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专题 21 概率与统计常考小题归类
目录
01 模拟基础练...............................................................................................................2
题型一：抽样方法与随机数表.....................................................................................2
题型二：统计图表及其数字特征.................................................................................2
题型三：传统线性拟合.................................................................................................3
题型四：非线性拟合处理.............................................................................................4
题型五：传统独立性检验.............................................................................................5
题型六：创新类定义统计.............................................................................................6
题型七：正态分布.........................................................................................................7
题型八：超几何分布与二项分布.................................................................................8
题型九：随机变量的分布列、期望、方差.................................................................8
题型十：古典概型.........................................................................................................8
题型十一：条件概率与全概率.....................................................................................9
题型十二：概统结合问题...........................................................................................10
题型十三：新赛制概率问题.......................................................................................10
重难点突破：递推型概率命题...................................................................................11
02 重难创新练.............................................................................................................12题型一：抽样方法与随机数表
1．某校有男生 人，女生 人，现按性别采用分层抽样的方法从该校学生中抽取 人进行调查，则男
生被抽取的人数是（ ）
A． B． C． D．
2．已知 三种不同型号的产品数量之比依次为 ，现用分层抽样的方法抽取容量为 的样本，
若样本中 型号产品有 件，则 为（ ）
A．60 B．70 C．80 D．90
3．某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对650名学生进行抽样，先将650名学生进行编号，
001，002，…，649，650.从中抽取50个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6
列开始向右读取数据，则得到的第6个样本编号是（ ）
32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 42
84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 04
32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45
A．623 B．328 C．072 D．457
题型二：统计图表及其数字特征
4．学校运动会十名护旗手身高（单位：cm）分别为175，178，177，174，176，175，179，180，178，
176，176，则十名护旗手身高的 分位数为（ ）
A．177.5 B．178 C．178.5 D．179
5．已知参观某次航展的中小学生人数和购买航展模型的比率分别如图1、图2所示.为了解各学段学生对航
展的爱好程度，用分层随机抽样的方法抽取1%的学生进行调查，则样本量和抽取的初中生里购买航展模
型的人数（估计值）分别为（ ）A．200，24 B．200，28 C．100，24 D．100，28
6．在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试.为了解本次考试考生的数学成
绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在
内，按照 的分组作出频率分布直方图（如图所
示），据图中数据，则（ ）
A．该样本中学生成绩的中位数一定大于75
B．该样本中学生成绩的极差介于40至50之间
C．该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间
D．若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300
题型三：传统线性拟合
7．某水文站为了研究所在河段 降雨量 （单位： ）与水位增长量 （单位： ）之间的关系，记
录了10次相关数据，通过绘制散点图可看出 与 之间有线性相关关系，并设其回归方程为 .已
知 和 分别表示第 次 降雨量（单位 ）和水位增长量（单位：cm），且.若某次 降雨量为 ，据此估计水位增长量为 .
8．假设关于某设备的使用年限 和所支出的维修费用 万元 统计数据如下：
使用年限
维修费用
若有数据知 对 呈线性相关关系．其线形回归方程为 ，请估计使用 年时的维修费用是
万元．
9．已知变量y与x线性相关，由样本点 求得的回归方程为 ，若点
在回归直线上，且 ， ，则 ．
题型四：非线性拟合处理
10．某池塘中水生植物的覆盖水塘面积 （单位： ）与水生植物的株数 （单位：株）之间的相关关
系，收集了4组数据，用模型 去拟合 与 的关系，设 ， 与 的数据如表格所示：
3 4 6 7
2.5 3 4 5.9
得到 与 的线性回归方程 ，则 .
11．已知变量y关于x的回归方程为 ，若对 两边取自然对数，可以发现 与x线性相关，
现有一组数据如下表所示， 时，预测y值为 .
x 1 2 3 4
y e
12．用模型 拟合一组数据 ，若 ， ，设 ，得变换后的线性回归方程为 ，则ak= .
题型五：传统独立性检验
13．学校开设了游泳选修课.某教练为了解学生对游泳运动的喜好和性别是否有关，在全校学生中选取了男、
女生各 人进行调查，并绘制如下图所示的等高堆积条形图.则（ ）
参考公式及数据： ，其中 .
0.1 0.01 0.001
2.70 6.63 10.82
6 5 8
A．参与调查的女生中喜欢游泳运动的人数比不喜欢游泳运动的人数多
B．全校学生中喜欢游泳运动的男生人数比喜欢游泳运动的女生人数多
C．若 ，依据 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
D．若 ，依据 的独立性检验，可以认为游泳运动的喜好和性别有关
14．如图为对某高中学生是否对父母说过“我爱你”这样的话的统计结果，则下列统计分析中不正确的是：
（ ）.A．男性被调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话的人数比例高于女性
B．无论男女对母亲说“我爱你”这类话的比例都高于对父亲所说
C．大部分调查者没有对父母说过“我爱你”这样的话
D．经常对父母说“我爱你”这样的话的人数总计比例较女生比例有所下降，说明这张统计图的结果
可能存在错误
15．设研究某两个属性变量时，作出零假设 并得到2×2列联表，计算得 ，则下列说法正确的
是（ ）
A．有99.5%的把握认为 不成立 B．有5%的把握认为 的反面正确
C．有95%的把握判断 正确 D．有95%的把握能反驳
题型六：创新类定义统计
16．定义空间直角坐标系中的任意点 的“ 数”为:在 点的坐标中不同数字的个数，如:
，点 的坐标 ，则所有这些点 的“ 数”的均值与最小值
之差为 .
17．2022年春天我国东部片区降水量出现近年新低，旱情严重，城市缺水问题显得较为突出，某市政府为
了节约生活用水，科学决策，在全市随机抽取了100位居民某年的月均用水量（单位： ）得到如图所示的频率分布直方图，在统计中我们定义一个分布的 分位数为满足 的 ，则估计本例中
.（结果保留小数点后两位有效数字）
18．（多选题）比较两组测量尺度差异较大数据的离散程度时，常使用离散系数，其定义为：离散系数
.某地区进行调研考试，共40000名学生参考，测试结果（单位：分）近似服从正态分布，且平均
分为57.4，离散系数为0.36，则下列说法正确是（ ）
（附：若随机变量 服从正态分布 .）
A．学生考试成绩标准差为
B．学生考试成绩近似服从正态分布
C．约有20000名学生的成绩低于58分
D．全体学生成绩的第84百分位数约为78
题型七：正态分布
19．某批零件的尺寸 服从正态分布 ，且满足 ，零件的尺寸与8
的误差不超过4即合格，从这批产品中抽取 件，若要保证抽取的合格零件不少于2件的概率不低于0.9，
则 的最小值为 ．20．设 为任取的某袋包装误差的产品的质量， ，则 的概率是 （结果精
确到 ）．（已知 表示标准正态分布的密度函数从 到
的累计面积）
21．“立定跳远”是《国家学生体质健康标准》测试项目中的一项，已知某地区高中男生的立定跳远测试
数据 （单位：cm）服从正态分布 ，且 ，现从该地区高中男生中随机抽取3
人，并记 在 的人数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
题型八：超几何分布与二项分布
22．某学校组织趣味运动会，一共设置了3个项目（其中只包含1个球类项目），每位教师只能从3个项
目中随机选择2个参加，设李老师选择的2个项目中所含球类项目的数量为 ，则 的所有可能取值为
，数学期望 ．
23．在高考志愿模拟填报实验中，共有9个专业可供学生甲填报，其中学生甲感兴趣的专业有3个．若在
实验中，学生甲随机选择3个专业进行填报，则填报的专业中至少有1个是学生甲感兴趣的概率为 ．
题型九：随机变量的分布列、期望、方差
24．以下说法正确的个数为（ ）
①两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数 的绝对值越接近0；
②设 是随机变量，则 ， ；
③设随机变量 ，若 ，则 ；④设随机变量 ，则 ．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
25．新华社北京2024年9月8日电，中共中央党史和文献研究院编辑的习近平同志《论教育》，由中央文
献出版社出版，在全国发行．这部专题文集，收入习近平同志关于教育的重要文稿47篇．九江市教育局准
备了9个相关问题（含问题A）到某校调研教职员工的学习情况，从该校随机抽取了6名教师，每名教师
相互独立地随机抽取3个问题并作答，且每个问题被抽取的可能性相等．记 表示抽到问题A的教师人数，
则 （ ）
A． B．4 C． D．2
题型十：古典概型
26．如图，14块相同的正方体垒放在桌子上，每次施法会随机让其中某块正方体消失，直到所有正方体全
部消失不见．如果某次被施法的正方体的正上方仍有其他正方体，那么它正上方的正方体会竖直掉落下来，
我们称发生了“坍塌”．那么在全部14次施法过程中，不发生坍塌的概率为 ．
27．设 为正整数，从集合 的所有二元子集中任取两个，记为 ， ，其中
与 可以相同.在平面直角坐标系 中，记直线 与直线 的四个交点
分别为 ，则以 为顶点的四边形为正方形的概率为 .（用含 的代数式表示）
附参考公式：
28．甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号 的卡片各1张，两人轮流从中不放回的
随机抽取1张卡片，直到其中1人抽到的卡片编号之和等于13或者所有卡片被抽完时，游戏结束．若甲先抽卡，求甲抽了3张卡片时，恰好游戏结束的概率是 ．
题型十一：条件概率与全概率
29．某射击俱乐部开展青少年射击培训，俱乐部共有6支气枪，其中有2支气枪未经试射校正，有4支气
枪已校正，若用校正过的气枪射击，射中10环的概率为0.8，用未校正过的气枪射击，射中10环的概率为
0.4，某少年射手任取一支气枪进行1次射击，射中10环的概率是 ；若此少年射手任取一支气
枪进行4次射击（每次射击后将气枪放回），每次射击结果相互不影响，则4次射击中恰有2次射中10环
的概率为 ．
30．小张一家打算去深圳市或珠海市旅游，去深圳市与珠海市的概率分别为0.7，0.3，在深圳市去游乐园
的概率为0.6，在珠海市去游乐园的概率为0.4，则小张一家去游乐园的概率为（ ）
A．0.48 B．0.49 C．0.52 D．0.54
31．已知甲、乙去北京旅游的概率分别为 ， ，甲、乙两人中至少有一人去北京旅游的概率为 ，且甲
是否去北京旅游对乙去北京旅游有一定影响，则在乙不去北京的前提下，甲去北京旅游的概率为（ ）
A． B． C． D．
32．某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对400名高二学生进行了问卷调查，学生
饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有 的学生每天饮用碳酸饮料不低于500毫升，这些学生的肥胖率为
，每天饮用碳酸饮料低于500毫升的学生的肥胖率为 .若从该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则
该学生肥胖的概率为（ ）
A． B． C． D．
题型十二：概统结合问题
33．已知数列 是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这
两组数据的极差相同的概率为 .34．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷6次，得到的点数分别为1，2，4，5，6，x，则这6个点数的中位数
为4的概率为 ．
35．定义：设X，Y是离散型随机变量，则X在给定事件 条件下的期望为
，其中 为X的所有可能取值集合，
表示事件“ ”与事件“ ”都发生的概率．某日小张掷一枚质地均匀的骰子，若
掷出1点向上两次时即停止．设A表示第一次掷出1点向上时的投掷次数，B表示第二次掷出1点向上时
的投掷次数，则 ．
题型十三：新赛制概率问题
36．甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）.根据前
期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.7，客场取胜的概
率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率为 .
37．已知甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，每人输两次即被淘汰，比赛顺序为甲、乙先比，丙轮空，之后
胜者与丙比赛，败者轮空，以此类推直到比出获胜者，假如甲、乙、丙三人实力相当，则丙获胜的概率为
.
38．甲、乙两人下围棋，若甲执黑子先下，则甲胜的概率为 ；若乙执黑子先下，则乙胜的概率为 ．假
定每局之间相互独立且无平局，第二局由上一局负者先下，若甲、乙比赛两局，第一局甲、乙执黑子先下
是等可能的，则甲胜第一局，乙胜第二局的概率为 ．
重难点突破：递推型概率命题
39．一质点在平面内每次只能向左或向右跳动1个单位，且第1次向左跳动．若前一次向左跳动，则后一
次向左跳动的概率为 ；若前一次向右跳动，则后一次向左跳动的概率为 ．记第n次向左跳动的概率为，则 ； ．
40．某学校有 、 两个餐厅，已知同学甲每天中午都会在这两个餐厅中选择一个就餐，如果甲当天选择
了某个餐厅，他第二天会有 的可能性换另一个餐厅就餐，假如第 天甲选择了 餐厅，则第 天选择
餐厅的概率 为 .
41．引得无数球迷心情澎湃的世界杯，于今年在卡塔尔举行，为了弘扬顽强拼搏的体育竞技精神，某学校
的足球社团利用课余时间展开“三人足球”的比赛，比赛的第一阶段为“传球训练赛”，即参赛的甲、乙、
丙三名同学，第一次传球从乙开始，随机地传球给其他两人中的任意一人，接球者再随机地将球传给其他
两人中的任意一人，则第6次传球，重新由乙同学传球的概率为 ．
42．一个平台的俯视图为一个3×3的方格表，初始时在中心的方格 处有一只电子瓢虫，每过一秒钟，该
瓢虫都会随机选择平行于平台边界的四个方向之一移动一个单位．如果瓢虫跌落平台就会“死亡”，那么
在2023秒后，该瓢虫仍然“存活”的概率是 ．1．（2025·广东肇庆·二模）小王数学期末考试考了 分，受到爸爸表扬的概率为 ，受到妈妈表扬的概率
也为 ，假设小王受爸爸表扬和受妈妈表扬独立，则小王被表扬的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·上海·模拟预测）在研究“温度是否影响庄稼生长”时，对实验数据利用2×2列联表进行独立性
检验，计算得实验数据的统计量 的值为 .已知 ，则（ ）
A． 的值小于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
B． 的值大于3.841，就有95%的把握认为“温度会影响庄稼生长”
C． 的值越大，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越小
D． 的值越小，说明实验数据的观测值与预测值的总体偏差越大
3．（2025·浙江温州·模拟预测）已知4名学生的期中考试数学成绩分别为98，110，m，120，且上四分位
数为118，则 （ ）
A．115 B．116 C．117 D．118
4．（2025·吉林·二模）已知随机事件A和B，下列表述中错误的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 互斥，则 D．若 互斥，则
5．（2025·河南郑州·一模）将一枚质地均匀的正八面体骰子连续抛掷2次，其八个面上分别标有 八个
数字，记录骰子与地面接触的面上的点数，用X，Y表示第一次和第二次抛掷的点数，则
（ ）A． B． C． D．
6．（2025·重庆·一模）某校数学建模兴趣小组收集了一组恒温动物体重 （单位: 克） 与心率 （单位:
次/分钟）的对应数据 . 根据生物学常识和散点图得出 与 近似满足 （
为参数），令 ，计算得到 . 由最小二乘法得到经验回归方程为 ，
则 的值为（ ）
A． B．0.4 C． D．0.2
7．（2025·江西新余·一模）2024年巴黎奥运会乒乓球比赛，中国队表现出色，包揽全部乒乓金牌，其中混
双是中国历史上第一块奥运乒乓球混双金牌，由王楚钦和孙颖莎组成的“莎头”组合对战朝鲜队，最终以
的比分赢得胜利.假设2025年的一次乒乓球比赛中，“莎头”组合再次遇到朝鲜队，采用7局4胜制
（先胜4局者胜，比赛结束），已知每局比赛“莎头”组合获胜的概率为 ，则“莎头”组合再次以
获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江杭州·模拟预测）春季流感爆发期间，某学校通过在校门口并排设立三个红外体温检测点作
为预防手段，进入学校的人员只需要在任意一个检测点检测体温即可进入校园.假设每个人在进入学校时选
择每个检测点的概率都是 ，现有三男三女六位学生通过体温检测点进入学校，则每个检测点通过的男学
生人数与女学生人数均相等的概率为（ ）
A． B． C． D．
9．（多选题）（2025·浙江温州·模拟预测）如图所示，“田”字型方格是由4个边长为1的正方形组成，A，B，C，D为其中的4个格点，在9个格点中依次取不同的两点P，Q，则概率等于 的事件是（ ）
A． B．
C． D．在 条件下，
10．（多选题）（2025·河南·模拟预测）坐位体前屈（Sit And Reach）是一种体育锻炼项目，也是大中小学
体质健康测试项目，通常使用电动测试仪进行测试．为鼓励和推动学生积极参加体育锻炼，增强学生体质，
我国于2002年开始在全国试行《学生体质健康标准》，坐位体前屈属于该标准规定的测试内容之一．已知
某地区进行体育达标测试统计得到高三女生坐位体前屈的成绩 （单位 ）服从正态分布 ，且
，现从该地区高三女生中随机抽取3人，记 不在区间 的人数为 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．（多选题）（2025·福建厦门·一模）药物临床试验是验证新药有效性和安全性必不可少的步骤．在某
新药的临床实验中，志愿者摄入一定量药物后，在较短时间内，血液中药物浓度将达到峰值，当血液中药
物浓度下降至峰值浓度的20%时，需要立刻补充药物．已知血液中该药物的峰值浓度为120mg/L，为探究
该药物在人体中的代谢情况，研究人员统计了血液中药物浓度y（mg/L）与代谢时间x（h）的相关数据，
如下表所示：
x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 120 110 103 93 82 68 59 47 38
根据表中数据可得到经验回归方程 ，则（ ）A． B．变量y与x的相关系数
C．当 时，残差为-1.5 D．代谢约10小时后才需要补充药物
12．（多选题）（2024·江西新余·模拟预测）在一个圆环隧道内等间距装有若干个完全一样的开关，每个
开关只有“开”或“关”两种状态（这些开关总数和标记为“开”或“关”的开关个数均未知）.小郅同学
位于隧道内部，从某个标记为“开”的开关开始，以下策略一定可以一次确定开关个数的选项为：（ ）.
A．从第1个开关开始，顺时针计数直至遇到下一个标记为“开”的开关
B．从第1个开关开始，顺时针计数（包括第1个开关），直至遇到下一个标记为“开”的开关，计数
为 （不包括最后一个开关），将其标记为“关”后，从这个“关”的开关出发，逆时针计数（不包
括第1个开关），发现第 个开关状态为“关”
C．从第1个开关开始，顺时针计数（不包括第1个开关），计数发现第 （ 为合数）个开关为
“开”，将其标记为“关”后从这个“关”的开关出发，逆时针计数（不包括第1个开关），发现第
个开关状态为“关”
D．从第1个开关开始，顺时针计数（不包括第1个开关），并将沿途的 个开关均标记为“开”，
第 个开关标记为“关”，再从这个“关”的开关开始逆时针计数（不包括第1个开关），直至第一
次遇到状态为“关”的开关，计数为 （包括最后1个开关），
13．（2025·江西九江·一模）如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或
“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设
起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则 灯区最终仍处于“点亮”
状态的概率为 ．
14．（2025·云南昆明·一模）围棋是世界上最古老的棋类游戏之一．一副围棋的棋子分黑白两种颜色，现
有 枚黑色棋子和 枚白色棋子随机排成一行，每枚棋子排在每个位置可能性相等，则两端是同色棋子的
概率为 ．
15．（2025·甘肃白银·模拟预测）已知 ，记 ，若 是唯一的最大
值，则 的值为 .16．（2025·广东惠州·模拟预测）有 个人围坐在一个圆桌边上，每人都越过桌面与另外一人握手，若要
求所有人握手时手臂互不交叉，例如 时，一共有4个人，以 、 、 、 表示，握手两人用一条线连
结，共有2种方式，如图所示.记一次握手中，共有 对相邻的两人握手，当 时， 的数学期望
.
