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专题5.1 分式混合运算与化简求值（七大题型）
【题型1 分式混合运算】
【题型2 分式化简求值-直接代入】
【题型3 分式化简求值-选择性代入】
【题型4 分式化简求值-整体代入】
【题型5 设比例系数或消元法求值】
【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】
【题型7 恒指不变数】
【题型1 分式混合运算】
【典例1】化简：
a2−b2 a2+b2
(1) ÷(2+ )；
a−b ab
( x x ) 4x
(2) − ÷ ．
x−2 x+2 x−2
ab
【答案】(1)
a+b
1
(2)
x+2
【分析】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
（1）先化简计算括号，再将除法化为乘法，借助于平方差公式和完全平方公式计算；
（2）先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为乘法计算即可．
a2−b2 a2+b2
【详解】（1）解： ÷(2+ )
a−b ab
(a+b)(a−b) a2+b2+2ab
= ÷
a−b ab
(a+b)(a−b) ab
= ×
a−b (a+b) 2ab
= ；
a+b
( x x ) 4x
（2）解： − ÷
x−2 x+2 x−2
x(x+2)−x(x−2) x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
x2+2x−x2+2x x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
4x x−2
= ×
(x+2)(x−2) 4x
1
= ．
x+2
【变式1-1】化简：
a2−1 a2−a
(1) ÷ ；
a2+2a+1 a+1
1 1 (x+y )
(2) − ⋅ −x−y ．
2x x+y 2x
1
【答案】(1)
a
(2)1
【分析】此题主要考查分式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（1）分子分母先因式分解，将除号变为乘号，再进行分式的约分化简即可；
（2）先运用分配律展开，再进行加减计算．
(a+1)(a−1) a+1 1
【详解】（1）解：原式= ⋅ =
(a+1) 2 a(a−1) a
1 1 x+y 1
（2）解：原式= − ⋅ + ⋅(x+y)
2x x+y 2x x+y
1 1
= − +1=1．
2x 2x
【变式1-2】分式的计算：x4−1
(1)
÷(x2+1)；
x2+2x+1
( 3 ) x−2
(2) −x−1 ÷ ．
x−1 x2−2x+1
x−1
【答案】(1) ；
x+1
(2)−x2−x+2．
【分析】（1）先进行因式分解，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果；
（2）先计算括号中的异分母分式减法，同时将除法写成乘法，再计算乘法即可求解；
本题考查了分式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
(x2+1)(x2−1)
1
【详解】（1）解：原式= ·
(x+1) 2 (x2+1)
(x2+1)(x+1)(x−1)
1
= ·
(x+1) 2 (x2+1)
x−1
= ；
x+1
3−(x−1)(x+1) (x−1) 2
（2）解：原式= ·
x−1 x−2
3−(x2−1) (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
4−x2 (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
(2−x)(2+x) (x−1) 2
= ·
x−1 x−2
=−(2+x)(x−1)
=−x2−x+2．
【变式1-3】计算：3m m2n
(1)8m2n4 ⋅(− )÷(− )；
4n3 2
x2+xy x2−xy
(2) ÷(x−y)⋅ ；
x2−xy xy
x2
(3) −x+1；
x+1
a2+1 a2−1 2a
(4)( − )÷ ．
a2−1 a2−2a+1 a−1
【答案】(1)12m
x+y
(2)
xy−y2
1
(3)
x+1
1
(4)
a2+a
【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关运算法则即可.
（1）利用分式的混合运算法则即可求解；
（2）将分子、分母因式分解后，约分即可求解；
（3）通分后即可求解；
（4）利用分式的混合运算法则即可求解；
3m 2
【详解】（1）解：原式=8m2n4 ⋅(− )⋅(− )
4n3 m2n
= ( 8× 3 ×2 ) m2n4 ⋅ m ⋅ 1
4 n3 m2n
=12m
x(x+y) 1 x(x−y)
（2）解：原式= × ⋅
x(x−y) (x−y) xy
(x+y)
=
y(x−y)
x+y
=
xy−y2x2
（3）解：原式= −(x−1)
x+1
x2 x2−1
= −
x+1 x+1
1
=
x+1
[ a2+1 (a+1)(a−1)) a−1
（4）解：原式= − ×
(a+1)(a−1) (a−1) 2 2a
a2+1 a−1 (a+1)(a−1) a−1
= × − ×
(a+1)(a−1) 2a (a−1) 2 2a
a2+1 (a+1)(a−1)
= −
2a(a+1) 2a(a−1)
a2+1 a2−1
= −
2a(a+1) 2a(a−1)
2
=
2a(a+1)
1
=
a(a+1)
1
=
a2+a
【变式1-4】计算．
3x x
(1) − ；
(x−3) 2 3−x
( x+1 x ) x+1
(2) + ÷ ．
x2−1 x−1 x2−2x+1
【答案】(1)
x2
(x−3) 2
(2)x−1
【分析】本题考查的是分式的混合运算，掌握运算顺序是解本题的关键；
（1）先通分，化为同分母分式，再计算即可；（2）先计算括号内的分式的减法运算，再计算除法运算即可．
【详解】（1）解： 3x x
−
(x−3) 2 3−x
3x+x(x−3)
=
(x−3) 2
x2
；
=
(x−3) 2
（2）解：( x+1 x ) x+1
+ ÷
x2−1 x−1 x2−2x+1
x+1+x(x+1) (x−1) 2
= ⋅
(x−1)(x+1) x+1
(x+1) 2 (x−1) 2
= ⋅
(x−1)(x+1) x+1
=x−1．
【题型2 分式化简求值-直接代入】
x−2 2x+5
【典例2】先化简，再求值： ⋅(1+ )，其中x=1．
x+1 x2−4
x+1 2
【答案】 ，
x+2 3
【分析】本题考查的是分式的化简求值，根据分式的混合运算法则把原式化简，将x的值代入计算即可．
x−2 2x+5
【详解】解： ⋅(1+ )
x+1 x2−4
x−2 x2+2x+1
= ⋅
x+1 x2−4
x−2 (x+1) 2
= ⋅
x+1 (x+2)(x−2)
x+1
= ，
x+21+1 2
当x=1时，原式= = ．
1+2 3
【变式2-1】先化简，再求值：( 1 ) a+2 ，其中 ．
1− ÷ a=1
a+3 a2−9
【答案】a−3，−2
【分析】题目主要考查分式的化简求值，根据分式的四则混合运算法则化简，然后代入求值即可，熟
练掌握运算法则是解题关键．
【详解】解：( 1 ) a+2
1− ÷
a+3 a2−9
a+2 a+2
= ÷
a+3 (a+3)(a−3)
a+2 (a+3)(a−3)
= ×
a+3 a+2
=a−3；
当a=1时，原式=1−3=−2．
【变式2-2】先化简，再求值：a2−2ab+b2 a2−ab 2 ，其中 ， ．
÷ − a=2 b=−3
a2−b2 a a+b
1
【答案】− ，1
a+b
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的加减运算法则是解答本题的关键．先算除法，
再算减法，然后把a=2，b=−3代入计算即可．
【详解】解：原式 (a−b) 2 a 2
= ⋅ −
(a−b)(a+b) a(a−b) a+b
1 2
= −
a+b a+b
1
=− ，
a+b
当a=2，b=−3时，
1
原式=−
2−3
=1．【变式2-3】先化简再求值：( 1 ) x2−4x+4，其中 ．
1− ÷ x=−1
x−1 x2−x
x 1
【答案】 ，
x−2 3
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分
化简，最后代值计算即可．
【详解】解：( 1 ) x2−4x+4
1− ÷
x−1 x2−x
x−1−1 (x−2) 2
= ÷
x−1 x(x−1)
x−2 x(x−1)
= ⋅
x−1 (x−2) 2
x
= ，
x−2
−1 1
当x=−1时，原式= = ．
−1−2 3
【变式2-4】先化简，再求代数式的值：( 4x x ) x ，其中 2．
− ÷ x=
x−2 x+2 x2−4 3
【答案】3x+10，12
【分析】本题考查了分式的化简求值，先利用分式的减法与除法法则化简分式，再把x的值代入求值即
可．
4x(x+2)−x(x−2) (x−2)(x+2)
【详解】解：原式= ⋅
(x+2)(x−2) x
3x2+10x
=
x
=3x+10，
2
当x= 时，原式=2+10=12．
3
【变式2-5】先化简，再求值： (x2−2x+1 1) 1 ，其中
+ ÷ x=−3
x2−1 x x+1x2+1 10
【答案】 ；−
x 3
【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则与运算顺序是关键；先把括号里的第一项约分，
再通分相加，最后计算除法；然后把字母的值代入化简后的式子中计算出值即可．
【详解】解：原式 [ (x−1) 2 1) 1
= + ÷
(x−1)(x+1) x x+1
(x−1 1)
= + ×(x+1)
x+1 x
x(x−1)+(x+1)
= ×(x+1)
x(x+1)
x2+1
= ；
x
(−3) 2+1 10
当x=−3时，原式= =− ．
−3 3
【题型3 分式化简求值-选择性代入】
【典例3】先化简，再求值：( 3 ) a2−4 ，再从 ， ，0，1，2中取一个数代入求
−a+1 ÷ −2 −1
a+1 a2+2a+1
值其中．
【答案】−a−1，当a=1时，原式=−2
【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因
式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算．
【详解】解：( 3 ) a2−4
−a+1 ÷
a+1 a2+2a+1
3−(a+1)(a−1) (a+1) 2
= ×
a+1 (a+2)(a−2)
(2−a)(2+a) (a+1) 2
= ×
a+1 (a+2)(a−2)
=−a−1，
由题意：a+1≠0、a+2≠0、a−2≠0，故a取1，当a=1时，
原式=−a−1=−1−1=−2．
【变式3-1】先化简，再求值：( 2 ) m2−4，请为m选择一个合适的数代入求值．
1+ ⋅
m−2 m
【答案】m+2，取m=1，原式=3．
【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时
分子分解因式，约分得到最简结果，把合适的m值代入计算即可求出值．
【详解】解：( 2 ) m2−4
1+ ⋅
m−2 m
(m−2 2 ) (m+2)(m−2)
= + ⋅
m−2 m−2 m
m (m+2)(m−2)
= ⋅
m−2 m
=m+2，
∵m−2≠0，m≠0，
∴m≠2，m≠0，
∴取m=1，原式=1+2=3．
【变式3-2】先化简，再求值：( 8 ) a2−6a+9，在 中选一个整数求值．
−a−1 ÷ 0<a<4
a−1 a−1
a+3
【答案】 ，当a=2时，原式=5
3−a
【分析】本题考查分式的化简求值，计算过程中注意分式有意义的条件是解题关键．
首先根据分式的运算法则化简算式，之后根据分式有意义的条件选择恰当的数代入化简后的算式求值
即可 ．
【详解】解：( 8 ) a2−6a+9
−a−1 ÷
a−1 a−1
[ 8 (a+1)(a−1)) (a−3) 2
= − ÷
a−1 a−1 a−19−a2 a−1
= ⋅
a−1 (a−3) 2
(3+a)(3−a) a−1
= ⋅
a−1 (a−3) 2
a+3
=
3−a
∵a−1≠0，a−3≠0
∴a≠1，a≠3
∵0<a<4且a为整数
a+3 2+3
∴当a=2时，原式= = =5．
3−a 3−2
【变式3-3】先化简，再选一个你喜欢的 的值，求( 1 1 ) 2 的值．
x − ÷
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
1
【答案】− ，当x=1时，原式=1
x−2
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
【详解】解：( 1 1 ) 2
− ÷
x2−2x x2−4x+4 x2−2x
[ 1 1 ) x(x−2)
= − ⋅
x(x−2) (x−2) 2 2
1 x
= −
2 2(x−2)
x−2 x
= −
2(x−2) 2(x−2)
1
=− ，
x−2
1
当x=1时，原式=− =1．
1−2
( 1 1 ) x2−6x+9 { 2−x<3 )
【变式3-4】先化简，再求值： − ÷ ，其中x的值从不等式组 1
2x2−4x 2x 2x3−8x (x−1)≤1
2的整数解中选取．
x+2 3
【答案】 ，
3−x 2
【分析】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是掌握相关的运算法则．先根
据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，解不等式组得出不等式组的整数解，从中选取使分式有
意义的x的值代入计算可得．
【详解】解：( 1 1 ) x2−6x+9，
− ÷
2x2−4x 2x 2x3−8x
( 1 x−2 ) (x−3) 2 ，
= − ÷
2x(x−2) 2x(x−2) 2x(x+2)(x−2)
3−x 2x(x+2)(x−2)，
= ·
2x(x−2) (x−3) 2
3−x 2x(x+2)(x−2)，
= ·
2x(x−2) (3−x) 2
x+2
=
3−x
{ 2−x<3① )
不等式组 1 ，
(x−1)≤1②
2
由①得：x>−1，
由②得：x≤3，
∴不等式组的解集为−1<x≤3，
∴不等式组的整数解为0，1，2，3，
当x=0，2，3时，原式没有意义，
1+2 3
当x=1时，原式= = ．
3−1 2
【变式3-5】先化简：( 1 ) x2+2x+1，并在 ，0，1，2这5个数中选择一个你喜欢的
1− ÷ −2,−1
x+2 x2−4
数作为x的值，求出该代数式的值．
x−2
【答案】 ，−2
x+1【分析】本题主要考查了分式的混合运算，代入求值，运用分式的性质，乘法公式，进行计算，根据
分式的分母不能为零，确定取值，代入计算即可．
【详解】解：( 1 ) x2+2x+1
1− ÷
x+2 x2−4
x+2−1 (x+2)(x−2)
= ⋅
x+2 (x+1) 2
x+1 (x+2)(x−2)
= ⋅
x+2 (x+1) 2
x−2
= ，
x+1
∵当x=−2,−1，2时，原分式无意义，
0−2
∴x可以是0或1，当x=0时，原式= =−2．
0+1
【题型4 分式化简求值-整体代入】
【典例4】已知 ，求( 4 2) x2+2x+1的值．
x2−x−1=0 − ⋅
x+1 x x2−x
【答案】2
【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求式子化简为2(x+1)，再把 变形为
x2−x−1=0
x2
x2=x+1，然后整体代入计算即可．
【详解】解：( 4 2) x2+2x+1
− ⋅
x+1 x x2−x
4x−2(x+1) (x+1) 2
= ⋅
x(x+1) x(x−1)
2(x−1) (x+1) 2
= ⋅
x(x+1) x(x−1)2(x+1)；
=
x2
∵x2−x−1=0，
∴x2=x+1，
2(x+1)
∴原式= =2．
x+1
x+3 x 2x−3
【变式4-1】 先化简，再求值：( − )÷ ，其中x满足x2−2x−1=0．
x2−x x2−2x+1 x
1 1
【答案】 ，
x2−2x+1 2
x+3 x 2x−3 1
【分析】先把( − )÷ 化简得 ，再利用整体代入法求值即可．本题考
x2−x x2−2x+1 x x2−2x+1
查分式的化简求值，已知代数式的值求式子的值，掌握分式的化简求值的一般方法是解题的关键．
x+3 x 2x−3
【详解】解：( − )÷
x2−x x2−2x+1 x
[ x+3 x ) x
= − ⋅
x(x−1) (x−1) 2 2x−3
[(x+3)(x−1) x2 ) x
= − ⋅
x(x−1) 2 x(x−1) 2 2x−3
x2+2x−3−x2 x
= ⋅
x(x−1) 2 2x−3
1
= ，
x2−2x+1
∵x2−2x−1=0，
∴x2−2x=1，
1 1
∴原式= = ．
1+1 2
a−4 a+2 a−1
【变式4-2】先化简，再求值： ÷( − )，其中a满足a2=4a+3．
a a2−2a a2−4a+4
【答案】a2−4a+4；7
【分析】本题考查分式的化简求值，先根据分式混合运算法则化简原式，然后将a2−4a=3代入求解即
可．a−4 a+2 a−1
【详解】解： ÷( − )
a a2−2a a2−4a+4
a−4 [ a+2 a−1 )
= ÷ −
a a(a−2) (a−2) 2
a−4 [(a+2)(a−2) a(a−1) )
= ÷ −
a a(a−2) 2 a(a−2) 2
a−4 a2−4−a2+a
= ÷
a a(a−2) 2
a−4 a(a−2) 2
= ⋅
a a−4
=(a−2) 2
=a2−4a+4，
∵a2=4a+3，
∴a2−4a=3，
∴原式=3+4=7．
【变式4-3】先化简，再求值：( x−2 x−1 ) x−4，其中x满足
− ÷ x2+2x−1=0
x2+2x x2+4x+4 x+2
1
【答案】 ，1．
x2+2x
【分析】本题考查分式的化简求值，先将小括号内的式子进行通分计算，然后再算括号外面的，最后
利用整体思想代入求值，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．
【详解】解：原式 [ x−2 x−1 ) x+2
= − ⋅
x(x+2) (x+2) 2 x−4
x−2 x−1
= −
x(x−4) (x+2)(x−4)
(x−2)(x+2)−x(x−1)
=
x(x+2)(x−4)
x−4
=
x(x+2)(x−4)1
=
x(x+2)
1
= ，
x2+2x
∵x2+2x−1=0，
∴x2+2x=1，
∴原式=1．
【变式4-4】先化简，再求值 a+1 a2−1，其中a满足方程 ．
÷ a2+2a−8=0
a2−9 a−3
1 1
【答案】 ，
a2+2a−3 5
【分析】本题考查的是分式的化简求值，先把除法化为乘法，再约分得到化简的结果，由
a2+2a−8=0可得a2+2a=8，再代入计算即可．
【详解】解： a+1 a2−1
÷
a2−9 a−3
a+1 a−3
= ⋅
(a+3)(a−3) (a+1)(a−1)
1
=
(a+3)(a−1)
1
= ；
a2+2a−3
∵a2+2a−8=0，
∴a2+2a=8，
1 1
∴原式= = ．
8−3 5
【题型5 设比例系数或消元法求值】
1 1 a−2ab−b
【典例5】已知 − =4，则 的值等于（ ）
a b 2a−2b+7ab
2 2
A． B．− C．−6 D．6
15 7
【答案】D
【分析】本题考查了分式的化简求值，整体代入是解题的关键．1 1
由已知 − =4可以得到a−b=−4ab，把这个式子代入所要求的式子，化简就得到所求式子的值．
a b
1 1
【详解】解：已知 − =4，可以得到b−a=4ab，
a b
即a−b=−4ab，
则原式 a−2ab−b (a−b)−2ab −4ab−2ab −6ab ，
= = = = =6
2a−2b+7ab 2(a−b)+7ab −8ab+7ab −ab
故选：D．
a 4 b
【变式5-1】已知 = ，则 的值为（ ）
b 3 b−2a
5 5 3 3
A．− B． C． D．−
3 3 5 5
【答案】D
【分析】本题考查了分式的化简，已知式子的值求代数式的值，数量掌握消元思想是解题的关键．
a 4 4
先将 = 变形得a= b，再代入代数式消去a，即可求解．
b 3 3
a 4
【详解】解：∵ = ，
b 3
4
∴a= b，
3
b b 3
= =−
∴b−2a 8 5，
b− b
3
故选：D．
1 1 2x+3xy+2y
【变式5-2】已知 + =2，则 的值为（ ）
x y 3x−2xy+3 y
7 7 1
A． B． C．5 D．
4 2 2
【答案】A
1 1 2x+3xy+2y
【分析】本题考查分式的化简求值，根据 + =2得x+y=2xy，再将 的分子分母变形
x y 3x−2xy+3 y
为含xy的式子，即可解题．
1 1
【详解】解：由 + =2得x+y=2xy，
x y2x+3xy+2y
则
3x−2xy+3 y
2(x+y)+3xy
=
3(x+y)−2xy
7xy
=
4xy
7
= ．
4
故选：A．
m 7 m−n
【变式5-3】若 = ，则 的值为（ ）
n 3 m+n
3 7 3 2
A． B． C． D．
7 10 10 5
【答案】D
m 7 7 m−n
【分析】此题主要考查了分式的化简求值，由 = 得m= n，代入 进行计算即可得出答案．
n 3 3 m+n
m 7
【详解】解：∵ = ，
n 3
7
∴ m= n．
3
7 4
n−n n
m−n 3 3 2
∴ = = = ．
m+n 7 10 5
n+n n
3 3
故选：D．
1 1 2x+3xy−2y
【变式5-4】若 − =3， 的值为（ ）
x y x−xy−y
3 3 4
A．− B． C．− D．无法确定
4 4 3
【答案】B
1 1 2x+3xy−2y
【分析】根据 − =3可得：x−y=−3xy，据此求出分式 的值即可．
x y x−xy−y
1 1
【详解】解：∵ − =3，
x y
∴x−y=−3xy，2x+3xy−2y
∴
x−xy−y
2(x−y)+3xy
=
(x−y)−xy
2(−3xy)+3xy
=
−3xy−xy
−3xy
=
−4xy
3
= ．
4
故选：B．
1 1
【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，根据 − =3求出x−y=−3xy，应用整体代入法是解题
x y
的关键．
【题型6 利用非负数的性质挖掘条件求值】
【典例6】化简求值．( a2−b2 a ) b2 ，其中， ．
+ ÷ |b−❑√5)+❑√a−2=0
a2−2ab+b2 b−a a2−ab
a 2❑√5
【答案】 ，
b 5
【分析】本题考查分式的化简求值，根据分式的运算法则即可求出答案．
【详解】原式
[ a2−b2 a(a−b)) b2 b(a−b) a(a−b) a
，
= − ÷ = ⋅ =
(a−b) 2 (a−b) 2 a(a−b) (a−b) 2 b2 b
其中 ，则 ， ，
|b−❑√5)+❑√a−2=0 b=❑√5 a=2
2 2❑√5
原式= = ．
❑√5 5
【变式6-1】先化简，再求值： 2 m−n (n2−4 )，其中m，n满足 ．
− ÷ −m−2 ❑√m−1+(n+2) 2 =0
m+n m−2 m−2
3
【答案】 ；−3
m+n
【分析】本题考查了分式的化简求值，非负数，熟练掌握分式的运算顺序和法则，非负数的非负性，
是解决本题的关键．分式化简顺序是先算括号内的，再计算除法，最后计算减法．先根据分式的混合运算的法则化简，再根据完全平方式及算术平方根的非负性求出m、n的值，最后代入计算即可．
【详解】解： 2 m−n [n2−4 )
= − ÷ −(m+2)
m+n m−2 m−2
2 m−n [n2−4 (m−2)(m+2))
= − ÷ −
m+n m−2 m−2 m−2
2 m−n n2−4−m2+4
= − ÷
m+n m−2 m−2
2 m−n n2−m2
= − ÷
m+n m−2 m−2
2 m−n m−2
= − ⋅
m+n m−2 (n−m)(n+m)
2 1
= +
m+n m+n
3
= ；
m+n
，
∵❑√m−1+(n+2) 2 =0
∴m−1=0,n+2=0，
∴m=1,n=−2，
3
∴当m=1,n=−2时，原式= =−3．
1−2
【变式6-2】先化简，再求值： a2+2ab+b2 a+b，其中 满足 ．
1− ÷ a，b (a+1) 2 +❑√b+1=0
a2−ab a−b
b
【答案】− ，−1
a
【分析】本题考查了分式的化简求值、算术平方根的非负性的应用，先将除法转化为乘法，约分即可
化简，再计算减法即可化简分式，根据算术平方根的非负性求出a、b的值，代入计算即可．
【详解】解： a2+2ab+b2 a+b
1− ÷
a2−ab a−b
(a+b) 2 a−b
=1− ⋅
a(a−b) a+ba+b
=1−
a
a a+b
= −
a a
b
=− ；
a
， ， ，
∵(a+1) 2 +❑√b+1=0 (a+1) 2≥0 ❑√b+1≥0
∴a+1=0，b+1=0，
解得：a=−1，b=−1，
−1
∴原式=− =−1．
−1
【题型7 恒指不变数】
【典例7】已知 x2−2x+1 x2−x 1 ，试说明在右边代数式有意义的条件下，不论 为何
y= ÷ − +2019 x
x2−1 x+1 x
值，y的值不变．
【答案】见解析
【分析】根据分式的除法和加减法可以化简题目中等号右边的式子，然后观察结果即可说明在右边代
数式有意义的条件下，不论x为何值，y的值不变．
【详解】 x2−2x+1 x2−x 1
y= ÷ − +2019
x2−1 x+1 x
(x−1) 2 x+1 1
= ⋅ − +2019
(x+1)(x−1) x(x−1) x
1 1
= − +2019
x x
=2019，
∴在x2−2x+1 x2−x 1 有意义的条件下，不论 为何值， 的值不变．
÷ − +2019 x y
x2−1 x+1 x
【点睛】本题主要考查了分式的混合运算、分式有意义的条件，解答本题的关键是明确分式化简求值
的方法．
【变式7-1】试说明无论x，y取何值（x，y的取值要保证式子有意义），代数式1 1 (x+y )的值保持不变．
− ⋅ −x−y
2x x+y 2x
【答案】详见解析
【分析】将式子进行约分化简，得到值为1，即可得证结论．
1 1 x+y 1
【详解】证明：原式= − ⋅ − ⋅(−x−y)
2x x+y 2x x+y
1 1
= − +1
2x 2x
=1
∴无论x，y取何值（x，y的取值要保证式子有意义），原式的值都为1，保持不变．
【点睛】本题考查分式的化简，解题的关键是掌握分式的基本性质，能将分式通分与约分．
【变式7-2】已知繁分式的定义为：分式的分子或分母中含有分式，这样的分式叫做繁分式，例如像
a m+n+p
b ， 2m 这样的分式称为繁分式．繁分式化简为最简分式的常见方法有两种：
c+d n+p
1 1
−
a b (1 1) (1 1) b−a
例如化简 ，方法一：需把原式写成 − ÷ + 后化简，化简的结果为 ；方法二：繁
1 1 a b a b b+a
+
a b
b−a
分式的分子分母同乘ab进行化简，化简的结果为 ．
b+a
请根据以上方法，回答下面的问题：
1 1
(1)繁分式 1化为最简分式后的形式为_______；要使得繁分式 1有意义，x的取值范围是
1− 1−
x x
_______；
2t 3
(2)若实数m，n满足m+n=− ，mn=− ．
t2+2 t2+2
m+n
① =_______（用含t的式子表示）；
mn
6 12
2t+ −
n m
②求证：不论t取何值，分式 化简后都为一个定值，并求出该定值．
6 3
−t+ −
n mx
【答案】(1) ；x≠0且x≠1；
x−1
2t
(2)① ；②2
3
【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式的除法运算，化简求值，掌握运算法则是解本题的关
键；
（1）根据分式的基本性质化简繁分式即可，根据分母不为0求解分式有意义的条件时，字母的取值范
围即可；
（2）①先代入，再列式计算分式的除法运算即可；
3m+3n
②先化简分式，代入t= ，约分后可得答案．
2mn
1 x
=
【详解】（1）解： 1 x−1；
1−
x
1
∵繁分式 1有意义，
1−
x
1
∴x≠0且1− ≠0，
x
∴x的取值范围是x≠0且x≠1；
2t 3
（2）①∵m+n=− ，mn=− ．
t2+2 t2+2
∴ m+n 2t ( 3 )
=− ÷ −
mn t2+2 t2+2
2t t2+2
= ⋅
t2+2 3
2t
= ；
3
m+n 2t
②∵ = ，
mn 3
3m+3n
∴t= ，
2mn6 12
2t+ −
n m
6 3
−t+ −
n m
2tmn+6m−12n
=
−tmn+6m−3n
3m+3n+6m−12n
=
1
− (3m+3n)+6m−3n
2
2(9m−9n)
=
−(3m+3n)+12m−6n
18(m−n)
=
9(m−n)
=2；
【变式7-3】请你说明，在代数式x2−2x+1 x2−x 3x−1有意义的情况下，无论x取何值，代数
÷ +
x2−1 x+1 x
式的值都不变．
【答案】见解析
【分析】将原式进行化简，得到最终结果为3，即可证明无论x取何值，代数式的值都不变．
【详解】证明：x2−2x+1 x2−x 3x−1
÷ +
x2−1 x+1 x
(x−1) 2 x+1 3x−1
= × +
(x−1)(x+1) x(x−1) x
1 3x−1
= +
x x
3x
=
x
=3
在代数式有意义的情况下，无论x取何值，代数式的结果均为3，即无论x取何值，代数式的值都不变．
【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键．
