文档内容
专题 12 一次函数实际应用的四类综合题型
目录
典例详解
类型一、方案选择性问题
类型二、销售利润问题
类型三、行程问题
类型四、分段计费问题
压轴专练
类型一、方案选择性问题
例1．随着端午节的临近， ， 两家超市开展促销活动，各自推出不同购物优惠方案，如表：
超市 超市
优惠方
所有商品按七五折出售 购物金额每满100元返40元
案
(1)当购物金额为90元时，选择______超市（填“ ”或“ ”）更省钱；当购物金额为120元时，选择
______超市（填“ ”或“ ”）更省钱；
(2)当购物金额为 元时，请分别写出它们的实付金额 （元）与购物金额 （元）之间的函数
表达式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱？变式1-1．某市 两个蔬菜基地得知四川 两个灾民安置点分别急需蔬菜 和 的消息后，决
定调运蔬菜支援灾区，已知 蔬菜基地有蔬菜 ， 蔬菜基地有蔬菜 ，现将这些蔬菜全部调运
两个灾民安置点，从 地运往 两处的费用分别为每吨 元和 元，从 地运往 两处的
费用分别为每吨 元和 元．设从 地运往 处的蔬菜为 吨．
(1)请填写下表，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时 的值：
总计/
总计/
(2)设 两个蔬菜基地的总运费为 元，求出 与 之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案；
(3)经过抢修，从 地到 处的路况得到进一步改善，缩短了运输时间，运费每吨减少 元（ ），其
余线路的运费不变，试讨论总运费最小的调动方案．
变式1-2．某校八年级（2）班50位同学准备在五一当天利用班费集体去本地某游乐园游玩，经了解，该游
乐园票价为200元/人，但对学生门票价格实行动态管理，非节假日打a折，节假日期间，10人以下（包括
10人）不打折，10人以上超过10人的部分打b折，班委会进行了统计，设学生为x人，门票费用为y元，
非节假日门票费用 （元）及节假日门票费用 （元）与学生x（人）之间的函数关系如图所示．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）直接写出 与 之间的函数关系式；
（3）后来，由于五一当天部分同学家中有事不能前去游玩，只能安排这些同学在暑假中（非节假日）游
玩，该班的班费不超过5440元，且全部用到了门票上，则五一当天至少有多少同学未能去游玩？变式1-3．为了落实“乡村振兴”政策， 两城决定向 两乡运送水泥建设美丽乡村，已知 两城
分别有水泥200吨和300吨，从 城往 两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从 城往
两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现 乡需要水泥240吨， 乡需要水泥260吨．
(1)设从 城运往 乡的水泥 吨．设总运费为 元，写出 与 的函数关系式并求出最少总运费．
(2)为了更好地支援乡村建设， 城运往 乡的运费每吨减少 元，这时 城运往 乡的水泥多少
吨时总运费最少？
类型二、销售利润问题
例2．某公司生产的某种产品每件成本为40元，经市场调查整理出如下信息：
①该产品90天内日销售量（m件）与时间（第x天）满足一次函数关系，部分数据如下表：
时间（第 天） 1 3 6 10
日销售量 件） 198 194 188 180
②该产品90天内每天的销售价格与时间（第x天）的关系如下表：
时间（第 天）
销售价格（元 件） 100
(1)求m关于x的一次函数表达式；
(2)设销售该产品每天利润为y元，请写出y关于x的函数表达式，并求出在90天内该产品哪天的销售利润
最大？最大利润是多少？
(3)在该产品销售的过程中，共有多少天销售利润不低于5400元，请直接写出结果．变式2-1．某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月
（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线 表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关
系，若线段 表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件．
(1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元；
(2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围；
(3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？
变式2-2．某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用 （元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固
定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数 （人）成正比例，当 时， ．
(1)求 与 之间的函数解析式；
(2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？
(3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入 元，设利润为 元（利润 收入 比赛的费用）．
若 ，求 的最大值．10．“中国乳都”呼和浩特，以乳业为发展引擎，凭借优质乳业书写城市传奇、铸就辉煌．其中酸奶是深
受大众喜爱的乳制饮品之一．某超市销售甲、乙两种品牌酸奶，结合以下材料解决问题．
内容
某超市销售甲、乙两种品牌的酸奶，甲种酸奶的进价为8元/罐；乙种酸奶的进货
总金额 （单位：元）与进货量 （单位：罐）之间的关系如图所示，经过试
销，甲、乙两种品牌酸奶的销售价分别为12元/罐和15元/罐．
材
料
一
材
某日，该超市销售甲、乙两种品牌的酸奶共800罐，其中乙种品牌的销售量不低
料
于150罐，且不高于400罐．
二
任
务 （1）根据图像求出 与 的函数关系式．
一
任 （2）若购进的两种酸奶全部售完，设销售完甲、乙两种品牌的酸奶所获得的总利
务 润为 元，求出 （单位：元）与乙种品牌酸奶的进货量 （单位：罐）之间的
二 函数关系式，并为该超市设计出获得最大利润的销售方案．
类型三、行程问题
例3．随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现．图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A
处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保
持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍、已知安安警官、麦克警官行走的路程（米）， （米）与安安警官行走的时间 （秒）之间的函数关系图象如图2所示．
(1)如图2，折线①表示___________警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“表克”）；
(2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值；
(3)求折线①中线段 所在直线的函数解析式；
(4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长．
变式3-1．甲、乙两人从同一地点 出发沿同一路线匀速步行前往 处参加活动．甲比乙早出发 ，
两人途中均未休息，先到达 处的人在原地休息等待，直到另一人到达 处．两人之间的路程 与甲
行走的时间 的函数图像如图所示．
(1)乙步行的速度为___________ 之间的路程为___________ ；
(2)当 时，求 关于 的函数表达式；
(3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为 ．
变式3-2．目前，无人机航拍越来越多的应用于各种领域．现对甲、乙两台无人机同时开始操作，甲无人
机先匀速垂直上升 分钟后悬停在空中航拍，悬停5分钟后继续以原来的速度匀速垂直上升，到第8分钟时悬停在距地面150米处．乙无人机匀速垂直上升8分钟后停留在 米的高度，且第3分钟时和甲同在距
地面60米处的位置．两台无人机的上升高度 （米）与时间 （分钟）的函数关系式如图所示．
(1)求 的值．
(2)求 的值及甲无人机上升时的速度．
(3)求乙无人机在甲无人机上方15米处时， 的值．
变式3-3．已知A、B两地间有C地，客车由A地驶向C地，货车由B地经过C地去A地（客货车在A、C
两地间沿同一条路行驶），两车同时出发，匀速行驶．货车的速度是客车速度的 ．图是客车、货车距C
地的路程 ， 与行驶时间 的函数关系的图象．
(1)求客车的速度及A、B两地间的路程；
(2)求货车距C地的路程 与x的函数关系式；
(3)请直接写出两车出发多长时间时相距 的路程．类型四、分段计费问题
例4．我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市
对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144
，每立方米收费3.15元，用水量在144~240 ，前144 按 3.15元/ ，144~240 之间按4.05元/
收费，以此类推）．
价格
年用水量
供水类型 阶梯分类 （元/
（ ）
）
第一阶梯 0~144（含） 3.15
居民生活 144~240
第二阶梯 4.05
用水 （含）
第三阶梯 240以上 6.75
(1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用 （元）关于年用水量 （ ）的函数解
析式．
(2)若小米家2024年全年用水量为120 ，则小米家应缴2024年水费多少元？
(3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量．
变式4-1．每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．
下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分）个人所得税税率表（综合所得适用）
级 税率 速算扣除
全年应纳税所得额
数 数
1 不超过36000元的 3 0
超过36000元至144000
2 10 2520
元的
超过144000元至300000
3 20 16920
元的
超过300000元至420000
4 25 31920
元的
计算公式：应纳税额 全年应纳税所得额×适用税率 速算扣除数．
设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元．
(1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式；
(2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？
变式4-2．为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下：
年用水量 收费标准
不超过 部分 元
超过 ，不超过 部分 元
超过 部分 元
小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准．(1)小明同学家 年用水 ，应交水费 元．写出 与 之间的关系式；
(2)小明家 年交了 元水费，求 年小明家用了多少
(3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因．
变式4-3．某市自来水采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．
用水量x（立方米） 应交水费y（元）
不超过12立方米 每立方米3.5元
超过12立方米 超过的部分每立方米4.5元
(1)求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；
(2)若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？
1．今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了
每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x
（吨）的函数图象如图所示．(1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式；
(2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？
2．为了贯彻落实市政府提出的“精准扶贫”精神，某县特制定了一系列关于帮扶A，B两贫困村的计划．
现决定从某地运送256箱鱼苗到A，B两村养殖，若用大、小货车共18辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗．
已知这两种大、小货车的载货量分别为16箱/辆和12箱/辆，其运往A，B两村的运费如下表：
A村 （元/辆） B村 （元/辆）
大货车 600 700
小货车 400 600
(1)这18辆车中大、小货车各多少辆？
(2)现安排其中9辆货车前往A村，其余前往B村，设前往A村的大货车为m辆，前往A，B两村的总费用
为 元，试求出 与m的函数解析式；
(3)在（2）的条件下，若运往A村的鱼苗不少于130箱，请你写出使总费用最少的货车调配方案，并求出
最少费用．
3．在抗洪抢险救灾中，某地粮食局为了保证库存粮食的安全，决定将甲、乙两个仓库的粮食，全部转移
到没有受洪水威胁的 ， 两个仓库．已知甲库有粮食 吨，乙库有粮食 吨，而 库的容量为 吨，
库的容量为 吨．
（1）填空：
若从甲库运往 库粮食 吨，
①从甲库运往 库粮食________吨；
②从乙库运往 库粮食________吨；
③从乙库运往 库粮食________吨；（2）填空：
若从甲库运往 库粮食 吨，
①从甲库运往 库粮食________吨；
②从乙库运往 库粮食________吨；
③从乙库运往 库粮食________吨；
（3）从甲、乙两库到 ， 两库的路程和运费如表：（表中“元/吨·千米”表示每吨粮食运送 千米所需
人民币）
路程（千米） 运费（元/吨·千米）
甲库 乙库 甲库 乙库
库
库
写出将甲、乙两库粮食运往 ， 两库的总运费 （元）与 （吨）的函数关系式．并求出当从甲、乙两
库各运往 ， 两库多少吨粮食时，总运费最省，最省的总运费是多少？
4．2025年3月14日是第六个“国际数学日”，某学校为提升学生核心素养，培养学生的阅读能力，激发
学生的学习兴趣，准备为学生购买A、B两种与数学文化有关的图书．经调查，购进A种图书费用y元与
购进A种图书本数x之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)现学校准备购进A、B两种图书共200本，其中购进A种图书不少于60本，且不超过B种图书本数的3
倍，若B种图书每本50元，设购进两种图书的总费用为w元，那么应该如何设计购买方案，才能使总费用最少？最少费用是多少元？
5．某商场欲购进一批安全头盔，已知购进2个甲种型号头盔和3个乙种型号头盔需要270元，购进3个甲
种型号头盔和1个乙种型号头盔需要195元．
(1)甲、乙两种型号头盔的进货单价分别是多少？
(2)若该商场计划购进甲、乙两种型号头盔共300个，且甲种型号头盔的购进数量最少为150个，甲种型号
头盔的购进数量不超过乙种型号头盔的2倍，已知甲种型号头盔每个售价为65元，乙种型号头盔每个售价
为70元，设甲种型号头盔购进了 个，全部售出后的利润为 元．
①求 的最大值．
②受原材料和工艺调整等影响，商场实际采购时，甲种头盔进货单价上调了 元，同时乙种头盔进货单价
下调了 元，该商场决定不调整两种头盔的售价，发现将300个头盔全部卖出获得的最低利润是4400元，
求 的值．
6．京沪高速铁路由北京南站至上海虹桥站，全长约 ，两列高铁先后从北京南站开往上海虹桥站，
先出发的甲列车的速度为 ，后出发的乙列车的速度为 ，行驶一段路程后，乙列车突然
发生故障，需要在沿途的车站就近停靠检修，检修完成后继续行驶，已知甲列车比乙列车早出发半个小时
（全程均按匀速行驶），两列高铁和北京南站之间的距离 （单位： ）与甲列车行驶的时间 （单位：
）之间的关系如图所示．
(1)乙列车出发多久后追上甲列车？
(2)若乙列车检修耗时 ，且保持原速度前往上海虹桥站，求甲列车比乙列车早多久到达上海虹桥站；
(3)在（2）的条件下，当甲列车到达上海虹桥站时，求乙列车与上海虹桥站之间的距离．7．物理实验课上，小明做“小球反弹实验”，如图①所示桌面 长为 ，小球 与木块 （大小、
厚度忽略不计）同时从 出发向 沿直线路径做匀速运动，速度较快的小球 到达 处的挡板 后被弹回
（忽略转向时间），沿原来路径和速度返回，遇到木块 后又被反弹向挡板 ，如此反复，直到木块 到
达 ，同时停止．设小球的运动时间为 ，木块 与小球之间的距离为 ，图②是 与 的部分函
数关系图像，结合图像回答下列问题．
(1)小球 第一次到达挡板 的时间是______s，小球 的速度为______ ，木块 的速度为______ ；
(2)小球 第一次返回时，求 与 的函数关系式；
(3)当小球 从出发至第一次 、 相遇时，小球 与木块 距离为 时，直接写出 的值为______ ．
