7+2)(❑√7−2)；
( √1)
(4) ❑√75−❑ ÷❑√3+|1−❑√2)．
6
【答案】(1)5
7
(2) ❑√2
2
(3)3−2❑√5
5❑√2
(4)4+
6
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．
（1）先计算二次根式的乘除法，再计算减法即可得；
（2）先化简二次根式，再计算二次根式的乘法，然后计算二次根式的加减法即可得；
（3）先利用乘法公式计算二次根式的乘法，再计算加减法即可得；
（4）先化简二次根式、化简绝对值，再计算二次根式的除法，然后计算加减法即可得．
√32
【详解】（1）解：原式=❑√27×3−❑
2
=❑√81−❑√16
=9−4
=5．
❑√2 1
（2）解：原式=2×3❑√2−6× + ×2❑√2
2 41
=6❑√2−3❑√2+ ❑√2
2
7
= ❑√2．
2
（3）解：原式=5−2❑√5+1−[(❑√7) 2 −22)
=6−2❑√5−(7−4)
=6−2❑√5−3
=3−2❑√5．
( ❑√6)
（4）解：原式= 5❑√3− ÷❑√3+❑√2−1
6
❑√6
=5❑√3÷❑√3− ÷❑√3+❑√2−1
6
❑√2
=5− +❑√2−1
6
5❑√2
=4+ ．
6
【题型06：二次根式的化简求值】
26．已知x=5−2❑√6,y=5+2❑√6，求下列代数式的值：
(1)x2+xy+ y2；
(2)x2y+x y2．
【答案】(1)99
(2)10
【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，代数式求值，解题的关键是掌握二次根
式的混合运算顺序和运算法则．
（1）先求出x+ y=10，xy=1．再计算x2+xy+ y2=(x+ y) 2−xy，然后整体代入计
算即可；
（2）先求出x+ y=10，xy=1．再计算x2y+x y2=xy(x+ y)，然后整体代入计算即
可．
【详解】（1）解：∵x=5−2❑√6,y=5+2❑√6，∴x+ y=5−2❑√6+5+2❑√6=10，
xy=(5−2❑√6)×(5+2❑√6)=25−24=1．
∴x2+xy+ y2=(x+ y) 2−xy=100−1=99．
（2）解：∵x=5−2❑√6,y=5+2❑√6，
∴x+ y=5−2❑√6+5+2❑√6=10，
xy=(5−2❑√6)×(5+2❑√6)=25−24=1．
∴x2y+x y2=xy(x+ y)=1×10=10．
27．已知a=❑√6−2，b=❑√6+2
(1)求ab的值；
(2)求a2+ab+b2的值．
【答案】(1)2
(2)22
【分析】本题考查了二次根式的化简求值、完全平方公式，熟练掌握二次根式的混合
运算法则是解题关键．
（1）利用平方差公式可计算出答案；
（2）将原式变形为(a+b) 2−ab，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：已知a=❑√6−2，b=❑√6+2
那么ab=(❑√6−2)×(❑√6+2)=6−4=2
（2）解：原式=(a+b) 2−ab
其中a=❑√6−2，b=❑√6+2
那么原式=(❑√6−2+❑√6+2) 2 −(❑√6−2)(❑√6+2)
=(2❑√6) 2 −2
=24−2
=22
3 1
28．先化简，再求值：(❑√2x+❑√y)(❑√2x−❑√y)−(❑√2x−❑√y) 2，其中x= ，y= ．
4 2【答案】2❑√2xy−2y，❑√3−1
【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，根据平方差公式、完全平方公式、合并
同类项把原式化简，把x、y的值代入计算得到答案．
【详解】解：原式=(❑√2x) 2 −(❑√y) 2 −(❑√2x−❑√y) 2
=2x−y−2x+2❑√2xy−y
=2❑√2xy−2y，
3 1 √ 3 1 1
当x= ，y= 时，原式=2❑2× × −2× =❑√3−1．
4 2 4 2 2
1 1
29．已知，x= ，y= ．求：
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
(1)x+ y和xy的值；
(2)求x2−xy+ y2的值．
【答案】(1)x+ y=2❑√3；xy=1
(2)9
【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．熟练掌握二
次根式的运算法则是解题的关键．
（1）先将已知x和y的值进行分母有理化，得到x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2，再分别根
据二次根式的加法法则和乘法法则即可求出答案；
（2）根据完全平方公式将原式变为(x+ y) 2−3xy，再代入（1）的值即可求出答案．
1 ❑√3+❑√2
【详解】（1）解：∵ x= = =❑√3+❑√2，
❑√3−❑√2 (❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2)
1 ❑√3−❑√2
y= = =❑√3−❑√2，
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
∴x+ y=(❑√3+❑√2)+(❑√3−❑√2)=2❑√3，
xy=(❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)=1；
（2）解：由（1）可知，x+ y=2❑√3，xy=1，
∴x2−xy+ y2
=(x+ y) 2−3xy=(2❑√3) 2 −3×1
=12−3
=9．
30．已知x=❑√3+1，y=❑√3−1，求下列各式的值：
(1)x2y+x y2
(2)x2−xy+ y2
【答案】(1)4❑√3
(2)6
【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式，完全平方公式，
（1）由已知得x+ y=2❑√3，xy=2，然后将x2y+x y2分解因式为xy(x+ y)，再整体
代入计算即可；
（2）将x2−xy+ y2转化为(x+ y) 2−3xy，再整体代入计算即可；
掌握相应的运算法则、性质和公式是解题的关键．
【详解】（1）解：∵x=❑√3+1，y=❑√3−1，
∴x+ y=❑√3+1+❑√3−1=2❑√3，
xy=(❑√3+1)(❑√3−1)=(❑√3) 2 −12=2，
∴x2y+x y2
=xy(x+ y)
=2×2❑√3
=4❑√3；
（2）x2−xy+ y2
=(x+ y) 2−3xy
=(2❑√3) 2 −3×2
=12−6
=6．
1 1
31．已知x= ，y= ，求下列各式的值：
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
(1)x2+xy+ y2；y x
(2) + ．
x y
【答案】(1)11
(2)10
【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化：
（1）先利用分母有理化法则求出x=❑√3+❑√2，y=❑√3−❑√2，进而得到x+ y=2❑√3，
xy=1，再根据完全平方公式的变形求解即可；
y x (x+ y) 2−2xy
（2）根据 + = 进行求解即可．
x y xy
1 1
【详解】（1）解：∵x= ，y= ，
❑√3−❑√2 ❑√3+❑√2
❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2
∴x= =❑√3+❑√2，y= =❑√3−❑√2，
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
∴x+ y=❑√3+❑√2+❑√3−❑√2=2❑√3，xy=(❑√3+❑√2)×(❑√3−❑√2)=3−2=1，
∴x2+xy+ y2=(x+ y) 2−xy=12−1=11；
y x
（2）解： +
x y
x2+ y2
=
xy
(x+ y) 2−2xy
=
xy
12−2
=
1
=10．
【题型07：二次根式的应用】
32．有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为27dm2和
75dm2的正方形木板．(1)求原长方形木板的面积；
(2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，
估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：
❑√2≈1.414，❑√3≈1.732)
【答案】(1)120 dm2
(2)4
【分析】本题考查的是二次根式的应用；
（1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案；
（2）求出3❑√3和2❑√3的近似数，再根据题意解答．
【详解】（1）解：∵两个正方形的面积分别为27dm2和75 dm2，
∴这两个正方形的边长分别为3❑√3dm和5❑√3dm，
∴原长方形木板的面积=5❑√3(3❑√3+5❑√3)=120( dm2 )；
（2）最多能裁出3块这样的木条．理由如下：
∵3❑√3≈5.196，2❑√3≈3.464，
3.46÷1.5≈2(块)，
5.196÷2≈2(块)，
2×2=4(块)．
∴从剩余的木块(阴影部分)中截出长为2dm，宽为1.5dm的长方形木条，最多能裁出4
块这样的木条．
故答案为：4．
33．秦九韶（1208年-1268年），字道古，南宋著名数学家．与李冶、杨辉、朱世杰并称
宋元数学四大家．他精研星象、音律、算术、诗词、弓剑、营造之学．他于1247年完
成的著作《数学九章》中关于三角形的面积公式与古希腊几何学家海伦的成果并称
“海伦一秦九韶公式”．它的主要内容是，如果一个三角形的三边长分别是a,b,c，
a+b+c
记p= ,s为三角形的面积，那么s=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．
2(1)在△ABC中，BC=5,AC=6,AB=7，请用上面的公式计算△ABC的面积；
(2)如图，在△ABC中，AB=9,AC=8,BC=7,BD⊥AC，垂足为D，求CD的长；
(3)一个三角形的三边长分别为a,b,c,s=p=15,a=10，求bc的值．
【答案】(1)6❑√6
(2)3❑√5
(3)78
【分析】本题考查二次根式的应用，解答本题的关键是明确题意，熟悉掌握海伦－秦
九韶公式求三角形的面积．
（1）根据题目的指示，了解海伦-秦九昭公式，根据具体的数字先计算p的值，然后
再代入公式，计算三角形的面积即可；
1
（2）由海伦-秦九韶公式求得△ABC的面积．再根据S = AC⋅BD，即可求BD；
△ABC 2
a+b+c
（3）根据p= 得以得到b+c=20，再根据面积可以得到
2
225−15(b+c)+bc=3，代入计算即可．
【详解】（1）解：∵BC=5,AC=6,AB=7，
5+6+7
∴p= =9，
2
∴△ABC的面积为❑√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)=❑√9×4×3×2=6❑√6，
（2）解：AB=9,AC=8,BC=7,
9+8+7
∴p= =12，
2
∴△ABC的面积为❑√12×(12−9)×(12−8)×(12−7)=❑√12×3×4×5=12❑√5，
1
又∵S = AC⋅BD，
△ABC 2
2S 2×12❑√5
∴BD= △ABC = =3❑√5；
AC 8（3）解：∵s=p=15,a=10，
10+b+c
∴p= =15，即b+c=20，
2
又∵❑√15×(15−10)(15−b)(15−c)=15
∴(15−b)(15−c)=3，
即225−15(b+c)+bc=3，
∴bc=3+15(b+c)−225=3+15×20−225=78．
34．有一块矩形木板，木工采用如图的方式，在木板上截出两个面积分别为18dm2和
32dm2的正方形木板．
(1)截出的两块正方形木料的边长分别为______，______．
(2)求剩余木料的面积．
【答案】(1)3❑√2，4❑√2
(2)6
【分析】（1）根据平方根的定义计算即可；
（2）利用面积公式进行计算即可；
本题主要考查二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：两个正方形木板的面积分别为18dm2和32dm2，
∴这两个正方形的边长分别为：
❑√18=3❑√2(dm),
❑√32=4❑√2(dm)．
（2）∵这两个正方形的边长分别为：3❑√2，4❑√2
∴剩余木料的面积为(4❑√2−3❑√2)×3❑√2=❑√2×3❑√2=6(dm2)．
35．交警通常根据刹车后，车轮划过的距离估计车辆行驶的速度，所依据的经验公式是
v=16❑√df，其中v表示车速（单位：km/h），d表示车轮划过的距离（单位：m），
f表示摩擦系数．在某次交通事故调查中测得d=10m，f =1.2．（参考数据：
❑√3≈1.73）(1)求肇事汽车的速度；
(2)若此路段限速60km/h，请通过计算判断肇事汽车是否超速？
【答案】(1)55.36km/h
(2)没有超速，理由见解析
【分析】（1）将d=10m，f =1.2代入公式进行计算即可求解；
（2）根据（1）的结论，根据题意，比较大小，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，v=16❑√10×1.2=16×2❑√3≈32×1.73=55.36 km/h
（2）解：∵肇事汽车的速度为55.36km/h<60km/h
∴肇事汽车没有超速．
【点睛】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．
36．阅读下面的材料，解决下面的问题．
古希腊的几何学家海伦在他的《度量》一书中给出了利用三角形的三边求三角形面积
a+b+c
的“海伦公式”：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，设p= ，则三角
2
形的面积S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)．
我国南宋著名的数学家秦九韶提出了利用三角形的三边求面积的“秦九韶公式”（三
√1
斜求积术）：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则三角形的面积S=❑ ¿¿．
4
(1)若一个三角形的三边长分别是5，6，7，则这个三角形的面积等于______；
(2)若一个三角形的三边长分别是5,❑√6,❑√7，求这个三角形的面积．
【答案】(1)6❑√6
❑√6
(2)
2
【分析】本题考查了二次根式的应用，难点在于对各项整理利用算术平方根的定义计
算．
（1）把a,b,c的长代入公式求出S，即可得解；
（2）把a,b,c的长代入公式求出S，即可得解．a+b+c 5+6+7
【详解】（1）解：p= = =9，
2 2
S=❑√p(p−a)(p−b)(p−c)
=❑√9×(9−5)×(9−6)×(9−7)
=6❑√6．
答：这个三角形的面积等于6❑√6．
故答案为：6❑√6．
√ 1[ (a2+b2−c2 ) 2 )
（2）解：S=❑ a2b2−
4 2
√ 1 [ ((5) 2+(❑√6) 2 −(❑√7) 2 ) 2 )
=❑ × (5) 2×(❑√6) 2 −
4 2
=❑
√1[
25×6−
(25+6−7) 2 )
4 2
√1
=❑ ×(150−144)
4
❑√6
= ．
2
❑√6
答：这个三角形的面积是 ．
2
【题型08：二次根式中新定义问题】
37．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算 如下：a⊗b=❑√ab(a−b) ，如
3⊗2=❑√3×2×(3−2)=❑√6，那么 8 12 的运算结果为 ．
【答案】−16❑√6
【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
【详解】8 12＝❑√8×12×(8−12)=4❑√6×(−4)=−16❑√6
故答案为：−16❑√6．
【点睛】此题考查二次根式的化简求值，理解规定的运算顺序与计算方法是解决问题
的关键．
38．对于任意不相等的两个正实数a，b，定义一种运算“▲”如下：a▲b＝，如3▲2＝ ．根
❑√a−❑√(b−a) 2+❑√2a+b+1 ❑√3−❑√(2−3) 2+❑√2×3+2+1=❑√3+2
据定义，则4▲7＝ ．
【答案】3
【分析】直接利用公式将原式变形求出答案．
【详解】4▲7＝❑√4−❑√(7−4) 2+❑√2×4+7+1
＝2﹣3+4
＝3．
故答案为3．
【点睛】此题主要考查了实数运算，正确利用公式计算是解题关键．
【题型09：利用分母有理化化简求值】
39．[材料一]两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，那么
这两个代数式互为有理化因式．
例如：❑√2×❑√2=2，(❑√3+1)×(❑√3−1)=2，我们称❑√2和❑√2互为有理化因式，
❑√3+1和❑√3−1互为有理化因式．
（1）❑√5的有理化因式是______（写出一个即可），2−❑√3的有理化因式是_______
（写出一个即可）；
[材料二]如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有
理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫做分母有理化．
1 1 1 1
（2）利用分母有理化化简： + + +……+ ．
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2024+❑√2023
[材料三]与分母有理化类似，将代数式分子、分母同乘分子的有理化因式，从而消去
分子中的根式，
这种变形叫做分子有理化．
(❑√3−❑√2)(❑√3+❑√2) 1
比如：❑√3−❑√2= =
❑√3+❑√2 ❑√3+❑√2
（3）试利用分子有理化比较❑√8−❑√7和❑√7−❑√6的大小．
【答案】（1）❑√5，2+❑√3；（2）2❑√506−1；（3）❑√7−❑√6>❑√8−❑√7
【分析】本题考查分母有理化，估算无理数的大小及规律探索问题，熟练掌握分母有
理化的步骤及方法是解题的关键．（1）根据有理化因式的定义即可求得答案；
（2）根据所得规律计算即可；
1 1
（3）利用分母有理化得到 =❑√7+❑√6， =❑√8+❑√7，然后比较
❑√7−❑√6 ❑√8−❑√7
1 1
, 大小即可．
❑√7−❑√6 ❑√8−❑√7
【详解】（1）解：∵❑√5×❑√5=5，
∴❑√5的有理化因式是❑√5；
∵(2−❑√3)×(2+❑√3)=4−3=1，
∴2−❑√3的有理化因式是2+❑√3；
故答案为：❑√5，2+❑√3；
1 1 1 1
（2）解： + + +……+
❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√2024+❑√2023
=❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+…+❑√2024−❑√2023
=−1+❑√2−❑√2+❑√3−❑√3+❑√4−…−❑√2023+❑√2024
=❑√2024−1
=2❑√506−1；
（3）❑√7−❑√6>❑√8−❑√7．
理由如下：
1 ❑√7+❑√6
∵
= =❑√7+❑√6，
❑√7−❑√6 (❑√7−❑√6)(❑√7+❑√6)
1 ❑√8+❑√7
= =❑√8+❑√7，
❑√8−❑√7 (❑√8−❑√7)(❑√8+❑√7)
∵❑√7+❑√6<❑√7+❑√8，
1 1
∴ < ，
❑√7−❑√6 ❑√8−❑√7
∴❑√7−❑√6>❑√8−❑√7．
40．我们将(❑√a+❑√b)、(❑√a−❑√b)称为一对“对偶式”，因为(❑√a+❑√b)(❑√a−❑√b)=
(❑√a) 2 −(❑√b) 2所以构造“对偶式”再将其相乘可以有效的将(❑√a+❑√b)和(❑√a−❑√b)中的“-”去掉，
1 1×❑√3 ❑√3 2+❑√2 (2+❑√2) 2
于是二次根式除法可以这样解：如 = = ， ＝
❑√3 ❑√3×❑√3 3 2−❑√2 (2−❑√2)(2+❑√2)
＝3+2❑√2．像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把母中的根号化去或把根号中的
分母化去的方法叫做分母有理化．根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，
解答以下问题：
（1）通过上述方法，可知❑√2019−❑√2018 ❑√2018−❑√2017 （填“＞”、
“＜”或“＝”）；
1 1 1
（2）计算下列式子的值： + ⋯⋯+ ．
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√2019+❑√2017
❑√2019−1
【答案】（1）＜；（2） ．
2
1
【分析】（1）根据材料中的方法可得❑√2019−❑√2018= ，
❑√2019+❑√2018
1
❑√2018−❑√2017= ，即可得出它们的大小关系；
❑√2018+❑√2017
（2）根据材料中的方法计算即可．
1
【详解】解：（1）❑√2019−❑√2018= ，
❑√2019+❑√2018
1
❑√2018−❑√2017= ，
❑√2018+❑√2017
1 1
而 < ，
❑√2019+❑√2018 ❑√2018+❑√2017
∴❑√2019−❑√2018<❑√2018−❑√2017；
故答案为: ＜；
❑√3−1 ❑√5−❑√3 ❑√2019−❑√2017
（2）原式＝ + +…+
2 2 2
❑√2019−1
＝ ．
2
【点睛】本题考查了无理数的相关运算问题，理解并运用材料提供的方法是解题的关
键．
41．阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如5 √2 2
，❑ ，
❑√3 3 ❑√3+1
一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：
5 5×❑√3 5❑√3
= = ；
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×3 ❑√6
❑ =❑ = ；
3 3×3 3
2 2×(❑√3−1) 2(❑√3−1)
= = =❑√3−1
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3) 2 −12
以上这种化简的步骤叫做分母有理化．
2 √2 1
（1）化简： = ；❑ = ； = ；
❑√3 5 ❑√5+❑√3
1 1 1 1
（2）化简： + + +⋯+ ；
❑√3+1 ❑√5+❑√3 ❑√7+❑√5 ❑√2019+❑√2017
❑√5−❑√3 ❑√5+❑√3 y x
（3）已知x= ，y= ，求 + 的值.
❑√5+❑√3 ❑√5−❑√3 x y
2❑√3 ❑√10 ❑√5−❑√3 ❑√2019−1
【答案】（1） , , （2） （3）62
3 5 2 2
【分析】（1）分子分母分别乘❑√3,❑√5,❑√5−❑√3 即可.
（2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可.
（3）将x，y化简后，对后面算式运用完全平方公式进行变形，代入即可.
2 2×❑√3 2❑√3
【详解】（1） = = ，
❑√3 ❑√3×❑√3 3
√2 √2×5 ❑√10
❑ =❑ = ，
5 5×5 5
1 ❑√5−❑√3 ❑√5−❑√3
= =
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 2
2❑√3 ❑√10 ❑√5−❑√3
故答案为 ， ，
3 5 2
1
（2）原式= (❑√3−1+❑√5−❑√3+❑√7−❑√5+⋯+❑√2019−❑√2017)
2
❑√2019−1
=
2
❑√5−❑√3 8−2❑√15 ❑√5+❑√3 8+2❑√15
（3）x= = ，y= =
❑√5+❑√3 2 ❑√5−❑√3 2∴x+ y=8,xy=1
y x (x+ y) 2 64
+ = −2= −2=62
x y xy 1
【点睛】考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．
二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方
差公式的特点的式子．
42．阅读理解
材料一：两个含有二次根式的非零代数式相乘，如果它们的积不是二次根式，那么这
两个代数式互为有理化因式．
例1：❑√3×❑√3=3，(❑√6+❑√2)(❑√6−❑√2)=6−2=4我们称❑√3的一个有理化因式是❑√3，
❑√6−❑√2的一个有理化因式是❑√6+❑√2．
材料二：如果一个代数式的分母含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理
化因式，使分母中不含根号，这种变形叫分母有理化．
1 1×❑√3 ❑√3
例2： = =
❑√3 ❑√3×❑√3 3
1 1×(❑√3−❑√2)
= =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
请仿照材料中的方法探索并解决下列问题：
(1)❑√10的有理化因式是________．❑√2−❑√3的有理化因式是________（均写出一个即
可）．
3
(2)若a是❑√5的小数部分，化简 ．
a
(3)利用你发现的规律计算下面式子的值
( 1 1 1 1 )
+ + +⋯⋯+ (❑√2024+❑√2)
❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2022+❑√2024
【答案】(1)❑√10，❑√2+❑√3
(2)3❑√5+6
(3)1011
【分析】本题考查二次根式的混合运算、分母有理化、平方差公式，
（1）根据题目中的材料，可以求出❑√10的有理化因式和❑√2−❑√3的有理化因式；3
（2）先求出a=❑√5−2，再代入 进行分母有理化即可；
a
（3）先将所求式子分母有理化，然后合并同类二次根式即可．
【详解】（1）解：∵❑√10×❑√10=10，
(❑√2−❑√3)(❑√2+❑√3)=(❑√2) 2 −(❑√3) 2=2−3=−1，
∴❑√10的有理化因式为❑√10，❑√2−❑√3的有理化因式为❑√2+❑√3，
故答案为：❑√10，❑√2+❑√3；
（2）∵4<5<9，
∴❑√4<❑√5<❑√9，
∴2<❑√5<3，
∴❑√5的整数部分是2，小数部分是❑√5−2，
∴a=❑√5−2，
3 3 3(❑√5+2) 3(❑√5+2) 3(❑√5+2)
∴ = = = = =3❑√5+6，
a ❑√5−2 (❑√5−2)(❑√5+2) (❑√5) 2 −22 1
( 1 1 1 1 )
（3） + + +⋯⋯+ (❑√2024+❑√2)
❑√2+❑√4 ❑√4+❑√6 ❑√6+❑√8 ❑√2022+❑√2024
1 ( 1 1 1 1 )
= + + +…+ (❑√2024+❑√2)
❑√2 ❑√2+1 ❑√3+❑√2 ❑√4+❑√3 ❑√1012+❑√1011
( ❑√2−1 ❑√3−❑√2 ❑√4−❑√3 ❑√1012−❑√1011 )
= + + +…+ (❑√1012+1)
(❑√2+1)(❑√2−1) (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3) (❑√1012+❑√1011)(❑√1012−❑√1011)
=(❑√2−1+❑√3−❑√2+❑√4−❑√3+…+❑√1012−❑√1011)(❑√1012+1)
=(❑√1012−1)(❑√1012+1)
=(❑√1012) 2 −12
=1012−1
=1011．
【题型10：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】43．定义：若两个二次根式a，b满足a⋅b=c，且c是有理数，则称a与b是关于c的共轭
二次根式．
(1)若a与❑√3是关于6的共轭二次根式，求a的值；
(2)若2−❑√3与4+❑√3m是关于2的共轭二次根式，求m的值．
【答案】(1)2❑√3
(2)m=2
【分析】此题主要考查了新定义：共轭二次根式的理解和应用，掌握二次根式的混合
运算法则是解题关键．
（1）由题意得：❑√3a=6，即可求解；
2
（2）由题意得：(2−❑√3)(4+❑√3m)=2，化简 即可求解；
2−❑√3
【详解】（1）解：由题意得：❑√3a=6，
∴a=2❑√3；
（2）解：由题意得：(2−❑√3)(4+❑√3m)=2，
2 2(2+❑√3)
∴4+❑√3m= = =4+2❑√3，
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3)
∴m=2；
1
44．我们规定用(a,b)表示-对数对，给出如下定义：记m= ，n=❑√b（a>0，b>0），
❑√a
将(m,n)与(n,m)称为数对(a,b)的一对“对称数对”，例如：(4,1)的一对“对称数
(1 ) ( 1)
对”为 ,1 与 1, ．
2 2
(1)数对(25,4)的一对“对称数对”是________和________；
(2)若数对(x,2)的一对“对称数对”的一个数对是(❑√2,1)，求x的值；
(3)若数对(a,b)的一对“对称数对”的一个数对是(❑√3,3❑√3)，求ab的值．
(1 ) ( 1)
【答案】(1) ,2 ； 2, .
5 5
(2)x=11
(3)9或
9
1
【分析】（1）根据题意将a=25，b=4代入m= =❑√2，n=❑√b=1即可；
❑√a
1
（2）由题m= ，n=❑√b，数对(x,2)的一对“对称数对”的一个数对是(❑√2,1)和
❑√a
1
(1,❑√2)，可得， =1即可得出x的值；
❑√x
（3）将数对(a,b)的一对“对称数对”求出来，分类讨论求出a，b，即可知ab．
1 1
【详解】（1）解：由题意知：m= = ，n=❑√4=2，
❑√25 5
(1 ) ( 1)
∴数对(25,4)的一对“对称数对”是 ,2 和 2, ．
5 5
( 1 ) ( 1 )
（2）解：∵数对(x,2)的一对“对称数对”是 ,❑√2 和 ❑√2, ，
❑√x ❑√x
1
∴ =1，
❑√x
∴x=1.
( 1 ) ( 1 )
（3）解：∵数对(a,b)的一对“对称数对”是 ,❑√b 和 ❑√b, ，
❑√a ❑√a
{ 1 =❑√3) { 1 =3❑√3)
∴ ❑√a 或 ❑√a
❑√b=3❑√3 ❑√b=❑√3.
{ a= 1 ) { a= 1 )
∴ 3 或 27
b=27 b=3.
1
∴ab=9或
.
9
【点睛】本题考查了学生对新定义的理解及根式的计算，要正确的理解新定义是解题
的关键．
45．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3+2❑√2=(1+❑√2) 2 ，善于思考的小明进行了以下探索，若设
a+b❑√2=(m+n❑√2) 2=m2+2mn❑√2+2n2（其中，a，b，m，n均为整数），则有
a=m2+2n2，b=2mn，这样小明就找到一种把类似a+b❑√2的式子化为平方式的方法．
请你依照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)若a+b❑√3=(m+n❑√3) 2，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示
a，b，得：a= ，b= ．
(2)若a+4❑√7=(m+n❑√7) 2，当a，m，n均为正整数时，求a的值．
(3)化简：❑√9−4❑√5．
【答案】(1)m2+3n2，2mn
(2)11或29
(3)❑√5−2
【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式的性质，熟练掌握完全平方公式是解题
关键．
（1）利用完全平方公式可得(m+n❑√3) 2=m2+2❑√3mn+3n2，由此即可得；
（2）利用完全平方公式可得(m+n❑√7) 2=m2+2❑√7mn+7n2，从而可得a=m2+7n2，
mn=2，再根据m,n均为正整数求解即可得；
（3）设9−4❑√5=(m−n❑√5) 2，其中m,n均为正整数，先求出m2+5n2=9，mn=2，
再根据m,n均为正整数可求出m,n的值，然后利用二次根式的性质化简即可得．
【详解】（1）解：(m+n❑√3) 2=m2+2❑√3mn+3n2，
∵a+b❑√3=(m+n❑√3) 2 （a,b,m,n均为整数），
∴a+b❑√3=m2+2❑√3mn+3n2（a,b,m,n均为整数），
∴a=m2+3n2，b=2mn，
故答案为：m2+3n2，2mn．
（2）解：(m+n❑√7) 2=m2+2❑√7mn+7n2，∵a+4❑√7=(m+n❑√7) 2 （a,m,n均为正整数），
∴a+4❑√7=m2+2❑√7mn+7n2（a,m,n均为正整数），
∴a=m2+7n2，mn=2，
∴当m=1,n=2时，a=12+7×22=29，
当m=2,n=1时，a=22+7×12=11，
综上，a的值为11或29．
（3）解：设9−4❑√5=(m−n❑√5) 2，其中m,n均为正整数，
∵(m−n❑√5) 2=m2−2❑√5mn+5n2，
∴9−4❑√5=m2−2❑√5mn+5n2，
∴m2+5n2=9，mn=2，
∴当m=1,n=2时，12+5×22=21≠9，
当m=2,n=1时，22+5×12=9，
∴9−4❑√5=(2−❑√5) 2 ，
∴❑√9−4❑√5=❑√(2−❑√5) 2=|2−❑√5)=❑√5−2．
46．阅读下列材料，然后回答问题．
【思维启迪】
2
【材料1】在进行二次根式运算时，我们有时会碰上 这样的式子，其实我们还
❑√3+1
2 2(❑√3−1) 2(❑√3−1)
可以将其进一步化简： = = =❑√3−1．
❑√3+1 (❑√3+1)(❑√3−1) (❑√3−1) 2
以上这种化简的步骤叫作分母有理化．
【材料2】∵❑√4<❑√5<❑√9，即2<❑√5<3，
∴1<❑√5−1<2．
∴❑√5−1的整数部分为1．
∴❑√5−1的小数部分为❑√5−2．
【学以致用】
2
(1)化简 ；
❑√5+❑√31
(2)已知 的整数部分为a，小数部分为b，
2−❑√3
①求a、b的值．
②求a2+b2的值．
【答案】(1)❑√5−❑√3
(2)①3，❑√3−1；②13−2❑√3
【分析】本题考查分母有理化，与无理数整数部分有关的计算：
（1）根据分母有理化进行化简即可；
（2）先进行分母有理化，再根据无理数的估算方法，确定a,b的值，进而求出a2+b2
的值即可．
2 2(❑√5−❑√3) 2(❑√5−❑√3)
【详解】（1）解： = = =❑√5−❑√3；
❑√5+❑√3 (❑√5+❑√3)(❑√5−❑√3) 5−3
1 2+❑√3 2+❑√3
（2）① = = =2+❑√3，
2−❑√3 (2−❑√3)(2+❑√3) 4−3
∵❑√1<❑√3<❑√4，
∴1<❑√3<2，
∴3<2+❑√3<4，
∴a=3，b=2+❑√3−3=❑√3−1；
故答案为：3，❑√3−1；
②∵a=3，b=❑√3−1，
∴a2+b2=32+(❑√3−1) 2=9+3−2❑√3+1=13−2❑√3．
47．阅读材料：
材料一：观察下列等式，能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层根号，如：
❑√ (❑√1) 2+(❑√2) 2 −2×❑√1×❑√2=❑√ (❑√1−❑√2) 2=|❑√1−❑√2)=❑√2−1．
材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，
在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到．
如：x2+2❑√2x+3=x2+2❑√2x+(❑√2) 2+1=(x+❑√2) 2+1．
∵(x+❑√2) 2 ≥0，∴(x+❑√2) 2+1≥1，即x2+2❑√2x+3≥1．
∴x2+2❑√2x+3的最小值为1．
解决下列问题：
(1)❑√4−2❑√3= ，❑√5+2❑√6= ；
(2)求x2+4❑√3x+11的最小值；
(3)比较大小：❑√6−2 ❑√7−❑√3．
【答案】(1)❑√3−1，❑√3+❑√2
(2)−1
(3)<
【分析】（1）利用完全平方公式及二次根式的性质将❑√4−2❑√3化为|❑√3−1)，然后
通过无理数的大小估算及不等式的性质确定❑√3−1的符号，最后通过化简绝对值即可
得出答案；
（2）利用完全平方公式将x2+4❑√3x+11化为(x+2❑√3) 2 −1，然后利用(x+2❑√3) 2的
非负性及不等式的性质即可得出答案；
（3）利用完全平方公式可得(❑√6−2) 2 −(❑√7−❑√3) 2=❑√84−❑√96<0，即
(❑√6−2) 2<(❑√7−❑√3) 2 ，然后由不等式的性质可得❑√6−2>0，❑√7−❑√3>0，于是可得
答案．
【详解】（1）解：❑√4−2❑√3
=❑√3−2❑√3+1
=❑√(❑√3) 2 −2❑√3+12
=❑√(❑√3−1) 2
=|❑√3−1)，
∵3>1，
∴❑√3>1，
∴❑√3−1>0，∴|❑√3−1)=❑√3−1，
∴❑√4−2❑√3=❑√3−1；
❑√5+2❑√6
=❑√3+2❑√6+2
=❑√(❑√3) 2+2×❑√3×❑√2+(❑√2) 2
=❑√(❑√3+❑√2) 2
=|❑√3+❑√2)
=❑√3+❑√2；
故答案为：❑√3−1，❑√3+❑√2；
（2）解：x2+4❑√3x+11
=x2+4❑√3x+12−1
=x2+2×1×2❑√3x+(2❑√3) 2 −1
=(x+2❑√3) 2 −1，
∵(x+2❑√3) 2 ≥0，
∴(x+2❑√3) 2 −1≥−1，
即：x2+4❑√3x+11≥−1，
∴x2+4❑√3x+11的最小值为−1；
（3）解：∵(❑√6−2) 2 −(❑√7−❑√3) 2
=(6−4❑√6+4)−(7−2❑√21+3)
=6−4❑√6+4−7+2❑√21−3
=2❑√21−4❑√6
=❑√84−❑√96，
∵84<96，
∴❑√84<❑√96，
∴❑√84−❑√96<0，∴(❑√6−2) 2 −(❑√7−❑√3) 2<0，
∴(❑√6−2) 2<(❑√7−❑√3) 2 ，
∵6>4，7>3，
∴❑√6>2，❑√7>❑√3，
∴❑√6−2>0，❑√7−❑√3>0，
∵(❑√6−2) 2<(❑√7−❑√3) 2 ，
∴❑√6−2<❑√7−❑√3，
故答案为：<．
【点睛】本题主要考查了完全平方公式，利用二次根式的性质化简，化简绝对值，无
理数的大小估算，不等式的性质，二次根式的混合运算等知识点，熟练掌握完全平方
公式及不等式的性质是解题的关键．
48．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a>0，b>0时，∵(❑√a−❑√b) 2=a−2❑√ab+b≥0，∴a+b≥2❑√ab，当且仅当a=b
时取等号．请利用上述结论解决以下问题：
1 1
(1)当x>0时，x+ 的最小值为 ；当x<0时，x+ 的最大值为 ；
x x
x2+3x+36
(2)当x>0时，求当x取何值，y= 有最小值，最小值是多少？
x
(3)如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，△AOB、△COD的面积分别
为4和9，则四边形ABCD的面积的最小值为 ．
【答案】(1)2；−2
(2)当x=4时，有最小值，为11
(3)25
【分析】本题考查了配方法在二次根式、分式及四边形面积计算中的应用与拓展，读懂阅读材料中的方法并正确运用是解题的关键．
1
（1）当x>0时，直接根据公式a+b≥2❑√ab计算即可；当x<0时，先将x+ 变形为
x
1
−x− ，再根据公式a+b≥2❑√ab计算即可；
x
（2）将原式的分子分别除以分母，变形为可利用公式a+b≥2❑√ab计算的形式，计算
即可；
36
（3）设S =x，根据等高三角形的性质得出S = ，结合图形确定
△AOD △BOC x
S =S +S +S +S ，代入计算，利用题中性质求解即可．
四边形ABCD △AOB △COD △BOC △AOD
1 √ 1
【详解】（1）解：当x>0时，x+ ≥2❑ x⋅ =2，
x x
1
∴x+ 的最小值为2；
x
1
当x<0时，−x>0，− >0，
x
1 √ ( 1)
∴−x− ≥2❑(−x)⋅ − =2，
x x
1 ( 1)
∴x+ =− −x− ≤−2，
x x
1
∴当x<0时，x+ 的最大值为−2．
x
故答案为：2；−2；
（2）解：∵x>0，
x2+3x+16 16
∴y= =x+ +3，
x x
16 √ 16
而x+ ≥2❑ x⋅ =8，
x x
16
当x= 时，即x=4时，等号成立，
x
∴y≥8+3，即y≥11，
∴当x=4时，有最小值，为11．
（3）解：设S =x，
△AOD∵△AOD与△AOB同高，△COD与△BOC同高，
∴S :S =BO:OD=S :S ，
△AOB △AOD △BOC △COD
由题知S =4，S =9，
△AOB △COD
∴4:x=S :9，
△BOC
36
∴S = ，
△BOC x
∵S =S +S +S +S
四边形ABCD △AOB △COD △BOC △AOD
36
=4+9+ +x
x
36
=13+ +x，
x
36 √36
∵ +x≥2❑ ⋅x=12，
x x
∴S ≥13+12=25，
四边形ABCD
∴四边形ABCD面积的最小值为25，
故答案为：25．
