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专题 5.1 方程（3 大知识点 9 类题型）（知识梳理与题型分类讲解）
第一部分【知识点归纳】
【知识点1】方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
【要点提示】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
【要点提示】判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中
未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
【知识点2】一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
【要点提示】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
【知识点3】等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果 ，那么 ( 为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
即：如果 ，则 ；如果 则
【要点提示】
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立
（3）等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
考点与题型目录
【考点一】从算式到方程
【题型1】方程的判断.........................................................2
【题型2】列方程.............................................................2
【题型3】方程的解...........................................................3
【题型4】一元一次方程的定义.................................................3
【考点二】等式的性质
【题型5】等式变形的判断.....................................................3
【题型6】利用等式的变形成“含 的代数式表示 的形式”.......................4
【题型7】利用等式的性质解方程...............................................4
【考点三】直通中考与拓展延伸
【题型8】直通中考..........................................................5
【题型9】拓展延伸..........................................................5
第二部分【题型展示与方法点拨】
【题型1】方程的判断
【例1】（2024七年级上·全国·专题练习）下面式子中，是方程的是______；① ；② ；③
；④ ．
【变式1】（24-25九年级上·全国·单元测试）下列各式 ， ， （a，b为已知
数）， ， 中，方程有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（2024七年级上·江苏·专题练习）下列关于x的方程：① ；② ；③
；④ ；⑤ ；⑥ ．其中，整式方程有 ．
【题型2】列方程【例2】（21-22七年级上·陕西渭南·阶段练习）用方程表示下列语句所表示的相等关系：
（1）七年级学生人数为n，其中男生占 ，女生有 人；
（2）一种商品每件的进价为a元，售价为进价的 倍，现每件又降价 元，现售价为每件 元．
【变式1】（23-24七年级上·山东德州·阶段练习）把一些图书分给某班学生，如果每人分3本，则余20
本；如果每人分4本，则缺25本．设有 名学生，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（23-24八年级上·陕西咸阳·期中）蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部
分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋
白质的 倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共 ．设蛋白质的含量为 ，脂肪的含量为 ，可
列出方程为 ．
【题型3】方程的解
【例3】（24-25七年级上·全国·课后作业）检验下列方程后面小括号内的数是否为相应方程的解
(1) ； (2) ．
【变式1】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）关于x的一元二次方程 的一个解是 ，则
（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【变式2】（24-25七年级上·全国·期末）有一个一元一次方程： ■，其中“■”表示一个
被污染的常数．答案注明方程的解是 ，这个被污染的常数应是 ．
【题型4】一元一次方程的定义
【例4】（22-23七年级上·黑龙江佳木斯·期末）已知 是关于x的一元一次方程，
求m的值．
【变式1】（24-25七年级上·全国·单元测试）下列各式：① ；② ；③
；④ ；⑤ ．其中，一元一次方程有（ ）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【变式2】（24-25七年级上·全国·阶段练习）若 是关于x的一元一次方程，则 的
值为 ．
【题型5】等式变形的判断
【例5】（23-24七年级上·江苏泰州·期末）小明在学习了等式的基本性质后，对等式 进行
变形，得出“ ”的错误结论，但他找不到错误原因，聪明的你能帮助他找到原因吗？小明的具体过
程如表所示：
将等式 变形
两边同时加 ，得 （第①步）
两边同时除以 ，得 （第②步）
（1）第______步等式变形产生错误；
（2）请分析产生错误的原因，写出等式正确变形过程，求出 的值．
【变式1】（23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）下列等式变形不正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）下列等式变形：①若 ，则 ；②若 ，
则 ；③若 ，则 ；④若 ，则 ；⑤若 ，则 ．其中一定正
确的是 （填序号）．
【题型6】利用等式的变形成“含 的代数式表示 的形式”
【例6】（20-21六年级上·山东泰安·课后作业）能否从等式 得到 ，为什么？反
过来，能否从 得到 ，为什么？
【变式1】（23-24七年级下·云南德宏·期末）由 可以得到用x表示y的式子为（ ）
A． B． C． D．
【变式2】（23-24六年级下·全国·单元测试）将方程 变形为用含 的式子表示 ，那么；
【题型7】利用等式的性质解方程
【例7】（24-25六年级上·黑龙江绥化·阶段练习）解方程
(1) (2) (3)
【变式1】（23-24六年级上·山东威海·期末）整式 的值随 取值的变化而变化，下表是当 取不同
值时对应的整式的值，则关于 的方程 的解为（ ）
0 1 2 3
0 4 8
A． B． C． D．
【变式2】（2024七年级上·全国·专题练习）利用等式的基本性质将方程化为 的形式
(1) ； (2) ．
第三部分【直通中考与拓展延伸】
【题型8】直通中考
【例1】（2024·贵州·中考真题）小红学习了等式的性质后，在甲、乙两台天平的左右两边分别放入
“■”“●”“▲”三种物体，如图所示，天平都保持平衡．若设“■”与“●”的质量分别为x，y，
则下列关系式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【例2】（2021·山东日照·中考真题）关于 的方程 （ 、 为实数且 ）， 恰好是
该方程的根，则 的值为 ．
【题型9】拓展延伸
【例1】（23-24七年级下·浙江台州·期末）有五张写有数字的卡片，分别记为①，②，③，④，⑤，将
它们按如图所示放置在桌上．下表记录了相邻两张卡片上的数的和．卡片编
①② ②③ ③④ ④⑤ ①⑤
号
两数的
和
则写有最大数卡片的编号是( )
A．② B．③ C．④ D．⑤
【例2】（23-24九年级下·浙江杭州·自主招生）已知，，，，是满足条件的五个不同的整数，若是关于的
方程的整数根，则的值为 ．
