专题12一元一次方程重难点题型12个（解析版）_北师大初中数学_7上-北师大版初中数学_7上-初中数学北师大（旧版）赠送_06专项讲练

专题 12 一元一次方程 重难点题型 12 个 题型1 方程与一元一次方程的辨别 1．（2022·吉林·长春外国语学校七年级阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据方程的定义即可求出答案． 【详解】解：∵方程是指含有未知数的等式， ∴只有B选项是方程， 故选B． 【点睛】本题考查方程的定义，解题的关键是熟练运用方程的定义． 2．（2022·河南三门峡·七年级期末）在① ；② ；③ ；④ 中，方 程共有（ ） A．1个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】C 【分析】含有未知数的等式叫方程，根据方程的定义解答． 【详解】解：方程有③ ；④ ， 故选：C． 【点睛】此题考查了方程的定义，正确理解定义是解题的关键． 3．（2022·河南洛阳·七年级期中）下列各式中是方程的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照方程的定义逐个判断即可 【详解】A选项是多项式，不是等式，错误 B选项是等式，没有未知数，错误 C选项是不等式，错误 D选项正确 故选D 【点睛】本题考查方程的定义，方程是指含有未知数的等式3．（2022·辽宁台安·初一月考）已知式子：①3-4=-1；② ；③ ；④ ；⑤ 。其中是方程的有_______。 【答案】③④⑤ 【分析】根据方程的定义进行判断即可. 【解析】∵含有未知数的等式叫做方程，∴方程有：③④⑤. 【点睛】本题考查方程的辨别，明确方程的定义是解题的关键. 4．（2022·绵阳市七年级课时练习）下列四个式子中，是一元一次方程的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数（元），且未知数的次数是1，这样的方程叫一元 一次方程，据此即可判断． 【详解】解：A、 不是方程，故不符合题意；B、 中含有两个未知数，故不符合题意； C、 不是整式，故不符合题意；D、 是一元一次方程，故符合题意．故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数 不是0，这是这类题目考查的重点． 5．（2022·河南七年级期中）下列各式中，是一元一次方程的是（ ） A．x﹣y＝2 B．x＝1 C．2x﹣3 D．x2+x＝2 【答案】B 【分析】根据一元一次方程的定义，即含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程叫一元一次方 程，逐项判断即可． 【详解】解：A、有两个未知数，不是一元一次方程，故本选项错误，不符合题意； B、是一元一次方程，故本选项正确，符合题意； C、是代数式，不是方程，故本选项错误，不符合题意； D、未知数的最高次数为2，不是一元一次方程，故本选项错误，不符合题意；故选：B． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握含有一个未知数，未知数的最高次 数为1的整式方程叫一元一次方程．6．（2022·河南三门峡·初一期末）在方程① ，② ，③ ，④ ，⑤ ，⑥ 中，是一元一次方程的有______________________ .(填序号) 【答案】②④⑥ 【分析】根据一元一次方程的定义依次判断即可. 【解析】① ，分母含有未知数，故不是一元一次方程；② ，符合一元一次方程的定义， 故是一元一次方程；③ ，未知数最高次数为2，故不是一元一次方程；④ ，符合一元 一次方程的定义，故是一元一次方程；⑤ ，含有两个未知数，故不是一元一次方程；⑥ 符合一元一次方程的定义，故是一元一次方程；则是一元一次方程的有②④⑥. 【点睛】本题主要对一元一次方程的考查，熟练掌握一元一次方程的定义是解决本题的关键． 题型2 利用一元一次方程的定义和方程的解求值 【解题技巧】依据一元一次方程的定义，x的次数为1，系数不为0 方程的解：解方程就是求出使方程中等号左右两边相等的未知数的值，这个值叫方程的解． 1．（2022·河南洛阳·七年级期中）若 是关于 的一元一次方程，则 ______． 【答案】 【分析】由一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1，从而可得答案． 【详解】解：∵ 是关于 的一元一次方程， ∴ ， 故答案是：≠0． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 2．（2022·天津市河东区二号桥中学七年级期末）若关于x的一元一次方程 ，则m＝（） A．﹣3 B．0 C．2 D．2或0 【答案】B 【分析】由一元一次方程的定义可知： 且 即可求解． 【详解】解：根据题意，得 且 ， 解得m=0．故选：B． 【点睛】本题主要考查的是一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 3．（2022·河南南阳·七年级期中）已知 是方程 的解，则 的值是_________． 【答案】 【分析】把 代入原方程，计算即可求出k的值． 【详解】解：把 代入方程得： ， 解得： ． 故答案为： ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解一元一次方程，熟练掌握方程的解的定义是解本题的关键． 4．（2022·宁夏·景博中学七年级期末）如果关于 的方程 的解是 ，则 的值为（ ） A．－3 B．3 C．－5 D．5 【答案】A 【分析】把x=4代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：∵x=4是方程 的解， ∴把x=4代入方程可得： 解得a=-3，故选：A． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 5．（2022·四川自贡·七年级开学考试）已知（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程 （1）求m的值（2）若|y﹣m|＝3，求y的值 【答案】（1） m＝﹣3；（2）y＝0或y＝﹣6 【分析】（1）利用一元一次方程的定义确定出m的值即可； （2）把m的值代入已知等式计算即可求出y的值． 【详解】解：（1）∵（m﹣3）x|m|﹣2+6＝0是关于x的一元一次方程，∴|m|﹣2＝1且m﹣3≠0，解得：m＝﹣3； （2）把m＝﹣3代入已知等式得：|y+3|＝3， ∴y+3＝3或y+3＝﹣3，解得：y＝0或y＝﹣6． 【点睛】此题考查了一元一次方程的定义，以及绝对值，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 6．（2022·陕西咸阳·七年级期末）已知关于x的方程（|k|－3）x2－（k－3）x＋ －1＝0是一元一次方程． (1)求k的值；(2)求解这个一元一次方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据一元一次方程的定义得出 且 再求出k即可； （2）把 代入方程，再根据等式的性质求出方程的解即可． （1）解：∵关于x的方程 是一元一次方程，∴ 且 ，解 得： ，故答案为： ． （2）解：把 代入方程 得： ，解得： ，∴方程的 解为 ． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义和解一元一次方程，能熟记一元一次方程的定义是解（1）的关 键，能正确根据等式的性质进行变形是解（2）的关键． 题型3 等式的性质及应用 【解题技巧】 等式的性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 1．（2022·福建泉州·七年级期中）根据等式的性质，下列变形正确的是（ ） A．若 ，则a＝b B．若 ，则3x＋4x＝1 C．若ab＝bc，则a＝c D．若4x＝a，则x＝4a 【答案】A 【分析】根据等式的性质逐项分析判断即可求解．【详解】A. 若 ，则a＝b，故该选项正确，符合题意； B. 若 ，则3x＋4x＝12，故该选项不正确，不符合题意； C. 若ab＝bc，当 时，a＝c，故该选项不正确，不符合题意； D. 若4x＝a，则x＝ a，故该选项不正确，不符合题意；故选A 【点睛】本题考查了等式的性质，熟练等式的性质是解题的关键．等式的性质1：等式两边加(或减)同一个 数(或式子)，结果仍相等；等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数(或式子)，结果 仍相等． 2．（2022·河南新乡·七年级期中）下面四个等式的变形中正确的是（ ） A．由 ，得 B．由 ，得 C．由 ，得 D．由4（ ） ，得 【答案】B 【分析】根据等式的性质逐个进行判断即可． 【详解】解：A、由 方程两边都加 即可得出 ，则此项错误，不符合题意； B、由 方程两边都除以4即可得出 ，则此项正确，符合题意； C、由 方程两边同乘以 得 ，则此项错误，不符合题意； D、由 去括号得 ，再两边都加上4可得 ，则此项错误，不符合题意；故选： B． 【点睛】本题考查了等式的性质，能灵活运用等式的性质进行变形是解此题的关键． 3．（2022·河南新乡·七年级阶段练习）将等式进行变形，正确的是( ) A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【分析】根据等式的性质对每一个选项灵活分析，进而得出答案即可 【详解】A：若 ，则 也符合，故A错误，不符合题意； B：若 ，当a为0时， 可以不等于y，故B错误，不符合题意；C：若 ，则 ，故C错误，不符合题意； D：若 ，则 ，故d正确，符合题意；故选：D． 【点睛】本题考查等式的性质，依据等式的性质进行综合应用得出答案时关键． 4．（2022·浙江台州·七年级期末）解方程6x﹣5＝x﹣1时，可将方程变形为6x﹣x＝﹣1+5，其依据是（ ） A．等式的性质1 B．等式的性质2 C．加法交换律 D．加法结合律 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的解法及等式的性质进行解答即可． 【详解】解：6x-5=x-1， 在等式的两边同时加5，减x得，6x-x=-1+5（等式的性质1），故选：A． 【点睛】此题考查的是等式的性质，掌握等式性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式是解 决此题关键． 5．（2022·北京西城·七年级期末）下列图中所示的球、圆柱、正方体的重量分别都相等，三个天平分别都 保持平衡，那么第三个天平中，右侧秤盘上所放正方体的个数应为( ) A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【分析】设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，根据天平平衡的条件可得 2a=5b，2c=3b，再根据等式的性质得到3a=5c即可． 【详解】解：设一个球的质量为a，一个圆柱体的质量为b，一个正方体的质量为c，由题意得， 2a=5b，2c=3b， 即a= b，c= b， ∴3a= b，5c= b， 即3a=5c， ∴右侧秤盘上所放正方体的个数应为5，故选：A． 【点睛】本题考查认识立体图形、等式的性质，掌握等式的性质是解决问题的前提．6．（2022·全国·七年级课时练习）已知方程 ，用含 的代数式表式 的形式为______． 【答案】 【分析】根据等式基本性质，等式两边同时减去5y，即可得出答案． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握等式基本性质，等式两边同时加上或减 去一个整式，等式仍然成立． 题型4 一元一次方程中的同解问题 解题技巧：通过前一个方程求得x的值并代入后一个方程，转化为含另一未知数的方程。 1．（2022·山东七年级期末）若方程3x+5＝11的解也是关于x的方程6x+3a＝22的解．则a的值为 （ ） A． B． C．﹣6 D．﹣8 【答案】A 【分析】求出第一个方程的解得到x的值，将x的值代入第二个方程计算即可求出a的值． 【详解】解：方程3x+5＝11，解得：x＝2， 将x＝2代入6x+3a＝22，得：12+3a＝22，解得：a＝ ．故选：A． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握使方程左右两边同时成立的未知数的值就是 方程的解是解题的关键． 3ax 2．（2022·河南）若方程2x160与关于 x 的方程 3 1 的解互为相反数，则 a 的值为（ ）． 1 1 7 A． B． C． D． 3 3 3 1 【答案】A 【分析】先分别求出两个方程的解，然后根据两个方程的解互为相反数即可计算得到答案. 2x160 2x260 x4 【详解】解：∵ ∴ 解得 3ax 1 0 ∵ ，∴ 解得 3 33ax0 x3a33ax ∵ 1 0 与2x160的解互为相反数， 3 1 a ∴ ，解得， .故选A. 3a340 3 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程、相反数的定义，解题的关键在于能够准确解出两个方程的解. 3．（2022·重庆市天星桥中学七年级月考）关于x的方程2mx1与3x12x1有相同的解，则m ______________． 1  【答案】 2 【分析】解第二个方程，解得x=2，代入第一个方程中，求得m的值． 【详解】解：3x-1=2x+1，3x-2x=1+1，∴x=2． 1 1   把x=2代入2m+x=1中得：2m+2=1，解得：m= ，故答案为： ． 2 2 【点睛】本题考查了同解方程，解一元一次方程，考核学生的计算能力，熟练地解一元一次方程是解题的 关键． 4．（2022·湖南株洲市·）若关于x的方程3xkx20的解与方程3x28的解相同，则k______． 【答案】4 【分析】解方程3x28就可以求出方程的解，这个解也是方程3xkx20的解，根据方程的解的定义， 把这个解代入就可以求出k的值． 【详解】解：由3x28得：x＝2，把x＝2代入方程3xkx20，得6﹣2k+2＝0， 解得k＝4，故答案为：4． 【点睛】本题的关键是正确解一元一次方程以及同解方程的意义．理解方程的解的定义，就是能够使方程 左右两边相等的未知数的值． 5．（2022·广西百色·七年级期末）关于 的方程 的解与 的解相同，求 的值. 【答案】 【分析】根据一元一次方程的解法先求出x的值，再代入方程求解． 【详解】解：去分母得 ， 去括号得 ， 移项并合并同类项得， 解得 ， 将 代入 得 ， 整理得 ， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解法，理解同解方程的意义是解答关键． 6．（2022·江苏·南通市东方中学七年级阶段练习）若关于x的方程6x+3m＝22和方程3x+5＝11的解相同， 求m的值． 【答案】 【分析】求出第二个方程的解得到x的值，代入第一个方程计算即可求出m的值即可． 【详解】解：方程3x+5＝11， 解得：x＝2， 把x＝2代入得：12+3m＝22， 解得：m＝ ． 【点睛】此题考查了同解方程，同解方程即为方程解相同的方程． 题型5 方程的特殊解问题（求参数的值） 解题技巧：求含参数一元一次方程的逆过程。 1．（2022·湖南）关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，则a的值为（ ） A．a≠0 B．a≠1 C．a≠﹣1 D．a≠±1 【答案】C 【分析】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案． 【详解】根据一元一次方程有解，可得一元一次方程的系数不能为零，可得答案． 解：由关于x的方程（a+1）x＝a﹣1有解，得a+1≠0，解得a≠﹣1．故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程有解的条件，利用了一元一次方程的系数不能为零． a x x6 x  2．（2022·重庆实验外国语学校）若关于x的方程 无解，则a的值为（ ） 3 2 6 A．1 B．﹣1 C．0 D．±1 【答案】A2a2x6, 2a20 【分析】先去分母可得： 再由 可得答案. a x x6 【详解】解： 3 x 2  6 ，去分母得：2ax3xx6, 整理得：2a2x6,  当2a20时，方程无解，a1. 故选：A 【点睛】本题考查的是一次方程无解的知识点，掌握axb无解时，满足a0,b0是解题的关键. 1 5 1 4 mx  x  3．（2022·山东七年级期末）关于x的方程2 3 2 3有负整数解，则符合条件的整数m的值可 能是（ ） A．-1 B．3 C．1 D．2 【答案】A 2 1 5 1 4 x mx  x  【分析】由题意可得 m1，根据关于x的方程2 3 2 3有负整数解可得2与m1是倍数关 系，进而求解即可得． 1 5 1 4 2 【详解】解：由 mx  x 可得：x ， 2 3 2 3 m1 1 5 1 4 mx  x  ∵关于x的方程2 3 2 3有负整数解，且m为整数， ∴m11或-2，∴m0或-1，故选：A． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的解法，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 4ax x4 4．（2022·上海九年级专题练习）使得关于 的方程x  1的解是正整数的所有整数 的积为 x 6 3 a （ ） A．21 B．12 C．6 D．12 【答案】B 【分析】先解该一元一次方程，然后根据a是整数和x是正整数即可得到a的值，从而得到答案． 4ax x4 【详解】解：x  1 6 3 6x4ax2x46 去分母得， 去括号得，6x4ax2x866 整理得，4ax6∴ x ， 4a 当a2时x1，当a1时x2，当a2时x3，当a3时x6， 212312 a 这些整数 的积为 故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法和代数式求值，熟练掌握解一元一次方程是解题的关键． kxk 2k  x1 5．（2022·万州区七年级月考）若关于 的方程 的解为非正整数，那么符合条件的所有 x 2 3 的整数k之和为（ ） A．32 B．29 C．28 D．27 【答案】B 【分析】方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，表示出方程的解，由方程的解为非正整数， 确定出整数k的值即可． 【详解】解：去分母得：3kx+3k=（4+2k）x+6，移项合并得：（4-k）x=3k-6， 3k6 3k46 6 当4-k≠0，即k≠4时，解得：x=  3 ， 4k k4 k4 ∵方程的解为非正整数，∴k-4=1，2，3，6，-6，-3，-2， 解得：k=5，6，7，10，-2，1，2，之和为5+6+7+10+（-2）+1+2=29．故选：B． 【点睛】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 6．（2022·盐城市大丰区小海初级中学初一课时练习）已知关于x的方程2a(x－1)=(5－a)x+3b有无数多个 解，那么a2－5+b的值是多少？ 10  【答案】 3 分析：根据关于x的方程可求出用a、b表示的方程的解，然后根据有无数个解，可知未知数的系数3a-5和 常数2a+3b均为0，求出a、b的值，代入求值即可. 【解析】化简得：2ax-2a=（5-a）x+3b，即：（3a-5）x=2a+3b， 5 10 根据题意得：3a-5=0且2a+3b=0，解得：a=3，b=- 9 25 10 10  所以a2－5+b= 9 -5- 9 = 3 ．题型6 解方程 解题技巧：解含有括号的一元一次方程：一般方法是由内到外逐层去括号，但有时这样做不一定能简化运 算。因此，应根据方程的结构特点，灵活运用恰当的去括号的方法，以达到计算简便准确的目的。 对于多重括号，即可以按由内向外的顺序去括号，也可以按由外向内的顺序去括号。有时，依据题目的数 字特点，采取由外向内的顺序依次去括号，会使方程的变形更为简洁。 同时，当括号前面的系数较大时，且各项有相同的因式时，也可以整体上把握，逆用分配律，可使方程求 解过程更为简单。 解分子分母中含有小数系数的方程：此类题型，需要运用分数的基本性质，先将分子和分母同时扩大，将 小数化为整数，然后按照分数解方程的步骤，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1来解方程。 1．（2022·河南汝阳县·）解方程 【答案】 【分析】按照去括号、合并同类项、系数化1，求解即可． 【详解】解：去括号得： ， 合并同类项得 ， 解得： ． ∴原方程的解为0． 【点睛】本题考查一元一次方程的解法，熟知解一元一次方程的方法是解题的关键． 2．（2022·江苏盱眙县·七年级期末）解方程： （1）x﹣3＝5﹣5x （2） ＝1﹣ ． 【答案】（1）x= ；（2）x=1． 【分析】（1）移项、合并同类项，系数化成1即可求解； （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求解． 【详解】解：（1）移项得x+5x=5+3， 合并同类项得6x=8， 化系数为1，得x= ； （2）去分母得3（x-1）=6-2（2x+1）， 去括号，得3x-3=6-4x-2， 移项得3x+4x=6-2+3，合并同类项得7x=7， 化系数为1，得x=1． 【点睛】本题考查解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、 化系数为1．注意移项要变号． 3．（2022·辽宁西丰县·）解方程：（1）5x﹣6＝3x﹣4；（2）5x+ ＝2﹣ ． 【答案】（1）x＝1；（2）x＝ 【分析】（1）移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． （2）去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，据此求出方程的解是多少即可． 【详解】解：（1）移项，可得：5x﹣3x＝﹣4＋6， 合并同类项，可得：2x＝2， 系数化为1，可得：x＝1． （2）去分母，可得：30x＋2（x﹣1）＝12﹣3（3x﹣1）， 去括号，可得：30x＋2x﹣2＝12﹣9x＋3， 移项，合并同类项，可得：41x＝17， 系数化为1，可得：x＝ ． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去 括号、移项、合并同类项、系数化为1． 4．（2022·浙江温州市·七年级期末）解方程： （1） （2） 【答案】（1） ；（2） 【分析】（1）根据解一元一次方程的步骤：去括号，移项，合并同类项，求解即可； （2）根据解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，求解即可． 【详解】解：（1）去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 解得 ． （2）去分母，得 ，去括号，得 ， 移项，得 ， 合并同类项，得 ， 解得 ． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元一次方程的方法． x0.4 x3 5．（2022·日照市新营中学七年级期末）解方程：①123(x2)4x7 ② 0.2  0.5 2 11 x 【答案】① ； ② 7 x2 x 【分析】①展开、移项、合并同类项、再将 系数化为1； ②先通分，再合并同类项，再求解． 【详解】①123(x2)4x7， 123x64x7， 117x， 11 x 解得： ． 7 x0.4 x3 ②  2 ， 0.2 0.5 5x2 2x6  2 ， 1 1 5x22x62， 3x6， 解得：x2． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、一元一次方程求解、解题的关键是注意混合运算中的运算顺序． x1 x2  5 6．（2022·河北初一课时练习）解方程：0.25 0.5 ． 3 x 【答案】 2 【分析】根据题意依次去分母、去括号、移项及合并同类项以及系数化为1即可求解． 4(x1)2(x2)5 【解析】解：原方程去分母可化为 ． 去括号，得4x42x45．移项及合并同类项，得2x3． 3 x 系数化为1，得 2． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 题型8 含参数的一元一次方程 解题技巧：一元一次方程ax=b的解由a，b共同决定。 此类方程一般先化为一元一次方程的最简形式ax＝b，再分三种情况分类讨论： b x a （1）当a≠0时， ；（2）当a＝0，b＝0时，x为任意有理数；（3）当a＝0，b≠0时，方程无解． 1．（2022·重庆·七年级阶段练习）下列结论： ①若关于x的方程 的解是 ，则 ； ②若 ，则关于x的方程 的解为 ； ③若 ，且 ，则 一定是方程 的解．其中正确的结论的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据方程解的定义即可得出答案． 【详解】解：把x=1代入方程得：a+b=0，∴①符合题意； ∵ax+b=0，∴ax= b，∵a≠0，∴x= ，∵b=2a，∴x= 2，∴②不符合题意； ∵把x=1代入方程ax+b=1一定有a+b=1成立，∴③符合题意；故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程解的定义，理解一元一次方程的解的定义是解决问题的关键． 2．（2022·上海市罗南中学八年级阶段练习）解关于x的方程： ． 【答案】当 时，原方程无解；当 时， 【分析】据题意，分两种情况：① 时，② 时，根据解一元一次方程的方法，求出方程的解即可． 【详解】解：∵ ，∴ ， ①当 时， ， 故方程无解． ②当 时， ∴系数化为1得： ； ∴关于x的方程 的解为：当 时，原方程无解；当 时， ． 【点睛】此题主要考查了解一元一次方程的方法，掌握解一元一次方程是解题的关键． ax41 x 3．（2022·上海黄浦·）解关于 的方程： ． 14a x 【答案】当a0， a ；当a0，原方程无解． 【分析】分两种情况求解：当a0时和当a0时． ax41 ax4a 1 ax14a 【解析】∵ ，∴ ，∴ ， 14a x 当a0， a ； 当a0，原方程无解． 【点睛】本题考查了一元一次方程解的情况，一元一次方程（形如ax=b）的解的情况：①当a≠0时，方 b 程有唯一解x=a ，②当a=0，b≠0时，方程无解，③当a=0，b=0时，方程有无数个解． mxx2x2 x 4．（2022·上海金山·初二期中）解关于 的方程： ． 4 x 【答案】m1， m1；m1，无解 【分析】先去括号，然后移项、合并同类项，化未知数系数为1．注意未知数系数有可能为零，要分类讨 论．m1x4 mxx2x4 mxx2x4 【解析】解： ， ， ， 4 x 当m1时， m1， 当m1时，方程无解， 4 x 所以，当m1时，原方程的根是 m1； 当m1时，原方程无解． 【点睛】本题考查了含字母系数的一元一次方程；解题的关键是注意对未知数的系数分类讨论． a(x1)3(x1) 5．（2022·上海市南汇第四中学初二月考） a3 【答案】当a=3时，方程无解；当a≠3时，x=a3 【分析】先去括号、移项、合并同类项，然后对a的不同取值分类求解即可． a(x1)3(x1) 【解析】∵ ，∴ax-a=3x+3，∴ax-3x=3+a，∴(a-3)x=a+3， ∴当a=3时，方程无解； a3 当a≠3时，x=a3． 【点睛】本题考查了含参一元一次方程的解法，对参数分类讨论是解答本题的关键． a(x5) x1 6．（2022·上海市静安区实验中学初二期中）解关于x的方程： 15a x 【答案】当a 1时，方程的根是 a1 ； 当a 1，方程没有实数根. 【分析】先解方程得到x用a表示出来，再分a=1，a≠1两种情况讨论即可. a1x15a ax5a  x1 axx15a 【解析】解： ， ， ， 15a x 当a10时， a1 ；当a10时，方程无实数解 15a x ∴当a 1时，方程的根是 a1 ； a 1 当 ，方程没有实数根. 【点睛】本题主要考查解方程，解此题的关键在于根据题意分情况进行讨论. 题型9 一元一次方程中的错解和遮挡问题 1．（2022·广东东莞·七年级期末）某书中有一方程 ，其中一个数字被污渍盖住了，书后该方程 的答案为 ，那么■处的数字应是（ ） A．5 B．-5 C． D． 【答案】A 【分析】将x=-1代入方程 ＝−1即可求解． 【详解】解：∵x=-1是方程 ＝−1的解， ∴ ＝−1， ∴■=5，故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解与一元一次方程的关系是解题的关键． 2．（2022·河南南阳·七年级期中）有一个一元一次方程： ，其中“■”表示一个被污染的 常数．答案注明方程的解是 ，于是这个被污染的常数是______． 【答案】9 【分析】设被污染的常数是a，把x=- 代入方程得到关于a的方程，解方程即可． 【详解】解：设被污染的常数是a， 把x=- 代入方程得6×(- )- = ×(- ) -a， ∴a=9， 故答案为：9．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，掌握把方程的解代入原方程，等式左右两边相等是解题的关键． 3．（2022·江苏常州·七年级期末）有一个一元一次方程： ▊，其中“▊”表示一个被污染的 常数．答案注明方程的解是 ，于是这个被污染的常数是_______． 【答案】9 【分析】将 代入 ，计算求解即可． 【详解】解：将 代入 得 解得 故答案为：9． 【点睛】本题考查了解一元一次方程．解题的关键在于正确的计算． 4．（2022·河南南阳·七年级阶段练习）某同学解方程 时，把“ ”处的系数看错了，解得 ，他把“ ”处的系数看成了（ ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】首先根据题意，设“□”处的系数是y，则4y+1=4×4-3，然后根据解一元一次方程的方法，求出 他把“□”处的系数看成了多少即可． 【详解】解：设“□”处的系数是y， 则4y+1=4×4-3， ∴4y+1=13， 移项得 4y=13-1， 合并同类项得 4y=12， 系数化为1得y=3．故选：A． 【点睛】本题主要考查了解一元一次方程的方法，要熟练掌握解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括 号、移项、合并同类项、系数化为1． 5．（2022·重庆酉阳·七年级期末）刘明同学在解一元一次方程?x3x3时，不小心把？处x的系数弄得 看不清了，他便问邻桌，但是邻桌只告诉他，该方程的解是x1（邻桌的答案是正确的），刘明同学便 x 由此计算出了?处 的系数，那么这个系数是_________．【答案】5 【分析】设？表示的系数为a，把x=－1代入方程ax3x3中，可得a313，从而可求得a的值． 【详解】设？表示的系数为a，则原方程为ax3x3 由题意，x=－1是方程的解ax3x3 所以把x=－1代入方程ax3x3中，得a313 解得：a=-5故这个系数为－5故答案为：－5． 【点睛】本题考查了一元一次方程解的概念及解一元一次方程，关键是清楚解的含义． 6．（2022·江西赣州市·七年级期末）已知关于x的方程2a3x12，在解这个方程时，粗心的小琴同学误 将3x看成了3x，从而解得x3，请你帮他求出正确的解． 【答案】x3 【分析】将x的值代入2a3x12，求出a的值．再把a的值代入方程2a3x12，便可解出x． 3 a 【详解】解：∵ 是 的解，∴ ，解得， ， x3 2a3x12 2a3312 2 3 则原方程可化为： 2 3x12 ，解得， ．即原方程的解是 ． 2 x3 x3 【点睛】本题考查了一元一次方程的解以及解一元一次方程．定义：使一元一次方程左右两边相等的未知 数的值叫做一元一次方程的解． 题型10 一元一次方程中的新定义问题 1．（2022·湖北七年级期末）我们来定义一种运算： ，例如 ，按照 这种定义，当 成立时，则 的值是________________． 【答案】 【分析】根据题中计算公式列得方程 ，求解即可． 【详解】解：由题意得：化简得：x+2=-1-x移项得：2x=-3，∴x= ，故答案为： ． 【点睛】此题考查列一元一次方程，解一元一次方程，根据题意列出方程并正确解方程是解题的关键． 2．（2022·浙江杭州外国语学校七年级期末） 表示大于 的最小整数，如 ，则下列判 断：① ；② 有最小值是－1；③ 有最大值是0；④存在实数 ，使 成 立；⑤若 为整数， 为任意实数，则 ，其中正确的是___________（填编号）． 【答案】②④⑤ 【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案． 【详解】解：① ，故本判断错误；②当 为整数时， ，当 为小数时， ∴ 最小为－1；故本判断正确； ③由②得， ，故本判断错误； ④存在实数 ，使 成立，故本判断正确； ⑤ ∴ 成立，∴正确的判断是②④⑤故答案为：②④⑤ 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，仔细审题，理解[x）表示大于x的最小整数是解答本题的关键． 3．（2022·山西七年级期中）定义“*”的运算规则为 ，若 ，则x的值是（ ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】按照题中给出的规则进行运算进而解方程即可． 【详解】解：由题意可将 转化为：解方程可得： 故选：B． 【点睛】此题是典型的新定义题型，解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计 算．本题还考查解方程，所以要注意解方程的方法步骤． 4．（2022·贵州铜仁·七年级期末）定义：对于一个有理数x，我们把 称作x的对称数： 若 ，则 ，若 ，则 ：例： ． (1)求 的值；(2)若 时，解方程： 【答案】(1)1；(2)x=- ． 【分析】（1）根据对称数的定义求得即可； （2）根据对称数的定义化简方程，然后解方程即可． （1）解：[2]=2-2=0，[-1]=-1+2=1； ∴[2]+ [-1]=0+1=1； （2）解：当x＜-1时，方程为：2x+2+x+1+2=1， 解得：x=- ；故方程的解为：x=- ． 【点睛】本题考查了对称数的定义，代数式求值以及解一元一次方程，能够根据对称数的概念化简是解题 的关键． 5．（2022·河北石家庄·七年级期末）规定一种新运算法则：a※b＝ab－2a＋b2．例如：1※2＝1×2－2×1＋ 22＝4，请用上述运算法则回答下列问题． （1）求3※（－1）的值；（2）求（－4）※（ ※2）的值；（3）若m※5的值为40，求m的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，首先计算 ※2的值；根据含乘方的有理数混合运算性质计算，即可得到答案； （3）根据题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，得3※（－1） ； （2） ※2 ∴（－4）※（ ※2） （－4）※（3）m※5 ∵m※5的值为40 ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了有理数运算、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算、 一元一次方程的性质，从而完成求解． 6．（2022·吉林通化·七年级期末）把 （其中 、 是常数， 、 是未知数）这样的方程称为 “雅系二元一次方程”当 时，“雅系二元一次方程 ”中 的值称为“雅系二元一次方程” 的“完美值”．例如：当 时，“雅系二元一次方程” 化为 ，其“完美值”为 ． (1)求“雅系二元一次方程” 的“完美值”． (2) 是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，求 的值． (3)是否存在 使“雅系二元一次方程” 与 （ 为常数）的“完美值”相同，若存在， 求出 的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， 【分析】(1)根据题意可得 ，解方程即可求得； (2)根据题意可得 ，再把 代入，解方程即可求得； (3)根据题意可得 ， ，即可分别解得 ， ，可得 ，解方程即 可求得n的值，据此即可解答． （1）解：当 时， 可化为 解得， ； （2）解：当 时， 可化为 ，把 代入，解得 ； （3）解：存在；当 时， 可化为 ，解得 ，当 时， 可 化为 ，解得 ．∵ 与 （ 为常数）的“完美值”相同， ， 解得 ，将 代入 得 ． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次方程的解法，理解题意，得到相关方程是解决本题的关键．题型10 一元一次方程中的新定义问题 1．（2022·湖北七年级期末）我们来定义一种运算： ，例如 ，按照 这种定义，当 成立时，则 的值是________________． 【答案】 【分析】根据题中计算公式列得方程 ，求解即可． 【详解】解：由题意得： 化简得：x+2=-1-x移项得：2x=-3，∴x= ，故答案为： ． 【点睛】此题考查列一元一次方程，解一元一次方程，根据题意列出方程并正确解方程是解题的关键． 2．（2022·浙江杭州外国语学校七年级期末） 表示大于 的最小整数，如 ，则下列判 断：① ；② 有最小值是－1；③ 有最大值是0；④存在实数 ，使 成 立；⑤若 为整数， 为任意实数，则 ，其中正确的是___________（填编号）． 【答案】②④⑤ 【分析】根据题意[x）表示大于x的最小整数，结合各项进行判断即可得出答案． 【详解】解：① ，故本判断错误；②当 为整数时， ，当 为小数时， ∴ 最小为－1；故本判断正确； ③由②得， ，故本判断错误；④存在实数 ，使 成立，故本判断正确； ⑤ ∴ 成立，∴正确的判断是②④⑤故答案为：②④⑤ 【点睛】此题考查了解一元一次不等式，仔细审题，理解[x）表示大于x的最小整数是解答本题的关键． 3．（2022·山西七年级期中）定义“*”的运算规则为 ，若 ，则x的值是（ ） A．－1 B．1 C．－2 D．2 【答案】B 【分析】按照题中给出的规则进行运算进而解方程即可． 【详解】解：由题意可将 转化为： 解方程可得： 故选：B． 【点睛】此题是典型的新定义题型，解题的关键是要根据所给的规则把数或字母代入相应的位置，进行计 算．本题还考查解方程，所以要注意解方程的方法步骤． 4．（2022·贵州铜仁·七年级期末）定义：对于一个有理数x，我们把 称作x的对称数： 若 ，则 ，若 ，则 ：例： ． (1)求 的值；(2)若 时，解方程： 【答案】(1)1；(2)x=- ． 【分析】（1）根据对称数的定义求得即可； （2）根据对称数的定义化简方程，然后解方程即可． （1）解：[2]=2-2=0，[-1]=-1+2=1； ∴[2]+ [-1]=0+1=1； （2）解：当x＜-1时，方程为：2x+2+x+1+2=1， 解得：x=- ；故方程的解为：x=- ． 【点睛】本题考查了对称数的定义，代数式求值以及解一元一次方程，能够根据对称数的概念化简是解题 的关键．5．（2022·河北石家庄·七年级期末）规定一种新运算法则：a※b＝ab－2a＋b2．例如：1※2＝1×2－2×1＋ 22＝4，请用上述运算法则回答下列问题． （1）求3※（－1）的值；（2）求（－4）※（ ※2）的值；（3）若m※5的值为40，求m的值． 【答案】（1） ；（2） ；（3） 【分析】（1）根据含乘方的有理数混合运算性质计算，即可得到答案； （2）结合题意，首先计算 ※2的值；根据含乘方的有理数混合运算性质计算，即可得到答案； （3）根据题意，通过列一元一次方程并求解，即可得到答案． 【详解】解：（1）根据题意，得3※（－1） ； （2） ※2 ∴（－4）※（ ※2） （－4）※ （3）m※5 ∵m※5的值为40 ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了有理数运算、一元一次方程的知识，解题的关键是熟练掌握含乘方的有理数混合运算、 一元一次方程的性质，从而完成求解． 6．（2022·吉林通化·七年级期末）把 （其中 、 是常数， 、 是未知数）这样的方程称为 “雅系二元一次方程”当 时，“雅系二元一次方程 ”中 的值称为“雅系二元一次方程” 的“完美值”．例如：当 时，“雅系二元一次方程” 化为 ，其“完美值”为 ． (1)求“雅系二元一次方程” 的“完美值”． (2) 是“雅系二元一次方程” 的“完美值”，求 的值． (3)是否存在 使“雅系二元一次方程” 与 （ 为常数）的“完美值”相同，若存在， 求出 的值及此时的“完美值”，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， ， 【分析】(1)根据题意可得 ，解方程即可求得；(2)根据题意可得 ，再把 代入，解方程即可求得； (3)根据题意可得 ， ，即可分别解得 ， ，可得 ，解方程即 可求得n的值，据此即可解答． （1）解：当 时， 可化为 解得， ； （2）解：当 时， 可化为 ，把 代入，解得 ； （3）解：存在；当 时， 可化为 ，解得 ，当 时， 可 化为 ，解得 ．∵ 与 （ 为常数）的“完美值”相同， ， 解得 ，将 代入 得 ． 【点睛】本题考查了新定义运算，一元一次方程的解法，理解题意，得到相关方程是解决本题的关键． 题型11 一元一次方程中的整体换元 解题技巧：将含x的式子当作一个整体进行求解 1．（2022·河南·南阳市宛城区官庄镇第一初级中学七年级阶段练习）如果关于x的方程 x＋2021＝2x ＋m的解是x＝2023，则关于y的方程 （y＋1）＋2021＝2（y＋1）＋m的解是y＝___． 【答案】2022 【分析】根据题意得到y+1＝2023，即可求出y的值． 【详解】解：∵关于x的方程 x+2021＝2x+m的解是x＝2023， ∴关于y的方程 （y+1）+2021＝2（y+1）+m中的y+1＝2023， 解得：y＝2022， 故答案为：2022． 【点睛】此题考查了一元一次方程解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程解 的含义． 2．（2022·福建·厦门市湖滨中学七年级期末）已知5是关于x的方程 的解，则关于 的方程的解是__________． 【答案】x=-3 【分析】把x=5代入方程 ，解得 ，得到 ，把 代入方程 即 可解题． 【详解】解：把x=5代入方程 ， 解得 ， ， 代入方程 得 故答案为： ． 【点睛】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 3．（2022·浙江）已知关于x的方程x＋2－ x=m的解是x=21，那么关于y的一元一次方程y＋23－ （y＋21）=m的解是y=______． 【答案】0 【分析】把方程y＋23－ （y＋21）=m看作是关于（y+21）的一元一次方程，则根据题意得到 y+21=x=21，从而得到y的值． 【详解】解：∵关于x的方程x＋2－ x=m的解是x=21 y＋23－ （y＋21）=m可以变形为（y＋21）+2－ （y＋21）=m ∴关于y＋21的一元一次方程（y＋21）+2－ （y＋21）=m的解为y＋21=x=21， 解得：y=0故答案为：0【点睛】本题考查了一元一次方程的解：使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的 解．把方程的解代入原方程，等式左右两边相等．也考查了换元法． 4．（2022·江苏）已知关于x的一元一次方程 x+3＝2x+b的解为x＝3，那么关于y的一元一次方程 （y+1）+3＝2（y+1）+b的解y＝_____． 【答案】2 【分析】根据已知条件得出方程y+1＝3，求出方程的解即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程 x+3＝2x+b的解为x＝3， ∴关于y的一元一次方程 （y+1）+3＝2（y+1）+b中y+1＝3，解得：y＝2，故答案为：2． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，理解两个方程之间的关系是关键． 5．（2022·全国·七年级专题练习）若关于x的一元一次方程 的解为 ，则关于y的 一元一次方程 的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用整体思想，得到方程 中，有 ，即可答案． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程 的解为 ， ∴关于y的一元一次方程 中，有 ， ∴ ； 即方程 的解为 ； 故选：D 【点睛】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能得出一元一次方程 是解此题的关键． 6．（2022·山西忻州市·七年级期末）阅读材料，完成任务． 七年级同学在学完解一元一次方程后，已掌握了一元一次方程的一般解法，有同学发现在一元一次方程的 部分习题和练习题中，存在着许多解题技巧，只要在解题中注重研究其结构特点和特殊规律，巧妙地运用某些基本性质、法则，就可以达成“一点通”的效果．小明是一名喜欢动脑筋的学生，在解方程 时，不是直接给方程去括号，而是假设 ，然后把方程变形为： ， ， ． ， 解，得 ． 上面的问题中利用新的未知量来代替原来的未知量，求出新的未知量后，再利用其替代原来的未知量，从 而得以求解，这种解方程的方法叫做换元法． 任务：参照材料中的解题方法解方程 ． 【答案】x=-4 【分析】根据题示的方法，设7-2x=a，将原方程转化为关于a的方程求解即可． 【详解】解： 设7-2x=a，则原方程变形为： ∴ 解得，a=15 即7-2x=15， 解得，x=-4 【点睛】本题考查了换元法解方程．换元法的一般步骤为：设元，换元，解元，还原． 题型12 一元一次方程中的实际应用 解题技巧：与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 1．（2022·山东七年级期末）某商场专柜卖出A，B两件衣服，每件售价都是600元，其中每件A衣服赚 25%，每件B衣服赔25%．下列说法正确的有（ ）个 ①每件A衣服的成本价是480元． ②每件B衣服的成本价是800元． ③专柜售出这两件衣服是 赔了80元． ④专柜售出这两件衣服是不赚也不赔 A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B 【分析】设赚钱的衣服的进价为x元，赔钱的衣服的进价为y元，根据题意列出方程求解即可． 【详解】解：设赚钱的衣服的进价为x元， 依题意，得：600﹣x＝25%x，解得：x＝480，故①正确； 设赔钱的衣服的进价为y元，600﹣y＝﹣25%y，解得：y＝800，故②正确； ∴600﹣480+600﹣800＝﹣80，∴这两件衣服售出后商店亏了80元，故③正确，④错误；故选：B． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 2．（2022·湖北襄阳·七年级期末）2021年是中国共产党成立100周年，在庆祝建党100周年活动中，某学 校组织开展了一次“中国共产党党史”竞赛，其中笔答环节共设20道选择题，各题分值相同，每题必答， 下表是其中三名参赛者的得分情况． 答错题 参赛者 答对题数 得分 数 A 20 0 100 B 19 1 93 C 18 2 86 参赛者D得72分，他答错了______道题． 【答案】 【分析】根据表格可得答对1题得5分，答错1题扣2分，设参赛者D答对 道题，根据得分72分列出方 程，解方程求解即可． 【详解】解：∵参赛者A答对20道题，得100分，则答对1题得 分， 参赛者B答对19道题，得93分， 则答错1题，扣 分 设参赛者D答对 道题，根据题意得， 解得 故答案为： 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，求得答错1题扣2分是解题的关键． 3．（2022·广东七年级期中）春节临近，各商家纷纷开展促销活动，甲、乙两个服装店的促销方式如下： 甲：全场按标价的6折销售； 乙：满100元送80元的购物券，再购买时购物券可以冲抵现金，但不再送券．（如，顾客在乙店购买服装花370元，赠券240元，再次购买时，这240元券可以冲抵现金，但不再送券， 且再次购买金额不低于240元） 小明发现，这两家店同时出售：A型上衣，标价均为340元；B型裤子，标价均为250元． （1）小明要买一件A型上衣和一条B型裤子，选择哪一家店比较省钱？ （2）小明又发现，这两家店还同时出售C型裤子，标价也相同，且在240元以上．若分别在两家店购买 一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一样，请问C型裤子的标价是多少元？ 【答案】（1）选择乙店更省钱；（2）260元 【分析】（1）分别求出在甲、乙两家店买衣服的价钱，再进行比较，即可得出答案． （2）设C型裤子的标价为x元，根据“在两家店购买一件A型上衣和一条C型裤子，最后付款额恰好一 样”列出方程，即可得出答案． 【详解】解：（1）选甲店需付款：（340+250）×0.6＝354（元）； 选乙店需付款：340+（250﹣240）＝350（元）； ∵354＞350，∴选择乙店更省钱． （2）设C型裤子的标价为x元．根据题意，得（340+x）×0.6＝340+x﹣240，解得，x＝260． 答：C型裤子的标价为260元． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，根据题意，明确等量关系是解题的关键． 4．（2022·河南南阳·七年级期末）【问题呈现】 某中学的学生以4千米/时的速度步行去某地参加社会公益活动，出发30分钟后，学校派一名通信员骑自 行车以12千米/时的速度去追赶队伍，请问通信员用多少分钟可以追上队伍． 【自主思考】(1)根据题意，请画出示意图： (2)相等关系为（请填空）：____________． 【建模解答】（请你完整解答本题） 【答案】(1)见解析 (2)学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的路程；通信员用15 分钟可以追上队伍． 【分析】（1）根据题意，即可画出示意图； （2）根据通讯员所走的路程=学生所走的总路程，列出一元一次方程，解方程即可求解． （1）解：根据题意，画出示意图如图：（2）解：相等关系为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走 的路程；故答案为：学生步行30分钟所走的路程+通信员出发后队伍行走的路程=通信员追赶队伍所走的 路程；设通讯员用x小时可以追上学生队伍，根据题意可得： ，解得：x= ， ×60=15(分钟) ，答：通信员用15分钟可以追上队伍． 【点睛】此题考查了一元一次方程的应用，画出草图，找出题中的等量关系是解本题的关键． 5．（2022·江苏南京·初一期末）列方程解应用题：用甲、乙、丙三部抽水机从矿井里抽水，单独用一部抽 水机抽完，用甲需要24小时，用乙需要30小时，用丙需要40小时，现在甲、丙同时抽了6小时后，把乙 机加入，问乙加入后还需要多少时间才能把井里的水抽完． 【答案】６小时，过程见详解． x 【分析】设还需 小时可以抽完，分别表示出三台抽水机的工作量，利用工作量总和为1，列出方程解答 即可． x 【解析】解：设还需 小时可以抽完，由题意得： x6 x x6   1 24 30 40 ，解得：x=6，答：还需6小时可以抽完． 【点睛】此题考查一元一次方程的实际运用，掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的数量关系是解决 问题的关键． 6．（2022·浙江温州市·七年级期中）一家电信公司推出手机话费套餐活动，具体资费标准见下表： 套餐月租费（元/月 套餐内容 套餐外资费 主叫限定时间（分钟） 被叫 主叫超时费（元/分钟） 58 50 0.25 88 150 免费 0.20 118 360 0.15 说明：①主叫：主动打电话给别人；被叫：接听别人打进来的电话．②若办理的是月租费为58元的套餐：主叫时间不超过50分钟时，当月话费即为58元；若主叫时 间为60分钟，则当月话费为 元．其它套餐计费方法类似． （1）已知小聪办理的是月租费为88元的套餐，小明办理的是月租费为118元的套餐．他们某一月的主叫 时间都为 分钟（ ）． ①请用含 的代数式分别表示该月他们的话费，化简后填空： 小聪该月的话费为________元；小明该月的话费为________元． ②若该月小聪比小明的话费还要多14元，求他们的通话时间． （2）若小慧的两个手机号码分别办理了58元、88元套餐．该月她的两个号码主叫时间一共为220分钟， 总话费为152元，求她两个号码的主叫时间分别可能是多少分钟． 【答案】（1）①0.2m+58，64+0.15m；②400分钟；（2）40分钟和180分钟或74分钟和146分钟 【分析】（1）①因为m＞360分钟，所以两人的话费均由套餐费和主叫超时费两部分组成，根据具体数字 列出式子即可；②根据①中式子，结合小聪比小明的话费还要多14元列出方程，解之即可； （2）分当x≤50时，当50＜x＜70时，当x≥70时，三种情况分别列出方程，解之即可． 【详解】解：（1）①由题意可得：小聪该月的话费为88+0.2（m-150）=0.2m+58（元）， 小明该月的话费为118+0.15（m-360）=64+0.15m（元）， ②由题意可得：0.2m+58=64+0.15m+14，解得：m=400，∴他们的通话时间为400分钟； （2）设办理了58元套餐的手机号码主叫时间为x分钟， 当x≤50时，220-x≥170，则58+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=40，220-40=180分钟； 当50＜x＜70时，则58+0.25（x-50）+88+0.2（220-x-150）=152，解得：x=90，不符合，舍去； 当x≥70时，则58+0.25（x-50）+88=152，解得：x=74，220-74=146分钟， 综上：两个号码的主叫时间分别是40分钟和180分钟或74分钟和146分钟． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，能读懂数表弄清数量关系是解题关键．