文档内容
专题 12 一次函数实际应用的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、方案选择性问题
类型二、销售利润问题
类型三、行程问题
类型四、分段计费问题
压轴专练
类型一、方案选择性问题
例1．随着端午节的临近， ， 两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表：
超市 超市
优惠方
所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
案
(1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“ ”或“ ”）更省钱；当购物金额为120元时，选择
______超市（填“ ”或“ ”）更省钱；
(2)当购物金额为 元时，请分别写出它们的实付金额 （元）与购物金额 （元）之间的函数
表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？
【答案】(1)
(2)当 或 时，选择A超市更省钱；当 时，两家超市实付金额相同；，当
时，选择B超市更省钱
【分析】本题考查了一次函数的实际应用及方案选择问题，解题的关键是根据两家超市的优惠方案列出实
付金额的函数表达式，通过比较函数值的大小确定最省钱的购物方案．
（1）分别计算购物金额为 元和 元时在A、B超市的实付金额，比较后得出更省钱的超市；（2）分情况列出A、B超市实付金额与购物金额的函数表达式 超市为一次函数，B超市分 和
两段）；通过解方程和不等式比较函数值大小，确定不同购物金额范围内的最优选择．
【详解】（1）解：当购物金额为 元时，
A超市实付金额： 元；
B超市实付金额： 元（不满 元不返现）．
∵ ，∴选择A超市更省钱．
当购物金额为 元时，
A超市实付金额： 元；
B超市实付金额： 元（满 元返 元）．
∵ ，
∴选择B超市更省钱．
（2）解：A超市实付金额函数表达式： ．
B超市实付金额函数表达式：
当 时，不返现， ；
当 时，满 元返 元， ．
比较省钱方案：
当 时， ，选择A超市更省钱；
当 时，令 ，解得 ．
当 时， ，选择B超市更省钱；
当 时， ，两家超市实付金额相同；
当 时， ，选择A超市更省钱．
答：当 或 时，选择A超市更省钱；当 时，两家超市实付金额相同；，当
时，选择B超市更省钱．
变式1-1．某市 两个蔬菜基地得知四川 两个灾民安置点分别急需蔬菜 和 的消息后，决
定调运蔬菜支援灾区，已知 蔬菜基地有蔬菜 ， 蔬菜基地有蔬菜 ，现将这些蔬菜全部调运
两个灾民安置点，从 地运往 两处的费用分别为每吨 元和 元，从 地运往 两处的费用分别为每吨 元和 元．设从 地运往 处的蔬菜为 吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时 的值：
总计/
总计/
(2)设 两个蔬菜基地的总运费为 元，求出 与 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从 地到 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 元（ ），其
余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
【答案】(1)填表见解析，两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时 的值为 ；
(2) ，调运方案见解析；
(3)调运方案见解析．
【分析】（ ）根据题意，用 减 可得需要从 处调运的数量，用 减去 可得从 调研往
处的数量，用 减去 即为从 调运往 处的数量；
（ ）根据调运总费用等于四种调运单价分别乘以对应的吨数，易得 与 的函数关系，列不等式组可解；
（ ）本题根据 的取值范围不同而有不同的解，分 、 和 三情况解答即可；
本题考查了一次函数在实际问题中的应用，根据题意，正确得出一次函数解析式是解题的关键．
【详解】（1）解：（ ）填表如下：
总计/
总计/
依题意得： ，
解得 ，
∴两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时， 的值为 ；
（2）解： 与 之间的函数关系为：由题意得： ，
∴ ，
∵在 中， ，
∴ 随 的增大而增大，
∴当 时，总运费最小，
此时调运方案为：
总计/
总计/
（3）解：由题意得 ，
∴当 时，（ ）中调运方案总费用最小；
当 时，在 的前提下调运方案的总费用不变；
当 时， 总费用最小，其调运方案如下：
总计/
总计/
变式1-2．某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经了解，该游
乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括
10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，
非节假日门票费用 （元）及节假日门票费用 （元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．（1）a＝ ，b＝ ；
（2）直接写出 与 之间的函数关系式；
（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游
玩，该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？
【答案】（1）4，5；（2） ， ；（3）五一当天至少有28位同学未能去游
玩．
【分析】（1）根据图象和已知条件，列出算式40×200×0.1a=800，10×200+10×200×0.1b=3000，求出a=4，
b=5；
（2）设 ，函数图象经过点 和 ，用待定系数法求出 ，则表达式为 ，由
图象得 是分段函数，求出 ；
（3）全班同学50人分为两种情况参加游玩，分范围讨论，当 时，解得 ，则 ；
当 时，解得 ， 综上所述，则五一当天至少有28位同学未能去游玩．
【详解】解：（1）∵40×200×0.1a=800，
∴a=4，
∵10×200+10×200×0.1b=3000，
∴b=5；（2）设 ，
函数图象经过点 和
∴
∴
∴ 与 之间的函数关系式为 ．
设 ，
①当 时
函数图象经过点 和
∴
∴ ，
∴ ，
②当 时
函数图象经过点 和
∴
∴
∴ ，
综上所述， 与 之间的函数关系式为 ，
（3）设共 名学生五一当天去游玩，则暑假去游玩的人数为 人
①当 时， ，解得 ，
∴ ，则②当 时， ，解得 ，
∴ ，
∴ ，
综上所述，则五一当天至少有28位同学未能去游玩．
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，根据函数图象用待定系数法求出一次函数表达式，解题关
键在于分段函数的求解．
变式1-3．为了落实“乡村振兴”政策， 两城决定向 两乡运送水泥建设美丽乡村，已知 两城
分别有水泥200吨和300吨，从 城往 两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从 城往
两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现 乡需要水泥240吨， 乡需要水泥260吨．
(1)设从 城运往 乡的水泥 吨．设总运费为 元，写出 与 的函数关系式并求出最少总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设， 城运往 乡的运费每吨减少 元，这时 城运往 乡的水泥多少
吨时总运费最少？
【答案】(1) ，最少总运费为10040元；
(2) 城运往 乡200吨，总运费最少．
【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值；
（2）先列出 城运往 乡的运费每吨减少 元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，
分别求出最小值．
【详解】（1）设从 城运往 乡肥料 吨，则运往 乡 ，
从 城运往 乡肥料 吨，则运往 乡 吨，
设总运费为 元，根据题意，
则： ．
，
随 的增大而增大，
当 时，总运费最少，且最少的总运费为10040元．答： 与 的函数关系式为 ，
最少总运费为10040元；
（2）设减少运费后，总运费为 元，
则：
， 分以下三种情况进行讨论：
①当 时， ，
此时 随 的增大而增大， 当 时， ；．
②当 时， ，
不管怎样调运，费用一样多，均为10040元；
③当 时， ，
此时 随 的增大而减小，
当 时， ；
综上可得：当 时， 城运往 乡0吨，总运费最少；
当 时，无论从 城运往 乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元；
当 时， 城运往 乡200吨，总运费最少．
【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键．
类型二、销售利润问题
例2．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第 天） 1 3 6 10
日销售量 件） 198 194 188 180
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第 天）
销售价格（元 件） 100
(1)求m关于x的一次函数表达式；(2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润
最大？最大利润是多少？
(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．
【答案】(1)
(2)第40天利润最大，最大利润为7200元
(3)共有46天利润不低于5400元
【分析】（1）根据待定系数法解出一次函数解析式即可；
（2）设利润为 元，则当 时， ；当 时， ，分
别求出各段上的最大值，比较即可得到结论；
（3）根据 和 时，由 求得 的范围，据此可得销售利润不低于5400元的天数．
【详解】（1）解： 与 成一次函数，
设 ，将 ， ， ， 代入，得：
，
解得： ．
所以 关于 的一次函数表达式为 ；
（2）设销售该产品每天利润为 元， 关于 的函数表达式为：
，
当 时， ，
，
当 时， 有最大值，最大值是7200；
当 时， ，
，
随 增大而减小，即当 时， 的值最大，最大值是6000；
综上所述，当 时， 的值最大，最大值是7200，
即在90天内该产品第40天的销售利润最大，最大利润是7200元；（3）当 时，由 可得 ，
解得： ，
，
；
当 时，由 可得 ，
解得： ，
，
，
综上， ，
故在该产品销售的过程中，共有46天销售利润不低于5400元．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意根据销售问题中总利润的相等关系，结合
的取值范围列出分段函数解析式及二次函数和一次函数的性质．
变式2-1．某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月
（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线 表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关
系，若线段 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
(1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？
【答案】(1)320；640
(2)
(3)720元；8天
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用．
（1）根据题意“线段 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售
量，可求第26天的销售量；再根据日利润 单件利润 日销售量，求出当天总利润即可；（2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线 、 的函数关系式，进而可以判断得解；
（3）由函数的图象可得，当 时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量 日销售利
润 每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入 、 的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可
求出日销售利润不低于660元的天数．
【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件，
∴第26天的日销售是 （件），
∴这天销售利润是 （元），
故答案为：320，640；
（2）解：设直线 的函数关系式为 ，将 代入 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的函数关系式为 ；
当 ， ；
当 ， ，
∴ 过 ， ，
设直线 的函数关系式为 ，
∴ ，
∴ ，
∴直线 的函数关系式为 ，
令 ，
解得 ，
∴直线 和直线 的交点坐标为 ，
综上，y与x的函数关系式 ；（3）解：由函数的图象可得，当 时，日销售为 ，
此时日销售利润最大为： （元）；
又∵每件利润为： （元），
∴当销售利润为660元时，销售量为330件，
∴令 ，则有 或 ，
∴ 或 ，
∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间，
∴ （天），
∴日销售利润不低于660元的天数共有8天．
变式2-2．某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用 （元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固
定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数 （人）成正比例，当 时， ．
(1)求 与 之间的函数解析式；
(2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？
(3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入 元，设利润为 元（利润 收入 比赛的费用）．
若 ，求 的最大值．
【答案】(1)
(2)40名
(3)最大值为2800
【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，一次函数的应用，正确掌握相关性质内
容是解题的关键．
（1）依题意，把 ， 代入 求解即可；
（2）直接把 代入 求解即可；
（3）根据一次函数的性质结合 求解即可．
【详解】（1）解：依题意，设
把 ， 代入 ，
得 ，解得 ，∴ ；（2）解：∵该次比赛的费用为2400元，且由（1）得
把 代入 ，得 ，解得 ，
即该次比赛的费用为2400元，有 名运动员参加了比赛；
（3）解：∵该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入 元，设利润为W元（利润=收入-比赛的
费用）．∴ ，
∵ ，∴ 随之 的增大而增大，
∵ ，∴把 代入 ，得 ，
∴W的最大值为 ．
10．“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深
受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题．
内容
某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货
总金额 （单位：元）与进货量 （单位：罐）之间的关系如图所示，经过试
销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．
材
料
一
材
某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低
料
于150罐，且不高于400罐．
二
任
务 （1）根据图像求出 与 的函数关系式．
一
任 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利
务 润为 元，求出 （单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量 （单位：罐）之间的
二 函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．
【答案】（1） （2） ，甲品牌酸奶的进货量为400罐，乙品牌酸奶的进货量为400罐
时，获得的利润最大
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．（1）设 与 的函数表达式为 ，代入 即可求解；
（2）设乙品牌酸奶的进货量 罐，则甲品牌酸奶的进货量 罐，用含 的式子表示利润，根据一次
函数的性质分析其最大值即可．
【详解】解：（1）依题意，设 与 的函数表达式为 ，
把 代入解析式，
得 ，
∴ 与 的函数表达式为 ；
（2）依题意，乙品牌酸奶的进货量 罐，则甲品牌酸奶的进货量 罐，
∵乙品牌的收购量不低于150罐，且不高于400罐，
∴ ，
由（1）得 ，
则 ，
∵ ，
∴ 随 的增大而增大，
∵ ，
∴当 时， 最大，最大值为 元，
（罐），
即甲品牌酸奶的进货量为 罐，乙品牌酸奶的进货量为 罐时，获得的利润最大．
类型三、行程问题
例3．随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现．图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A
处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保
持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍、已知安安警官、麦克警官行走的路程（米）， （米）与安安警官行走的时间 （秒）之间的函数关系图象如图2所示．
(1)如图2，折线①表示___________警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“表克”）；
(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值；
(3)求折线①中线段 所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长．
【答案】(1)麦克
(2)30； ；
(3)
(4) （秒）
【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识
点并灵活运用是解此题的关键．
（1）根据题意结合图象分析即可得解；
（2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出 段经过的时间，即可得解；
（3）利用待定系数法计算即可得解；
（4）由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解．
【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象；
（2）解：由题意可得：麦克提速前速度为 （米／秒），
提速后速度为 （米／秒）．
段经过的时间为 （秒），
；
安安警官的速度为 （米／秒）， ；
（3）解：由题意得点 ，点 ．设线段 所在直线的函数解析式为 ，
将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得： ，解得 ，
即线段 所在直线的函数解析式为 ；
（4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒．
由题意得线段 所在直线的函数解析式为 ，
当 时， ，当 时， ．
当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时， ，
解得 ；
当安安警官在麦克警官前方120米时， ，
解得 ；
当安安警官在麦克警官后方120米时， ，
解得 ；
当麦克警官到达 处，安安警官距 处120米时， ，
解得 ．
安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为 （秒）．
变式3-1．甲、乙两人从同一地点 出发沿同一路线匀速步行前往 处参加活动．甲比乙早出发 ，
两人途中均未休息，先到达 处的人在原地休息等待，直到另一人到达 处．两人之间的路程 与甲
行走的时间 的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________ 之间的路程为___________ ；
(2)当 时，求 关于 的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为 ．【答案】(1)90，3960
(2)
(3)当甲出发 或 时，两人之间的路程为
【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的
关键：
（1）观察图像可知，甲 走了 ，甲行走 时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行
走 时，乙到达 点，求出乙的总路程即为 之间的路程；
（2）求出 点坐标，待定系数法求出 段的函数关系式即可；
（3）分 和 两种情况，求出 的值即可．
【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为： ，
设乙的速度为 ，由题意，得： ，解得： ，
故乙的速度为 ；
之间的路程为： ；
故答案为：90，3960；
（2）由图像可知： 点的纵坐标为 ，
∴ ，
当 时，设 ，把 ， 代入，得：
，解得： ，
∴ ；
（3）当 时，令 ，解得： ；
当 时， ，解得： ；
综上：当甲出发 或 时，两人之间的路程为 ．
变式3-2．目前，无人机航拍越来越多的应用于各种领域．现对甲、乙两台无人机同时开始操作，甲无人
机先匀速垂直上升 分钟后悬停在空中航拍，悬停5分钟后继续以原来的速度匀速垂直上升，到第8分钟
时悬停在距地面150米处．乙无人机匀速垂直上升8分钟后停留在 米的高度，且第3分钟时和甲同在距地面60米处的位置．两台无人机的上升高度 （米）与时间 （分钟）的函数关系式如图所示．
(1)求 的值．
(2)求 的值及甲无人机上升时的速度．
(3)求乙无人机在甲无人机上方15米处时， 的值．
【答案】(1)160
(2)50米／分钟，
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键．
（1）根据速度 路程 时间求出乙无人机上升的速度，再根据路程 速度 时间求出乙无人机8分钟上升
的高度即可；
（2）根据速度 路程 时间求出甲无人机上升的速度，再根据时间 路程 速度计算 的值即可；
（3）分别写出当 时，甲无人机的 与 的函数关系式及乙无人机的 与 的函数关系式，按照
的取值范围，根据题意列关于 的方程并求解即可．
【详解】（1）解：乙无人机上升的速度为 （米／分钟），
米，
．
（2）解：甲无人机上升时的速度为 （米／分钟），
分钟，
．
（3）解： （分钟），
当 时，甲无人机的 与 的函数关系式为 ，
乙无人机的 与 的函数关系式为 ．
当 时，乙无人机在甲无人机上方15米处时，得 ，
解得 ，当 时，乙无人机在甲无人机上方15米处时，得 ，
解得 ，
∴乙无人机在甲无人机上方15米处时， 的值为 或 ．
变式3-3．已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C
两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的 ．图是客车、货车距C
地的路程 ， 与行驶时间 的函数关系的图象．
(1)求客车的速度及A、B两地间的路程；
(2)求货车距C地的路程 与x的函数关系式；
(3)请直接写出两车出发多长时间时相距 的路程．
【答案】(1)客车的速度为 ，A、B两地间的路程为
(2)
(3) 或
【分析】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．
（1）根据函数图象中的数据，可以先计算出客车的速度，然后根据货车的速度是客车速度的 ，即可计
算出货车的速度，然后再根据图象中的数据，即可计算出A、B两地间的路程；
（2）根据函数图象中的数据，求出货车 与 的函数关系式即可；（3）先计算出客车 与 的函数关系式根据题意可知，分两种情况，相遇前和相遇后相距 ，然后列
出相应的方程求解即可．
【详解】（1）解：由图象可得，
客车的速度： ，
则货车速度： ，
A与B两地间路程为： ，
（2）当 时，设货车 与 的函数关系式是 ，
货车的速度为 ， ，
该函数过点 ， ，
，
解得 ，
即当 时，货车 与 的函数关系式是 ；
由于货车到达A地用时 ，
∴当 时，设货车 与 的函数关系式是 ，
点 ， 在该函数图象上，
，
解得 ，
即当 时，货车 与 的函数关系式是 ；由上可得，货车 与 的函数关系式是 ；
（3）解：设客车 与 的函数关系式是 ，
，
解得 ，
即客车 与 的函数关系式是 ；
当 时， ， ，
∴当两车相遇前相距 时，
，
解得 ；
当两车相遇后相距 时，
，
解得 ，
综上所述，出发后经过 或 ，两车相距 ．
类型四、分段计费问题
例4．我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市
对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144
，每立方米收费3.15元，用水量在144~240 ，前144 按 3.15元/ ，144~240 之间按4.05元/
收费，以此类推）．
年用水量
供水类型 阶梯分类 价格
（ ）（元/
）
第一阶梯 0~144（含） 3.15
居民生活 144~240
第二阶梯 4.05
用水 （含）
第三阶梯 240以上 6.75
(1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用 （元）关于年用水量 （ ）的函数解
析式．
(2)若小米家2024年全年用水量为120 ，则小米家应缴2024年水费多少元？
(3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量．
【答案】(1)
(2)小米家应缴2024年水费 元
(3)小乐家2024年全年用水量为
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根
据图表中的数量关系，列出算式和方程．
（1）分 ， 及 三种情况，利用含 的代数式表示出这户居民的水费 即可；
（2）由于小米家2024年全年用水量为120 ，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可；
（3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可．
【详解】（1）解：由题意知，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
；
（2）解： （元），小米家应缴2024年水费 元；
（3）解：设小乐家2024年全年用水量为 ，
， ，
，
，
解得 ，
小乐家2024年全年用水量为 ．
变式4-1．每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．
下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分）
个人所得税税率表（综合所得适用）
级 税率 速算扣除
全年应纳税所得额
数 数
1 不超过36000元的 3 0
超过36000元至144000
2 10 2520
元的
超过144000元至300000
3 20 16920
元的
超过300000元至420000
4 25 31920
元的
计算公式：应纳税额 全年应纳税所得额×适用税率 速算扣除数．
设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元．
(1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式；
(2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？
【答案】(1)
(2)50957.1元
【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键：
（1）根据计算公式计算即可；
（2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当 时，求出对应的
x的值即可【详解】（1）解： ，
∴y关于x的函数表达式为 ．
（2）解：因为根据李师傅纳税2575.71元， ，
所以李师傅纳税适用级数为2级， 关于 的函数表达式为 ．
当 时， ．
解得 ．
答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元．
变式4-2．为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下：
年用水量 收费标准
不超过 部分 元
超过 ，不超过 部分 元
超过 部分 元
小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准．
(1)小明同学家 年用水 ，应交水费 元．写出 与 之间的关系式；
(2)小明家 年交了 元水费，求 年小明家用了多少
(3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因．
【答案】(1) ；(2) ；(3)见解析
【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解
题的关键．
（1）根据第一阶梯收费标准计算即可；
（2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯 与 之间的关系式，当 时，求出对应 的值即可；
（3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理
的建议即可．
【详解】（1）解：当 时， 与 之间的关系式为 ．（2）当 时， 与 之间的关系式为 ，
当 时， 与 之间的关系式为 ，
当 时，解得 舍去)，
当 时，解得 ，
年小明家用了 水．
（3）建议：适当调整各阶梯的水量标准；
原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易
进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理
用水．
变式4-3．某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米） 应交水费y（元）
不超过12立方米 每立方米3.5元
超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元
(1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？
【答案】(1)
(2)该户居民用水20立方米
【分析】本题考查一次函数的应用．
（1）根据表格中的数据，可以写出每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
（2）先判断该户居民用水量的范围，然后根据（1）中的关系式，即可计算出该户居民用水多少立方米．
【详解】（1）解：由题意可得，
当 时， ，
当 时， ，
由上可得，每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式是 ；
（2）解：∵ ，∴该户居民用水超过12立方米，
设该户居民用水a立方米，
则 ，
解得 ，
答：该户居民用水20立方米．
1．今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了
每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x
（吨）的函数图象如图所示．
(1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式；
(2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？
【答案】(1)
(2)14.5吨
【分析】本题考查了一次函数的实际应用，
（1）利用待定系数法求解即可；
（2）将 代入 求解即可．
【详解】（1）根据题意，得当 时，设该用户每月应交水费 （元）与用水量 （吨）的函数表达式
为 ．
将点 和点 的坐标代入，得 ，，解得当 时，该用户每月应交水费 （元）与用水量 （吨）的函数表达式为 ．
（2）当 时，得 ．
解得 ．
答：该用户5月用了14.5吨水．
2．为了贯彻落实市政府提出的“精准扶贫”精神，某县特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．
现决定从某地运送256箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．
已知这两种大、小货车的载货量分别为16箱/辆和12箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：
A村 （元/辆） B村 （元/辆）
大货车 600 700
小货车 400 600
(1)这18辆车中大、小货车各多少辆？
(2)现安排其中9辆货车前往A村，其余前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A，B两村的总费用
为 元，试求出 与m的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于130箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出
最少费用．
【答案】(1)大货车10辆，小货车8辆
(2) （ ，且m为整数）
(3)6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村；10600元
【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意是解
题的关键．
（1）设这18辆车中大货车x辆，则小货车 辆，根据题意列出一元一次方程求解即可；
（2）前往A村的大货车为m辆，则前往A村的小货车为 辆， 前往B村的大货车为 辆，前
往B村的小货车为 辆，即可根据题意列出函数解析式；
（3）根据题意列出不等式 ，求出m的取值范围，再根据一次函数的性质，即可求得
答案．【详解】（1）解：设这18辆车中大货车x辆，则小货车 辆，
根据题意，得 ，
解得 ，
，
答：设这18辆车中大货车10辆，则小货车8辆．
（2）解：
，
，
，且m为整数；
（3）解：由题意得， ，
解得 ，
，
，且m为整数，
当 时， 最小，
此时最少费用为 （元），
货车调配方案：6辆大货车和3辆小货车前往A村，4辆大货车和5辆小货车前往B村．
3．在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移
到没有受洪水威胁的 ， 两个仓库．已知甲库有粮食 吨，乙库有粮食 吨，而 库的容量为 吨，
库的容量为 吨．
（1）填空：
若从甲库运往 库粮食 吨，
①从甲库运往 库粮食________吨；
②从乙库运往 库粮食________吨；
③从乙库运往 库粮食________吨；
（2）填空：若从甲库运往 库粮食 吨，
①从甲库运往 库粮食________吨；
②从乙库运往 库粮食________吨；
③从乙库运往 库粮食________吨；
（3）从甲、乙两库到 ， 两库的路程和运费如表：（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送 千米所需
人民币）
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
库
库
写出将甲、乙两库粮食运往 ， 两库的总运费 （元）与 （吨）的函数关系式．并求出当从甲、乙两
库各运往 ， 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
【答案】（1）① ；② ；③ ；
（2）① ；② ；③ ；
（3） ；从甲库运往 库 吨粮食，从甲库运往 库 吨粮食，从乙库运往 库 吨粮食，
从乙库运往 库 吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是 元
【分析】（1）根据甲、乙和A、B的库容量计算即可求解；
（2）根据甲、乙和A、B的库容量，将 代入计算即可求解；
（3）根据距离和运费依次相乘，最后相加即可得到总运费 （元）与 （吨）的函数关系式；然后根据每
个库最大容量和最低库容，确定 的取值范围，最终根据一次函数的性质即可判断．
【详解】（1）① ；② ；③ ；
（2）①从甲库运往 库粮食： 吨；
②从乙库运往 库粮食： 吨；
③从乙库运往 库粮食： 吨，
故从乙库运往 库粮食： 吨；
（3）从甲库运往 库粮食 吨时，总运费为：．
从乙库运往 库粮食 吨，
．
此时 ．
（ ）．
，
随 的增大而减少．
当 时， 取得最小值，最小值是 ；
具体方案为：从甲库运往 库 吨粮食，从甲库运往 库 吨粮食，从乙库运往 库 吨粮食，从乙库
运往 库 吨粮食时，此时最省的总运费是 元．
答：从甲库运往 库 吨粮食，从甲库运往 库 吨粮食，从乙库运往 库 吨粮食，从乙库运往 库
吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是 元．
【点睛】本题考出来一次函数的实际应用，重点是读懂题意，列出解析式，（3）问关键是确定 的取值范
围；近几年数学科目的题干逐渐边长，要求考生阅读理解能力应该同步提升．
4．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某学校为提升学生核心素养，培养学生的阅读能力，激发
学生的学习兴趣，准备为学生购买A、B两种与数学文化有关的图书．经调查，购进A种图书费用y元与
购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)现学校准备购进A、B两种图书共200本，其中购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的3
倍，若B种图书每本50元，设购进两种图书的总费用为w元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费
用最少？最少费用是多少元？
【答案】(1)(2)购买 种图书150本， 种图书50本，费用最少，最少费用为5000元
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图像和性质的应用，采用分段讨论的思想是
解决本题的关键．
（1）根据函数关系图示，分别求y与x之间的函数关系式即可；
（2）根据题意求得自变量x的取值范围，，再利用一次函数的增减性求得最少总费用即可．
【详解】（1）当 时，设 与 之间的函数关系式是 ，
把 代入得，
，
解得 ，
当 时， 与 之间的函数关系式是 ；
当 时，设 与 之间的函数关系式是 ，
则 ，
解得 ，
当 时， 与 之间的函数关系式是 ．
；
（2） 购进 种图书不少于60本，且不超过 种图书本数的3倍，
，
解得 ，
，
，
随 的增大而减小．
当 时， 最小，最小值为 （元），
种图书： （本）．答：购买 种图书150本， 种图书50本，费用最少，最少费用为5000元．
5．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲
种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．
(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号
头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价
为70元，设甲种型号头盔购进了 个，全部售出后的利润为 元．
①求 的最大值．
②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了 元，同时乙种头盔进货单价
下调了 元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，
求 的值．
【答案】(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元
(2)a的值为
【分析】本题主要考查一次函数和二元一次方程组的应用等知识点，
（1）设甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是x元和y元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）①根据甲、乙头盔的购进数量关系以及利润公式得到利润函数，再结合甲头盔数量的限制条件求出
利润最大值，②根据进价调整后的利润表达式，分情况讨论不同条件下利润最小值时对应的a值；
熟练掌握二元一次方程组的解法、根据各量之间的数量关系写函数关系式并判断其增减性是解题的关键．
【详解】（1）设甲种型号头盔的进货单价是x元，乙种型号头盔的进货单价是y元，
根据题意，得
，解得 ，
∴甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是45元和60元；
（2）①∵甲种型号头盔购进了x个，甲、乙两种型号头盔共300个，
∴乙种型号头盔购进了 个，
∴，
∵甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，
∴ 解不等式组得， ，
∴ ，
∵ ，其中 ，
∴w随x的增大而增大，
∴当 时，w有最大值， (元)；
②∵甲种头盔进货单价上调了 元后变为 元，乙种头盔进货单价下调了a元后变为 元，
∴
，
∵ ，
∴当 ，即 /时，w随x的增大而增大。
∴当 时，w取得最小值4400，
∴ ，
∴ ，
当 ，即 号时，w随x的增大而减小。
∴当 时，w取得最小值4400，
∴ ，
∴ ，又∵ 时取 不符合条件，舍去，
∴a的值为 ．
6．京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站，全长约 ，两列高铁先后从北京南站开往上海虹桥站，
先出发的甲列车的速度为 ，后出发的乙列车的速度为 ，行驶一段路程后，乙列车突然
发生故障，需要在沿途的车站就近停靠检修，检修完成后继续行驶，已知甲列车比乙列车早出发半个小时
（全程均按匀速行驶），两列高铁和北京南站之间的距离 （单位： ）与甲列车行驶的时间 （单位：
）之间的关系如图所示．
(1)乙列车出发多久后追上甲列车？
(2)若乙列车检修耗时 ，且保持原速度前往上海虹桥站，求甲列车比乙列车早多久到达上海虹桥站；
(3)在（2）的条件下，当甲列车到达上海虹桥站时，求乙列车与上海虹桥站之间的距离．
【答案】(1)乙列车出发 后追上甲列车
(2)甲列车比乙列车早 到达上海虹桥站
(3)当甲列车到达上海虹桥站时，乙列车与上海虹桥站之间的距离为
【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用．
（1）设乙列车出发x小时后追上甲列车，根据甲列车比乙列车早出发半个小时，及甲列车和乙列车的速度
列出一元一次方程，解方程即可；
（2）设乙列车检修完成后继续行驶的过程中 关于 的函数关系式为 ，根据乙列车检修耗时
，得出 的图象经过点 ，利用待定系数法求出函数解析式，再分别求出甲列车
和乙列车到达上海虹桥站所用的时间，再相减即可得出答案；
（3）将 代入（2）中的函数解析式，得出乙列车已行驶 ，再由 得出答
案．
【详解】（1）解：设乙列车出发x小时后追上甲列车，根据题意，得： ，
解得 ，
答：乙列车出发 后追上甲列车；
（2）解：设乙列车检修完成后继续行驶的过程中 关于 的函数关系式为 ，
因为乙列车检修耗时 ，
所以乙列车重新出发时甲车已行驶 ，
，
即 的图象经过点 ，
将 代入，得 ，
解得 ，
所以乙列车检修完成后继续行驶的过程中 关于 的函数关系式为 ，
当 时，即 ，
解得 ，
因为 ，
所以甲列车 到达上海虹桥站，
所以 ，
所以甲列车比乙列车早 到达上海虹桥站；
（3）解：由（2）可知，当甲列车到达上海虹桥站时， ，
此时 ，
即乙列车已行驶 ，
所以 ，
答：当甲列车到达上海虹桥站时，乙列车与上海虹桥站之间的距离为 ．
7．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面 长为 ，小球 与木块 （大小、厚度忽略不计）同时从 出发向 沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球 到达 处的挡板 后被弹回
（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块 后又被反弹向挡板 ，如此反复，直到木块 到
达 ，同时停止．设小球的运动时间为 ，木块 与小球之间的距离为 ，图②是 与 的部分函
数关系图像，结合图像回答下列问题．
(1)小球 第一次到达挡板 的时间是______s，小球 的速度为______ ，木块 的速度为______ ；
(2)小球 第一次返回时，求 与 的函数关系式；
(3)当小球 从出发至第一次 、 相遇时，小球 与木块 距离为 时，直接写出 的值为______ ．
【答案】(1)16； ；
(2)
(3)当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ．
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．
（1）依据题意，观察函数图象，可得，小球P第一次到达挡板l的时间是 ，进而可得小球P的速度为
，求出速度和，然后计算出 点的速度，故可判断得解；
（2）先求解 ，再利用待定系数法计算可以得解；
（3）依据题意，先求出小球P运动 前的函数关系式，然后把 代入解析式和（2）中解析式计算
即可．
【详解】（1）解：由题意，观察函数图象，可得，
小球P第一次到达挡板l的时间是 ，
∴小球P的速度为 ，
由题意， ，又 ，
∴ ，
∴木块Q的运动速度 ．
故答案为：16； ；
（2）解：由（1）得： ，
设小球P第一次返回时， ，
将 ， 代入得，
解得 ，
∴ ．
（3）解：由题意，设小球P运动 前的函数关系式为 ，
函数过 ，
∴ ，
∴ ，
∴此时函数为 ，
，又令 ，
∴ ，
又当小球运动到 后，结合（3）函数关系式为 ，
∴令 ，
解得 ，
综上，当小球P从出发至第一次P、Q相遇时，小球P与木块Q距离为 时， 或 ．
