专题13乘法公式重难点题型专训（11大题型）（学生版）_初中数学_八年级数学上册（人教版）_重难点专题提升-V7_2024版

专题13 乘法公式重难点题型专训（11大题型） 【题型目录】 题型一 运用平方差公式进行运算 题型二 平方差公式与几何图形 题型三 运用完全平方公式进行运算 题型四 通过完全平方公式变形求值 题型五 求完全平方公式中的字母系数 题型六 完全平方式在几何图形中的应用 题型七 整式的混合运算 题型八 乘法公式中的多结论问题 题型九 乘法公式的相关计算 题型十 乘法公式中的“知二求三” 题型十一 乘法公式与几何图形的综合应用 【知识梳理】 知识点一、平方差公式 (ab)(ab)a2 b2 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. a,b 特别说明：在这里， 既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项， 又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： (ab)(ba) （1）位置变化：如 利用加法交换律可以转化为公式的标准型 (3x5y)(3x5y) （2）系数变化：如 (m3n2)(m3n2) （3）指数变化：如 (ab)(ab) （4）符号变化：如 (mn p)(mn p) （5）增项变化：如 (ab)(ab)(a2 b2)(a4 b4) （6）增因式变化：如 知识点二、完全平方公式 ab2 a2 2abb2 完全平方公式： (ab)2  a2 2abb2 两数和(差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.特别说明：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加 （或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： a2 b2 ab2 2ab ab2 2ab ab2 ab2 4ab 知识点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里 的各项都改变符号. 特别说明：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正 确. 知识点四、补充公式 (x p)(xq) x2 (pq)x pq (ab)(a2 abb2)a3b3 ； ； (ab)3 a33a2b3ab2 b3 (abc)2 a2 b2 c2 2ab2ac2bc ； . 【经典例题一 运用平方差公式进行运算】 1．（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023上·福建泉州·八年级福建省泉州第一中学校考阶段练习）用乘法公式计算 的结果（ ） A． B． C． D． 3．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）下列式子中：① ；② ； ③ ；④ ，能用平方差公式运算的是 . 4．（2022下·广东佛山·七年级校考专题练习）若 则 的值为 ． 5．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）（1）你能求出 的值吗？ 遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值．______； ______； ______；… 由此我们可以得到： ______． （2）利用（1）的结论，完成下面的计算： ． （3）求 的值的个位数字，是______．（只写出答案） 【经典例题二 平方差公式与几何图形】 1．（2023下·甘肃兰州·七年级统考期中）下面给出的三幅图都是将阴影部分通过割，拼，形成新的图形， 其中不能验证平方差公式的是（ ） A．① B．②③ C．①③ D．③ 2．（2023下·浙江丽水·七年级校联考阶段练习）如图，把一块面积为 的大长方形木板分割成 个正方 形①、②、③和 个大小相同的长方形④、⑤且每个小长方形的面积均为 ，则标号为②的正方形的面积 为（ ）A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2023下·陕西渭南·七年级统考期中）如图，正方形 的面积比正方形 的面积小6，则阴影 部分的面积是 ． 4．（2023下·陕西榆林·七年级统考期末）将一个长方形按如图①所示进行分割，得到两个完全相同的梯形， 再将它们拼成如图②所示的图形，根据两个图形中面积间的关系，可以验证的乘法公式为 ． 5．（2023上·山西临汾·八年级校考期中）如图，边长为a的大正方形有一个边长为b的小正方形，把图1 中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）． (1)上述操作能验证的等式是：______（请选择正确的选项）： A． B． C． D．(2)请利用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①根据以上等式简便计算： ． ②已知 ， ，计算 的值； ③计算： ． 【经典例题三 运用完全平方公式进行运算】 1．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）已知 ， ， ，则 的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023上·八年级课时练习）若 ，则 的结果是（ ） A．23 B．8 C． D． 3．（2023上·湖北武汉·八年级校考阶段练习）若 ， ，则 ． 4．（2022下·广东清远·七年级校考阶段练习）例：若 ，求 和 的值． 解：因为 ，所以 所以 ，所以 ， ，所以 ， ， 已知 ， 满足 ，求 的值为 ． 5．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）在学习乘法公式 的运用时，我们常利用配 方法求最大值或最小值．例如：求代数式 的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵ ， ∴当 时， 的值最小，最小值是 ，∴ ， ∴当 时， 的值最小，最小值是1， ∴ 的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空： ； ． (2)若 ，当 __________时， 有最__________值（填“大”或“小”），这个值 __________； (3)已知 ， ， 是 的三边长， ， 满足 ，且 的值为代数式 的 最大值，请判断 的形状，并求出该三角形的周长． 【经典例题四 通过完全平方公式变形求值】 1．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）已知实数m，n满足 ，则 的 值是（ ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（2022上·广东河源·七年级统考期中）已知 ，则 的值为( ) A．12 B．24 C．28 D．44 3．（2022上·山东淄博·八年级淄博市张店区实验中学校考阶段练习）若 ，则 的值是 ． 4．（2023下·浙江温州·七年级校考期末）若n满足关系式 ，则代数式 的值是 ． 5．（2023上·内蒙古通辽·九年级统考期中） 阅读材料：若 ，求 m、n的值． 解： ，． ． ． ． 根据上述材料，解答下面的问题： (1)已知 ，求 的值； (2)已知 ， ，求 的值． 【经典例题五 求完全平方公式中的字母系数】 1．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）若 是一个关于 的完全平方式，那么k值是（ ） A． B． C． D． 2．（2023下·陕西咸阳·七年级校考期中）规定三角“ ”表示 ，方框“ ”表示 ．例如： ÷ ．若代数式 为完全平方式，则 的值是（ ） A． B． C．2 D． 3．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么 A是 ． 4．（2023上·湖南衡阳·八年级校考阶段练习）若关于 的二次三项式 是完全平方式， 则 的值为 ． 5．（2023上·山东烟台·八年级统考期中）课本原题：当k取何值时， 是一个完全平方式？解决此类问题的关键是熟练掌握完全平方公式： 的结构特征。因为， 是一个完全平方式，故将 写成 ，根据多项式对应 项的系数相等，得到 ． (1)请尝试用语言叙述完全平方公式的结构特征： ； (2)若 是完全平方式，则m的值为 ；若 (n为常数) 是完全平方式，则n的值 为 ； (3)已知 ，请求出b的值． 【经典例题六 完全平方式在几何图形中的应用】 1．（2021下·广东佛山·七年级统考期中）用四个全等的矩形和一个小正方形拼成如图所示的大正方形，已 知大正方形的面积是169，小正方形的面积是9，若用x，y表示矩形的长和宽（ ），则下列关系式中 不正确的是（ ） A． B． C． D． 2．（2021下·浙江·七年级期中）如图，为了美化校园，某校要在面积为120平方米的长方形空地ABCD中 划出长方形EBKR和长方形QFSD，若两者的重合部分GFHR恰好是一个边长为3米的正方形，现将图中 阴影部分区域作为花圃，若长方形空地ABCD的长和宽分别为m和n， ，花圃区域AEGQ和HKCS总 周长为32米，则 的值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5 3．（2022上·山东烟台·八年级统考期中）如图，有A类卡片3张、B类卡片4张和C类卡片5张，从其中 取出若干张，每种卡片至少取一张，把取出的这些卡片拼成一个正方形（所拼的图中既不能有缝隙，也不 能有重合部分），所拼成的正方形的边为 ． 4．（2023下·河北邢台·七年级校联考阶段练习）现有一张边长为a的大正方形卡片和三张边长为b的小正 方形卡片 ，如图1，取出两张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图2；则图2中阴影部分 的边长为 （用含有a，b的代数式表示）；再重新用三张小正方形卡片放入大正方形卡片内拼成图 3．则图3中阴影部分的面积为 ．（用含有a，b的代数式表示）； 已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大 ，则小正方形卡片的面积是 ． 5．（2022·河北邢台·校考三模）已知有若干张如图所示的正方形卡片和长方形卡片，其中 型卡片是边长 为 的正方形， 型卡片是边长为 的正方形， 型卡片是长为 ，宽为 的长方形，(1)若嘉嘉要用这三种卡片紧密拼接成一个长为 ，宽为 的长方形，求嘉嘉需要 ， ， 各多 少张？ (2)若嘉瑞要用这三种卡片紧密拼接成一个正方形，先取 型卡片 张，再取 型卡片 张，还需取 型卡 片多少张？ (3)若嘉嘉用这三种卡片紧密拼接成一个面积为 的长方形，则满足条件的 的整数值 个． 【经典例题七 整式的混合运算】 1．（2023上·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期中）如图1是宽为 ，长为 的小长方形 纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形 内，已知 的长度固定不变， 的 长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为 ，若 ，且 为定值，则 满足的数量关系（ ） A． B． C． D． 2．（2023下·浙江宁波·七年级校联考期中）如图，有三张正方形纸片 ， ， ，它们的边长分别为 ，， ，将三张纸片按图 ，图 两种不同方式放置于同一长方形中，记图 中阴影部分周长为 ，面积为 ， 图 中阴影部分周长为 ，面积为 ，若 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 3．（2022·河北保定·校考模拟预测）已知 ，则 = 4．（2023下·安徽池州·七年级统考期末）如果 ，那么代数式 的值为 ． 5．（2023上·天津河西·七年级统考期中）阅读材料：“整体换元思想”是中学数学解题中的一种方法，如 把某个多项式看成一个整体，可以使得问题简化，它在多项式的化简与求值中应用广泛 例如：把 看作一个整体，计算 解：设 ，则原式 可参考以上想法解答下面问题： (1)计算： (2)计算：利用分配律，试计算 的结果； (3)求值：已知 ， ， ，求 的值 【经典例题八 乘法公式中的多结论问题】 1．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）有 个依次排列的整式：第一项是 ，第二项是 ，用第二项减去第一项，所得之差记为 ，记 ；将第二项与 相加作为第 三项，记 ，将第三项与 相加记为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到 四个结论：① ；②当 时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则 ；④ 第2022项为 ；⑤当 时， ；以上正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2023上·四川眉山·八年级校考期中）已知整式 ， ，则下列说法中正确的有（ ） ①不存在这样的实数 ，使得 ； ②无论 为何值， 和 的值都不可能同时为正； ③若 ，则 ； ④若 ，则 ． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023下·浙江·七年级期末）下列四个结论，其中正确的是 ． ①若 ， ，则 可表示为 ； ②若 的运算结果中不含 项，则 ； ③若 ， ，则 ； ④若 ，则x只能是2． 4．（2023下·安徽合肥·七年级合肥市第四十二中学校考期中）已知三个实数 ， ， 满足 ， 且 ，那么则下列结论一定正确的是 ．（只需要填序号） ① ；② ；③ ；④ 【经典例题九 乘法公式的相关计算】1．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）计算： (1) (2) 2．（2023上·江苏南京·七年级南京市人民中学校考期中）计算： 3．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 4．（2023上·江西南昌·八年级统考期中）（ ）化简： （ ）先化简，后求值： ，其中 ． 5．（2023下·陕西西安·七年级校考阶段练习）求值： (1) (2) ．【经典例题十 乘法公式中的“知二求三”】 1．（2023上·上海浦东新·七年级统考期中）已知 ， ，求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ． 2．（2023上·江苏南通·八年级校考阶段练习）（1）先化简，再求值： ，其中 （2）已知： ．求： ① 的值； ② 的值； 3．（2022上·河北张家口·八年级统考期末）人教版八年级上册数学教材第112页的第7题：已知 ， ，求 的值．老师讲解了这道题的两种方法： 方法一 方法二 ， ， ， ． ． ， ， ， ． ． 请你参照上面两种解法中的一种，解答以下问题．(1)已知 ， ，求 的值； (2)已知 ，求 的值． 4．（2023上·福建厦门·八年级厦门市第十中学校考期中）已知 ， ，求下列代数式的值． (1) (2) 5．（2023上·广西南宁·八年级广西大学附属中学校考期中）阅读下列材料并解答下面的问题： 利用完全平方公式 ，通过配方可对 进行适当的变形，如： 或 ，从而使某些问题得到解决． 例：已知 ，求 的值． 解： ． 通过对例题的理解解决下列问题： (1)已知 ，求 的值； (2)若 ，求 的值； (3)若n满足 ，求式子 的值． 【经典例题十一 乘法公式与几何图形的综合应用】 1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A种 纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A种 纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形．【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知： ， ，求 的值； ②如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ，求这个长方形的面积． 2．（2023上·全国·八年级专题练习）把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方法计算同一个图 形的面积，可以得到一个等式，也可以求出一些不规则图形的面积．例如，由1，可得等式： ． (1)如图2，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为 的正方形，试用不同的形式表 示这个大正方形的面积，你能发现什么结论？请用等式表示出来．（直接写出等式） (2)利用（1）中所得到的结论，填空： 已知 ， ，则 ； (3)如图3，将两个边长分别为 和 的正方形拼在一起， ， ， 三点在同一直线上，连接 和 ．①用含 ， 的式子表示阴影部分的面积 ； ②若 ， ，则阴影部分的面积 ． 3．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）如图，将几个小正方形与小长方形拼成一个边长为 的 正方形． (1)若用不同的方法计算这个边长为 的正方形面积，就可以得到一个等式，这个等式为________； (2)若实数a，b，c满足 ， ，求 的值． 4．（2023上·湖北武汉·七年级统考期中）问题呈现：小明用如图1的正方形和长方形若干个，拼成一个正 方形，如图2和图3．小明计算：图2中，当 ， 时，正方形的面积既可以用 ，也可 以用1个较大正方形和一个小正方形及两个长方形的面积和表示为 ，也就是说，这个 正方形的面积为可以用等式表示为： ．请用小明计算的方法，直接写出图3中， 若 ， 时，表示的等式为______． 数学发现：图2中有等式______；图3中有等式______．数学思考：边长为a的正方形 和边长为 的正方形 拼在一起，B，C，E三点在同一条 直线上，设图中阴影部分面积为S．（1）如图4，S的值与a的大小有关吗？请说明理由．（2）如图5， 若 ， ．直接写出S的值． 数学运用：如图，分别以a，b，m，n为边长作正方形，已知 且满足① 与② ．若图4中阴影部分的面积为3，图5中梯形 的面积为5，则图5阴影部分 的面积是______．（直接写出结果）． 5．（2023上·广东珠海·八年级珠海市文园中学校考期中）结合图形我们可以通过两种不同的方法计算面积，从而可以得到一个数学等式． (1)如图1，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到的数学等式是______； (2)我们可以利用（1）中的关系进行求值，例如，若x满足 ，可设 ， ，则 ， ．则 ______． (3)若x满足 ，则 的值为______； (4)小玲想利用图2中x张A纸片，y张B纸片，z张C纸片拼出一个面积为 的大长方形，则 ______； (5)如图3，已知正方形 的边长为x，E，F分别是 、 上的点，且 ， ，长方形 的面积是24，分别以 、 为边作正方形，求阴影部分的面积． 【重难点训练】 1．（2023上·上海·七年级校考期中）下列多项式乘法计算中，不能用平方差公式的是（ ） A． B． C． D． 2．（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）已知实数m，n满足 ，则 的 值是（ ） A．2 B．1 C．0 D． 3．（2022上·河南新乡·八年级校考期中）如图，大正方形的边长为 ，小正方形的边长为 ，若 ，则阴影部分的面积为（ ）A．52 B．6 C．7 D．8 4．（2023下·浙江温州·七年级校联考期中）有两个正方形A、 ，将A， 并列放置后构造新的图形，分 别得到长方形图甲与正方形图乙 若图甲、图乙中阴影的面积分别为 与 ，则正方形 的面积为（ ） A． B． C． D． 5．（2023上·福建福州·七年级福建省福州延安中学校考期中）如图1是宽为 ，长为 的小长方形 纸片，将8张如图1的纸片按图2的方式不重叠地放在长方形 内，已知 的长度固定不变， 的 长度可以变化，图中阴影部分（即两个长方形的面积）分别表示为 ，若 ，且 为定值，则 满足的数量关系（ ） A． B． C． D． 6．（2023上·福建泉州·八年级统考期中）已知 ， ， ，则 的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．37．（2023上·重庆九龙坡·九年级重庆市育才中学校联考阶段练习）有 个依次排列的整式：第一项是 ， 第二项是 ，用第二项减去第一项，所得之差记为 ，记 ；将第二项与 相加作为第 三项，记 ，将第三项与 相加记为第四项，以此类推，某数学兴趣小组对此展开研究，将得到 四个结论：① ；②当 时，第3项值为25；③若第5项与第4项之差为15，则 ；④ 第2022项为 ；⑤当 时， ；以上正确的结论有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2023上·上海奉贤·七年级校联考期中）已知关于x的式子 是某个多项式的完全平方，那么 A是 ． 9．（2023上·北京西城·八年级北师大实验中学校考期中）已知 ，则代数式 . 10．（2023上·北京东城·八年级汇文中学校考期中）下列式子中：① ；② ； ③ ；④ ，能用平方差公式运算的是 . 11．（2023上·北京西城·八年级北京市第十三中学分校校考期中）如图是一个可折叠式的餐桌，其桌面由 一个大正方形和四个全等的小正方形构成．当桌角全部打开时（如图①，桌面的最大长度为 ；当桌角全 部收起时（如图②，桌面未被桌角覆盖部分的长度为 ．那么，当桌角全部收起时（图②中），桌面未被 桌角覆盖的阴影部分面积是 （用含 、 的代数式表示）．12．（2023上·北京海淀·八年级北京交通大学附属中学校考期中）数学活动课上，老师准备了若干个如图 1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为a、宽为b 的长方形，并用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． （1）观察图2的面积关系，写出正确的等式： ； （2）两个正方形 ， 如图3摆放，边长分别为x，y．若 ， ，则图中阴影部 分面积和为 ． 13．（2023上·江苏南通·八年级校联考期中）计算： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 14．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）如图，某市修建了一个大正方形休闲场所，在大正方形 内规划了一个正方形活动区，连接绿地到大正方形四边的笔直小路如图所示．已知大正方形休闲场所的边 长为 米，四条小路的长与宽都为b米和 米．阴影区域铺设草坪，草坪的造价为每平米5元．(1)用含a、b的代数式表示草坪（阴影）面积并化简． (2)若 ，计算草坪的造价． 15．（2023上·河南驻马店·八年级校考阶段练习）（1）你能求出 的值 吗？遇到这样的问题，我们可以先从简单的情况入手，分别计算下列各式的值． ______； ______； ______；… 由此我们可以得到： ______． （2）利用（1）的结论，完成下面的计算： ． （3）求 的值的个位数字，是______．（只写出答案） 16．（2023上·广东广州·八年级广州市南武中学校联考期中）（1）图1中，通过计算图中阴影部分的面积， 可得到关于 的等量关系是______________；（2）尝试解决： ①已知： ，则 ______________； ②已知： ，求 的值； （3）填数游戏：如图2，把数字 填入构成三角形状的9个圆圈中，使得各边上的四个数字的和都等于 21，将每边四个数字的平方和分别记 ，已知 ．如果将位于这个三角形顶点处的三 个圆圈填入的数字分别表示为 ，求 的值． 17．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）在课后服务课上，老师准备了若干张如图1的三种纸片，A 种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b，宽为a的长方形，并用A 种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两张拼成如图2的大正方形． 【发现】 （1）根据图2，写出一个我们熟悉的数学公式 ； 【应用】 （2）根据（1）中的数学公式，解决如下问题： ①已知： ， ，求 的值；②如果一个长方形的长和宽分别为 和 ，且 ，求这个长方形的面积． 18．（2023上·河南新乡·八年级统考期中）图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些 代数中的数量关系 (1)利用不同的代数式表示图2的面积S，写出你从中获得的等式为 ； (2)填空． ①已知 ， ，则 ； ②已知x满足 ，则 ； (3)学校计划在如图3的两块正方形草地间种些花，两块草地分别是以 、 为边的正方形，且两正方 形的面积和 ，点C是线段 上的点，若 ，求用来种花的阴影部分（即直角三角形 ）的面积． 19．（2023上·吉林长春·八年级校考期中）我们在应用整式的乘法公式解题时，经常将乘法公式 进行变形，如： ， ． (1)根据以上变形填空：已知 ， ，则 ______．(2)仿照以上变形填空：已知 ， ，则 ______． (3)若 满足 ，求代数式 的值． (4)如图，已知数轴上从左到右依次有点 、 、 三点，它们表示的数分别是 、9、11．以 为边在数 轴上方作正方形 ，以 为边在数轴上方作正方形 ，延长 交 于点 ．若正方形 与正方形 面积的和为96，则长方形 的面积为______． 20．（2023上·福建泉州·八年级校考期中）在学习乘法公式 的运用时，我们常利用配 方法求最大值或最小值．例如：求代数式 的最小值？总结出如下解答方法： 解： ∵ ， ∴当 时， 的值最小，最小值是 ， ∴ ， ∴当 时， 的值最小，最小值是1， ∴ 的最小值是1． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)填空： ； ． (2)若 ，当 __________时， 有最__________值（填“大”或“小”），这个值__________； (3)已知 ， ， 是 的三边长， ， 满足 ，且 的值为代数式 的 最大值，请判断 的形状，并求出该三角形的周长．