文档内容
专题 01 二次根式
【考点1】二次根式有意义的条件★
【考点2】利用二次根式的性质化简．★★
【考点3】最简二次根式的判定★
【考点4】同类二次根式的相关概念★
【考点5】二次根式的混合运算．★★
【考点6】二次根式的化简求值★★
【考点7】二次根式的实际应用★★
【考点8】分母有理化★★★
知识点1：二次根式的相关概念
一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式， 称为 称为二次根号．
如 都是二次根式。
知识点2：二次根式的性质
（1）双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值)
（2）回归性 : (主要用于二次根式的计算)
（3）转化性：
知识点3：二次根式的乘除法法则
1.二次根式的乘法法则：
（二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变）2.二次根式的除法法则
（二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变）
知识点4：最简二次根式及化简
1. 最简二次根式的概念
（1）被开方数不含分母
（2）被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式
2. 化简二次根式的一般方法
方法 举例
将被开方数中能开得尽得因数或因式进行
开方
若被开方数中含有带
分数，先将被开方数
化成假分数
若被开方数中含有小
数，先将小数化成分
数
化去根号下的分
母
若被开方数时分式，
先将分式分母化成能
转化为平方的形式，
再进行开方运算
(a＞0，b＞0，c＞0）
被开方数时多项式的要先因式分解
（x≥0，y≥0）
3.分母有理化
（1）分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。
方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的
根号。
知识点5： 同类二次根式
1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。
2.合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如
知识点6：二次根式的加减
1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式
进行合并。
2. 二次根式加减运算的步骤：
①化：将各个二次根式化成最简二次根式；
②找：找出化简后被开方数相同的二次根式；
③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开
方数保持不变。
知识点7：二次根式的混合运算
二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有
括号的先算括号里面的（或先去掉括号）
【考点1】二次根式有意义的条件★
√ 1
1．若❑ 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）．
x−1
A．x<1 B．x≥1 C．x>0 D．x>1
2．要使二次根式❑√x+2有意义，则x的取值范围是 ．
3．若实数x、y满足y=❑√x−4+❑√4−x+5，则x−y的值为 ．
4．若|2024−m)+❑√m−2025=m，则m−20242= ．
【考点2】利用二次根式的性质化简★★
1．实数a、b在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 得（ ）
❑√(a−b) 2−❑√b2
A．a B．−a C．a−2b D．2b−a
2．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则 （ ）
❑√a2−|c−a)+❑√(b−c) 2 =A．−2a B．−2a−b C．−b D．−2b−a
3．实数a，b在数轴上位置如图所示，则化简 的结果（ ）
❑√a2−❑√b2−❑√(a−b) 2
A．2b B．2a C．2b−2a D．0
4．先阅读材料，然后回答问题：
小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简❑√5−2❑√6，经过思考，小
张解决这个问题的过程
如下：
❑√5−2❑√6=❑√2−2❑√2×3+3①
=❑√(❑√2) 2 −2❑√2×❑√3+(❑√3) 2 ②
=❑√(❑√2−❑√3) 2
③
=❑√2−❑√3④
(1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ；
(2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简❑√8−4❑√3；
【考点3】最简二次根式的判定★
1．下列式子为最简二次根式的是（ ）
√3
A．❑ B．❑√9 C．❑√11 D．❑√28
4
2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√8 B．❑ C．❑√x+y3 D．❑√x y3
2
3．下列二次根式是最简二次根式的是（ ）
√1
A．❑√12 B．❑ C．❑√0.3 D．❑√6
7
4．若❑√18与最简二次根式❑√m+1能合并，则m的值为（ ）A．0 B．1 C．2 D．3
【考点4】同类二次根式的相关概念★
1．下列二次根式中，与❑√5是同类二次根式的是（ ）
A．❑√10 B．❑√15 C．❑√20 D．❑√25
2．下列二次根式能与❑√2进行合并的是（ ）
A．❑√8 B．❑√24 C．❑√27 D．❑√125
3．已知4❑√a+1是最简二次根式，且它与❑√54是同类二次根式，则a= ．
4．最简二次根式❑√12−5m与❑√7是同类二次根式，则m= ．
【考点5】二次根式的混合运算★★
1．计算．
(1)❑√8+❑√32−❑√2；
(2)( √1) ；
2❑√12−❑ ×❑√6−❑√48÷❑√6
3
(3) ；
(2❑√3−1)(2❑√3+1)−(1−2❑√3) 2
(4) |1−❑√2)−√38+(π−3.14) 0− (1) −1．
5
2．计算：
4
(1)(❑√5+1) 0 +❑√6×❑√3− ；
❑√2
(2) ．
(2+❑√3)(2−❑√3)+(❑√2−❑√3) 2
3．计算
(1)(❑√2) 2 +(π −2) 0−6❑
√1
+|❑√2−2)
3
(2)
(2+❑√3)(2−❑√3)−❑√42÷❑√6
4．计算：(1)
(❑√5+❑√2)(❑√5−❑√2)−❑√24−|❑√6−3)
2
(2)( √1 ) (√1)
3❑√12−2❑ +❑√48 ÷2❑√3+ ❑
3 3
【考点6】二次根式的化简求值★★
1．先化简，再求值：( 3 ) x2−4x+4的值，其中 ．
1+ ÷ x=❑√5+2
x−5 x−5
1 1
2．已知x= ，y= ，求下列各式的值．
3+2❑√2 3−2❑√2
(1)x2+y2；
√ x √ y
(2)❑ +❑ ．
y x
3．已知a=❑√5+2，b=❑√5−2，求下列代数式的值：
(1)a2b+b2a；
(2)a2−b2．
4． 先化简， 再求值： x2−6x+9 x−3， 其中 ．
÷ x=❑√3−3
x2−9 x+2
【考点7】二次根式的实际应用★★
1．如图，长方形内相邻两个正方形的面积分别为2和4，则长方形内阴影部分的面积是（
）A．2 B．4−2❑√2 C．2❑√2−2 D．2❑√2
2．如图，某小区有一块矩形空地ABCD，矩形空地的长BC为❑√72m，宽AB为❑√32m，现
要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为 ，宽
(❑√10+1)m
为 ．
(❑√10−1)m
(1)求矩形空地ABCD的周长；
(2)除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为20元/m2的地砖，
要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？
3．某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为❑√162m，宽AB为
❑√128m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛(即图中阴影部分)，长方形花坛的
长为(❑√14+1)m，宽为(❑√14−1)m．
(1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
(2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？
4．某居民小区有块形状为长方形的绿地（如图），长方形绿地的长BC为9❑√3m，宽AB
为8❑√2m，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），长方形花坛
的长为(❑√14+1)m，宽为(❑√14−1)m．
(1)求长方形ABCD的周长．
(2)除去修建花坛的地方，其他地方全部修建成通道，通道上要铺上造价为5元/m2的地
砖，则购买地砖需要花费多少元？（结果化为最简二次根式）
【考点8】分母有理化★★★
1．我们在学习二次根式的时候会发现：有时候两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有
二次根式，如 ， ．课本中阅读材料告诉我
❑√a⋅❑√a=a (❑√b+1)(❑√b−1)=b−1(b≥0)
们，两个含有二次根式的非零代数式相乘．如果它们的积不是二次根式，那么这两个
代数式互为有理化因式．
请运用有理化因式的知识，解决下列问题：
1
(1)化简： =_________；
❑√11−3
(2)比较大小：❑√2023−❑√2021_________❑√2025−❑√2023（用“>”、“<”或“=”填空）；
(3)已知❑√8−x−❑√2−x=2，求❑√8−x+❑√2−x的值；
1 1 1 1
(4)直接写出 + +⋯ + 的值．
❑√4+❑√1 ❑√5+❑√2 ❑√2024+❑√2021 ❑√2025+❑√2022
2．观察下列等式：
1 ❑√2−1 ①；
= =❑√2−1
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1)
1 ❑√3−❑√2 ②；
= =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2)
1 ❑√4−❑√3 ③；
= =❑√4−❑√3
❑√4+❑√3 (❑√4+❑√3)(❑√4−❑√3)
回答下列问题：
1
(1) =_______；
❑√7+❑√6
1
(2) =_______；（n为正整数）
❑√n+1+❑√n
(3)利用上面所揭示的规律计算：
1 1 1 1 1
+ + +⋯⋯+ + ．
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2023+❑√2024 ❑√2024+❑√2025
3．“分母有理化”是我们常用的一种方法，如：1 ❑√2−1 ❑√2−1 ；
= = =❑√2−1
❑√2+1 (❑√2+1)(❑√2−1) (❑√2) 2 −12
1 ❑√3−❑√2 ❑√3−❑√2 ．
= = =❑√3−❑√2
❑√3+❑√2 (❑√3+❑√2)(❑√3−❑√2) (❑√3) 2 −(❑√2) 2
1
(1)观察上面的解题过程，请直接写出 的结果是 ；
❑√n+❑√n−1
(2)根据你发现的规律，请计算：
( 1 1 1 1 ) ．
+ + +...+ (1+❑√2025)
1+❑√2 ❑√2+❑√3 ❑√3+❑√4 ❑√2024+❑√2025
一、单选题
1．下列的式子一定是二次根式的是（ ）
A．❑√x+1 B．❑√3−π C．❑√3 D．❑√−1
2．要使二次根式❑√x−2有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>0 B．x>2 C．x≤2 D．x≥2
3．下列二次根式中，与2❑√3是同类二次根式的是（ ）
A．❑√0.5 B．❑√20 C．❑√2 D．❑√3
4．估算 的结果应在（ ）
❑√2(❑√6+2❑√2)
A．6和7之间 B．7和8之间 C．8和9之间 D．9和10之间
5．按一定规律排列的单项式：a，❑√3a2，❑√5a3，❑√7a4，3a5，⋯，第n个单项式是
（ ）
A．❑√n+1an−1 B．❑√n−1an−1 C．❑√2n−1an D．❑√2n+1an
6．式子❑√x+3⋅❑√x−1=❑√(x+3)(x−1)成立的条件是（ ）
A．x≥−3 B．x≥1 C．x≥−3或x≥1 D．−3≤x≤1二、填空题
7．比较大小：2❑√5 3❑√2．（填>，<或=）
三、解答题
8．计算： ( 1) ．
−2× − −|1−❑√3)−❑√27
2
9．已知：a=2+❑√5，b=❑√5−2．
(1)求a2+b2−ab的值；
m
(2)若m为a整数部分，n为b小数部分，求 的值．
n
10．已知a=3+2❑√2，b=3−2❑√2，分别求下列代数式的值：
(1)a2−b2
(2)a2−3ab+b2
