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专题5.1 分式混合运算与化简求值（七大题型）
【题型1 分式混合运算】
【题型2 分式化简求值-直接代入】
【题型3 分式化简求值-选择性代入】
【题型4 分式化简求值-整体代入】
【题型5 设比例系数或消元法求值】
【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】
【题型7 恒指不变数】
【题型1 分式混合运算】
【典例1】化简：
a2−b2 a2+b2
(1) ÷(2+ )；
a−b ab
( x x ) 4x
(2) − ÷ ．
x−2 x+2 x−2
ab
【答案】(1)
a+b
1
(2)
x+2
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先化简计算括号，再将除法化为乘法，借助于平方差公式和完全平方公式计算；
（2）先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算即可．
a2−b2 a2+b2
【详解】（1）解： ÷(2+ )
a−b ab
(a+b)(a−b) a2+b2+2ab
= ÷
a−b ab
(a+b)(a−b) ab
= ×
a−b (a+b) 2ab
= ；
a+b
( x x ) 4x
（2）解： − ÷
x−2 x+2 x−2
x(x+2)−x(x−2) x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
x2+2x−x2+2x x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
4x x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
1
= ．
x+2
【变式1-1】化简：
a2−1 a2−a
(1) ÷ ；
a2+2a+1 a+1
1 1 (x+y )
(2) − ⋅ −x−y ．
2x x+y 2x
1
【答案】(1)
a
(2)1
【分析】此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（1）分子分母先因式分解，将除号变为乘号，再进行分式的约分化简即可；
（2）先运用分配律展开，再进行加减计算．
(a+1)(a−1) a+1 1
【详解】（1）解：原式= ⋅ =
(a+1) 2 a(a−1) a
1 1 x+y 1
（2）解：原式= − ⋅ + ⋅(x+y)
2x x+y 2x x+y
1 1
= − +1=1．
2x 2x
【变式1-2】分式的计算：x4−1
(1)
÷(x2+1)；
x2+2x+1
( 3 ) x−2
(2) −x−1 ÷ ．
x−1 x2−2x+1
x−1
【答案】(1) ；
x+1
(2)−x2−x+2．
【分析】（1）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可求解；
本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
(x2+1)(x2−1)
1
【详解】（1）解：原式= ·
(x+1) 2 (x2+1)
(x2+1)(x+1)(x−1)
1
= ·
(x+1) 2 (x2+1)
x−1
= ；
x+1
3−(x−1)(x+1) (x−1) 2
（2）解：原式= ·
x−1 x−2
3−(x2−1) (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
4−x2 (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
(2−x)(2+x) (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
=−(2+x)(x−1)
=−x2−x+2．
【变式1-3】计算：3m m2n
(1)8m2n4 ⋅(− )÷(− )；
4n3 2
x2+xy x2−xy
(2) ÷(x−y)⋅ ；
x2−xy xy
x2
(3) −x+1；
x+1
a2+1 a2−1 2a
(4)( − )÷ ．
a2−1 a2−2a+1 a−1
【答案】(1)12m
x+y
(2)
xy−y2
1
(3)
x+1
1
(4)
a2+a
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则即可.
（1）利用分式的混合运算法则即可求解；
（2）将分子、分母因式分解后，约分即可求解；
（3）通分后即可求解；
（4）利用分式的混合运算法则即可求解；
3m 2
【详解】（1）解：原式=8m2n4 ⋅(− )⋅(− )
4n3 m2n
= ( 8× 3 ×2 ) m2n4 ⋅ m ⋅ 1
4 n3 m2n
=12m
x(x+y) 1 x(x−y)
（2）解：原式= × ⋅
x(x−y) (x−y) xy
(x+y)
=
y(x−y)
x+y
=
xy−y2x2
（3）解：原式= −(x−1)
x+1
x2 x2−1
= −
x+1 x+1
1
=
x+1
[ a2+1 (a+1)(a−1)) a−1
（4）解：原式= − ×
(a+1)(a−1) (a−1) 2 2a
a2+1 a−1 (a+1)(a−1) a−1
= × − ×
(a+1)(a−1) 2a (a−1) 2 2a
a2+1 (a+1)(a−1)
= −
2a(a+1) 2a(a−1)
a2+1 a2−1
= −
2a(a+1) 2a(a−1)
2
=
2a(a+1)
1
=
a(a+1)
1
=
a2+a
【变式1-4】计算．
3x x
(1) − ；
(x−3) 2 3−x
( x+1 x ) x+1
(2) + ÷ ．
x2−1 x−1 x2−2x+1
【答案】(1)
x2
(x−3) 2
(2)x−1
【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先通分，化为同分母分式，再计算即可；（2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可．
【详解】（1）解： 3x x
−
(x−3) 2 3−x
3x+x(x−3)
=
(x−3) 2
x2
；
=
(x−3) 2
（2）解：( x+1 x ) x+1
+ ÷
x2−1 x−1 x2−2x+1
x+1+x(x+1) (x−1) 2
= ⋅
(x−1)(x+1) x+1
(x+1) 2 (x−1) 2
= ⋅
(x−1)(x+1) x+1
=x−1．
【题型2 分式化简求值-直接代入】
x−2 2x+5
【典例2】先化简，再求值： ⋅(1+ )，其中x=1．
x+1 x2−4
x+1 2
【答案】 ，
x+2 3
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，将x的值代入计算即可．
x−2 2x+5
【详解】解： ⋅(1+ )
x+1 x2−4
x−2 x2+2x+1
= ⋅
x+1 x2−4
x−2 (x+1) 2
= ⋅
x+1 (x+2)(x−2)
x+1
= ，
x+21+1 2
当x=1时，原式= = ．
1+2 3
【变式2-1】先化简，再求值：( 1 ) a+2 ，其中 ．
1− ÷ a=1
a+3 a2−9
【答案】a−3，−2
【分析】题目主要考查分式的化简求值，根据分式的四则混合运算法则化简，然后代入求值即可，熟
练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：( 1 ) a+2
1− ÷
a+3 a2−9
a+2 a+2
= ÷
a+3 (a+3)(a−3)
a+2 (a+3)(a−3)
= ×
a+3 a+2
=a−3；
当a=1时，原式=1−3=−2．
【变式2-2】先化简，再求值：a2−2ab+b2 a2−ab 2 ，其中 ， ．
÷ − a=2 b=−3
a2−b2 a a+b
1
【答案】− ，1
a+b
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先算除法，
再算减法，然后把a=2，b=−3代入计算即可．
【详解】解：原式 (a−b) 2 a 2
= ⋅ −
(a−b)(a+b) a(a−b) a+b
1 2
= −
a+b a+b
1
=− ，
a+b
当a=2，b=−3时，
1
原式=−
2−3
=1．【变式2-3】先化简再求值：( 1 ) x2−4x+4，其中 ．
1− ÷ x=−1
x−1 x2−x
x 1
【答案】 ，
x−2 3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分
化简，最后代值计算即可．
【详解】解：( 1 ) x2−4x+4
1− ÷
x−1 x2−x
x−1−1 (x−2) 2
= ÷
x−1 x(x−1)
x−2 x(x−1)
= ⋅
x−1 (x−2) 2
x
= ，
x−2
−1 1
当x=−1时，原式= = ．
−1−2 3
【变式2-4】先化简，再求代数式的值：( 4x x ) x ，其中 2．
− ÷ x=
x−2 x+2 x2−4 3
【答案】3x+10，12
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法与除法法则化简分式，再把x的值代入求值即
可．
4x(x+2)−x(x−2) (x−2)(x+2)
【详解】解：原式= ⋅
(x+2)(x−2) x
3x2+10x
=
x
=3x+10，
2
当x= 时，原式=2+10=12．
3
【变式2-5】先化简，再求值： (x2−2x+1 1) 1 ，其中
+ ÷ x=−3
x2−1 x x+1x2+1 10
【答案】 ；−
x 3
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则与运算顺序是关键；先把括号里的第一项约分，
再通分相加，最后计算除法；然后把字母的值代入化简后的式子中计算出值即可．
【详解】解：原式 [ (x−1) 2 1) 1
= + ÷
(x−1)(x+1) x x+1
(x−1 1)
= + ×(x+1)
x+1 x
x(x−1)+(x+1)
= ×(x+1)
x(x+1)
x2+1
= ；
x
(−3) 2+1 10
当x=−3时，原式= =− ．
−3 3
【题型3 分式化简求值-选择性代入】
【典例3】先化简，再求值：( 3 ) a2−4 ，再从 ， ，0，1，2中取一个数代入求
−a+1 ÷ −2 −1
a+1 a2+2a+1
值其中．
【答案】−a−1，当a=1时，原式=−2
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因
式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算．
【详解】解：( 3 ) a2−4
−a+1 ÷
a+1 a2+2a+1
3−(a+1)(a−1) (a+1) 2
= ×
a+1 (a+2)(a−2)
(2−a)(2+a) (a+1) 2
= ×
a+1 (a+2)(a−2)
=−a−1，
由题意：a+1≠0、a+2≠0、a−2≠0，故a取1，当a=1时，
原式=−a−1=−1−1=−2．
【变式3-1】先化简，再求值：( 2 ) m2−4，请为m选择一个合适的数代入求值．
1+ ⋅
m−2 m
【答案】m+2，取m=1，原式=3．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时
分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值．
【详解】解：( 2 ) m2−4
1+ ⋅
m−2 m
(m−2 2 ) (m+2)(m−2)
= + ⋅
m−2 m−2 m
m (m+2)(m−2)
= ⋅
m−2 m
=m+2，
∵m−2≠0，m≠0，
∴m≠2，m≠0，
∴取m=1，原式=1+2=3．
【变式3-2】先化简，再求值：( 8 ) a2−6a+9，在 中选一个整数求值．
−a−1 ÷ 0−1，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为−1
